1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi Prima di

1 - Estremo superiore ed estremo inferiore di insiemi
Prima di affrontare gli esercizi su estremo superiore ed inferiore,
ricordiamo alcune definizioni ed alcuni teoremi che ci verranno utili.
Definizione 1. Sia E un sottoinsieme di R. Definiamo M(E), l’insieme dei maggioranti di E, come segue:
M(E) = {y ∈ R : y ≥ x, ∀x ∈ E}.
Definiamo N (E), l’insieme dei minoranti di E, come segue:
N (E) = {y ∈ R : y ≤ x, ∀x ∈ E}.
Osserviamo che affermare che M(E) 6= ∅ è equivalente a dire che esiste
M in R tale che M sia più grande di tutti gli elementi di E, il che
è equivalente a dire che E è limitato superiormente. Analogamente,
N (E) 6= ∅ se e solo se esiste N in R tale che N sia più piccolo di tutti
gli elementi di E, ovvero se e solo se E è limitato inferiormente.
Definizione 2. Sia E un sottoinsieme di R: un numero reale x appartentente sia ad E che a M(E) si dice massimo di E (e viene indicato
da max(E)); un numero reale x appartenente sia ad E che a N (E) si
dice minimo di E (e viene indicato da min(E)).
Teorema 3. Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente: allora esiste il minimo di M(E). Sia E un sottoinsieme di R limitato
inferiormente: allora esiste il massimo di N (E).
Definizione 4. Sia E un sottoinsieme di R limitato superiormente.
Definiamo l’estremo superiore di E come il minimo di M(E):
sup(E) = min M(E).
Analogamente, se E è un sottoinsieme di R limitato inferiormente,
definiamo l’estremo inferiore di E come il massimo di N (E):
inf(E) = max N (E).
Se E non è limitato superiormente (vale a dire, se M(E) è vuoto),
definiamo
sup(E) = +∞.
Se E non è limitato inferiormente (vale a dire, se N (E) è vuoto),
definiamo
inf(E) = −∞.
1
2
Teorema 5. Siano E ed F due sottoinsiemi di R con E ⊆ F . Allora
si ha
inf(F ) ≤ inf(E) ≤ sup(E) ≤ sup(F ).
Inoltre,
sup(E ∪ F ) = max(sup(E), sup(F )), inf(E ∪ F ) = min(inf(E), inf(F )).
Il Teorema 2 è particolarmente utile nel caso in cui gli elementi di E
si possano “suddividere” in vari gruppi; se, ad esempio,
nπ 1
E=
sin
, n∈N ,
n
2
essendo sin nπ
= 0 se n è pari, ed essendo sin nπ
= (−1)k se n =
2
2
2k − 1 è dispari, possiamo scrivere
E = E1 ∪ E2 ∪ E3 ,
con
nπ 1
sin
, n ∈ N, n pari = {0},
E1 =
n
2
1
E2 =
, k ∈ N, k pari ,
2k − 1
e
1
, k ∈ N, k dispari ,
E3 = −
2k − 1
e calcolare estremo superiore ed inferiore di Ei (con i = 1, 2, 3); successivamente, si tratterà di “incollare” i risultati usando il Teorema 2.
Già, ma come calcolare estremo superiore ed inferiore di E2 ed E3
(per E1 il calcolo dovrebbe essere facile. . .)? Ci viene in soccorso il
seguente teorema.
Teorema 6. Sia
E = {an , n ∈ N},
l’insieme dei valori assunti da una successione an di numeri reali. Se la
successione an è monotona crescente, ovvero se an+1 ≥ an per ogni
n in N, si ha
inf(E) = min(E) = a1 ,
sup(E) = lim an .
n→+∞
Analogamente, se an è monotona decrescente, ovvero se an+1 ≤ an
per ogni n in N, si ha
sup(E) = max(E) = a1 ,
inf(E) = lim an .
n→+∞
3
Osservazione 7. Se la successione che definisce l’insieme non è tutta
monotona, ma lo è solo “da un certo punto in poi” (ad esempio: si ha
an+1 ≥ an solo se n ≥ n0 ) il procedimento corretto da seguire sfrutta
il Teorema 2 ed il Teorema 3. Se, infatti,
E = {an , n ∈ N},
possiamo scrivere
E = E1 ∪ E2 ,
con
E1 = {a1 , a2 , . . . , an0 −1 }, E2 = {an0 , an0 +1 , . . .} = {an , n ≥ n0 }.
