LA MATEMATICA DEI POLIEDRI REGOLARI
“Essi simbolizzano il desiderio di Armonia e di ordine dell’uomo, ma nello stesso tempo la
loro perfezione desta in noi il senso della nostra impotenza. I poliedri regolari non sono
invenzioni della mente umana, perché esistevano molto tempo prima che l’uomo
comparisse sulla scena”.
M.C.Escher
Calcoliamo la superficie e il volume dei cinque poliedri regolari in funzione della lunghezza
del loro spigolo l. Ognuno di questi poliedri è inscrivibile e circoscrivibile a delle sfere,
aventi lo stesso centro, che è anche il centro (di simmetria) del poliedro stesso.
Calcoliamo, sempre in funzione dello spigolo l del poliedro, i raggi r e R di tali sfere.
Le fotografie presenti visualizzano lo sviluppo e la costruzione dei poliedri regolari,
realizzate con del cartoncino colorato.
IL CUBO O ESAEDRO
Il cubo è formato da sei quadrati
congruenti, quindi, dato lo spigolo l,
possiamo ricavare la superficie S e il
volume V.
La sfera inscritta è tangente a tutte le facce del cubo, per cui il suo diametro deve essere
pari allo spigolo . Per cui:
La sfera circoscritta deve passare per tutti i vertici del cubo, per cui
il suo diametro sarà dato da una delle diagonali del cubo, ad
esempio A’C.
√(
√
per cui
√
)
√
√
IL TETRAEDRO
Il tetraedro è formato da 4 triangoli
equilateri congruenti, quindi, dato lo
spigolo l possiamo calcolare la
superficie S e il volume V.
Sapendo che l’area di un triangolo
equilatero di lato l è dato da:
√
√
√
Per trovare il volume, devo conoscere l’altezza DH
della piramide. Essendo il tetraedro una piramide
regolare, il piede dell’altezza cade nel centro della
circonferenza inscritta nel triangolo equilatero di
base; quindi il punto H, piede dell’altezza VH è il
baricentro del triangolo ABC. Così H’, piede
dell’altezza AH’ del tetraedro rispetto la base
BCD, è il baricentro di tale faccia.
Il segmento AK, oltre che apotema (“altezza”)
della faccia ABC è anche mediana e quindi è
divisa da H in due parti di cui una doppia dell’altra:
e quindi:
√
√
√
e
.
Ricavo l’altezza:
√
√(√
)
(
√
)
√
√
√
√
√
√
Ora, sostituendo alla formula generale per trovare il volume di una piramide i valori
ottenuti, ricaviamo la formula del volume del tetraedro.
√
√
√
Osserviamo che, per ragioni di simmetria ,il centro della sfera inscritta e circoscritta al
tetraedro è il punto O, d’intersezione tra le altezze AK e AH’ della piramide stessa.
La sfera inscritta, dovendo essere tangente alle varie facce, avrà raggio dato da
OH=OH’=r mentre quella circoscritta, dovendo passare per i vertici del tetraedro, avrà
raggio dato da AO=OD=R
Il triangolo DHK è simile al triangolo DOH’ , per il I Criterio di Similitudine, avendo gli
angoli congruenti (infatti ̂ ̂
perché DH e AH’ sono altezze de tetraedro, l’angolo
̂ in comune, per cui anche il terzo angolo è congruente). Per cui posso scrivere una
proporzione:
DK : HK = DO : OH’
Essendo: DK =
, HK =
√
,
, OH’ = , sostituendo si
DO = √
ottiene:
√
√
√
√
√
da cui si ottiene:
√
√
e
√
√
L’OTTAEDRO
L’ottaedro è formato da 8
triangoli equilateri congruenti,
quindi, dato lo spigolo l, posso
ricavare la superficie S e il
volume V.
√
√
Per trovare il volume, considero il tetraedro come due piramidi a base quadrata avente la
base in comune. Devo prima dunque trovare l’altezza h1 di una di tali piramidi (sempre
usando il teorema delle tre perpendicolari)
√
√(√
)
(
)
√
√
Da cui si può ricavare il volume
√
√
Determiniamo ora il raggio della circonferenza inscritta e
circoscritta all’ottaedro; il loro centro comune è il punto O,
piede dell’altezza VO. La sfera circoscritta deve avere come
diametro la distanza tra due qualunque vertici del tetraedro.
