UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ SISTEMA TERMODINAMICO UNIVERSO=SISTEMA+AMBIENTE Sistema - ISOLATO - CHIUSO - APERTO nessuno scambio scambia ENERGIA ma NON MASSA scambia ENERGIA e MASSA Viene detto Semplice, se composto da un'unica sostanza Per un sistema Isolato l’equilibrio è unico sistema ambiente COORDINATE MACROSCOPICHE COORDINATE TERMODINAMICHE , individuano stato del sistema (es. P, V, T) P e T sono definibili, per il sistema, solo all'equilibrio. Solo in questa condizione esse individuano lo stato del sistema. pag. 1-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Trasformazioni Se la pressione interna Pi è maggiore di quella esterna Pe il Lavoro viene compiuto verso l'esterno Pi ∆L = P·A·∆x = P∆V Se P in ogni istante è del sistema, allora dL = P·dV quindi: e 2 L = ∫ PdV 1 Le trasformazioni possono venir rappresentate su di un diagramma termodinamico; se reversibili allora il diagramma riporta solo punti di equilibrio, indifferenti alla direzione di evoluzione. L’area nel diagramma P-V rappresenta il lavoro scambiato. Le trasformazioni si dicono aperte se il punto iniziale e finale sono diversi, altrimenti sono dette chiuse o 1=2 cicliche L= ∫ PdV 1_ 2 pag. 2-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Consideriamo un sistema definito nei suoi costituenti e con massa determinata e costante durante tutte le operazioni eseguite sul sistema; sistema cioè CHIUSO Tutte le coordinate termodinamiche siano controllate. Operando trasformazioni cicliche, il calore Q ed il lavoro L scambiati tra sistema e ambiente sono tra loro proporzionali. Q RISULTATO Per sistema chiuso e ciclico =A SPERIMENTALE L A dipende solo dalle unità di misura utilizzate per Q ed L. Nel S.I. A = 1 Per convenzione si assumono L>0 se Fornito dal sistema Q > 0 se Fornito al sistema Esperienze particolarmente importanti per la verifica del risultato esposto furono quelle di J.P. Joule negli anni 1840 - 1848 pag. 3-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I° PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA R. Clausius nel 1850 enuncia come il risultato suddetto Se scambi termici Q e di lavoro L avvengono con continuità durante tutto il ciclo, allora potremo scrivere ( Q = ∫ δQ ) e L = ∫ δL ∫ δQ − AδL = 0 ; dal punto di vista matematico si può allora dire che la e quindi quantità integranda è un differenziale esatto e che esiste una funzione potenziale U tale che: dU = δQ − AδL La funzione potenziale dipende solo dagli stati iniziali e finali, indipendentemente dal cammino percorso per raggiungerli E' perciò una FUNZIONE DI STATO pag. 4-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Se non c’è scambio di calore allora la Trasformazione è adiabatica . In meccanica : δL = dE p di conseguenza anche dU è energia che per essere riferita al solo sistema chiamiamo Energia − AδL = dU Interna Se invece δL = 0 ⇒ δQ = dU Di conseguenza possiamo dire che Q ed L sono due modi di interazione, di scambio di energia. Per una trasformazione aperta , essendo Q ed L il calore e il lavoro effettivamente scambiati, avremo Q − AL = ∆U Additività L'energia interna di un sistema è uguale alla somma delle energie interne delle parti in cui lo si può immaginare diviso Q2 − AL2 = ∆U2 Sistema isolato diviso in due ∆U = 0 ; Q1 − AL1 = ∆U1 Q1 = − Q2 L1 = − L2 ∆U1 + ∆U2 = 0 = ∆U sommando : U è una GRANDEZZA ESTENSIVA in quanto gode della proprietà additiva P e T invece sono INTENSIVE, non si può ottenere P o T del sistema come somma di quelle di suoi sottosistemi ↑ TRATTAZIONE GENERALE ↑ pag. 5-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Se P , U , T , sono coordinate termodinamiche, per trasformazioni reversibili avremo