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2012-2013
Corso di
Tecnologie per le Telecomunicazioni
Concetti di base: segnali e
sviluppo in serie di Fourier
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Concetti di base: segnali
- Classificazione dei segnali Le forme d’onda di interesse per le Telecomunicazioni possono
essere sia una tensione v(t) sia una corrente i(t), funzioni del
tempo
Le forme d’onda fisicamente realizzabili (osservabili in
laboratorio) soddisfano le condizioni:
• Hanno valori non nulli su un intervallo temporale finito;
• Sono funzioni continue del tempo
• Hanno valore di picco finito
• Sono a valori reali
A queste forme d’onda è associata una quantità di energia finita. Nella realtà
possiamo generare e osservare solo segnali a valori reali sebbene alcune
proprietà di essi possano essere rappresentate attraverso grandezze
COMPLESSE (come lo spettro).
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Concetti di base: segnali
- Valore medio, potenza media, valore efficace -
La componente continua o valor medio temporale di un segnale w(t) è data dal
risultato della media temporale:
Riferendoci ad un circuito elettrico, definiamo: v(t) la tensione ai capi di un
circuito e i(t) la corrispondente corrente. Si ha:
-Potenza istantanea associata al circuito: p(t)=v(t)i(t)
-Potenza media = media temporale della potenza istantanea:
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Concetti di base: segnali
- Classificazione dei segnali
Segnale pari: x(t)=x(‐t),per ogni t
Segnale dispari: x(t)=‐x(‐t),per ogni t
Qualsiasi segnale x(t) può essere sempre espresso come somma di
un segnale pari xp(t)e un segnale dispari xd(t):
x(t)=xp(t)+xd(t), dove:
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Concetti di base: segnali
- Esempi di segnali Costante
x(t) = C
Rettangolo
x(t) = rect(t)
E=∞
E =1
C2
P=0
P=
Segnale triangolare
x(t) = tri(t)
E = 2/3
P=0
E’facileverificareivaloridiEe Pdati…
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Concetti di base: segnali
- Esempi di segnali Scalino unitario
1, t>0
x(t) = u(t)=
0, t<0
E=∞
Esponenziale reale
x(t) = exp(‐at)u(t)
E =1/2a, a>0
P = 1/2
E’facileverificareivaloridiEe Pdati…
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Concetti di base: segnali
- Operazioni sui segnali
Ritardo: il segnale x(t‐τ) è ritardato di τ rispetto a x(t), ed è
traslato rigidamente verso destra
*Rivediamoladefinizionedisegnaleperiodico…
Anticipo: il segnale x(t+τ) è anticipato di τ rispetto a x(t), ed è
traslato rigidamente verso sinistra
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Concetti di base: segnali
- Operazioni sui segnali
Scalatura: il segnale x(at) è scalato di a rispetto a x(t). E’ dilatato
o compresso, a seconda che sia |a|<1 o |a|>1
Finestratura: moltiplicazione di un segnale per un altro segnale,
w(t), detto finestra (es. rettangolo): y(t) = x(t)∙rect(t)
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Concetti di base: segnali
- Segnali di interesse: impulso o delta di Dirac
L’impulso, detto anche delta di Dirac, si può definire come il
rettangolo di base T e altezza 1/T quando T tende a 0:
Dunque l’impulso è un segnale che tende all’∞ in un intervallo
infinitesimo intorno a t=0, è nullo per t≠0, ha area (integrale)
unitaria:
Relazione impulso – scalino:
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Concetti di base: segnali
- Proprietà dell’impulso o delta di Dirac
Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso è uguale al valore
del segnale in t=0 per l’impulso stesso:
L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per l’impulso è uguale
al valore del segnale in t=0:
Un segnale x(t) moltiplicato per un impulso ritardato di τ è
uguale al valore del segnale in t=τ per l’impulso stesso:
L’integrale di un segnale x(t) moltiplicato per un impulso
ritardato di τ è uguale al valore del segnale in t=τ:
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Concetti di base: segnali
- Proprietà dell’impulso o delta di Dirac
Dalle proprietà dell’impulso, consegue che OGNI segnale può
essere espresso come somma integrale di impulsi pesati e
ritardati:
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Concetti di base: segnali
- Segnali di interesse: segnali sinusoidali
Segnale cosinusoidale:
A: ampiezza, f0 = frequenza (1/s, Hz), φ: fase iniziale (rad)
Pm = A2/2 potenza media; T0 = 1/f0 periodo
ω =2πf0 =2π/T0
Pulsazione (rad/s)
(T0 = 0.5)
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Concetti di base: segnali
- Segnali di interesse: segnali sinusoidali Ampiezza, fase, frequenza
Aumentare la fase vuol
dire anticipare il segnale
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Concetti di base: segnali
- Segnali di interesse: esponenziale complesso Si può vedere come un vettore nel piano complesso (Re(x), Im(x)) con
modulo:
e angolo formato con l’asse reale:
essendo ω0 la velocità angolare, costante, pari a 2πf0
Quindi nel piano complesso il vettore ruota con velocità angolare
costante.
Quando la frequenza o la pulsazione assumono valori negativi, si
intende che il vettore ruota in verso antiorario.
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- Segnali di interesse: esponenziale complesso -
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Il deciBel (dB)
Definiamo il guadagno in dB di un circuito come:
(potenza media uscita / potenza media ingresso)
La definizione data indica il livello di potenza in uscita rispettoa quello in
ingresso, senza indicarne il livello assoluto
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Sviluppo in Serie di Fourier
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Sviluppo in Serie di Fourier
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