Energia meccanica

UNIVERSITA’ DI FIRENZE
Facoltà di Ingegneria
Fisica Tecnica G. Grazzini
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EQUAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA
Consideriamo un sistema aperto, in condizioni stazionarie, con un ingresso ed un uscita,
scambiante calore con una sola sorgente. I due principi danno:
I)
.
•
w −w

G
+ g ( z 2 − z1 ) + h2 − h1  = Q − L
2


2
2
2
1
•
•
II)
Q
G( s 2 − s1 ) = + ∆S irr
T
Per una lunghezza infinitesima dx e per unità di portata in massa si ha:
I)
wdw+gdz+dh=dq-dl
II)
dq
ds =
+ dsirr ⇒ dq = Tds − Tdsirr
T
Eq. En. Meccanica pag. 1-18
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Combinando I e II principio attraverso l’eliminazione del calore scambiato, si ottiene:
wdw+gdz+dh=Tds-Tdsirr-dl
Essendo h funzione di stato è possibile trovare una trasformazione reversibile che abbia lo
stesso dh e per cui:
dh=dqrev+vdp=Tds+vdp
Sostituendo nell’espressione ottenuta da I e II si ottiene
wdw+gdz+vdp+ Tdsirr+dl=0
Che integrata sulla lunghezza L del sistema dà:
w −w
+ g ( z2 − z1 ) + ∫ vdp + ∫ Tdsirr + ∫ dl = 0
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
Eq. En. Meccanica pag. 2-18
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In assenza di irreversibilità si ottiene l'equazione di EULERO:
w22 − w12
+ g ( z2 − z1 ) + ∫ vdp + l = 0
2
1
2
Se il fluido è incomprimibile ed in assenza di lavoro scambiato si ottiene l'equazione di
BERNOULLI:
w22 − w12
w22 − w12
( p2 − p1 )
+ g ( z 2 − z1 ) + v( p2 − p1 ) =
+ g ( z 2 − z1 ) +
=0
2
2
ρ
Relazione espressa nel S.I. di unità di misura in quanto riferita all'unità di portata in
massa.
Nel S.T. invece essa sarebbe riferita all'unità di portata in peso e quindi:
w22 − w12
( p2 − p1 )
+ ( z 2 − z1 ) +
=0
γ
2g
dove γ è il peso specifico.
Eq. En. Meccanica pag. 3-18
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COMPORTAMENTO DEI FLUIDI
-
VISCOSITA`
Consideriamo un corpo che scorre su di un piano orizzontale con uno strato di fluido, che
agisce da lubrificante, posto tra corpo e piano. Per mantenere uniforme la velocità del
corpo è necessario applicargli una forza costante F, diretta nel senso del moto stesso.
Poiché questo è uniforme, la risultante delle forze applicate nella direzione del moto deve
essere nulla, cioè il fluido interposto si oppone al moto del corpo con una forza uguale ad
F e diretta in senso contrario.
Dall'esperienza si deduce che il fluido
y
a contatto con un corpo solido vi
aderisce e quindi ha la sua stessa
velocità; di conseguenza la velocità
nel fluido è nulla per lo straterello
immediatamente a contatto con il
piano di appoggio, poi cresce
normalmente
al
piano
u
allontanandosene fino a raggiungere
un valore non più influenzato dalla
x
presenza del corpo.
Eq. En. Meccanica pag. 4-18
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Esiste perciò nel fluido una forza che si oppone allo scorrimento reciproco degli strati,
forza che è proporzionale alla velocità del corpo, o meglio alla variazione di velocità tra
uno strato e l'altro, cioè al gradiente della velocità nel fluido. Se si indica con du/dy tale
gradiente in direzione normale a quella del moto e con τyx la tensione che si esercita sulla
unità di superficie di fluido parallela all'asse (x), rivolta dalla parte delle (y) decrescenti, si
può scrivere:
τ xy
dF
=−
= −µ
dS
 ∂u 
 