assenza di attriti, equilibrio delle pressioni e temperature interne ed esterne, quindi potremo scrivere L = ∫ PdV = m ∫ Pdv oppure δL = mPdv Dunque per un sistema a composizione chimica costante, senza fenomeni elettromagnetici o di superficie e trasformazioni reversibili abbiamo: δQ = dU + AmPdv e potremo scrivere nel S.I., per l'additività di U : δq = du + Pdv dove i simboli in lettere minuscole stanno ad indicare che le grandezze sono riferite all'unità di massa Definiamo fluidi termodinamici quei sistemi il cui stato, se fermi in un determinato riferimento spazio-tempo, è individuato da due sole variabili della terna P v T pag. 6-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Se una funzione F ( x; y ) ammette DIFFERENZIALE ESATTO allora si può scrivere ∂F ∂F dy dove x ed y sono le due variabili da cui dipende F. dF = dx + ∂x y ∂y x Se consideriamo l’energia interna funzione di v e T, allora U ( v, T ) ∂u ∂u du = dv + dT massa ∂v T ∂T v C c= Avendo introdotto m , ∆Q = C∆T passando al limite per ∆T tendente a zero, avremo Essendo δq = du + Pdv e quindi c= δq e quindi per unità di ∆Q ∆q c= = m∆T ∆T da cui dT potremo scrivere una espressione generale del calore specifico: dv ∂u ∂u ∂u c= ⇒ cv = + + P ∂T v ∂v T ∂T v dT se a volume costante pag. 7-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ INTERPRETAZIONE U E T CON TEORIE MICROSCOPICHE è solo una particolare teoria, non più “vera” della macroscopica fin qui usata. Il cosiddetto “equivalente meccanico della caloria”, non è altro che un fattore di passaggio dal sistema di misura tecnica a quello internazionale: 1 kcal = 4,187 kJ ricordiamo che nel S.I., A=1 ESPRESSIONE GENERALE I° PRINCIPIO Se consideriamo un sistema in moto nello spazio lo scambio di energia ∆E, sotto forma di lavoro e calore modificherà sia l’energia interna che l’energia cinetica e potenziale del sistema. Il primo principio si scriverà quindi come: ∆E = ∆Ec + ∆Ep +∆U pag. 8-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ I° principio nega perpetuum mobile Iª specie = Generazione dell' Energia. II° principio nega perpetuum mobile IIª specie = trasformazione completa di calore in lavoro Sorgente: sistema termodinamico che cede o assorbe calore senza modificare la propria T. Enunciati del secondo principio della termodinamica. Kelvin - Planck: E’ impossibile che l’unico risultato di una trasformazione sia ottenere lavoro da calore sottratto da UNA sola sorgente. Clausius: E’ impossibile che l’unico risultato di una trasformazione sia portare Q da T2 a T1 con T2<T1 Necessità cicli per produzione localizzata di energia meccanica - Per trasformazioni aperte è possibile anche ottenere L>Q, a spese ad esempio dell’energia interna. Il risultato non è unico. pag. 9-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Compiendo due serie di cicli interi m ed n, potremo sempre ammettere che le due macchine della figura sottostante assorbano lo stesso calore Q1 dalla sorgente a temperatura T1. Se una è reversibile, invertendola avremo che per l'enunciato di K - P per il sistema globale dovrà essere LN - LR ≤ 0 altrimenti si otterrebbe lavoro prelevando calore da una sola sorgente alla temperatura T2, dato che l’altra assorbe e cede lo stesso calore Q1, con bilancio nullo. Definito efficienza L ε = coefficente_economico Q potremo scrivere rendimento LN LR − ≤ 0 ⇒ εR ≥ εN Q Q Se ambedue le macchine sono reversibili si avrà LN = LR e quindi ε R = ε N da cui segue che l’efficienza ε R della macchina reversibile è la max possibile. Questo è conosciuto come Teorema di Carnot pag. 10-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ( ) (tipo fluido, ciclo, ecc.) quindi ε R = f T1 ,T2 soltanto. Poiché