TRASMISSIONE DEL CALORE

UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Fisica Tecnica G. Grazzini
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TRASMISSIONE DEL CALORE
INTERAZIONE ENERGIA MATERIA
II°Principio Termodinamica → Q passa da T1 a T2 con T1 > T2
La trasmissione dell'energia termica è influenzata non solo dalla differenza di temperatura
ma anche dai corpi particolari coinvolti negli scambi, così come in parte si è visto
considerando la capacità termica. Questa caratteristica non si riferisce propriamente a
fenomeni di trasporto dell'energia, che invece vengono distinti in tre modalità diverse:
1) Conduzione, quando il trasporto è dovuto al contatto e solo alle caratteristiche del
materiale, avviene al suo interno e non si ha movimento di masse.
2) Convezione, quando l'energia si trasmette come per la conduzione, ma si ha anche lo
spostamento di masse.
3) Irraggiamento, quando l'energia viene emessa dai corpi sotto forma di radiazioni
elettromagnetiche.
4) Ebollizione-Condensazione come convezione ma con cambiamento di fase
Sono quindi le diverse caratteristiche dei materiali che condizionano le modalità di
trasmissione dell'energia termica.
In generale tali modalità saranno presenti contemporaneamente e si influenzeranno
vicendevolmente; di solito si considera che possano essere analizzate separatamente.
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La Temperatura è uno Scalare
Il Flusso Termico
è un Vettore
Conduzione
Nel caso della viscosità abbiamo visto che lo sforzo tangenziale è dato da
 ∂u 

 ∂y 
τ xy == − µ 
Nel caso della trasmissione del calore, fino ad ora considerata in termodinamica senza
valutare le necessarie differenze di temperatura, J. B. Fourier introdusse, con una memoria
presentata all'Academie de France nel 1807, l'analoga "legge di Fourier":
q' =Q'/A= - k dT/dx
cioè il flusso termico q' è proporzionale, secondo una costante propria del materiale, al
gradiente termico lungo la direzione di propagazione del calore; per flusso si intende
l'energia termica che attraversa l'unità di superficie nell'unità di tempo.
Il segno negativo è legato al fatto di considerare positivo il calore che passa da una
temperatura superiore ad una inferiore, in accordo col secondo principio della
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termodinamica, e quindi nel senso negativo del gradiente di T; k può variare sia con la
temperatura che con la direzione, ma in generale lo si assume costante.
y
Derivazione dell'equazione della conduzione
q'x+dx
Si consideri, entro un corpo solido, un piccolo
elemento di materiale avente la forma di un
parallelepipedo rettangolo di spigoli dx, dy e dz
paralleli rispettivamente agli assi x, y e z. Per
ottenere un'equazione per la distribuzione di
temperatura, si scriva il bilancio di energia per z
l'elemento
potenza
termica
entrante
+
potenza termica
generata da
sorgenti interne
=
potenza
termica
uscente
q'x
dx
+
x
variazione dell'energia
interna nell'unità di
tempo
Tale bilancio può porsi nella forma simbolica
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(Q'x +Q' y +Q'z ) + q'g (dx⋅ dy⋅ dz) =
∂T
(Q'x+dx +Q' y+dy +Q'z+dz ) + c ⋅ ρ ⋅ (dx⋅ dy⋅ dz)
∂τ
in cui la potenza termica generata per unità di volume, q'g, e la temperatura, T, sono in
generale funzioni delle tre coordinate x, y, z e del tempo τ.
La potenza termica che nell'unità di tempo entra per conduzione nell'elemento
considerato lungo la direzione x attraverso la faccia di sinistra, Q'x, può essere scritta:
∂T 

Q'x =  − k
dydz
∂x 

Il gradiente di temperatura è espresso come derivata parziale perchè T è funzione non
solo di x ma anche di y, z e τ. La potenza termica conduttiva che esce dalla faccia di destra
a x+dx, Q'x+dx, e' data da:

∂T  ∂ 
∂T  
Q' x + dx =  − k
 + − k
dx  dydz
∂x  ∂x 
∂x  

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Sottraendo la potenza termica uscente dall'elemento da quella che vi entra, si ottiene:
 ∂T 
∂ k

