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CONNESSIONE TRA LE COSTANTI MATEMATICHE
PRINCIPALI π, Ф, e E CON LE SOMME DEI
RECIPROCI DI NUMERI FAMOSI
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Sommario:
In questo documento trattiamo di nuove connessioni tra le costanti
matematiche π, Ф, e
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Indice:
1.
2.
3.
CONNESSIONI TRA COSTANTI MATEMATICHE..................................................................................................... 3
CONNESSIONI CON LE SOMME DEI RECIPROCI................................................................................................. 15
RIFERIMENTI .............................................................................................................................................................. 29
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1.
CONNESSIONI TRA COSTANTI MATEMATICHE
Nel lavoro precedente “connessioni tra le costanti matematiche (Rif. 1) abbiamo
trovato delle connessioni tra le tre costanti matematiche più importanti π, Ф , ed e.
Ora ne abbiamo trovate altre, sul libro di Alex Bellos “I numeri ci somigliano”
Einaudi, pag 190 (Rif. 2)
“π^4 + π^5 ≈ e^6”
Verifichiamo:
π^4 + π^5 = 403,42877581928389049918164273214
e^6 = 403,42879349273512260838718054339
I 2 numeri sono uguali fino alla 4° cifra decimale, già un enorme precisione, con il
secondo numero leggermente più grande del primo.
Costruiamo una tabella 1 per diversi valori di n come esponente , e dalla quale
emerge una inaspettata connessione con i numeri di Fibonacci, in verde ( e loro
medie aritmetiche), e quindi Ф =1,618, almeno inizialmente con qualche salto nelle
varie colonne e righe
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TABELLA 1
n
0
1
2
3
4
5
6
…
π^n
1
1
3,1459
3
9,8966
8
π^(n+1)
3,1459
3
9,8966
8
31,1339
34
31,1339
34
97,4494
89
308,1233
377
97,9444
89
308,1233
377
969,3251
987
969,3251
987
…
3049,3999
2584
…
Somma ≈
4,1459
5
13,0425
13
41,0305
44,5
Media tra 34 e
55
129,0783
144
405,5727
377
1277,4484
1292 media tra
987 e 1597
4018,725
4181
…
e^(n+2)
7,3890
8
20,0854
21
54,5980
55
148,4126
144
403,4271
377
1096,6279
1292
2980,9419
2584
..
Notiamo che per dopo esponente n = 5 il numero di Fibonacci in colonna somma
supera quello in colonna e^(n+2), e che quest’ultimo da un numero di Fibonacci di
circa F(m) con
m ≈ 2*(n+2) + 2
Riportiamo anzitutto, prima di costruire una nuova tabella. I numeri di Fibonacci
preceduti dall’indice m , quindi F(m), per facilitare la compilazione della nuova
tabella per i valori dei numeri di Fibonacci vicini ad e^m ed i valori reale
di F(m)
Valori di F(m) (dal sito Virgilioforum)
il primo numero è m’, il numero d’ordine
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1 (1 cifra) : 1
2 (1 cifra) : 1
3 (1 cifra) : 2
4 (1 cifra) : 3
5 (1 cifra) : 5
6 (1 cifra) : 8
7 (2 cifre) : 13
8 (2 cifre) : 21
9 (2 cifre) : 34
10 (2 cifre) : 55
11 (2 cifre) : 89
12 (3 cifre) : 144
13 (3 cifre) : 233
14 (3 cifre) : 377
15 (3 cifre) : 610
16 (3 cifre) : 987
17 (4 cifre) : 1597
18 (4 cifre) : 2584
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19 (4 cifre) : 4181
20 (4 cifre) : 6765
…
TABELLA 2
m
2
e^m
7,3890
(F(m’)
Più vicini
8 = F(6) =
m’ =2m+2
21=F(8)
8=2*3+2
55= F(10)
10=2*4+2=10
144=F(12)
12=2*5+2
377=F(14)
14=2*6+2
1292 tra F(16 ed
F(17)
16=2*7+2
2584=F(18)
18=2*8+2
6=2*2+2=
8
3
20,0854
21
4
5
6
7
8
54,5980
54
148,4126
144
403,4271
377
1096,6279
1292
media
2980,9419
2584
Ottima regolarità della connessione tra e e numeri di Fibonacci. Ora vediamo i
numeri di Fibonacci coinvolti sottoforma di potenze di Ф =1,618032
8
≈ 1,618032 ^4,5= 8,71 con 4,5 = m’-1,5
21
≈ 1,618032 ^6,5=22,82
55
≈ 1,618032^8,5 = 59,75
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144 ≈ 1,618032^10,5 = 156,41
377 ≈ 1,618032^12,5 = 409,58
1292 ≈ 1,618032^14,5 = 1072,29
2584 ≈ 1,618032^16,5 = 2807,28
…
Notiamo che l’esponente di Ф cresce sempre di 2 unità, e che equivale sempre alla
differenza m’ - 1,5, con m’ di F(m’)
Notiamo anche le differenze successive tra Ф^(m’-1,5) e il numero di Fibonacci
precedente, come da successiva Tabella 3
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TABELLA 3
Ф^(m’-1,5)
Numeri di
Fibonacci
Differenza
intera ≈
8,71
22,82
59,75
156,41
409,58
1072,29
2807,28
8, m’ = 6
21,m’ = 8
55, m’ =10
144, m’ =12
377,m’=14
987, m’ =16
2584,m’=18
0
1
4≈5
12 ≈ 13
32 ≈ 34
85 ≈ 89
223≈ 233
La connessione quindi si può migliorare con la formula
e^(n+2) ≈ Ф^(m’-1,5) ≈ F(m’) + F(m’ - 5)
per esempio , da Tab. 1 ultima riga:
e^ 8 =2980,9419 con 2584 = F(18) ≈ Ф^16,5=2807≈
2584 + F(18-5)=2584 + F(18-5)= F(13) = 2584+ 233
= 2817 ≈ 2807,28 = Ф^16,5
Con 2817 non molto lontano da e^8 =2980 e da 3049 ≈ π^7
Numeri di
Fibonacci più
piccoli
0
1, m’=1
5, m’= 5
13, m’ =7
34. m’=9
89, m’=11
233, m’=13
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Altre connessioni da Rif. 2
Formula di Stirling per l’approssimazione ad n! ,
pag.190:
n!≈ √(2πn)n^n e^-n
sebbene già ben nota ai matematici
Sempre sul libro di Alex Bellos “I numeri ci assomigliano” (Einaudi), Rif. 2, pagg.