usando il primo principio per una macchina ciclica possiamo scrivere L=Q1-QR , allora εR ≠ f QR εR = 1 − Q1 perciò, scegliendo Q come grandezza termometrica avremo Q T [K ] = 273.16 Q3 otterremo In conseguenza della definizione della scala di temperature nel S.I. T2 εR = 1 − T1 ε N − ε R < 0 cioè Potremo allora scrivere le relazioni del teorema di Carnot come: Q2 T2 1− −1+ <0 Q1 T1 da cui Per una trasformazione IRREVERSIBILE avremo perciò Q1 Q2 − <0 T1 T2 Q2 Q1 Q2 Q1 > = +σ ovvero T2 T1 T2 T1 dove σ rappresenta la traccia termodinamica sull'ambiente Poiché per le macchine cicliche lo stato termodinamico finale=iniziale, solo l’ambiente registra l’irreversibilità. pag. 11-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Se supponiamo che una trasformazione continua e ciclica sia composta da infinite macchine con scambi infinitesimi δQi con infinite sorgenti alle temperature Ti, potremo scrivere (Clausius) potenziale ∫ δQi Ti <0 δQ dS = T ∫ o δQi R Ti =0 quest’ultima comporta l’esistenza funzione e quindi di un differenziale esatto. Di conseguenza si ha la dipendenza solo da stati iniziali e finali. Si chiama S entropia, definita per trasformazioni REVERSIBILI ed è una funzione di stato. Considerando una trasformazione ciclica tra due punti A e B, composta di una trasformazione reversibile ed una irreversibile δQ ∫T B <0⇒ δQ A δQ ∫ T +∫ T AI <0 BR invertendo la trasforma- zione reversibile e poi passando agli infinitesimi si ha δQ δQ ∫AR T > AI∫ T ⇒ S B − S A > AI∫ T quindi dS > T IR ⇒ dS = T + dS I di conseguenza per un sistema isolato, essendo δQ = 0 , è dS ≥ 0 B δQ B δQ B δQ pag. 12-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ EQUIVALENZA dei due ENUNCIATI Kelvin - Plank non vero permette ottenere L da Q2 da sorgente a T2 cedendo L come calore Q a T1 > T2. Di conseguenza l’enunciato di Clausius non vero Clausius non vero permette trasferire Q2 da T2 a T1 con T1 > T2. Ma una macchina può sottrarre Q2 da T1 fornendo lavoro L e cedendo Q a T2; per sorgente a T1 bilancio termico = 0 Quindi si avrebbe produzione di lavoro L usando solo T2. Di conseguenza l’enunciato di Kelvin - Plank non vero T1 > T2 ed una L L' ε > ε '⇒ > Q Q Consideriamo due macchine reversibili che lavorano tra due sorgenti con terza a T0 minore. Avremo T0 ε = 1− T1 e T0 ε ' = 1− T2 quindi: pag. 13-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Se esprimiamo la differenza tra le quantità di lavoro ottenute prelevando la stessa quantità di calore Q, possiamo vedere che essa è pari al prodotto della temperatura T0 della sorgente al livello inferiore per la variazione di entropia che si avrebbe nel passaggio della stessa quantità di energia termica Q dalla sorgente a temperatura T1 a quella a T2, in assenza delle due macchine. In altre parole, se una energia termica Q passa ad una temperatura più bassa, perdiamo la possibilità di ottenere del lavoro; Q si degrada. 0 T0 T0 Q Q L − L' = Q ε − Q ε ' = Q 1 − − 1 − = T0 − = T0 ∆S T2 T1 T1 T2 pag. 14-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Variazione di entropia per due sorgenti con T1 > T2 dovuta ad un trasferimento di energia termica Q, con differenza ∆T = T1 - T2, ambedue costanti ed unitari. 