Progettazione Educativa

Progettazione educativa
Le isometrie
Progettazione educativa: le isometrie
Fascia scolare: primo anno di liceo scientifico
Prerequisiti:
Prima di affrontare tale unità si effettuerà un test di verifica per appurare la
situazione di partenza della classe, ossia il grado di preparazione degli allievi, le
loro capacità, i loro interessi e tutti gli elementi che concorrono al processo di
apprendimento.
Se gli alunni sono psicologicamente maturi per il tema da affrontare, allora
dovrebbero essere motivati a rendersi partecipi alla "lezione".
Se l’argomento da trattare non fosse adeguato al livello di conoscenza e
abilità della classe è opportuno avviare un’attività di rinforzo in modo che il livello
di partenza sia il più omogeneo possibile.
Per poter affrontare lo studio di tale unità è richiesta la conoscenza dei
seguenti argomenti:
• relazioni e funzioni;
• proprietà delle principali figure geometriche piane;
• metodo delle coordinate cartesiane, distanza tra due punti nel piano e
punto medio di un segmento;
• vettori;
• equazioni e sistemi lineari.
Obiettivi:
Obiettivo fondamentale del percorso didattico, oltre alla comprensione e alla
padronanza del concetto di isometria, è quello di far comprendere agli allievi che
la nozione di isometria nasce proprio dall’osservazione del mondo reale, ed è in
questo che dobbiamo ricercarne esempi ed applicazioni.
Importante è, a nostro parere, comprendere che la maggior parte dei concetti
matematici esiste in virtù della sua ricaduta pratica nel mondo quotidiano. In
generale, infatti, lo scopo della geometria è quello di costruire un modello della
realtà che ci permetta di interpretare, descrivere ed interagire con gli elementi
dello spazio che ci circonda; ci interessa, quindi, anche conoscere quali relazioni
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Le isometrie
sussistono fra le figure quando queste subiscono delle trasformazioni.
Gli obiettivi didattici da perseguire si distinguono in:
1. obiettivi cognitivi globali:
• affinare le capacità logiche;
• acquisire capacità di astrazione;
• usare ed elaborare linguaggi specifici.
2. obiettivi cognitivi specifici:
• acquisire il concetto di isometria, di invariante e di punto unito;
• conoscere le equazioni che rappresentano le isometrie;
• conoscere gli invarianti delle isometrie.
3. obiettivi operativi:
• determinare le equazioni delle isometrie;
• scoprire le proprietà delle figure che si conservano nelle isometrie;
• determinare i punti uniti delle isometrie;
• interpretare per via grafica i risultati che si possono ottenere combinando
le varie isometrie
• utilizzare software didattico specifico (Cabrì – Geometre)
Contenuti
In tale unità didattica tratteremo:
• isometrie: definizione;
• classificazione delle isometrie;
• traslazioni e invarianti;
• rotazioni e invarianti;
• simmetrie assiali e invarianti;
• simmetrie centrali e invarianti
Percorso:
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Le isometrie
Pensiamo di proporre quest’argomento ad un primo anno di un liceo
scientifico, precisamente sarà uno degli argomenti finali della programmazione.
Potremmo dedicare quattro lezioni alla trattazione di quest’argomento: una
prima lezione sarà dedicata alla “scoperta” delle proprietà geometriche invarianti,
in modo che gli alunni riescano a rendersi conto che spesso hanno a che fare con
esempi di isometrie, nella loro esperienza quotidiana: basti pensare alle
decorazioni, alla carta da parati, a pavimenti, o, ad esempio, alla struttura di una
foglia o un fiore.
Insomma, scopo di questa prima lezione è far comprendere al ragazzo che il
concetto di isometria non è un’invenzione pura e semplice e che esiste solo nelle
pagine del libro di testo ma è la formalizzazione di un qualcosa che fa parte della
nostra vita quotidiana; insomma il nostro tentativo è di avvicinare la matematica
ai ragazzi e di farli rendere conto che il libro di testo è solo il passo finale,
l’estrema concettualizzazione, ma il punto di partenza è il mondo reale.