Per cui il suo raggio R sarà dato da CO:
√
Sia OG il raggio della sfera inscritta, essendo G il punto di tangenza con la faccia ABC.
OG è la distanza di O dalla faccia ABC e quindi dalla sua apotema CH; posso calcolare
OG come l’altezza, relativa all’ipotenusa CH del triangolo rettangolo COH. Chiamiamo
̂ ; nel triangolo rettangolo COH, per il Primo teorema sui triangoli rettangoli, si ha
√
√
√
√
da cui si ottiene:
√
√
L’ICOSAEDRO
L’icosaedro è formato da 20
triangoli equilateri, quindi dato lo
spigolo l possiamo calcolare la
superficie S e il volume V.
√
√
Per determinare il suo volume, oltre che i raggi delle sfere inscritte e circoscritte, andiamo
ad analizzare il legame di questo poliedro con la sezione aurea, prendendo spunto dalla
tecnica che il matematico Luca Pacioli ideò per costruirlo.
Vogliamo verificare che se si considerano tre rettangoli aurei con i lati congruenti, disposti
su 3 piani che si intersecano ortogonalmente, e uniamo i vertici di tali rettangoli, si ottiene
un icosaedro.
F
E
O
S
T
Bisogna dimostrare che il triangolo ABC è equilatero, sapendo che i suoi vertici sono quelli
di due triangoli aurei. Se BC=AF e CE=AT sono lati dei rettangoli aurei e poniamo
, sarà
; sia inoltre M il punto medio di BC, per cui
Essendo i due rettangoli aurei tra loro perpendicolari in D, il triangolo AMD è rettangolo in
D. Quindi per il Teorema di Pitagora: AM2 = MD2 +AD2
(
)
(
) ( )
(ricordando che
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Per il Teorema delle tre perpendicolari AM è perpendicolare a BC, per cui:
quindi ABC ha i tre spigoli congruenti:
: è un triangolo equilatero.
Quello che abbiamo dimostrato per ABC vale per ognuno dei venti triangoli che si possono
costruire con i vertici dei rettangoli aurei, per cui il solido costruito in tal modo è un
icosaedro.
Vogliamo determinare il raggio r della sfera inscritta nell’icosaedro e il raggio R di quella
circoscritta. Sia O è il punto di intersezione dei tre rettangoli aurei; per ragioni di simmetria
esso sarà il centro del poliedro e delle due sfere suddette. Sia OS la distanza di O dalla
faccia ABC.
̂
̂
̂
Il triangolo AMD è simile al triangolo OSM poiché: {
̂
̂
√
(
√
√
E quindi:
√ )
sostituendo
√
A
S
α
M
O
D
S
Invece il raggio R della sfera circoscritta all’icosaedro
è la metà della diagonale di uno dei
rettangoli aurei:
( )
( )
(
√
)
Per calcolare il volume, pensiamo
l’icosaedro come somma di venti
piramide a base triangolare (le facce
dell’icosaedro), la cui altezza è il raggio
della sfera inscritta.
ossia
√
(
√
(
√ )
√ )
che evidenzia un ulteriore legame
dell’icosaedro con la sezione aurea
√
√
IL DODECAEDRO
Anche il dodecaedro è un poliedro
le
cui
caratteristiche
sono
strettamente legate alla sezione
aurea. Innanzitutto le sue facce
sono pentagoni, il cui lato è
sezione aurea del raggio della
circonferenza in cui può essere
inscritto il poligono. Essendo il
dodecaedro un solido formato da
dodici pentagoni regolari, si avrà
che la sua superficie sarà data da:
Per calcolare l’area di un pentagono di lato l, osserviamo che esso è formato da cinque
triangoli isosceli ciascuno con l’angolo al centro
, dal momento che
,
per cui la sua area si può calcolare con riferimento alla figura qui riportata:
Utilizzando il secondo teorema sui triangoli rettangoli
esprimiamo l’altezza OH in funzione del lato CD=l. Quindi,
poiché
, risulta:
Ma
e
√
, quindi:
√
La superficie del dodecaedro sarà data da:
√
√
√
√
Vogliamo determinare l’ampiezza, che indicheremo con
, di un angolo driedro del
dodecaedro.