 ∂y 
dove µ prende il nome di coefficiente di viscosità dinamica del fluido. Per i gas e per la
maggior parte dei liquidi a basso peso molecolare il coefficiente di viscosità dipende solo
dalla natura del fluido e dal suo stato fisico; per essi quindi il coefficiente di viscosità e'
una grandezza fisica. Detti fluidi si dicono newtoniani dato che per loro la relazione vista,
chiamata legge di Newton, assume il valore di legge fisica.
[τ ]
[
ML T ]
kg Ns
[µ ] =
=
= [ML T ] =
=
[T ]
[∂u / ∂y ]
ms m
−1
xy
−1
−2
−1
−1
2
nel SI.
Eq. En. Meccanica pag. 5-18
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Per molti fluidi invece essa non è una legge fisica perché il valore del coefficiente µ
risulta legato ad altre grandezze dipendenti dalle specifiche condizioni sperimentali, non
solo dallo stato fisico; in particolare µ può dipendere dal valore dello sforzo tangenziale
τyx o da quello del gradiente di velocità o dal tempo o da una combinazione di essi.
Riferendosi alla dipendenza dal valore dello sforzo tangenziale, si distinguono i fluidi
non newtoniani in pseudoplastici e dilatanti; per i primi il valore di µ diminuisce al
crescere del gradiente di velocità, per i secondi cresce.
Esistono poi fluidi che associano caratteristiche viscose ed elastiche: tali fluidi sono
detti viscoelastici.
Per quanto riguarda la dipendenza dal tempo, si dicono tixotropici i fluidi che presentano
una diminuzione di µ per effetto della lunga applicazione di uno sforzo tangenziale
costante, a temperatura costante; quelli che, nelle stesse condizioni, presentano un
aumento di µ sono detti reopectici.
Indicativamente si possono considerare:
newtoniani; l'acqua, la benzina, il butano, il propano, gli idrocarburi leggeri, gli olii
minerali grezzi a temperatura ambiente
pseudoplastici; i polimeri liquidi, le gelatine, le malte, i fanghi, gli additivi metallici nelle
benzine, le sospensioni come la polpa di carta, mayonnaise
Eq. En. Meccanica pag. 6-18
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dilatanti; i grassi, l'amido
in soluzione, la sabbia in
sospensione, le sospensioni estremamente
concentrate
viscoelastici; il bitume, la
pece, alcune sospen-sioni
di particelle solide in
liquidi molto viscosi
tixotropici; i prodotti
alimentari, le vernici
reopectici; alcuni impasti
di gesso in acqua
Eq. En. Meccanica pag. 7-18
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Per considerare gli sforzi, che sono presenti all'interno di un fluido non-newtoniano in
movimento, nella soluzione delle equazioni del moto è necessario determinare
sperimentalmente la o le relazioni tra il coefficiente di viscosità ed il gradiente di velocità
oltre che, eventualmente, con il tempo.
Tali equazioni, di tipo empirico, vengono dette costitutive; tra esse, la più semplice è
quella di Ostwald-de Waele o legge di potenza:
τ xy
∂u
= −µ 0
∂y
n −1
 ∂u 
 