213 -214 c‘è una interessante connessione tra i, e, e π , con relativa
dimostrazione:
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Nostra osservazione su eventuale possibile connessione con Ф = 1,618032…
0,20787 ≈ (√1,618032 + (√√1,618032)/2 - 1 =
(1,27201886…+ 1,12723813…)/2 - 1 = 0,199628
Con differenza 0,20787 - 0,19628 = 0,01159 circa un duecentesimo di 0,20787
Semplice coincidenza?
Un risultato simile si ottiene con e = 2,71828
0,20787 ≈ (√√2,71828 + √√√2,71826)/2 - 1 =
( 1,28399 + 1,13313) /2 -1 = 0,20856
Con differenza ancora minore:
0,20787 – 0,20856 = - 0,000,69
Anche la nota relazione di Eulero è conosciuta dai matematici (pag. 207)
e^iπ +1 = 0
Da Rif. 1 riportiamo una bella relazione
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E la nostra conclusione:
Come vediamo, i numeri di Fibonacci 5, 8 e 13 sono connessi rispettivamente alle
costanti π, Ф, π ed e, π, e e Ф
Possiamo quindi valutare il prossimo numero di Fibonacci, 21, come 13*1,618 , e
sostituendo 13 con
π *e* Ф, avremo
π *e* Ф*Ф = 13,81758*1,618 =
22,35684 ≈ 21.
Moltiplicando ancora il valore ottenuto per 1,618, avremo 36,17337 ≈ 34, e così
via, ottenendo valori per eccesso prossimi ai successivi numeri di Fibonacci:
formula generale π *e*Ф^n
Per il resto , rinviamo al Rif. 1
…“
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Conclusioni
Possiamo concludere dicendo che basandoci sulla relazione di Bellos e
completandola con altri esponenti n di π e di e minori e maggiori di 4
“ π^4 + π^5 = e^6”
abbiamo trovato una connessione anche con i numeri di Fibonacci e quindi con Ф,
completando e generalizzando la suddetta relazione nella
seguente:
π^n + π^(n+1) = e^(n+2) ≈ Ф^m’
con m’ il numero d’ordine del numero di Fibonacci più vicino a e^(n+2), in genere
inferiore, e con alcune regolarità basate sul numero 2, per es.la connessione di m’
= 2m + 2 con m esponente di e in Tabella 2 (equivalente ad n nella Tabella 1)
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2.
CONNESSIONI CON LE SOMME DEI RECIPROCI
Da Rif. 3 riportiamo alcune somme di reciproci eventualmente connessi ad una di
queste costanti:
Per esempio , per i numeri primi sexy abbiamo:
“ 2. NUMERI PRIMI SEXY
Due numeri primi si dicono sexy quando la loro differenza è pari a sei, ovvero formano
coppie del tipo (p, p+6) La somma dei reciproci è data da:
S=1/5+1/11+1/7+1/13+1/11+1/17+1/13+1/19+1/17+1/23+1/23+1/29+1/31+1/37+1/37+
1/43+1/41+1/47+1/47+1/53+1/53+1/59+1/61+1/67+1/67+1/73+1/73+1/79+1/83+1/89+
1/97+1/103 +…= 1,77337685333434 (per le prime 150 coppie di numeri primi sexy)
…”
Tale numero è molto vicino alla radice quadrata di π
Infatti √3,1459 = 1,7736… Semplice coincidenza?
Inoltre :
4. NUMERI PRIMI CUGINI
Due numeri primi si dicono cugini quando la loro differenza è pari a quattro, ovvero
formano coppie del tipo (p, p+4)
La somma dei reciproci è data da:
S=1/3+1/7+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/23+1/37+1/41+1/43+1/47+1/67+1/71+1/79+1
/83+1/97+1/101 + …= 1,67323537619 …”
Questo numero è molto vicino alla radice di e, infatti
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√2,71828 = 1,6487 … Semplice coincidenza?
5. “NUMERI PALINDROMI
Un numero è palindromo quando le sue cifre rappresentano lo stesso valore sia che
siano lette da destra che da sinistra.
Un esempio di numero palindromo può essere:
12345654321 si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro: 12345 6
54321
quindi vale la definizione.
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/11+1/22+1/33+1/44+1/55+1/66+1/77+1/88
+1/99+1/101+1/111 +…= 3,37028325949737 …”
Questo valore è vicino a π =3,1459
6. NUMERI PALINDROMI PRIMI
Un primo palindromo è un numero primo che è anche un numero palindromo, ossia
rimane invariato leggendolo da destra a sinistra.