Siccome E1 ha un numero finito di elementi, sarà facile calcolarne il
massimo (il numero più grande in E1 ) ed il minimo (il numero più
piccolo in E1 ); per il Teorema 3, inoltre,
inf(E2 ) = an0 ,
sup(E2 ) = lim an .
n→+∞
A questo punto, grazie al Teorema 2, avremo
inf(E) = min(min(E1 ), an0 ), sup(E) = max(max(E1 ), lim an ),
n→+∞
con ovvie modificazioni nel caso in cui an sia monotona descrescente a
partire da un certo indice n0 in poi.
Osservazione 8. Un errore molto comune che si commette affrontando esercizi sul calcolo dell’estremo superiore ed inferiore di insiemi
definiti tramite successioni consiste nel “confondere” l’insieme dei valori
della successione con l’insieme dei numeri naturali. Quando si scrive
E = {an , n ∈ N},
si intende dire che E è l’immagine di N tramite la successione a: se —
ad esempio — an = n1 , allora
1 1 1
E = {an , n ∈ N} = 1, , , , . . . ;
2 3 4
n
se an = 1 + n1 , allora
( )
2
3
4
3
4
5
E = {an , n ∈ N} = 2,
,
,
,... .
2
3
4
Svolgere l’esercizio consiste nel calcolare l’estremo inferiore e superiore
di questi valori: l’indice n è solo un “parametro” che non va preso in
considerazione ai fini del calcolo.
4
Dai teoremi precedenti appare chiaro che uno dei concetti fondamentali per il calcolo di estremo superiore ed inferiore di insiemi definiti
tramite successioni è la monotonia della successione. Come si fa a dimostrare che una successione è monotona (o lo è a partire da un certo
punto in poi)? I metodi sono, essenzialmente, due:
Metodo 1. Si usa la definizione di monotonia; vale a dire si cercano
i valori di n per i quali è soddisfatta la relazione an+1 ≥ an . In altre
parole, si risolve una disequazione tra numeri reali.
Metodo 2. Se la successione è del tipo an = f (n), ovvero i valori della
successione sono ottenuti come i valori assunti su N da una funzione
reale di variabile reale f (x), allora si può studiare la monotonia della
successione studiando il segno della derivata prima di f (x). Di nuovo,
si tratta di risolvere una disequazione tra numeri reali.
Quale dei due scegliere? In alcuni casi può convenire il primo metodo, in altri il secondo. In generale, se il calcolo della derivata prima
della funzione f è semplice, conviene il secondo; se è complicato, probabilmente (ma non necessariamente. . .) l’esercizio è stato “pensato”
per essere svolto usando il primo metodo. In ogni caso la monotonia
va dimostrata: non basta (ed è anzi un errore) calcolare alcuni dei
valori della successione, osservare che sono “ordinati” e “dedurne” che
la successione è monotona.
Bando alle ciance, e passiamo alla pratica.
Esercizio 1. Dato l’insieme
n−3
, n∈N ,
E=
n2 + 2n + 5
calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano
rispettivamente massimo e minimo.
Svolgimento. Siccome gli elementi dell’insieme sono gli elementi della
x−3
successione an = f (n), con f (x) = x2 +2x+5
, studiamo la monotonia
della successione studiando il segno della derivata prima di f (x). Si ha
x2 − 6x − 11
.
(x2 + 2x + 5)2
Dal momento che il denominatore di f 0 (x) è sempre positivo e non si
annulla mai, si ha
√
√
f 0 (x) ≥ 0 ⇐⇒ x2 − 6x − 11 ≤ 0 ⇐⇒ 3 − 20 ≤ x ≤ 3 + 20.