1 1 ∆S = Q − = T2 T1 Q∆T Q∆T = = 2 T1 ⋅ T2 T2 + T2 ∆T pag. 15-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ EQUAZIONE DI CONTINUITÀ o di conservazione della massa. Consideriamo un volume di controllo V, cioè un volume scelto opportunamente per analizzare il nostro fenomeno. Supponiamo che al tempo τ0 entri la massa ∆m1 . Al tempo τ0 +∆τ esca la massa ∆m2 . Potremo esprimere la massa totale mst per ciascun tempo: mst = ∫ ρdV + ∆m1 V τ0 ; mst = ∫ ρdV + ∆m2 V τ 0 + ∆τ dove ρ è la densità del volumetto dV. Poiché la massa si conserva avremo per i due momenti mst = mst e quindi − ∫ ρdV = ∆m1 − ∆m2 ∫ ρdV V τ 0 + ∆τ V τ0 pag. 16-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dividendo per l’intervallo di tempo ∆τ e passando al limite per ∆τ che tende a 0 dm1 dm2 d − ∫ ρdV = dτ V dτ dτ dm1 G = = ρ1w1S1 con la densità Definiamo la portata in massa 1 dτ costanti sulla superficie S ed analogamente G2 ; potremo quindi scrivere: d ∫ ρdV + ρ 2 w2 S 2 − ρ1w1S1 = 0 dτ V ρ e la velocità W REGIME STAZIONARIO (o permanente): le grandezze restano costanti nel tempo, perciò d =0 dτ , G1 = G2 = G quindi anche la portata in volume è costante se ρ costante (valido in prima approssimazione per i liquidi ed in qualche caso anche per gas). pag. 17-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ SISTEMA APERTO IN REGIME PERMANENTE percorso da un fluido termodinamico Prendiamo un volume di controllo e consideriamo un sistema chiuso, deformabile che si sposta nel volume dalla posizione 1 alla 2. Per il I° principio nella sua forma generale: Q L ∆Ec + ∆E p + ∆U = Q + AL' ed esprimendo le variazioni delle varie forme di energia: A(E'C2 + E'P2) - A(E'C1 + E'P1) + U'2 U'1 = Q - AL' considerando ogni termine come dato dall’energia relativa a due sottosistemi (additività) E'C = ESC + EC ; E'P = ESP + EP ; U' = US + U scriveremo A(ESC2 + EC2 + ESP2 + EP2- ESC1 - EC1 - ESP1 - EP1) + U2 + US2 - U1 - US1 = Q – AL’ Considerando il lavoro come fornito attraverso le pareti del volume e le sezioni 1 e 2, avremo:L' = L + L0 L0 = +L2 - L1 = P2A2∆x2 - P1A1∆x1 = P2V2 - P1V1 pag. 18-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Essendo però le condizioni stazionarie, avremo l’uguaglianza dei termini: ESC2 = ESC1 ; ESP2 = ESP1 e US2 = US1 quindi: A(EC2 + EP2 - EC1 - EP1)+ U2 - U1 = Q - A(L + P2V2 - P1V1) e riordinando: A(EC2 + EP2 + P2V2) + U2 + AL = Q + A(EC1 + EP1 + P1V1) + U1 w2 introducendo ora le espressioni dell’energia cinetica e potenziale EC = m 2 ; E P = mgz e le grandezze spec. V = mv ; U = mu con le IPOTESI di uniformità nella sezione per Velocità ; densità; grandezze termodinamiche e dividendo poi per il tempo τ necessario per passare da 1 a 2, si ottiene w22 m2 m2 w12 m1 m1 AL Q + gz2 + P2v2 A + u2 + = + A + gz1 + P1v1 + u1 τ τ τ τ 2 τ 2 τ espressione generale estendibile a più ingressi ed uscite Quando abbiamo un solo ingresso ed una uscita, in condizioni di regime permanente, m1 τ = m2 τ . pag. 19-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Per unità di portata in massa si ha perciò: w22 w12 A + gz2 + P2v2 + u2 + Al = A + gz1 + P1v1 + u1 + q 2 2 I = U + APV ⇒i = u + APv ed introducendo l’entalpia H , h considerato che nel S.I., A = 1 otteniamo: w22 − w12 + g ( z 2 − z1 ) + i2 − i1 = q − l 2 h2 − h1 I (o H) funzione entalpia, dipende da U e V, oltre che P, che dipendono dallo stato del sistema, quindi anch’essa è una funzione di stato. Poiché U e V godono della proprietà additiva, anche I ne gode e possiamo riferirla all’unità di massa. Differenziando quindi di = du + Pdv + vdP du = δq - δl = δq - Pdv per trasformazioni reversibili è δl da cui = Pdv di = δq + vdP pag. 20-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Essendo l'entalpia funzione di stato, allora il suo differenziale sarà esatto, e per un fluido termodinamico, assumendo che essa sia funzione di P e T, i(P,T), avremo: ∂i ∂i di = dT + dP ∂T P ∂P T sarà di = δq + vdP e ricordando la definizione di calore specifico c= δq dT avremo: ∂i dP ∂i ∂i c= − v + cP = ottenendo ∂T P ∂P T ∂T P per trasf. a P costante dT ∂u cv = che fa coppia con ∂T v che avevamo ottenuto con l’energia interna pag. 21-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Dalla