Considerando il test di divisibilità per 11, si può facilmente dedurre che tutti i numeri
palindromi con un numero pari di cifre sono divisibili per 11 e, quindi, non sono primi
quindi solo quelli con un numero di cifre dispari sono primi palindromi.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/101+1/131+1/151+1/181+1/191+1/313+1/353+1/373+1/38
3+1/727+1/757+1/787+1/797+1/919+1/929+1/10301+1/10501+1/10601+1/11311+1/11
411+1/12421+…= 1,32398214680585
Questo numero è vicino alla distribuzione dei gemelli , 1,3203 fino ad N, con la
formula g(N) ≈1,3203*N/(ln N^2) Anche se non direttamente connessa a qualcuna
delle tre costanti oggetto di questo lavoro.
Ma è forse connessa a 0,6601611815, la costante dei numeri gemelli , con
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0,6601611815 ≈ φ = 0,618 = 1,618 - 1 = sezione aurea, poiché 0,66*2 =
1,32 ≈ 1,3203 ≈ 1,3239…somma dei reciproci dei numeri palindromi primi
Il rapporto, 0,660/0,618 =1,067 ≈ 1,0619 =√√√1,618
Infatti 0,619*1,067 = 0,660
Ma anche 1 + 0,0619*10 =1,619 ≈1,618 = Ф
10. QUADRATI PERFETTI (PROBLEMA DI BASILEA)
Il problema di Basilea chiede di scoprire la formula a cui tende la somma degli inversi
di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioè la somma precisa della serie infinita:
Eulero dimostrò che la somma esatta è π^2
6
e annunciò questa scoperta nel 1735.
S=1+1/4+1/9+1/16+1/25+1/36+1/49+1/64+1/81+1/100+…= 1,644934066848 , molto
vicina a = Ф = 1,618032 = π^2
6
e quindi connessa anche a Ф oltre che a π
rapporto con 1,644/1,618 = 1,01606 ≈1,01515 ≈ 32°√,1618 poichè 1,01515^32
=1,618
11. CUBI PERFETTI (COSTANTE DI APERY)
La somma dei reciproci dei cubi perfetti è data da:
S=1+1/8+1/27+1/64+1/125+1/216+1/343+1/512+1/729+1/1000+…=
1,20205690315959
…Il valore è anche uguale alla funzione zeta di Riemann Z(3) e viene definita costante
di Apery, che nel 1977 ha dimostrato che essa è un numero irrazionale..”
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Questo numero potrebbe essere connesso a Ф dalla possibile relazione
1,20205690315959 ≈ (√1,618032 + √√1,618032 )/2 = (1,2720 + 1,1278)/2 =1,1999,
ma un valore più preciso si ottiene con e, infatti
1,20205690315959 ≈ (√√2,718 + √√√2,718)/2 = (1,2839 + 1,1331)/2 = 2,417/2 =
=1,2085 ≈ 1,2020
Quindi la costante di Apery potrebbe essere connessa anche e soprattutto anche ad
e = 2,718
Una loro media aritmetica (1,1999 + 1,2085)/2 = 1,2042 ancora più vicino a
1,2020…costante di Apery.
Possibili connessioni, quindi, con π e Ф
12. NUMERI DI FIBONACCI
La successione di Fibonacci, indicata con Fn , è una successione di numeri interi
positivi in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della
successione sono per definizione F1=1 e F2=1. Tale successione ha quindi una
definizione ricorsiva secondo la seguente regola:
F1=1
F2=1
Fn= Fn-1 + Fn-1 (per ogni n>2
La somma dei reciproci è data da:
S = 1+1+1/2+1/3+1/5+1/8+1/13+1/21+1/34+1/55+1/89+…= 3,359885666243…
Il numero di elementi N(x) minori o uguali a x è dato dalla seguente formula:
N(x) < l/ln φ (ln( x √ 5 ) = 2,078 ln( x√ 5 )
dove φ = (1+ √ 5)/2 = 1,618033988749 (sezione aurea)
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Questo numero 2,078 potrebbe essere connesso a Ф anche dalla relazione
3,359/1,618 =2,076 ≈ 2,078, numero che compare nell’equazione di cui
sopra:
N(x) < l/ln φ (ln( x √ 5 ) = 2,078 ln( x√ 5 )
13.” NUMERI POLIGONALI
Un numero poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un
poligono regolare.
…
Ad esempio la somma dei reciproci per i numeri ettagonali è data da:
S=1+1/7+1/18+1/34+1/55+1/81+1/112+1/148+1/189+1/235+1/286+1/342+1/403+1/46
9+1/540+1/616+1/697+1/783+1/874+1/970+1/1071+1/1177 +…= 1,30476318377875”
questo numero è vicino a √1,618 = 1,2720 con rapporto 1,3047/1,2720 = 1,025≈
1,030 =√√√√1,618 tale che 1,2720 *1,030 = 1,31016 ≈ 1,30476318377875
Connessione, quindi, con Ф
15. “FATTORIALE
Si definisce fattoriale di un numero naturale n, indicato con n!, il prodotto dei numeri
interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula: n! = 1*2*3*….. (n-1)*n
per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre 0!=1
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1+1/2+1/6+1/24+1/120+1/720+1/5040+1/40320+1/362880+1/3628800 +…= e =
2,718281828459”
Ma questo è già noto ai matematici Lo riportiamo solo per ricordarlo i giovani
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interessati all’argomento delle connessioni tra costanti e le somme dei reciproci di
numeri famosi.
16. PRIMORIALE
Per n > 2, il primoriale di n, indicato con n#, è il prodotto di tutti i numeri primi
minori o uguali ad n. Per esempio, 210 è un primoriale, essendo il prodotto dei primi 4
numeri
primi (2 × 3 × 5 × 7).