∂x 
Q' x −Q' x + dx = 
dxdydz
∂x
ed analogamente per le direzioni y e x.
Sostituendo le relazioni ottenute nel bilancio di energia e dividendo ciascun termine
per dxdydz, si ha:
∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
∂T
 +  k
k
 +  k
 + q' g = cρ
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
∂τ
se il calore specifico e la densità sono indipendenti dal tempo. Se anche k viene ritenuta
uniforme sulle tre direzioni, si può scrivere:
2
2
2
∂ T ∂ T ∂ T q ' g 1 ∂T
+ 2 + 2 +
=
2
k
a ∂τ
∂x
∂y
∂z
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in cui la costante
a=k/cρ
è chiamata diffusività termica ed è misurata in m2/s.
Questa è l'equazione generale della conduzione del calore che, in assenza di
generazione diviene l'equazione di Fourier
2
2
2
∂ T ∂ T ∂ T 1 ∂T
+ 2 + 2 =
2
∂x
∂y
∂z
a ∂τ
Nel caso stazionario e con generazione si ha l'equazione di Poisson
2
2
2
∂ T ∂ T ∂ T q' g
+ 2 + 2 +
=0
2
∂x
∂y
∂z
k
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Nel caso stazionario e senza generazione l'equazione di Laplace :
2
2
2
∂T ∂T ∂T
+ 2 + 2 =0
2
∂x
∂y
∂z
2
2
2
esprimibile anche come
∇ T =0
2
∂
∂
∂
∇ = 2+ 2+ 2
dove:
∂x
∂y
∂z
2
Cambiando le coordinate di riferimento avremo:
2
In coordinate cilindriche
∂
1 ∂
2
2
2
1 ∂
∂
∇ = 2+
+ 2
+ 2
2
∂r
r ∂r r ∂ϕ
∂z
2
2
1
∂2
In coordinate sferiche ∇ 2 = ∂ + 2 ∂ + 1 ∂ + cot ϕ ∂ +
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2
r 2 ∂ϕ r 2 sin 2 ϕ ∂ψ 2
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Conduzione termica in regime stazionario
Le equazioni sopra espresse pongono problemi per la soluzione analitica anche
nell'ipotesi di stazionarietà; soluzioni semplici sono possibili solo se la particolare
geometria del sistema in esame consente di considerare il flusso termico q'
monodirezionale, in modo da prendere in esame solo una componente delle
equazioni. Limitiamo lo studio a materiali solidi, omogenei ed isotropi con
parametri indipendenti dalla temperatura.
Strato piano semplice
In assenza di generazione, per k indipendente da T, vale l'equazione di
Laplace e quindi se si ammette che il flusso termico avvenga solo in direzione x
(monodimensionale) si ha:
∂ 2T
=0
2
da cui
∂x
per x = 0, T = T1;
T = C1x + C2 ;
per
le condizioni al contorno sono
x = s, T = T2
per cui:
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C2= T1 ; C1= (T2 – T1) / s
da cui T = T1+(T2 – T1) x / s
La temperatura quindi varia linearmente con lo spessore.
Avremmo potuto integrare direttamente la legge di Fourier
separando le variabili ed ottenere:
T1
T2
q'= k(T1-T2)/s
Quindi se lo strato piano ha una superficie A il calore trasmesso nell'unità di tempo sarà:
Q'= (T2- T1)/(s/kA)
s
x
dove s/kA rappresenta la resistenza termica dello strato.
L'espressione del flusso termico è formalmente identica alla legge di Ohm
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I=∆V/R
per cui si ha la seguente analogia:
corrente elettrica
differenza di potenziale
resistenza elettrica
→
→
→
flusso di calore
differenza di temperatura
resistenza termica
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Parete piana omogenea ed isotropa con k=a+bT
d 
dT 
dT
(a + bT )  = 0 ⇒ (a + bT ) = A ⇒