Si potrebbe partire, allora, per la trattazione dell’argomento da alcuni esempi
che ritroviamo nella realtà quotidiana, per mostrare che la geometria ha basi
fondatissime, e quindi passare, gradualmente, alla nozione di trasformazione
geometrica.
Il concetto di isometria sarà introdotto come corrispondenza biunivoca tra i
punti del piano che conserva la distanza tra coppie di punti corrispondenti e ne
verranno individuati i suoi invarianti ed effettuata la classificazione in traslazioni,
rotazioni, simmetrie assiali e centrali.
Le due lezioni successive potrebbero essere dedicate alla distinzione formale
tra traslazione, simmetria, rotazione, presentando questi concetti servendoci di
giochi e problemi, per rendere la lezione più interessante, per favorire
l’apprendimento degli allievi e per fornire un riscontro con la realtà, ma nello
stesso tempo utilizzando un certo rigore, un certo formalismo, che abituerà il
ragazzo ad esprimersi utilizzando un linguaggio corretto.
La lezione finale mostrerà le proprietà che volevamo far emergere negli
studenti con l’approccio per problemi.
Si puotrebbe anche presentare in una prospettiva diversa qualche proprietà
geometrica piana già studiata precedentemente, dimostrandola con le isometrie.
Si possono operare dei collegamenti disciplinari ed interdisciplinari, con
materie quali l’educazione tecnica e la storia dell’arte.
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Le isometrie
Infatti, possiamo fare vedere come le isometrie sono presenti nell’arte,
mostrando foto di quadri e di opere d’arte.
Negli anni successivi, una volta introdotta la nozione di struttura algebrica e
di operazione, si può pensare di ritornare al concetto di isometrie e di studiare la
particolare struttura determinata dalle diverse isometrie.
Ancora si potrebbe pensare di ultimare quest’argomento dopo aver trattato la
geometria solida, e dare qualche cenno anche delle isometrie nello spazio, e
spiegare le proprietà delle figure solide mediante le isometrie, così come per le
figure piane.
L’idea è quella di non trattare questo argomento separandolo dal resto della
programmazione, ma fare capire (come per gli altri argomenti) che ogni argomento
ha la sua collocazione curriculare, e che può essere applicato anche a nozioni già
note e dimostrate, con un approccio diverso per stesse trattazioni.
Metodologia:
L’insegnamento sarà impostato e condotto per problemi. Si partirà pertanto
dall’esame di una data situazione problematica e gli allievi saranno condotti:
1 a formulare ipotesi di soluzione;
2 a ricercare il procedimento risolutivo, mediante il ricorso alle conoscenze
già acquisite;
3 ad
inserire
il
risultato
ottenuto
in
un
organico
quadro
teorico
complessivo.
Si tratta quindi di un procedimento in cui si partirà dall’intuizione e
dall’esperienza quotidiana; in seguito il richiamo all’intuizione sarà via via ridotto
per dare più spazio all’astrazione e alla sistemazione razionale. Vogliamo, infatti,
che i ragazzi familiarizzino con queste trasformazioni, prima ancora di sapere il
nome tecnico, poiché non vorremmo che i ragazzi mostrino di aver compreso
questi concetti solo perché ne hanno appreso i termini specifici ed appropriati,
nascondendo dietro una conoscenza dei termini una non comprensione del
significato e delle applicazioni delle isometrie.
Vogliamo che sia chiaro cosa si intende per invarianti, per conservazione
delle distanze e del parallelismo, al di là di un ripetere a memoria queste parole; e
quindi sarà opportuno proporre degli esercizi, dei problemi, per fare capire questi
concetti.
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Le isometrie
E’ ovvio che una conoscenza completa non può limitarsi al ricorso
all’intuizione oppure a dei casi specifici trattati negli esercizi, e per questo alla
fine si proporranno anche alcune dimostrazioni rigorose.
Dovrebbe, infatti, essere più facile capire le dimostrazioni, dopo aver capito il
vero significato di ciò che si vuole dimostrare, anche perché durante il biennio, i
ragazzi non riescono a costruire un tipo di pensiero essenzialmente formale e
deduttivo, e risulta difficile maneggiare e operare con i simboli, che sembrano
talvolta degli oggetti sconosciuti senza significato.