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/6+1/30+1/210+1/2310+1/30030+1/510510+1/9699690+1/223092870+1/6469
693230+1/200560490130+1/742073813 +…= 0,7052301717918”
Questo numero è molto vicino a 0,618 sezione aurea
Il rapporto 0,705/0,618 =1,140≈ 1,0677^2 con 1,067 ≈
Media tra (√√√1,618 + √√√√3,14)/2 = 1,0619+1,074)/2 = 1,06795 ≈ 1,0677
Quindi possibili connessioni con Ф e π
17. NUMERI PRIMI DI FIBONACCI
Dato che Fnm è divisibile per Fn e Fm, se un numero Fk è primo, anche k è primo, fatta
eccezione per F4=3.
Non è vero il contrario. Infatti ad esempio 19 è primo, mentre F19 = 113*37 = 4181 non
è primo.
La somma dei primi 14 reciproci è data da:
S = 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/13 + 1/89 + 1/233 + 1/1597 + 1/28657 + 1/514229 +
1/433494437 + 1/2971215073 + 1/99194853094755497 +
1/1066340417491710595814572169 + 1/19134702400093278081449423917 +…=
1,126447227672”
Questo numero è circa la quarta radice di 1,618, infatti
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√√1,618 =1,1278 ≈1,1264, quindi è teoricamente possibile una connessione con Ф
18.” NUMERI DI FERMAT
Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un
numero intero esprimibile come: Fn = (2^2^ 2n) +1con n intero non negativo.
Sono tutti numeri dispari coprimi tra di loro.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/3+1/5+1/17+1/257+1/65537+1/4294967297+1/18446744073709551617+1/340282
366920938463463374607431768211457+…= 0,596063172117821
Questo numero è vicino alla costante 0,619 sezione aurea; rapporto 0,619/0,596 =
1,0385986… ≈ 1,0385983.. = 32° √3,359885666243 con 3,359885666243 somma dei
reciproci di Fibonacci, già connessa a Fibonacci e quindi a Ф, come visto in
precedenza
19. “FATTORIALE ESPONENZIALE
…
Il fattoriale esponenziale può anche espresso con una relazione ricorsiva:
…
La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/9+1/262144 +…= 1,611114925808
E’ un numero trascendentale ed è molto vicino a 1,618 quindi al rapporto aureo.
Rapporto 1,618/1,611 =1,00434512…≈ 128°√1,618 = 1,0037
Ma anche meglio con 1,0039.. …≈128°√2,718
E con 1,0044……≈128°√3,14, ancora più vicino a 1,0043
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Possibili connessioni quindi con Ф, e e soprattutto e π
20. NUMERI FIBONORIALI
Il numero Fibonoriale n!F , chiamato anche come fattoriale di Fibonacci, dove n è un
numero intero non negativo, è definito come il prodotto dei primi n numeri di
Fibonacci:
n!F = Π
Fi, n > 1 e 0!F = 1
dove Fi è l’i-esimo numero di Fibonacci.
La somma dei primi 18 reciproci è data da:
S= 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/30 + 1/240 + 1/3120 + 1/65520 + 1/2227680 + 1/122522400 +
1/10904493600 + 1/1570247078400 + 1/365867569267200 + 1/137932073613734400
+
1/84138564904377984000
+
1/83044763560621070208000
+
1/132622487406311849122176000 + 1/342696507457909818131702784000 +…=
2,70450289915406
Si stima che il valore tenda a 2,704502899154067487197548966182 …”
La somma è un numero molto vicino ad e = 2,718
Con rapporto 2,718/2,704= 1,0051≈ media tra 64° radice di 1,618 e 128° radice di
1,618 = (1,00754 + 1,0037)/2 =1,0056 ≈1,0051
Connessione quindi con e Ф
21. FIBONACCI SEQUENZA DELLE MUCCHE - LA SEZIONE SUPERAUREA
E’ associata a un problema (simile a quello dei conigli) riguardante la popolazione di
una mandria di bovini.
A differenza della coppia di coniglietti (che diveniva adulta e si riproduceva dopo il
trascorrere di un singolo mese), in questo differente caso il processo di crescita presenta
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uno stadio intermedio: le coppie di cuccioli si trasformano prima in coppie adulte ma
non ancora fertili, e poi in coppie fertili, capaci di riprodursi.
La successione concernente la popolazione dei bovini sarà:
1 1 1 2 3 4 6 9 13 19 28 41 60
a(0) = a(1) = a(2) = 1; thereafter a(n) = a(n-1) + a(n-3).
In tal caso, la generazione salta un valore.
Per esempio, 41 = 28 + 13, mentre 60 = 41 + 19.
Se, come nel caso della successione di Fibonacci, eseguiamo il rapporto tra ciascun
termine della successione e l'antecedente, allora tale rapporto, portato al limite, tende a
una certa quantità:
ψ = 1,46557123187676802665...
a(n+1)/a(n) tende a x = 1.46557123187676802665... quando n → ∞
Questa è la soluzione reale x^3 - x^2 -1 = 0.
Questa quantità indicata con la lettera greca psi (ψ ) rappresenta la cosiddetta "sezione
superaurea".
Rapporto 1,618/1,465= 1,010 ≈ (1,015 +1,007)/2 =1,011, con 1,015 e 1,007 radici 32°
e 64°di 1,618
Connessione quindi con Ф
La somma dei primi 44 reciproci è data da:
S=1+1+1+1/2+1/3+1/4+1/6+1/9+1/13+1/19+1/28+1/41+1/60+1/88+1/129+1/189+1/27
7+1/406+1/595+1/872+1/1278+1/1873+1/2745+1/4023+1/5896+1/8641+1/12664+1/18
560+1/27201+1/39865+1/58425+1/85626+1/125491+1/183916+1/269542+1/395033+1
/578949+1/848491+1/1243524+1/1822473+1/2670964+1/3914488+1/5736961+1/8407
925 +…= 4,60320706057253
Si stima che il valore tenda a 4,6033
Rapporto 4,603/3,14 = 1,4659 ≈ ψ = 1,46557123187676802665...
