Le distribuzioni di probabilità:
connessione tra sezione aurea e legge di Poisson
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco
Di Noto
Abstract
In this paper we show a connection between aurea section
and Poisson’s formula
Riassunto
Finora la connessione più famosa tra i numeri di Fibonacci
e gli animali è stata quella con i conigli. Ma ora noi ne
abbiamo scoperta un’altra: con i cavalli.
In questo breve lavoro mostreremo infatti una connessione
tra la sezione aurea e la formula di Poisson relativamente ad
una statistica sui decessi di cavalieri nell’esercito prussiano
dovuti a calci di cavalli.
La formula di Poisson prevede il famoso numero
e =2,718… , ma c’è una connessione matematica tra e e
Ф (Rif.1) e quindi è possibile una loro “collaborazione”
anche in questo caso.
Un’ulteriore connessione da noi scoperta tra Fibonacci e
un’altra distribuzione statistica (la legge di Benford) è in
Rif. 2)
°°°°°°°°°°°°°°
Se vediamo i rapporti successivi tra i numeri relativi alla
statistica prussiana moltiplicati per 100 e i numeri di
Fibonacci ad essi più vicini, come da tabelle riportate nel
libro di Tony Crilly “50 grandi idee Matematica” (Dedalo)
otteniamo risultati che evidenziano una stretta connessione
tra tali numeri e i numeri di Fibonacci, e quindi anche simili
rapporti successivi.
Numero di 0
decessi
Probabilità 0,543
, p
Numero
108,6
atteso di
decesso,
200 x p
Valori di p
0,543
0,331
0,101
0,020
0,003
1
2
3
4
0,331
0,101
0,020
0,003
66,2
20,2
4,0
0,6
Valori di p moltiplicati per 100
54,3
33,1
10,1
2
0
Rapporti consecutivi tra i valori di p, identici ovviamente
ai rapporti di p moltiplicati per 100
0,543 /0,331 = 1,640 ≈ 1,618 = 54,3/ 33,1
0,331/0,101 = 3,277 ≈ 2*1,618 = 3,236 …
0,101/0,020 = 5,05 ≈ media tra 1,618 ^3 e 1,618^4 =
5,54...
0,020/0,003 = 6,66 ≈ 1,618 ^4 = 6,853
Numero
0
di decessi
Frequenza 109
Numero
atteso di
decesso,
200 x p
108,6
1
2
3
4
65
22
3
1
66,2
20,2
4,0
0,6
Valori numero atteso
numeri Fibonacci vicini
108,6
66,2
20,2
4,0
0,6
89
55
21
5
1
Rapporti successivi
108,6/66,2= 1,640
66,2/20,2 =3,277
20,2/4 = 5,050
Rapporti successivi di Fibonacci
≈
≈
≈
89/55= 1,618
55/21= 2,61
21/5 = 4,20
4,0/0,6= 6,666
≈
5/1 =
5
Ma anche i rapporti successivi del numero effettivo dei
decessi è ovviamente vicino alle probabilità p
Frequenza 109
Numero
atteso di
decesso,
200 x p
109/65
65/22
22/3
3/1
108,6
= 1,676
= 2,95
=
7,33
=
3
65
22
3
1
66,2
20,2
4,0
0,6
≈
≈
≈
≈
1,640
3,277
5,050
6,666
Ma anche con i nuovi rapporti, i loro valori sono connessi a
1,618:
1,676 ≈ 1,618 = Ф ma anche ≈ √e = √2,718 = 1,648
2,954 ≈ 2,718 = e ma anche ≈ Ф^2 = 2,617
7,333 ≈ 1,618^4 = 6,853
3 ≈1,618^2 = 2,617≈ 2,718 ≈ e = 2,718
Con questi nuovi rapporti troviamo anche una possibile
connessione con e =2,718 che figura nella formula di
Poisson (vedi Nota finale)
Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che la connessione tra questa
distribuzione statistica (formula di Poisson, vedi Nota
finale ) con Fibonacci regge, anche se mancano i numeri di
Fibonacci 1,3,5,8 e 21 nella prima tabella (valori di p) ,
vicini ai numeri di Fibonacci) e i numeri di Fibonacci
1,2,3, 8, 13 e 34 nella seconda serie (numeri attesi)
Rimangono coinvolti solo i numeri 1,5, 21, 55 e 89
con il salto di 2 e 3 tra 1 e 5, di 8 e 13 da 5 a 21, del solo
34 tra 21 e 55, mentre non c’è salto tra 55 e 89, essendo
numeri di Fibonacci consecutivi. I salti sono quindi, in
sequenza, 2, 2, 1, 0 anche questi numeri di Fibonacci (col
2 ripetuto due volte ). Ma anche il numero e = 2,718
sembra connesso a tale distribuzione statistica , e figura
nella formula di Poisson, (definita anche come formula di
densità da Wikipedia) mentre Ф = 1,618 invece no.
