ILL: Logica Lineare Intuizionista
Simona Ronchi Della Rocca
Le formule di ILL sono costruite con la grammatica seguente:
A ::= a | A ( A | A ⊗ A | A&A | A ⊕ A |!A
dove a appartiene a un insieme numerabile di variabili. Le formule saranno
denotate da A, B, C. Una formula del tipo !A è detta modale, altrimenti è detta
lineare.
Considereremo le deuzioni modulo la regola di scambio, quindi un contesto
è un multinsieme di formule, quindi i contesti sono definiti modulo la regola
strutturale di scambio. I contesti sono denotati da Γ, ∆. !Γ denota un contesto
in cui tutte le formule sono modali.
IIL come calcolo dei sequenti
Γ`A
∆, A ` B
(Ax)
(cut)
A`A
Γ`A
Γ, ∆ ` B
Γ, A ` B
B, ∆ ` C
(( L)
(( R)
Γ, A ( B, ∆ ` C
Γ`A(B
Γ, A, B ` C
Γ`A
(⊗L)
Γ, A ⊗ B ` C
Γ`A
(&L)
Γ, A&B(B&A) ` C
Γ`B
(&R)
Γ ` A&B
Γ, B ` C
Γ`A
(⊕L)
Γ, A ⊕ B ` C
(⊕R)
Γ ` A ⊕ B(B ⊕ A)
Γ, A ` B
!Γ ` A
(!L)
Γ, !A ` B
Γ`B
(⊗R)
Γ, ∆ ` A ⊗ B
Γ, A(B) ` C
Γ, A ` C
∆`B
(!R)
!Γ `!A
Γ, !A, !A ` B
(W )
(C)
Γ, !A ` B
Γ, !A ` B
Cut-elimination
Teorema 1 ILL gode della proprietà dell’eliminazione del taglio, cioè se Γ `
A, allora esiste una dimostrazione senza tagli che prova Γ ` A.
Non si darà qui la dimostrazione completa, ma solo la trattazione dei vari
casi. La dimostrazione completa è del tutto simile al caso intuizionista.
1
1. La formula di taglio non è creata dalle ultime regole prima del cut.
∆0 , A ` B 0
Γ0 ` A
(R0 )
(R)
Γ`A
A, ∆ ` B
(cut)
Γ, ∆ ` B
si riscrive in:
Γ0 ` A
A, ∆0 ` B 0
(cut)
Γ0 , ∆ 0 ` B 0
(R, R0 )
Γ, ∆ ` B
dove (R, R0 ) indica l’applicazione della regole (R) seguita dall’applicazione
della regola (R0 ).
2. Introduzione destra e sinistra dello stesso connettivo. La trattazione è
simile a quella dei casi simili nella logica intuizionista. Vediamo ad esempio
il caso dell’implicazione lineare.
Θ, A ` B
Γ`A
B, ∆ ` C
(( R)
(( L)
Θ`A(B
Γ, A ( B, ∆ ` C
(cut)
Γ, ∆, Θ ` C
si riscrive in:
Γ`A
Θ, A ` B
(cut)
Γ, Θ ` B
B, ∆ ` C
(cut)
Γ, ∆, Θ ` C
3. Regole che coinvolgono la modalità.
3.1
Γ, A ` B
!∆ ` A
(!R)
Γ, !A ` B
(!L)
!∆ `!A
(cut)
Γ, !∆ ` B
si riscrive in:
!∆ ` A
Γ, A ` B
(cut)
Γ, !∆ ` B
3.2
!∆ ` A
Γ, !A, !A ` C
(!R)
!∆ `!A
(C)
Γ, !A ` C
(cut)
Γ, !∆ ` C
si riscrive in:
!∆ `!A
Γ, !A, !A ` C
(cut)
!∆, Γ, !A ` C
!∆ `!A
(cut)
!∆, !∆, Γ ` C
(C, ..., C)
Γ, !∆ ` C
2
dove (C, ..., C) denota il numero di applicazioni della regola (C) necessario per contrarre tutte le formule di !∆.
3.3
!Γ ` A
(!R)
!Γ `!A
∆`B
(W )
∆, !A ` B
(cut)
!Γ, ∆ ` B
si riscrive in:
∆`B
(W, ..., W )
!Γ, ∆ ` B
dove (W, ..., W ) denota il numero di applicazioni della regole (W )
necessario per introdurre tutte le formule di !∆.
ILL come deduzione naturale Il problema del disegno della deduzione naturale per ILL è discusso in [1]. Il problema è la regola di introduzione della
modalità, che conservata in deduzione naturale fa perdere la proprietà di sostituzione. Qui è illustrata una proposta.
(Ax)
A`A
Γ`A(B
∆`A
Γ, A ` B
(( E)
(( I)
Γ, ∆ ` B
Γ`A⊗B
Γ`A(B
∆, A, B ` C
Γ`A
(⊗E)
Γ, ∆ ` C
Γ ` A&B
Γ`A
(&E)
Γ`B
(&I)
Γ ` A&B
∆`A⊕B
Γ, A ` C
Γ, B ` C
Γ`A
(⊕E)
Γ, ∆ ` C
(⊕I)
Γ ` A ⊕ B(B ⊕ A)
Γi `!Ai
(1 ≤ i ≤ n)
!A1 , ..., !An ` A
(!E)
(!I)
Γ`A
Γ`B
(⊗I)
Γ, ∆ ` A ⊗ B
Γ ` A(B)
Γ `!A
∆`B
Γ1 , ..., Γn `!A
Γ, !A, !A ` B
(W )
(C)
Γ, !A ` B
Γ, !A ` B
Denoteremo con `N e `S la derivabilità nella deduzione naturale e nel calcolo
dei sequenti, rispettivamente.