Possibile connessione quindi con π
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22. PARTIZIONI DI UN NUMERO
Una partizione di un intero positivo è un modo di scrivere come somma di interi
positivi, senza tener conto dell'ordine degli addendi.
Ad esempio le partizioni di 4 sono le seguenti:
1. 4
2. 3+1
3. 2+2
4. 2+1+1
5. 1+1+1+1
La somma dei primi 50 reciproci è data da:
S=1+1+1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+1/15+1/22+1/30+1/42+1/56+1/77+1/101+1/135+1/176
+1/231+1/297+1/385+1/490+1/627+1/792+1/1002+1/1255+1/1575+1/1958+1/2436+1/
3010+1/3718+1/4565+1/5604+1/6842+1/8349+1/10143+1/12310+1/14883+1/17977+1/
21637+1/26015+1/31185+1/37338+1/44583+1/53174+1/63261+1/75175+1/89134+1/1
05558+1/124754+1/147273+1/173525 +…= 3,51056310463079
Si stima che il valore tenda a 3,51061…”
Questo valore è prossimo a 3,14, con rapporto 3,51/3,14 = 1,1178 ≈ 1,1135 media
tra 8° e 16° radice di π = 3,14 , infatti (1,1533+ 1.074)/2 2,227/2 = 1,1135
Connessione possibile, quindi, con π
24. SEQUENZA DI SOMMA-LIBERA
Una sequenza di somma-libera è una sequenza crescente di interi positivi {nk}kεN
tali che per ogni k, nk non può essere rappresentato come una somma di qualsiasi
sottoinsieme degli elementi precedenti la stessa sequenza.
Un esempio classico sono le potenze di 2:
1, 2, 4, 8, 16, ….
Essa forma una sequenza di somma libera perchè ogni elemento della sequenza è “1” in
più della somma di tutti gli elementi precedenti, e quindi non possono rappresentare la
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somma degli elementi precedenti.
Sappiamo che in questo caso la somma dei reciproci è dato da 2.
Se R è il valore massimo di una sequenza di somme di reciproci di una qualsiasi
sequenza di somma libera, allora è stato dimostrato che il valore di R è sempre inferiore
a:
R < 3.0752
Ad esempio la somma libera di {1, 2, 3, …., n} è data da
1, 2, 3, 6, 9, 16, 24, 42, 61, 108, 151, 253, 369, 607, 847, 1400, 1954, 3139, 4398, 6976,
9583, 15456, 20982, 32816, 45417, 70109, 94499, 148234, 200768, 308213, 415543,
634270, 849877, 1311244, 1739022, 2630061, 3540355, 5344961, 7051789, 10747207,
14158720, 21295570, 28188520, 42283059, 55560183, 83902379…....
La somma dei primi 46 reciproci è data da:
S=1+1/2+1/3+1/6+1/9+1/16+1/24+1/42+1/61+1/108+1/151+1/253+1/369+1/607+1/847
+1/1400+1/1954+1/3139+1/4398+1/6976+1/9583+1/15456+1/20982+1/32816+1/45417
+1/70109+1/94499+1/148234+1/200768+1/308213+1/415543+1/634270+1/849877+1/
1311244+1/1739022+1/2630061+1/3540355+1/5344961+1/7051789+1/10747207+1/14
158720+1/21295570+1/28188520+1/42283059+1/55560183+1/83902379…=
2,283085362281
Si stima che il valore tenda a 2,28308541 “
Tale numero è vicino ad e =2,718, con rapporto 2,718/2,283 = 1,190 ≈ √√2 = 1,1892
Nessuna apparente connessione con le altre costanti
25. NUMERI PRIMI DI RAMANUJAN
Nel 1919, Ramanujan, matematico indiano, pubblicò una nuova dimostrazione del
postulato di Bertrand …
La serie è data dai seguenti numeri primi:
2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229,
233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431,
433,439, 461, 487, 491, 503, 569, 571, 587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659
La somma dei primi 73 reciproci è data da:
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S=1/2+1/11+1/17+1/29+1/41+1/47+1/59+1/67+1/71+1/97+1/101++1/107+1/127+1/149
+1/151+1/167+1/179+1/181+1/227+1/229+1/233+1/239+1/241+1/263+1/269+1/281+1
/307+1/311+1/347+1/349+1/367+1/373+1/401+1/409+1/419+1/431+1/433+1/439+1/46
1+1/487+1/491+1/503+1/569+1/571+1/587+1/593+1/599+1/601+1/607+1/641+1/643+
1/647+1/653+1/659+1/677+1/719+1/727+1/739+1/751+1/769+1/809+1/821+1/823+1/8
27+1/853+1/857+1/881+1/937+1/941+1/947+1/967+1/983+1/1009…=
0,9586854078704516312243865479188
Numero vicino a 0,618 sezione aurea, con rapporto 0,958/0,618=1,550 circa vicino a
1,618, con nuovo rapporto 1,618/ 1,550 = 1,043≈ media tra 32° radice di 1,618 e
1,061= 8° radice di 1,618 e 16° radice di 1,618 =1,030 ; infatti (1,061*1,030)/2 =
1,0455≈ 1,043
Possibile connessione con Ф
26. NUMERI PRIMI DI SOPHIE GERMAIN
Un numero primo di Sophie Germain, matematica francese, è un numero primo p tale
che 2p+1 è anch'esso un numero primo.