 ∂y 
dove n è un numero il cui valore dipende dalla natura del fluido; per n = 1 si ottiene la
legge di Newton, per n < 1 si descrivono i fluidi a comportamento pseudoplastico, per n >
1 quelli a comportamento dilatante.
Eq. En. Meccanica pag. 8-18
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Moto di fluidi in condotti
Il moto di un fluido in un condotto può essere trattato con le equazioni ricavate per un
sistema termodinamico aperto, assumendo che in ogni sezione di passaggio del flusso di
materia le proprietà fisiche e la velocità di deflusso siano uniformi. La prima ipotesi
introduce errori usualmente trascurabili; la seconda può portare anche ad errori del 100%
nel caso di moto laminare, mentre risulta soddisfacente nel caso di moto turbolento, moto
peraltro più frequente in campo tecnico. L'equazione del bilancio dell'energia meccanica
in regime stazionario, senza scambio di lavoro e per un fluido a densità costante, diviene:
w22 − w12
( p2 − p1 )
+ g ( z2 − z1 ) +
+R=0
ρ
2
Alle stesse equazioni, dette globali poiché non entrano nel merito dei fenomeni ma si
limitano all'esame dei parametri di ingresso e di uscita, si potrebbe arrivare anche per
integrazione delle equazioni differenziali relative ad un elemento di volume infinitesimo
che si muove attraverso il sistema.
Attraverso un bilancio su di un volume di controllo si può vedere che R è funzione delle
forze superficiali agenti sulle superfici del volumetto considerato e che compiono su di
esso un lavoro di deformazione (attrito viscoso). In condizioni particolarmente semplici è
Eq. En. Meccanica pag. 9-18
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possibile così calcolare R; nel caso di flusso in condotto circolare rettilineo in regime
stazionario isotermo, si ha:
8µLw
R=
ρr 2
con µ = viscosità dinamica del fluido, L = lunghezza del condotto, w = velocità di efflusso,
r = raggio del condotto, ρ = densità del fluido
In modo sperimentale R può essere ricavato dalla precedente eem, che per condotto
orizzontale e sezione costante si riduce a:
( p1 − p2 )
ρ
=R
che rappresenta le perdite di carico di quel condotto nelle condizioni di flusso esaminate.
Introducendo il diametro del condotto D=2r, oppure, nel caso di condotti a sezione non
circolare, il diametro equivalente :
4 Area sezione
De = -------------------Perimetro bagnato
R può essere scritta in generale come:
Eq. En. Meccanica pag. 10-18
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L w2
R= f
De 2
dove f e' un coefficiente detto fattore di attrito che risulta dipendere dal numero
adimensionale
Re = w Dρ/µ= wD/ν
dove ν e' detta viscosità
cinematica.
2
µ ] [ML−1T −1 ]
[
m
2 −1
[
[υ ] = =
=
L
T ]=
−3
[ρ ] [ML ]
s
Tale numero e' detto di Reynolds e caratterizza lo stato di moto del fluido (laminare Re <
2300; turbolento Re> 3500).
Fino ad ora ci siamo riferiti solo a condotti lisci, dato che in tale situazione è facile
verificare le condizioni di similitudine geometrica. Le superfici interne dei condotti reali
però non possono mai essere perfettamente lisce, perché qualsiasi tipo di lavorazione
comporta rugosità con variazioni in più od in meno rispetto alla superficie ideale. Sono
ancora utilizzabili i concetti prima esposti se il valore medio ε di queste rugosità viene
considerato una ulteriore variabile tra quelle che determinano la similitudine geometrica;
così facendo il numero di raggruppamenti adimensionali sale a due.
Eq. En. Meccanica pag. 11-18
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Il fattore d'attrito risulta quindi funzione di due numeri puri, di cui uno è il numero di
Reynolds, mentre l'altro è dato dal rapporto tra la scabrezza ε ed il diametro D del
condotto e viene chiamato scabrezza relativa.
Accurate indagini sperimentali (Nikuradse, Moody 1944) hanno permesso la
determinazione della funzione suddetta, che viene di solito presentata sotto forma di
grafico in coordinate logaritmiche. Per condotti lisci il fattore di attrito dipende sopratutto
dal valore del numero di Reynolds calcolato utilizzando il diametro equivalente, mentre e'
poco influenzato dalla forma della sezione del condotto.
Per moto laminare si ha un andamento lineare e si ottiene facilmente l'espressione
f = 64/ Re (Fanning f = 16/ Re).
Segue una zona ove si ha transizione tra il regime laminare e quello turbolento, zona che
presenta una elevata incertezza nella misura. Al di là di questa fascia il valore di f torna a
diminuire al crescere di Re; esiste però un valore del numero di Reynolds al di sopra del
quale f è costante. Tutto ciò porta ad affermare che nel moto laminare le perdite di carico
uniformemente distribuite dipendono linearmente dalla velocità media, mentre per elevati
valori del numero di Reynolds esse dipendono dal quadrato della velocità media.
La rugosità della parete fa aumentare il valore di f e diminuire quello di Re oltre il quale le
perdite dipendono dal quadrato della velocità media.
Eq. En. Meccanica pag. 12-18
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Eq. En. Meccanica pag. 13-18
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Eq. En. Meccanica pag. 14-18
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Valori del diametro equivalente e del coefficiente di proporzionalità tra fattore
d'attrito f e numero di Reynolds in moto laminare
Sezione
Circolare diametro D
Anulare spessore meato s
Triangolare equilatera lato
l
Rettangolo lati a e b con b>a
a/b = 0.1
a/b = 0.2
a/b = 0.5
a/b = 1.0
C = f ⋅ Re
64
96
53
85
76
62
57
Deq= 4 S/P
D
2s
0.58 l
1.82 a
1.67 a
1.33 a
1.00 a
Formule per il calcolo del fattore d’attrito nei condotti.
Colebrook (J. Inst. Civ. Eng. 1939, Vol.11. pp.133-156)
 2.51