√
Essendo 3 − 20 negativo, ed interessandoci solo i valori maggiori di 1
per x (dato che i numeri naturali partono da 1), abbiamo che f (x) è
f 0 (x) = −
5
√
monotona
3 + 20, e monotona decrescente per
√ crescente per 1 ≤ x ≤ √
x > 3 + 20. Dal momento che 20 ≈ 4.5, abbiamo che an = f (n) è
crescente per n ≤ 7, decrescente per n ≥ 8. In altre parole,
a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ a7 ,
a8 ≥ a9 ≥ . . . ≥ an ≥ . . .
A questo punto, memori del Teorema 6 (e della successiva Osservazione 7), “spezziamo” l’insieme E nell’unione disgiunta di due insiemi:
E = E1 ∪ E2 , con
E1 = {an , n ≤ 7},
E2 = {an , n ≥ 8}.
Per il Teorema 6 abbiamo
1
inf (E1 ) = min (E1 ) = a1 = − ,
4
sup (E1 ) = max (E1 ) = a7 =
1
,
17
e
1
, inf (E2 ) = lim an = 0.
n→+∞
17
Grazie al Teorema 5, possiamo concludere l’esercizio:
sup (E2 ) = max (E2 ) = a8 =
1
1
inf (E) = min (E) = min(− , 0) = − ,
4
4
e
sup (E) = max (E) = max(
1 1
1
, )= .
17 17
17
Esercizio 2. Dato l’insieme
(−1)n
E=
,n ∈ N ,
n2 − 3n + 3
calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano
rispettivamente massimo e minimo.
Svolgimento. Innanzitutto, ed a causa del termine (−1)n , la successione che definisce l’insieme può essere “spezzata” in due parti a seconda
del valore (pari o dispari) di n. Otteniamo cosı̀:
1
−1
E = E1 ∪ E2 =
, n pari ∪
, n dispari .
n2 − 3n + 3
n2 − 3n + 3
A questo punto — grazie al Teorema 5 — è sufficiente calcolare estremo superiore ed inferiore di E1 ed E2 per poi “incollare” i risultati.
Partiamo da E1 e studiamo la monotonia della successione
1
.
an = 2
n − 3n + 3
6
Inizialmente studiamo la monotonia di tale successione su tutti i naturali. Dovremo però ricordarci che i risultati vanno “letti” solo per
valori pari di n. Per la motonia, o risolviamo la disequazione
1
1
an+1 ≥ an ⇐⇒
≥
,
(n + 1)2 − 3(n + 1) + 3
n2 − 3n + 3
1
oppure, dato che an = f (n) con f (x) = x2 −3x+3
, studiamo la disequazione
2x − 3
≥ 0.
f 0 (x) ≥ 0 ⇐⇒ − 2
(x − 3x + 3)2
È evidente che la seconda disequazione è ben più facile della prima (per
poter risolvere la prima serve studiare anche il segno del denominatore),
per cui scegliamo il secondo metodo. Si ha, essendo il denominatore
positivo e sempre differente da zero,
3
f 0 (x) ≥ 0 ⇐⇒ 3 − 2x ≥ 0 ⇐⇒ x ≤ .
2
Pertanto, la funzione è crescente in (−∞, 32 ) e decrescente in ( 23 , +∞).
Siccome an coincide con f (n) solo per n pari, e siccome tutti i numeri
pari cadono nell’intervallo ( 23 , +∞), abbiamo f (n) ≥ f (n + 2) per ogni
n pari, e quindi an ≥ an+2 per ogni n pari. Pertanto
sup (E1 ) = max (E1 ) = a2 = 1,
inf (E1 ) = lim an = 0.
n→+∞
Passiamo ora ad E2 , e studiamo la monotonia della successione
−1
bn = 2
.