si ottiene per alcune apparecchiature, quando si possono trascurare i termini legati ad alcune variazioni di energia, delle relazioni semplificate: sistemi per scambio calore (caldaie, scambiatori, condensatori, etc.) sistemi per scambio energia meccanica q = i2 − i1 l = i1 − i2 (pompe, compressori, turbine, etc.) riduttori di pressione (valvole, ugelli) i2 = i1 w22 = w12 + 2(i1 − i2 ) Mai dimenticare tutte le ipotesi fatte per ottenere queste espressioni espressioni ! ipotesi introdotte per ricavare l’espressione del primo principio per un sistema aperto in condizioni stazionarie e poi per semplificarne l’espressione. pag. 22-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ II° PRINCIPIO E SISTEMA APERTO Consideriamo un VOLUME DI CONTROLLO V, come nel caso dell’equazione di continuità scriveremo a due diversi istanti Sτ = si ∆mi + ∫ ρsdV V τ II° PRINCIPIO ci permette di Sτ ' = so ∆mo + ∫ ρsdV con τ ' = τ + ∆τ V τ' Qj Sτ ' − Sτ = ∑ + ∆S I scrivere e sostituendo Tj le espressioni precedenti, dividendo per ∆τ e passando al limite, si ottiene: δQ j dS I ∂ soGo − si Gi + + ∫ ρsdV = ∑ ∂τ V T j dτ dτ pag. 23-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ In condizioni stazionarie, con due sole sezioni 1 in ingresso e 2 in uscita, per unità di portata in massa si potrà scrivere: − (s2 − s1 ) + ∑ Moltiplicando per la temperatura T0, qj Tj + sI = 0 minore tra quelle delle sorgenti con cui scambia il sistema, e sommando l'espressione precedente con quella del I° principio, si ottiene: T0 w22 − w12 + g ( z 2 − z1 ) + h2 − h1 − T0 s2 + T0 s1 + ∑ q j − 1 + l +T0 s I = 0 T 2 j Introducendo l’ EXERGIA, definita come e = h − T0 s avendo assunto che ∑ q j = q 2 2 T0 w − w 2 l = ∑ q j 1 − + e1 − e2 + 1 + g ( z1 − z 2 ) − T0 s I T 2 j exergia grandezza estensiva dipendente dallo stato di 2 sistemi EXERGIA CALORE = Fattore di Carnot*Q Inglobando I° e II° principio la relazione esprime l'eguaglianza dal punto di vista del lavoro, vale a dire dell'energia di massima qualità. pag. 24-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Efficienza, rendimento: Leva Caldaia rapporto tra grandezze dello stesso tipo Lottenuto ε= Lspeso Qottenuto ε= Qspeso I° principio afferma l’equivalenza tra lavoro e calore, quindi per un Motore ε= Lottenuto Qspeso e per una macchina ideale reversibile εc = T L = 1− 0 Q T Rendimento termodinamico : rapporto tra ciò che si ottiene ed il massimo ottenibile η II = Lottenuto Lmax_teorico ε = εc e per un SISTEMA APERTO eottenuta ηII = espesa Exergia permette di tener conto delle irreversibilità Diversi tipi di rendimento = parametri di valutazione pag. 25-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Relazioni tra coefficienti E’ importante conoscere le relazioni esistenti tra grandezze termodinamiche e parametri fisici che caratterizzano il comportamento dei corpi. COEFFICIENTE DI DILATAZIONE CUBICA A P COSTANTE è dato da: 1 ∂v α= v ∂T P quindi per corpi isotropi la dilatazione lineare è = α / 3 gas ≅ 10-3 K-1 liquidi ≅ 10-4 K-1 COEFFICIENTE DI TENSIONE A V COSTANTE è dato da: solidi ≅ 10-5 K-1 β= 1 ∂P P ∂T v pag. 26-27 UNIVERSITA’ DI FIRENZE Facoltà di Ingegneria Fisica Tecnica G. Grazzini ________________________________________________________________________________________________________________________________________________ COEFFICENTE COMPRIMIBILITÀ ISOTERMA è dato da: 1 = E Modulo Young o di elasticità isoterma χ 1 ∂v χ =− v ∂P T Metalli E ≅ 1011 N/m2 Per un fluido termodinamico esisterà una equazione di stato che lega la coordinate termodinamiche P, v, T, cioè F(P, v, T) = 0 , quindi si può scrivere ∂P ∂v ∂T = −1 ∂v T ∂T P ∂P v che, con le definizioni date, fornisce α =P βχ pag. 27-27