Ricordiamo che si chiama angolo diedro, o semplicemente diedro, ciascuna delle due parti
di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine, compresi i semipiani. Ad
ogni spigolo di un poliedro resta perciò associato un driedro, detto driedro del poliedro,
individuato dalle due facce che contengono quello spigolo. Tagliando un driedro con un
piano perpendicolare al suo bordo (in questo caso allo spigolo del dodecaedro), si
determina su tale piano un angolo, che è detto sezione normale del driedro. Piochè le
sezioni normali di uno stesso driedro sono congruenti, l’ampiezza dell’angolo driedro sarà
data dalla sua sezione normale.
Congiungendo tre vertici di un dodecaedro DST, si
ottiene una piramide che ha il vertice V in uno dei
vertici del dodecaedro e che ha per base il triangolo
DST equilatero di lato
(infatti i lati di DST sono le
diagonali dei tre pentagoni che concorrono nello
stesso vertice V e sappiamo che il lato l del
pentagono è sezione aurea della sua diagonale); gli
spigoli delle facce laterali di tale piramide, essendo
tre spigoli del dodecaedro, misurano .
Consideriamo lo spigolo VD di tale piramide e
l’angolo driedro ad esso associato, individuato dalle
due facce che lo contengono, VDS e VDT. Tagliamo l’angolo driedro con un piano
perpendicolare a VD che incontra in B e A rispettivamente gli spigoli di base SD e TD. La
sezione normale del driedro, di cui cerchiamo l’ampiezza, è data dall’angolo ̂
V
S
H
T
La piramide DSTV è retta e quindi il piede dell’altezza VH cade nel baricentro del triangolo
equilatero di base. Possiamo calcolare l’altezza VH, applicando il Teorema di Pitagora al
triangolo VHT, dove
e
√
triangolo equilatero):
√
(
√
)
√
(proprietà delle mediane di un
√
Consideriamo il triangolo TVD, isoscele di base
e lati
̂
con
e applichiamo il teorema dei seni a tale triangolo si ha:
; se indichiamo
√
(
)
Consideriamo il triangolo ACD; essendo ACB la sezione normale del driedro, CA è
perpendicolare allo spigolo CD; per cui si ha:
Indichiamo con E il piede della perpendicolare al piano TDS condotta da C; E appartiene
alla bisettrice DH del triangolo equilatero di base e quindi ̂
; per cui nel triangolo
rettangolo AED si ha:
Facendo il rapporto tra le due relazioni trovate si ha:
Consideriamo ora il triangolo rettangolo CEA; risulta
Possiamo ora determinare il
̂
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Il volume del dodecaedro può essere calcolato come la somma del volume di 12 piramidi,
che hanno per base una delle facce pentagonali del solido e per altezza il raggio della
sfera inscritta nel solido stesso. In figura è rappresentata una di queste piramidi.
O
O’
In figura è rappresentata una di queste piramidi. Sia O il centro sfera inscritta e
circoscritta, OO’ il raggio sfera inscritta e OB il raggio sfera circoscritta.
Consideriamo il triangolo rettangolo O’AB, avente come cateto l’apotema O’A del
pentagono; dato che l’ampiezza di un angolo interno del pentagono regolare è di 108°,
l’angolo ̂
e l’angolo ̂
, risulta:
Ricordiamo che l’angolo ̂
, per cui nel triangolo OAO’:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Per trovare il raggio BO della circonferenza circoscritta, applichiamo Pitagora al triangolo
O’OB
:
√
√
√
√
√ (
√
(
(
essendo
√
√
)
)
)
√ )
(
√
√
√
√
(√
√
)
√ (√
)
Possiamo ora calcolare il volume del dodecaedro somma del volume di 12 piramidi a base
pentagonale aventi altezza pari il raggio della sfera inscritta.
√
√
√
√
√ )
(
√
Il legame del dodecaedro con la
sezione aurea si evidenzia
anche con il fatto che:
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√(
√
√
√ )
√