La serie è data dai seguenti numeri primi:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359,
419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013,
1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559
Ovviamente nessun primo di Sophie Germain può avere come ultima cifra il “7”.
La somma dei primi 61 reciproci è data da:
S=1/2+1/3+1/5+1/11+1/23+1/29+1/41+1/53+1/83+1/89+1/113+1/131+1/173+1/179+1/
191+1/233+1/239+1/251+1/281+1/293+1/359+1/419+1/431+1/443+1/491+1/509+1/59
3+1/641+1/653+1/659+1/683+1/719+1/743+1/761+1/809+1/911+1/953+1/1013+1/101
9+1/1031+1/1049+1/1103+1/1223+1/1229+1/1289+1/1409+1/1439+1/1451+1/1481+1/
1499+1/1511+1/1559+1/1583+1/1601+1/1733+1/1811+1/1889+1/1901+1/1931+1/1973
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+1/2003…= 1,3671171856607302530684755842884
Si stima che il valore tenda a 1,54”
Numero vicino a 1,618, con rapporto 1,618/1,54 =1,050≈ media tra la 16° e la 32°
radice di π= 3,14, infatti (1,074 +1,036)/2 = 1,055
Quindi, possibili connessioni con Ф e π insieme
Conclusioni seconda parte
Possiamo concludere brevemente questa seconda parte dicendo che quasi tutte le
somme dei reciproci dei numeri famosi sono più o meno connesse in qualche modo
(tramite i relativi rapporti), con le costanti principali π , e e Ф.
Infine, un accenno alla fisica: la costante dei numeri primi gemelli 0,6601611815 ≈
0,618033988 sembra connessa ad alcuni fenomeni fisici (spin del buco nero e
massa del protone) , come da conclusione di uno di noi (Dott.) Michele Nardelli al
Rif. 3:
“Conclusioni
È interessante notare come quasi tutti i numeri analizzati forniscano i valori 0,67 e 0,84
quindi valori molto vicini rispettivamente allo spin del buco nero finale prodotto dalla
collisione di due buchi neri e calcolato dalle osservazioni delle onde gravitazionali e alla
dimensione di un protone. Questa potrebbe essere una prova ulteriore che le costanti
matematiche sono sempre presenti in Natura. Non a caso il valore della costante dei
numeri primi gemelli = 0,6601611815 è praticamente vicinissimo allo spin del buco
nero prima menzionato
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Note finali
1- Il paradosso di Fibonacci (Rif. 4) ci ha dato l’idea per il TFF ( Teorema
fondamentale della Fattorizzazione) in Rif. 5 concernente la crittografia
RSA.
2- In rif. 6, 7 , 8 e 9 indichiamo nostri precedenti lavori su altre costanti ( di
Krapekar, di struttura fine,ecc) connesse rispettivamente a questioni
matematiche e fisiche, in modo da poter avere un nostro panorama più completo
sulle costanti e loro eventuali connessioni.
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3.
RIFERIMENTI
Riferimenti (Tutti sul nostro sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
salvo diversa indicazione)
1 - CONNESSIONI MATEMATICHE PRINCIPALI
TRA LE COSTANTI π, Ф, ed e
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between π, Ф, ed e In questo breve lavoro
mostreremo alcune principali connessioni tra π, Ф, ed e , alcune delle quali da noi
scoperte.
2 - Alex Bellos “I numeri ci somigliano” Einaudi
3 - SOMMA DEI RECIPROCI DI NUMERI
FAMOSI
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Sommario:
In questo documento si calcolano le somme dei reciproci di numeri famosi.
La somma dei reciproci dà delle informazioni veramente basilari sui numeri.
Più è elevato questo numero e più numeri ci sono nella serie e viceversa.
Inoltre si capisce anche quale sia il fattore di crescita della serie
4- I Q U A D R A T I D I F I B O N A C C I
(e il relativo paradosso)
Gruppo ”B. Riemann”*
Michele Nardelli, Francesco Di Noto
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle
loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
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In this paper we show the Fibonacci’s paradox
Riassunto
In questo lavoro parleremo brevemente del noto paradosso dei “Quadrati di
Fibonacci”, con accenno ai “Rettangoli di Fibonacci” con quasi uguale area, e con
lati corrispondenti a numeri alternati di Fibonacci; per esempio 8^2 = 64 mentre
5*13 =65 = 64 +1, 13^2 =169, mentre 8*21 = 168 =169 - 1, ecc.; e con differenza
delle due aree (quadrato e rettangolo) sempre uguale ad 1.
5 – IL TEOREMA FONDAMENTALE
DELLA FATTORIZZAZIONE
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle loro
congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa.
Abstract
In this paper we show our Fundamental Theorem about
factorization
Riassunto
In questo lavoro esponiamo il nostro Teorema Fondamentale della fattorizzazione,
basato sulle progressioni geometriche, poiché p, n e q fanno parte di una
progressione geometrica con numero fisso √r = √q/p, con n =√N e con N = p*q,
essendo p e q simmetrici rispetto ad n.
Ma anche, equivalentemente, come progressione geometrica ,
p*√r = n
n*√r = q
e quindi, di conseguenza,
p*r = q
Ovviamente non conosciamo a priori p e q (è proprio la
ricerca di p e q, conoscendo solo N, lo scopo della
fattorizzazione). Cercare √r per altre vie è quindi un
problema matematico equivalente alla fattorizzazione veloce.