In tale formula compare il termine n! e i fattoriali sono,
presenti com’è noto anche nella successione per il calcolo
di e:
parzialmente da Wikipedia
“e (costante matematica)”
In matematica il simbolo denota una costante molto importante per via delle sue applicazioni in
diversi campi.
Poiché corrisponde ad un numero irrazionale (in particolare ad uno trascendente), non è
esprimibile come frazione o come numero decimale periodico. La sua espressione con 55 cifre
decimali è: 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749.
In ambito internazionale il numero é chiamato numero di Eulero, in Italia talvolta anche numero
di Nepero.
Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale, che associa ad un numero reale il
numero dato dalla potenza , e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa
dell'esponenziale).
Definizioni[modifica | modifica wikitesto]
Il numero può essere definito in uno dei seguenti modi:
• come il valore del limite
;
•
dove
come la serie
è il fattoriale del numero naturale
…”
Nota 1
Formula di Poisson , parzialmente da Wikipedia, voce
“Distribuzione di Poisson:
Distribuzione di Poisson
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
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Distribuzione di Poisson
Funzione di distribuzione discreta
Funzione di ripartizione
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
(dove
è la
funzione
gamma
incompleta
)
Valore atteso
Mediana circa
Moda
sia che
se
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei
momenti
Funzione caratteristica
In teoria delle probabilità la distribuzione di Poisson (o poissoniana) è una distribuzione di
probabilità discreta che esprime le probabilità per il numero di eventi che si verificano
successivamente ed indipendentemente in un dato intervallo di tempo, sapendo che mediamente se
ne verifica un numero . Ad esempio, si utilizza una distribuzione di Poisson per misurare il
numero di chiamate ricevute in un call-center in un determinato arco temporale, come una mattinata
lavorativa. Questa distribuzione è anche nota come legge degli eventi rari.
Prende il nome dal matematico francese Siméon-Denis Poisson.
Definizione[modifica | modifica wikitesto]
La distribuzione di Poisson
è
per ogni
,
dove è il numero medio di eventi per intervallo di tempo, mentre è il numero di eventi per
intervallo di tempo (lo stesso col quale si misura ) di cui si vuole la probabilità.
Dallo sviluppo in serie dell'esponenziale
si trova
.
Convergenza[modifica | modifica wikitesto]
La distribuzione di Poisson può essere ottenuta come limite delle distribuzioni binomiali
,
con
, ovvero si ha una convergenza in legge di
a
. Per questa
convergenza la distribuzione di Poisson è anche nota come legge (di probabilità) degli eventi rari.
In statistica si adotta l'approssimazione della distribuzione binomiale tramite la distribuzione di
Poisson quando n>20 e p<1/20, o preferibilmente quando n>100 e np<10. …”
Riferimenti
1 . “CONNESSIONI MATEMATICHE PRINCIPALI
TRA LE COSTANTI π, Ф ed e”
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between π
, Ф and e
Riassunto
In questo breve lavoro mostreremo alcune principali
connessioni tra π , Ф ed e, alcune delle quali da noi scoperte
2. LA LEGGE DI BENFORD: CONNESSIONE CON I
NUMERI DI FIBONACCI E UN’APPLICAZIONE CON
LE TARGHE AUTOMOBILISTICHE
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco
Di Noto
Abstract:
In this paper we show s connection between Benford’s law and
Fibonacci numbers.
Also we study an application with license plates of Italian and
German car