1
ε

= −0.869 ln 
+
 Re f 3.7 D 
f


Eq. En. Meccanica pag. 15-18
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Moody (Mech. Eng. 1947, Vol. 69, pp.1005-1006)
 
10 
4 ε
f = 0.00551 +  2 ⋅ 10
+

D Re 
 
6
1/ 3



Haaland (J. Flui. Eng. 1983, Vol. 105, pp. 89-90)
−2
 0.782  6.9n  ε 1.11⋅n 
f = −
ln  +
 
 n  Re  3.75D 
n=1 oppure n=3 per gasodotti o tubi molto lisci
Eq. En. Meccanica pag. 16-18
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Per quanto riguarda le perdite di carico per accidentalità, è
particolarmente importante la forma del tronco del condotto, mentre non lo è il
valore del numero di Reynolds. Infatti in una accidentalità si formano quasi
sempre vortici dissipativi ed il moto è fortemente turbolento anche per valori
del numero di Reynolds relativamente bassi. Si utilizza ancora una espressione
simile alla precedente:
R = ß W2/2
Essa definisce un nuovo fattore di attrito ß; data la scarsa influenza di
Re, per i calcoli tecnici si usano delle tabelle o dei grafici che
forniscono direttamente il valore di ß per i diversi tipi di accidentalità.
Invece della relazione precedente, a volte viene impiegata la lunghezza
equivalente Le, definita come la lunghezza di un tronco di condotto ad
asse rettilineo ed orizzontale, di sezione costante eguale a quella
principale dell'accidentalità, che dà la stessa perdita di carico che si
verifica nella accidentalità a cui equivale; anche la lunghezza
equivalente e' ricavata da opportuni nomogrammi o da tabelle.
Eq. En. Meccanica pag. 17-18
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Riassumendo, per il dimensionamento una conduttura con andamento diversificato, si
procederà ad una suddivisione in tanti tronchi m di lunghezza Lm caratterizzati ciascuno
da un valore costante della velocità media Wm e da un numero di Re che permette di
risalire al fattore di attrito.
Ogni tronco potrà presentare n accidentalità che verranno valutate come detto sopra; la
perdita di carico dell'intera conduttura sarà calcolata con una delle seguenti relazioni:
2
R = Σi((fiLi/Di+Σnßni)Wi /2)
R =Σi (L+Le)i fi Wi2/(2 Di)
Eq. En. Meccanica pag. 18-18