Per il momento non si conosce nessuna valida via alternativa…
6 - COSTANTE DI KAPREKAR
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Riassunto:
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In questo documento esaminiamo la costante di Kaprekar, riguardante numeri di
quattro cifre, anche per esplorare una eventuale generalizzazione a numeri di una,
due, tre e cinque cifre in particolare, e a numeri di n cifre in generale, e ad alcune
loro permutazioni, compresa la
più piccola (quella considerata da Kaprekar, e la sua inversa, ora considerata da noi
in questo lavoro).
Inoltre si osserva un legame tra le cifre a numeri primi e una ben specifica costante
generatrice di Kaprekar
7 - COSTANTE DI STRUTTURA FINE E DIMENSIONI EXTRA
Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto, Ing. Pierfrancesco Roggero
Abstract
In this paper we talk about fine structure constant and String Theory.
Riassunto
In questo lavoro parleremo della costante di struttura fine, e della sua importanza
nella teoria delle stringhe.
Commento: abbiamo osservato questa costante fisica è
connessa alle costanti matematiche π e Ф , ne
riportiamo un brano un questo senso:
“ 5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI
Circa la costante di struttura fine possiamo aggiungere le considerazioni RIF:
Michele Nardelli in “Sistema Musicale Aureo Phi (n/7) e connessioni matematiche
tra numeri primi e “Paesaggio” della Teoria delle Stringhe”, Christian Lange,
Michele Nardelli e Giuseppe Bini, sul sito
xoomer.virgilio.it/stringtheory/Nardlanbin01.pdf, dove gli Autori mostrano le
connessioni tra il numero 432, la costante di struttura fine e la sezione aurea, ma anche
con π.
Vediamo ora l’angolo aureo , dal primo volume “La sezione aurea – il linguaggio
matematico della bellezza” della collana matematica “Il mondo è matematico”, pag.
131:
“… Bravais scoprì che le nuove foglie si sviluppano ruotando di uno stesso angolo,
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approssimativamente 137,35°,: Se calcoliamo:
360° * φ^2 = 360/Ф^2 (dove φ = 0,618033… e Φ = 1,618033…)
I 360° corrispondono ad un giro completo per il limite a cui converge la successione
precedente) si ottiene appunto137,35°, chiamato a volte angolo aureo…”
Dividendo infatti 360° per 2,6180307 abbiamo 137,50793, numero vicinissimo a
quello della costante di struttura fine α = 137,03599, con differenza 137,50793137,03599 = 0,47194 e rapporto 137,50793/137,03599 = 1,0034439, molto vicino a
128
√1,618033…= 1,0037665
con una differenza di circa 3 millesimi tra il valore reale e il valore stimato di tale
rapporto. Poiché il diametro di un ramo è circolare e l’orbita di un elettrone è
anch’essa circolare, e nella formula della costante di struttura fine compare π, è
possibile che tra il valore della costante di struttura fine e l’angolo aureo ci sia
qualche relazione, confermata indirettamente anche dal suddetto lavoro di Nardelli,
Lange e Bini, a pag. 23 e seguenti, anche in relazione al numero 432, somma di 267
e 165 :
“…Vi sono ulteriori connessioni matematiche che vale la pena di andare a
descrivere ed analizzare. L’Ing. Christian Lange ha ottenuto alcuni risultati lavorando
sul numero 432, corrispondente alla frequenza del La naturale (ricordiamo che 432 =
24 · 18). Dividendo 432 per π, si ottiene 137,5 un valore molto vicino a quello della
Costante di Struttura Fine,di importanza fondamentale nella fisica teorica e nella
cosmologia, in quanto ha un ruolo di primo piano nelle teorie delle stringhe e del
multiverso.
Inoltre, dividendo 432 per Ф e per Ф^2 si ottengono rispettivamente i numeri 267 e
165. Le somme di tali numeri forniscono nuovamente 432…Si osserva anche che i
numeri 267 e 165 sono dati da somme di numeri di Fibonacci. Infatti:267 = 233 + 34
e 165 = 144 + 21 (233 = 89 + 144; 144 = 55 + 89)…”.
(E anche le formule per ottenere i numeri 267 = 432/Ф e 165=432/Ф^2 sono
connesse alla sezione aurea) Ora però il numero 137,5796 si ottiene da 432/π. Ma 432
è connesso anche ad alcuni numeri di Fibonacci, dalle relazioni di cui sopra. Quindi
anche π, già presente nella formula della costante di struttura fine, potrebbe essere
connesso all’angolo aureo 137,5° (ma per angolo aureo si intendono anche altri
angoli, come 36°, ecc. ; noi in questo lavoro ci riferiremo sempre all’angolo 137,5 ,
molto prossimo all’inverso della costante di struttura fine, 137,035…)
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Quindi, sarebbe possibile una connessione tra 432, π, Ф, e α ) = costante di struttura
fine “.
8 - LE COSTANTI E LE LEGGI FISICHE DIPENDONO DAL TEMPO
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Abstract:
This paper explains that all physical constants and consequently all laws of physics
depend on time.
Dal quale riportiamo la conclusione:
“3. CONCLUSIONI
Tutte le costanti fisiche dipendono dal tempo ed è improprio definirle costanti.
Nel breve periodo in cui viviamo sicuramente le variazioni sono impercettibili così che
possiamo definirle come costanti anche se in realtà non lo sono.
Questa affermazione vale per tutte le costanti fisiche sia quelle dimensionali che quelle
adimensionali.
Tutte le leggi della fisica dipendono quindi dal tempo.
Non bisogna confondere queste costanti fisiche temporali con le costanti matematiche.
Ad esempio π, il rapporto tra circonferenza e diametro, è una costante che non dipende
dal tempo.