A questo scopo, sarebbe opportuno presentare le diverse isometrie mediante
una serie di quesiti, in modo da condurre i ragazzi gradualmente alla scoperta
delle proprietà, e successivamente proporre un approccio più rigoroso, ricorrendo
al linguaggio algebrico-simbolico, così da favorire il passaggio da un’abilità più
manuale e pratica a quella simbolica tipica del ragionamento deduttivo.
Per questo tipo di insegnamento-apprendimento ci riferiamo a ciò che il
professor Arzarello chiama la “bottega matematica”, “dove i principianti, come
nelle botteghe d’arte rinascimentali, imparano facendo e vedendo fare (da altri
principianti, ma anche dall’esperto); imparano comunicando le proprie azioni e
ascoltando le comunicazioni degli altri principianti. Si tratta di un ambiente nel
quale sicuramente l’allievo costruisce una conoscenza in prima persona, ma non
è escluso, anzi è necessario, anche l’apprendimento per imitazione delle azioni
dell’esperto”.
Verifica e valutazione
La fase di verifica e valutazione è parte integrante del processo educativo e
permette di monitorare sia il raggiungimento degli obiettivi prefissati, sia
l’efficacia della strategia didattica attuata.
Le verifiche formative si possono
effettuare durante lo svolgimento
dell’attività didattica tramite la correzione degli esercizi o una serie di domande
concernenti l’argomento trattato rivolte agli allievi al fine di richiamare e precisare
i concetti, riassumere e puntualizzare le possibili applicazioni, fornire momenti di
confronto sulle capacità espressive raggiunte dagli allievi e sulla effettiva e
consapevole comprensione delle isometrie.
Esse consentono di informare studenti e docenti sul grado di preparazione
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Le isometrie
raggiunto dalla classe e permettono di attuare eventuali modifiche del proprio
lavoro in itinere.
La
verifica
sommativa
permetterà
di
valutare
la
conoscenza
e
la
comprensione dei concetti specifici e la capacità di applicazione e di collegamento
logico degli argomenti.
L’ uso di Cabrì Geometre
Una caratteristica importante del Cabri Géometre II è la possibilità di
definire relazioni tra oggetti e di esplorare graficamente le implicazioni.
Poiché questo software consente di modificare molto velocemente le figure
disegnate sullo schermo, ma ne mantiene le relazioni definite (es. un punto su
una retta oppure una retta perpendicolare ad un’altra retta), esso è molto utile
per effettuare esplorazioni sulle proprietà delle figure, osservare relazioni,
pervenire autonomamente alla definizione di alcuni concetti e di alcune proprietà,
formulare delle congetture e validare teoremi.
In particolare, la possibilità offerta da Cabrì di modificare in modo continuo una
figura
fornisce
l’occasione
di
uno
studio
efficace
ed
immediato
delle
trasformazioni geometriche. Utilizzando questo software lo studente ha infatti la
possibilità di vedere “dal vivo” le proprietà delle trasformazioni. Resta sorpreso
nello scoprire il concetto di invariante e viene invogliato alla ricerca dei motivi per
cui alcuni elementi della figura risultano immutati rispetto ad una certa
trasformazione.
Cabrì può essere utilizzato in parallelo con lo svolgimento della teoria. La
trattazione dei diversi argomenti può anzi iniziare proprio dall’utilizzo del software
per fornire agli studenti solide basi intuitive sugli argomenti trattati e per
coinvolgerli in una proficua attività di osservazione e di ricerca autonoma di
proprietà e leggi prima che queste vengano formalizzate.
Ricordiamo che nel programma Cabrì la barra degli strumenti contiene una
collezione di pulsanti che consentono la creazione
di varie costruzioni
geometriche.
In particolare, l’icona degli strumenti Trasforma contiene gli strumenti che
consentono di eseguire i principali tipi di trasformazioni geometriche. Cliccando
su tale icona e tenendo premuto il mouse compare l’elenco delle trasformazioni
disponibili.
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