dx 
dx 
dx
2
T
∫ (a + bT )dT = ∫ Adx ⇒ aT + b 2 = Ax + B
T12
T = T1 per x = 0 ⇒ B = aT1 + b
2
T22
T12
T = T2 per x = s ⇒ aT2 + b
= As + aT1 + b
2
2
a
b 2
cioè A = (T2 − T1 ) +
T2 − T12
s
2s
(
Posto
b>0
T1
T2
b<0
)
s
k1 + k 2
T1 + T2
= a+b
km =
2
2
x
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T −T
A = 2 1 km
s
T2
T12
T −T
da cui : aT + b
= aT1 + b
+ km 2 1 x
2
2
s
Q
dT
dT
T2 − T1
q = = −(a + bT )
; ma (a + bT )
= A=
km
S
dx
dx
s
T1 − T2
per cui q = k m
s
T1
T2
T3
Strato piano composto
Considerando la figura, in condizioni monodimensionali, nel
primo strato sarà
qa sa
qb sb
T1 − T2 =
; T2 − T3 =
ka
kb
per la conservazione dell'energia q=qa=qb e
sa
sb
x
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T1 − T2
T2 − T1
qa = k a
x
; Ta (x ) = T1 +
sa
sa
T2 − T3
T3 − T2
( x − sa )
qb = kb
; Tb (x ) = T2 +
sb
sb
sommando membro a membro si ottiene:
 s a sb 
T1 − T3
T1 − T3 = q +  e q =
s a sb
 k a kb 
+
k a kb
Con l'analogia elettrica si vede che equivale ad una serie di due resistenze
Rt= Ra+ Rb = (sa/ka + sb/kb)/A
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Strato cilindrico semplice
Assumendo come riferimento spaziale delle coordinate cilindriche, come si vede in
figura, potremo considerare la situazione monodimensionale lungo la direzione r, con le
proprietà del materiale e le distribuzioni di temperatura indipendenti dalla coordinata z e
dall'angolo ϕ.
Nuovamente potremo integrare l'equazione di Laplace,
espressa in coordinate cilindriche, con le condizioni al
L
contorno:
k = cost ; T = T1 per r = r1 ; T = T2 per r = r2 ;
per simmetria :
∂T
∂T
=0 ;
=0
∂ϕ
∂z
∂ 2T 1 ∂T
d  dT 
+
= 0 o anche
r
=0
2
∂r
r ∂r
dr  dr 
dT
dr
integrando : r
= A ; ∫ dT = A∫
da cui :
dr
r
r2
T1
r1
T2
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T = A ln r + B
A=
→
T1 = A ln r1 + B ; T2 = A ln r2 + B per cui :
T1 − T2
T −T
; B = T1 − 1 2 ln r1
r
r
ln 1
ln 1
r2
r2
e sostituendo si ottiene:
T1 − T2 r
T = T1 +
ln
r1
r1
ln
r2
La distribuzione di temperatura è di tipo logaritmico.
Il calore scambiato per unità di lunghezza è esprimibile come:
Q
dT
Q
T1 − T2
= −λ 2πr
= −λ 2π
cioè :
r
L
dr
L
ln 1
r2
Si poteva integrare direttamente l'equazione di Fourier che assume la forma:
q' = - k dT/dr che puo' essere scritta come Q/L = - k 2 π r dT/dr
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da cui si avrà, integrando dopo aver separato le variabili e considerando Q costante per la
conservazione dell'energia:
Q = L 2 π k (T1- T2)/ln(r2/r1)
La resistenza termica dello strato cilindrico al raggio r è data da:
R = ln(r/r1)/(2 π kL)
Procedendo in maniera analoga possiamo ricavare la quantità di calore scambiata
attraverso uno strato cilindrico composto. Si ottiene:
2πL(T1 − T2 )
(T1 − T2 )
Q=
=
ln(r / r1 ) ln(r2 / r ) R1 + R2
+
k1
k2
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Conduzione stazionaria con generazione
Piano
All'interno dello strato di figura, vi sia una generazione uniforme di calore qg per
unità di volume e di tempo. Nel nostro caso l'equazione di Poisson si riduce a:
2
2
d T/dx + qg/k = 0
Integrando si ha:
2
T = - qgx /2k +C1x - C2
che, imponendo il valore della temperatura T1 per x=s ed x=-s,
fornisce:
2
2
T = T1 + (s - x ) qg/2k
x
-s
0
s
L'andamento risulta quindi parabolico e la TMAX si ha per x = 0
2
TMAX = T1 + s qg/2k
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Cilindro
Esempio: conduttore percorso da corrente costante.
Il conduttore è cilindrico di raggio r0, lunghezza L, percorso da una corrente I ad
una tensione V e immerso in aria a temperatura Te. L'equazione di Poisson è:
d 2T 1 dT q g
V ⋅I
+
+
=
q
=
0
con
g
dr 2 r dr k
π ⋅ r02 ⋅ L ; moltiplicando per r
qg
d 2T dT
d  dT 
r = −r 2 −
= − r

k
dr
dr
dr  dr 
Integrando:
qg r 2
dT
== −r
+A
e di nuovo:
k2
dr
qg r 2
T =−
+ A ln r + B con le condizioni al contorno:
k 4
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 dT 

 =0
 dr  r = 0
Quindi
A=0
e
e
T=Ts
B = Ts +
per
r=r0
2
g 0
q r
4k
da cui
T = Ts +
(
q g r02 − r 2
)
4k
Se invece imponiamo una condizione di flusso anche all'esterno,
utilizzando la Legge di Newton per la convezione:
Q = S h (Ts- Te)
che definisce il coefficiente di convezione h, la seconda condizione al
contorno diviene:
 dT 
− k
= h(Ts − Te )

 dr  r = r0
Le due condizioni portano:
A=0
B = Te +
q g r02
4k
+
q g r0
2h quindi:
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T = Te +
(
qg r02 − r 2
4k
)+ q r
g 0
2h
che per il conduttore comporta:
VI  2k 
1 +
 per r = 0
T0 = Te +
4πkL  hr0 
VI
e TS = Te +
2πhr0 L
per r = r0
In ambedue i casi la temperatura massima è sull'asse.
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