Si tratta però in questo caso di matematica che considera gli oggetti (circonferenze,
segmenti, solidi, ecc.) come perfetti e quindi completamente distaccati dalla realtà della
natura fisica.
Il poter descrivere un fenomeno fisico attraverso delle relazione di tipo matematico o
come un modello approssimativo della realtà, dovrebbe già far intuire che le leggi della
natura dipendono dal tempo e che variano con il trascorrere del tempo
9 - THE SUM OF RECIPROCAL FIBONACCI PRIME NUMBERS
CONVERGES TO A NEW CONSTANT: MATHEMATICAL CONNECTIONS
WITH SOME SECTORS OF EINSTEIN’S FIELD EQUATIONS AND STRING
THEORY
Pierfrancesco Roggero , 1 Michele Nardelli 1,2, Francesco Di Noto,
1Dipartimento di Scienze della Terra
Università degli Studi di Napoli Federico II, Largo S. Marcellino, 10 80138 Napoli,
Italy
2 Dipartimento di Matematica ed Applicazioni “R. Caccioppoli” Università degli Studi
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di Napoli “Federico II” – Polo delle Scienze e delle Tecnologie – Monte S. Angelo, Via
Cintia (Fuorigrotta), 80126 Napoli, Italy
Abstract
In this paper we have described a sum of the reciprocal Fibonacci primes that
converges to a new constant. Furthermore, in the Section 2, we have described also
some new possible mathematical connections with the universal gravitational
πconstant G , the Einstein field equations and some equations of string theory linked
to π and Ф ”
sul sito inglese
https://empslocal.ex.ac.uk/.../nardelli2016a.pdf
Accenno finale alla costante ½ per la funzione zeta di Riemann
Possiamo considerare la parte reale ½ della funzione zeta di Riemann come una
costante per tutti gli infiniti zeri, come media aritmetica tra due zeri coniugati che
formano un qualsiasi zero di zeta, da più piccolo al più grande che sia stato mai
calcolato; così come π =1,314 è sempre il rapporto tra circonferenza e diametro per
tutti i cerchi possibili dal diametro di un millimetro a quello, per esempio, da un
miliardo di chilometri, che ovviamente non è il più grande di tutti.
Tale media e relativa congettura è descritta e calcolata nei Rif. 1
(in inglese) ,
2 e 3 (in italiano) sulla nostra congettura delle funzioni zeta
generalizzate.
Come somma di reciproci di numeri famosi, ½ si può considerare come metà della
somme dei reciproci dei numeri potenze perfette con duplicazioni ( da Rif. SOMMA
DEI RECIPROCI DI NUMERI
FAMOSI Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto)
Già pubblicato on italiano sul nostro sito
7. POTENZA PERFETTA CON DUPLICAZIONI
Una potenza perfetta è un intero positivo che può essere espresso come una potenza di
un altro numero intero positivo.
Più formalmente n è una potenza perfetta se esistono numeri naturali m > 1 e k > 1 tali
che n = m^k .
Nel caso in cui k=2 si hanno i quadrati perfetti nel caso di k=3 si hanno i cubi perfetti.
Il numero 1 in genere non viene considerato (perché 1k = 1 per qualsiasi k).
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La somma dei reciproci con duplicazioni è data da:
S=1/4+1/8+1/9+1/16+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+1/64+1/64+1/81+1/81+1
/100 +…= 1
Quindi 1 :2 =0,5 = 1/2 = anche parte reale degli zeri della funzione zeta
Ma anche , similmente
8. POTENZA PERFETTA P-1 SENZA DUPLICAZIONI
Eulero e Goldbach hanno dimostrato che la somma dei reciproci di
1/ p -1 escludendo il valore 1 e senza duplicazioni è data da:
S=1/3+1/7+1/8+1/15+1/24+1/26+1/31+1/35+1/48+1/63+1/80+1/99+…= 1
Quindi 1 :_2 =0,5 = 1/2 = anche parte reale degli zeri della funzione zeta anche
in questo caso
23. NUMERI PRONICI
Un numero pronico (o numero oblungo o anche numero eteromecico) è un numero
che è il prodotto di due numeri consecutivi, cioè un numero nella forma n(n+1).
Tutti i numeri pronici sono pari (essendo il prodotto di due numeri consecutivi, di cui
almeno uno è pari); inoltre 2 è l'unico numero primo di questa sequenza, nonché l'unico
che è anche un numero di Fibonacci.
La somma dei reciproci è data da:
S=1/2+1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90+1/110+1/132+1/156+1/182+1/210+
1/240+1/272+1/306 +…= 1
Quindi 1 :2 =0,5 = 1/2 = anche parte reale degli zeri della funzione zeta
Oppure, equivalentemente:
14. POTENZE DI 2
Una potenza di due è ogni numero intero potenza del numero due, ovvero che si può
ottenere moltiplicando due per sé stesso un certo numero di volte. Una potenza di due è
anche 1, in quanto 2^0=1.
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La somma dei reciproci è data da:
S=1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/1024 +…= 2
In questo caso ½ = 2/4 =0,5 =1/2
La somma che però si avvicina di più alla funzione zeta è quella relativa alla
POTENZA PERFETTA CON DUPLICAZIONI
“S=1/4+1/8+1/9+1/16+1/16+1/25+1/27+1/32+1/36+1/49+1/64+1/64+1/64+1/81+1/81+
1/100 +…= 1
Poiché riguarda tutte le potenze dei numeri naturali, primi compresi, anche se
qui senza esponente z complesso, che da le parti complesse degli zeri comiugati
di zeta, che nella media si elidono a vicenda , essendo opposti, e lasciano solo la
media reale ½, vedi Rif. 1, 2 e 3
