i CALCOLO

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TOM M. APOSTOL
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: VOLUME TERZO
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PROGRAMMA
DI
MATEMATICA
FISICA
ELETTRONICA
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RESTAURO
lstltito Universitario di Architettura
VENEZIA
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BIBLIOTECA CENTRALE
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TOM MIKE APOSTOL
lllLIOTECA DEL OlPARTIMfNTO
SCIENZA E TECNICA DEL RESr AURO I
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LU.A.V.
CALCOLO
VOLUME TERZO
ANALISI 2
BORINGHIERI
...
I
Indice
Presentazione di Edoardo Vesentini, xi
1 Successioni e serie di funzioni, 3
1.1
Convergenza puntuale di successioni di funzioni
1.2 Convergenza uniforme di successioni di funzioni
1.3
Convergenza uniforme e continuità
1.4
Convergenza uniforme e integrazione
1.5
Una condizione sufficiente per la convergenza uniforme
1.6
Serie di potenze. Cerchio di convergenza
I.7
Esercizi
1.8
Proprietà delle funzioni rappresentate da serie di potenze reali
1.9
La serie di Taylor generata da una funzione
I. IO Una condizione sufficiente per la convergenza di una serie di Taylor
1.11 Sviluppi di una serie di potenze per le funzioni trigonometriche e la funzione
esponenziale
I. 12 Teorema di Bernstein
1.13 Esercizi
1.14 Serie di potenze ed equazioni differenziali
1.15 La serie binomiale
I. 16 Esercizi
2 Equazioni differenziali lineari, 30
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
Introduzione storica
Sommario dei risultati concernenti equazioni lineari del primo e secondo ordine
Esercizi
Equazioni differenziali lineari di ordine n
li teorema di esistenza e unicità
La dimensione dello spazio delle soluzioni di un'equazione lineare omogenea
L'algebra degli operatori a coefficienti costanti
Determinazione di una base per le soluzioni di un'equazione a coefficienti costanti,
mediante la fattorizzazione degli operatori
Esercizi
La relazione tra l'equazione non omogenea e l'equazione omogenea associata
Determinaizione di una soluzione particolare d'una equazione non omogenea.
li metodo di variazione dei parametri
Non singolarità della matrice wronskiana di n soluzioni indipendenti di un'equazione lineare omogenea
Metodi speciali per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea. Riduzione a un sistema di equazioni lineari del primo ordine
Il metodo degli annichilatori per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea
Esercizi
..
r
Indice
VI
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali lineari
Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti analitici
L'equazione di Legendre
I polinomi di Legendre
Formula di Rodrigues per polinomi di Legendre
Esercizi
Il metodo di Frobenius
L'equazione di Besse!
Esercizi
3 Sistemi di equazioni differenziali, 86
3.1
Introduzione
3.2
Calcolo di funzioni matriciali
3.3
Serie di matrici. Norme di matrici
3.4
Esercizi
3.5
La matrice esponenziale
3.6
L'equazione differenziale soddisfatta da etA
3.7
Teorema di unicità per l'equazione differenziale matriciale F'(t) =AF(t)
3.8
La legge degli esponenti per le matrici esponenziali
3.9
Teoremi di esistenza e unicità per sistemi lineari omogenei a coefficienti costanti
3.10 Il problema del calcolo di et-"3.11 Il teorema di Cayley-Hamilton
3.12 Esercizi
3.13 Il metodo di Putzer per calcolare etA
3.14 Altri metodi per il calcolo di e 1A in casi speciali
3.15 Esercizi
3.16 Sistemi lineari non omogenei a coefficienti costanti
3. 17 Esercizi
3.18 Il sistema lineare generale Y'(t) = P(t)Y(t) + Q(t)
3.19 Un metodo di sviluppo in serie di potenze per la soluzione di sistemi lineari
omogenei
3.20 Esercizi
3.21 Dimostrazione del teorema di esistenza mediante il metodo delle approssimazioni
successive
3.22 Il metodo delle approssimazioni successive applicato ai sistemi non lineari del
primo ordine
3.23 Dimostrazione di un teorema di esistenza e unicità per sistemi del primo ordine
non lineare
3.24 Esercizi
3.25 Approssimazioni successive e punti fissi di operatori
3.26 Spazi lineari normati
3.27 Operatori di contrazione
3.28 Teorema del punto fisso per operatori di contrazione
3.29 Applicazioni del teorema del punto fisso
4 Funzioni a valore vettoriali, 139
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4. 7
4.8
4.9
4. IO
4.11
4.12
4.13
4.14
Funzioni di variabile reale a valori vettoriali
Operazioni algebriche. Componenti
Limiti, derivate e integrali
Esercizi
Applicazioni allo studio delle curve. Retta tangente
Applicazioni al moto curvilineo. Velocità e accelerazione
Esercizi
Il versore tangente, la normale principale e il piano osculatore a una curv;:;
Esercizi
La definizione di lunghezza di arco di curva
Additività della lunghezza d'arco
La funzione lunghezza d'arco
Esercizi
Curvatura di una curva
...