n − 3n + 3
Essendo evidentemente bn = −an , la successione bn sarà monotona
crescente dove an era decrescente e viceversa. Avremo quindi che bn è
monotona decrescente per n ≤ 32 , monotona crescente per n ≥ 32 . Dal
momento che di valori interi minori di 23 c’è solo n = 1, abbiamo da una
parte il valore b1 = −1, e dall’altra i valori b3 ≤ b5 ≤ . . . (ricordiamoci
che vanno considerati solo i valori dispari di n). A questo punto è
necessario “spezzare” ulteriormente i valori di E2 , lasciando da una
parte il valore isolato b1 e mettendo dall’altra tutti i valori di bn con
n dispari maggiore di 3. Per questo secondo insieme (che battezziamo
E3 ), abbiamo
1
inf (E3 ) = min (E3 ) = b3 = − , sup (E3 ) = lim bn = 0.
n→+∞
3
Pertanto, grazie ancora al Teorema 5, abbiamo
inf (E2 ) = min (E2 ) = min (b1 , inf (E3 )) = −1,
7
e
sup (E2 ) = max(b1 , sup (E3 )) = 0.
A questo punto possiamo concludere l’esercizio: si ha
sup (E) = max(sup (E1 ), sup (E2 )) = max(1, 0) = 1,
e
inf (E) = min(inf (E1 ), inf (E2 )) = min(0, −1) = −1.
Dal momento che entrambi i valori sono assunti (uno per n = 2, l’altro
per n = 1), 1 e −1 sono rispettivamente massimo e minimo di E. Esercizio 3. Data lasuccessione
n−3

se n è pari,
an =
4n + 4
exp(−(n − 5)2 ) se n è dispari,
calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano
rispettivamente massimo e minimo.
Svolgimento. Come nell’esercizio precedente, consideriamo prima i
valori di an per n pari, e successivamente i valori di an con n dispari.
Sempre allo scopo di applicare il Teorema 6, studiamo la monotonia
n−3
x−3
della successione bn = 4n+4
. Se associamo a bn la funzione f (x) = 4x+4
,
0
calcolando f (x) si ha
1
f 0 (x) =
,
(x + 1)2
che è positiva per ogni x ≥ 1. Ne consegue che la successione bn è
monotona crescente, e quindi che (grazie al Teorema 6)
1
1
inf{an , n pari} = a2 = − , sup{an , n pari} = lim an = .
n→+∞
12
4
Per quanto riguarda i valori della successione per n dispari, studiamo
la monotonia della successione cn = exp(−(n − 5)2 ). Senza bisogno di
fare derivate, osserviamo che siccome −(n − 5)2 è monotona crescente
per n ≤ 5 e decrescente successivamente, la monotonia della funzione
esponenziale implica che
c1 ≤ c2 ≤ c3 ≤ c4 ≤ c5 ≥ c6 ≥ c7 ≥ . . . cn ≥ . . .
Pertanto, il massimo della successione cn è c5 = 1, mentre l’estremo
inferiore è il più piccolo tra c1 = exp(−16) ed il limite a più infinito di
cn (che vale 0), vale a dire 0. Pertanto, l’estremo inferiore di an per n
dispari è 0 (che non è un minimo), mentre l’estremo superiore è 1 (che
è un massimo). Mettendo insieme i risultati ottenuti per n pari e per
n dispari si trova che il minimo di an è − 12 , mentre il massimo è 1.
8
A questo punto, passo la mano
©
Esercizio 4. Dati gli insiemi
2
n
A = (−1) 7 −
arc tg(n), n ∈ N ,
n
2
n + 3n − 3
B = log
, n∈N ,
n2 + 1
1
C = (1 − cos(nπ))n + , n ∈ N ,
n
5n + 7
1
n
, n∈N ∪
, n∈N ,
D = (−1) cos
n
2n + 1
n−1
E = {exp(−n), n ∈ N} ∪
, n∈N ,
n
2
1
F = n − 8n + 12, n ∈ N ∪ − , n ∈ N ,
n
2
2
, n∈N ,
G = arc tg(n − 4n + 5), n ∈ N ∪
n2 − 6n + 10
1
H=
, p primo ,
p
calcolarne estremo superiore ed estremo inferiore, specificando se siano
rispettivamente massimo e minimo.