Teorema 2 (Equivalenza) Γ `N A se e solo se Γ `S A.
La dimostrazione, in entrambe le direzioni, è per induzione sulla derivazione.
Γ `S A implica Γ `N A.
3
Le introduzioni a destra, tranne per la modalità, rimangono invariate. Daremo
solo qualche esempio per le introduzioni a sinistra e per la modalità.
Se l’ultima regola è:
Γ, A, B `S C
(⊗L)
Γ, A ⊗ B `S C
assumiamo per ipotesi induttiva che Γ, A, B `N C. La corrispondente derivazione
in `N è:
A ⊗ B `N A ⊗ B Γ, A, B `N C
(⊗E)
Γ, A ⊗ B `N C
Se l’ultima regola è:
!Γ `S A
(!R)
!Γ `S !A
e !Γ = {!Ai | 1 ≤ i ≤ n}, assumiamo per ipotesi induttiva che !Γ `N A. la
corrispondente derivazione in `N è:
!Ai `N !Ai
!A1 , ..., !An `N A
(1 ≤ i ≤ n)
(!I)
!Γ `N !A
Se l’ultima regola è:
Γ, A `S B
(!L)
Γ, !A `S B
per induzione sia π una derivazione di Γ, A `N B. La derivazione voluta si
ottiene rimpiazzando in π ogni assioma A `N A con la derivazione seguente:
!A `N A
(!E)
.
!A `N A
Γ `N A implica Γ `S A.
Le introduzioni a destra, tranne per la modalità, rimangono invariate. Daremo
solo qualche esempio per le introduzioni a sinistra e per la modalità.
Se l’ultima regola è:
Γ `N A ⊗ B
∆, A, B `N C
(⊗E)
Γ, ∆ `N C
assumiamo per ipotesi induttiva che Γ `S A ⊗ B e ∆, A, B `S C. La derivazione
voluta è:
∆, A, B `S C
(⊗L)
∆, A ⊗ B `S C
Γ `S A ⊗ B
(cut)
Γ, ∆ `S C
Se l’ultima regola è:
Γi `N !Ai
!A1 , ..., !An `N A
(1 ≤ i ≤ n)
(!I)
Γ1 , ..., Γn `N !A
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per ipotesi induttiva Γi `S !Ai
voluta è:
(1 ≤ i ≤ n) e !A1 , ..., !An `S A e la derivazione
Γ1 `S !A1
!A1 , ..., !An `S A
(cut)
Γ2 `S !A2
Γ1 , !A2 , ..., !An `S A
(cut...cut)
Γ1 , ..., Γn `S !A
normalizzazione La deduzione naturale gode di una parziale proprietà di
normalizzazione, derivante dal fatto che la sostituzione non sempre è corretta:
l’anomalia si presenta nel caso di una formula modale introdotta con il weakening.
Teorema 3 Sia π una deduzione che prova Γ, A `N B e ∆ `N A. Se A non
è stata introdotta in π con un weakening, allora Γ, ∆ `N B. Altrimenti, se A è
stata introdotta con un weakening e (A modale implica che tutte le formule in
∆ sono modali) allora Γ, ∆ `N B.
Daremo qui solo una dimostrazione intuitiva. Siano π1 e π2 le derivazioni che
provano rispettivamente Γ, A `N B e ∆ `N A. Se A è lineare, allora in π1
esiste un solo assioma A `N A, che si può rimpiazzare con la derivazione π2 ,
ottenendo una derivazione di Γ, ∆ `N B. Se invece A =!C, possiamo avere in
π1 :
1. alcuni assiomi del tipo !C `N !C;
2. una regola di weakening che introducono !C a sinistra.
Quindi:
1. se ∆ =!∆0 , posso sostituire π2 a !C `N !C in π1 e ottengo ancora una
derivazione corretta. Ma se ∆ non è modale, posso rimpiazzare l’assioma
con la regola:
∆ `N !A !A `N !A
(!I)
∆ `N !A
2. separiamo il caso in due sottocasi:
2.1 se ∆ =!∆0 e la regola di weakening in π1 è:
Γ `N B
(W )
Γ, !C `N B
allora posso inserire, con tanti weakening quanto è necessario, tutte
le formule di ∆, ottenendo cosı̀ una derivazione che prova Γ, ∆ `N B.
2.2 se ∆ non è composto tutto di formule modali, questo non è possibile,
visto che con la regola (W ) si possono aggiungere solo formule modali.
Definiamo il sistema ILLA (Logica Lineare Intuizionista Affine) come ILL, in
deduzione naturale, con la regola (W ) non ristretta alle formule modali, cioè:
Γ`B
Γ, A ` B
5
(W )
Come nel caso intuizionista, una derivazione è normale se non contiene una
introduzione di un connettivo immediatamente seguita dall’eliminazione dello
stesso connettivo. Vale il seguente teorema:
Teorema 4 (Normalizzazione) ILLA è normalizzabile.
Infatti in questo caso il punto 2.2 precedente si può risolvere come il punto 2.1.
References
[1] Simona Ronchi Della Rocca and Luca Roversi, Lambda calculus and Intuitionistic Linear Logic ,Studia Logica,59,3, 1997.
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