VII
Indice
4.15
4.16
4.17
4.18
4. 19
4.20
4.21
Esercizi
Velocità e accelerazione in coordinate polari
Moto piano con accelerazione radiale
Coordinate cilindriche
Esercizi
Applicazioni ai moti planetari
Esercizi vari di ricapitolazione
5 Calcolo differenziale per campi scalari e vettoriali, 187
Funzioni da Rn in Rm. Campi scalari e vettoriali
Sfere aperte e insiemi aperti
Esercizi
Limiti e continuità
Esercizi
Derivata di un campo scalare rispetto a un vettore
Derivate direzionali e derivate parziali
DeriJ[ate parziali di ordine superiore
Esercizi
Derivate direzionali e continuità
La derivata totale
Il gradiente di un campo scalare
Una condizione sufficiente per la differenziabilità
Esercizi
Regola di derivazione delle funzioni composte per campi scalari
Applicazioni alla geometria. Insiemi di livello. Piani tangenti
Esercizi
Derivate dei campi vettoriali
La differenziabilità implica la continuità
La regola di derivazione delle funzioni composte per le derivate dei campi vettoriali
5.21 Forma matriciale della regola di derivazione delle funzioni composte
5. 22 Esercizi
5.23 Condizioni sufficienti per l'uguaglianza delle derivate parziali miste
5.24 Esercizi di ricapitolazione
5.1
5.2
5. 3
5.4
5. 5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5. 14
5.15
5.16
5. 17
5.18
5.19
5.20
6 Applicazioni del calcolo differenziale, 232
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
Equazioni alle derivate parziali
Un'equazione alle derivate parziali del primo ordine a coefficienti costanti
Esercizi
L'equazione delle onde in una dimensione
Esercizi
Derivate di funzioni definiti implicitamente
Esempi
Esercizi
Punti di massimo, punti di mm1mo e punti di sella
Formula di Taylor del secondo ordine per i campi scalari
La natura di un punto stazionario determinata per mezzo degli autovalori della
matrice hessiana
6.12 Test delle derivate s~conde per estremi di funzioni di due variabili
6. 13 Esercizi
6.14 Estremi vincolati. Moltiplicatori di Lagrange
6.15 Esercizi
6.16 Il teorema swgli estremi per campi scalari continui
6.17 li teorema delle piccole oscillazioni per campi scalari continui (uniforme continuità)
7 Integrali curvilinei, 274
7.1
7.2
7.3
Introduzione
Traiettorie e integrali curvilinei
Altre notazioni per gli integrali curvilinei
...
vm
7.4
7. 5
7.6
7. 7
7.8
7. 9
7.10
7. 11
7.12
7. I 3
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7. 19
7.20
7.21
Indice
Proprietà fondamentali degli integrali curvilinei
Esercizi
Il concetto di lavoro come integrale curvilineo
integrali curvilinei rispetto alla lunghezza d'arco
Ulteriori applicazioni degli integrali curvilinei
Esercizi
Insiemi aperti connessi. Indipendenza dalla traiettoria
Il secondo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali
Applicazioni alla meccanica
Esercizi
li primo teorema fondamentale del calcolo integrale per integrali curvilinei
Condizioni necessarie e sufficienti affinché un campo vettoriale sia un gradiente
Condizioni necessarie affinché un campo vettoriale sia un gradiente
Metodi particolari per costruire talune funzioni potenziali
Esercizi
Applicazioni alle equazioni differenziali esatte di primo ordine
Esercizi
Funzioni potenziale su insiemi convessi
8 Integrali multipli, 309
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.7
8.8
8. 9
8.1 O
3.11
8.12
8.13
8.14
8. 15
8.16
8.17
8. 18
8.19
8.20
8.21
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
8.29
8.30
8.31
8.32
8.33
8.34
Introduzione
Partizioni di rettangoli. Funzioni a scala
Integrale doppio di una funzione a scala
Definizione di integrale doppio di una funzione definita e limitata su un rettangolo
Integrali doppi superiore e inferiore
Calcolo di un integrale doppio mediante due integrazioni semplici successive
interpretazione geometrica dell'integrale doppio come volume
Esercizi svolti
Esercizi
Integrabilità delle funzioni continue
integrabilità di funzioni limitate discontinue
Integrali doppi estesi a regioni più generali
Applicazioni ad aree e volumi
Esempi svolti
Esercizi
Ulteriori applicazioni degli integrali doppi
Due teoremi di Pappo
Esercizi
li teorema di Green nel piano
Alcune applicazioni del teorema di Green
Una condizione necessaria e sufficiente perché un campo vettoriale a due dimensioni sia un gradiente
Esercizi
Teorema di Green per regioni molteplicemente connesse
L'indice di avvolgimento
Esercizi
Cambiamento di variabili in un integrale doppio
Casi particolari della formula di trasformazione
Esercizi
Dimostrazione della formula di trasformazione in un caso particolare
Dimostrazione della formula di trasformazione nel caso generale
Estensioni a dimensioni superiori
Cambiamento di variabili in un integrale n-uplo
f:sempi svolti
Esercizi
9 Integrali superficiali, 384
9.1
9.2
9. 3
9.4
Rappresentazione parametrica di una superficie
Prodotto vettoriale fondamentale
Il prodotto vettoriale fondamentale come vettore normale alla superficie
Esercizi
...
Indice
9.5
9.6
9.7
9.8
9. 9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9. 15
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
IX
Area di una superficie parametrica
Esercizi
Integrali superficiali
Cambiamento di rappresentazione parametrica
Altre notazioni per gli integrali superficiali
Esercizi
Il teorema di Stokes
H rotore e la divergenza di un campo vettoriale
Esercizi
Ulteriori proprietà del rotore e della divergenza
Esercizi
Ricostruzione di un campo vettoriale attraverso la conoscenza del suo rotore
Esercizi
Estensioni del teorema di Stokes
Il teorema della divergenza (teorema di Gauss)
Applicazioni del teorema della divergenza
Esercizi
Soluzione degli esercizi, 440
Indice analitico, 469
...
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CD
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larghissimo favore che ne ha accolto l'edizione
in lingua italiana - è dato dalla chiarezza dell'esposizione
che, mentre sviluppa in modo rigoroso l'analisi e
la geometria c,o me scienze deduttive, non perde mai di
vista la loro funzione di strumenti per la soluzione dei
problemi fisici e ingeg!"eristici.
In questo volume conclusivo, il cui contenuto corrisponde
alle esigenze di un secondo c,o rso di analisi matematica,
i vari concetti matematici sono oggetto di uno studio più
approfondito che spesso (vedi il capitolo sui sistemi
di equazioni differenziali) si serve del linguaggio
unificante dell'algebra lineare, già noto ai lettori del •
secondo volume Geometria, con risultati di grande
efficacia e semplicità.
Anche qui esempi e applicazioni accentuano il taglio
interdisciplinare del libro e ne aumentano le possibilità
di utilizzazione didattica.
Laureato a/l'Università di Washington, Tom M. Apostol insegna
dal 1950 al California lnstitute of Technology dove.è professore
di matematica. Il suo campo di maggiore interesse è la teoria
dei numeri, su cui ha scritto diversi articoli scientifici
e curato una pubblicazione collettiva.
...