Induzione completa

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Olimpiadi Svizzere della Matematica
Induzione completa
Aggiornato: 1 dicembre 2015
vers. 1.0.0
induzione
Una delle tecniche di dimostrazione più importanti nella matematica è l'
Supponiamo di avere, per ogni numero naturale
n,
un'aermazione
A(n)
(completa).
che può essere vera
oppure falsa. Esempi di aermazioni di questo tipo potrebbero essere:
1.
Il numero n è pari.
2.
1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)/2.
3.
Esiste almeno un numero primo p tale che n ≤ p < 2n.
n0 per cui A(n0 ) è vera (Inizio, Start dell'induzione),
e che, per ogni n ≥ n0 , dalla veridicità di A(n) segue quella di A(n + 1) (Passo, step dell'induzione), allora tutte le aermazioni A(n), per n ≥ n0 , sono vere. Questo perché la veridicità
salta da un n al prossimo. Vediamo alcuni esempi.
Se riusciamo a dimostrare l'esistenza di un
Esempio 1.
Dimostra che per tutti i numeri naturali n vale che
1 + 2 + ... + n =
n(n + 1)
.
2
Dimostrazione.
Inizio :
L'uguaglianza è sicuramente vera per
n = 1,
perchè sia a sinistra che a destra dell'uguale si ha
1.
Passo :
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per
n
e dimostriamo che allora è vera anche per
n + 1.
In eetti vale
n(n + 1)
+ (n + 1)
2
n(n + 1) + 2(n + 1)
=
2
(n + 1)((n + 1) + 1)
=
.
2
1 + 2 + . . . + n + (n + 1) =
Nella prima riga abbiamo utilizzato l'ipotesi dell'induzione, cioè che l'uguaglianza è vera per
n.
In Sikinia ogni coppia di città è collegata da esattamente una strada. Dimostra
che esiste sempre una città che può essere raggiunta da ogni città direttamente o passando per
al massimo un'altra città.
Esempio 2.
1
Dimostrazione.
Inizio :
n
Procediamo con un'induzione completa sul numero
L'aermazione è sicuramente vera per
n=2
(oppure anche per
di città.
n = 1,
questo caso non è però
particolarmente interessante).
Passo :
Supponiamo che l'aermazione sia vera per
problema, la chiamiamo
C
buona.
e consideriamo le restanti
la città
B.
n
Consideriamo
n città.
città. Una città che soddisfa la condizione del
n + 1 città.
Scegliamo arbitrariamente una città
n città ne esiste una buona, diciamo
insiemi: l'insieme D delle città da cui si
Per ipotesi, tra queste
n − 1 città in due
B , e l'insieme E di città per cui questo non è possibile.
appartenente all'insieme E possiede una strada diretta verso
Suddividiamo le restanti
può raggiungere direttamente
Visto che
B
una delle
è buona, ogni città
città in
D.
Cosideriamo due casi:
C verso B
n + 1 città.
(1) C'è una strada diretta da
città buona per tutte le
(2) Da
B
e da ogni città in
D
esiste una strada diretta verso
è raggiungibile direttamente da
in
E
oppure verso una città in
B
D,
in D
e da ogni città in
attraverso una strada che passa per una città
C.
D.
In questo caso
Allora
C
B
è una
è buona, perché
S
ed è raggiungibile da ogni città
(vedi spiegazione sopra).
Possiamo quindi aermare che esiste sempre una città buona.
Il secondo esempio mostra come, con l'induzione, si possano dimostrare delle aermazioni piuttosto complesse, e non solamente delle formule. Inoltre mostra che l'argomentazione può risultare veramente complicata. Le dimostrazioni per induzione completa non sono sempre semplici!
Esiste un'altra forma di induzione completa, la cosiddetta
induzione forte.
La dierenza consiste
A(n+1) è vera si suppone la veridicità
A(k), k ≤ n. Questo metodo spesso è più
nel fatto che nel passo dell'induzione, per dimostrare che
non solo di
A(n),
ma quella di
tutte
le aermazioni
comodo e semplice.
Ogni numero naturale n ≥ 2 possiede una scomposizione in fattori primi (cioè, n
è il prodotto di un numero nito di numeri primi).
Esempio 3.
Dimostrazione.
2
Utilizziamo un'induzione forte su
n.
L'aermazione è giusta per
n = 2, visto che
k < n possiedano una scomposizione
n non è sicuramente un numero primo, quindi
è il prodotto di due numeri naturali a > 1 e b > 1. Vale che a, b < n, quindi a e b per ipotesi
si possono descrivere como prodotti di numeri primi. Segue quindi che anche n = ab è un
prodotto di numeri primi, in contraddizione con la nostra supposizione. n possiede dunque una
è un numero primo. Ora supponiamo che tutti i numeri
in fattori primi, e che però
n
non la possieda.
scomposizione in fattori primi, e il passo dell'induzione è terminato.
I seguenti esercizi servono ad avere un'idea delle numerose applicazioni dell'induzione completa.
Esercizi
2
1. Dimostra che per ogni numero naturale
n
vale
12 + 22 + . . . + n2 =
2. Dimostra:
3. (Serie
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2 .
geometrica ) Per q 6= 1 e per ogni numero intero n ≥ 0 vale
1 + q + q2 + . . . + qn =
4. Dimostra che per ogni
n
q n+1 − 1
.
q−1
vale
1
1
1
+
+ ... +
< 1.
1·2 2·3
n(n + 1)
5. Per ogni numero naturale
6. I numeri
n,
il numero
n3 + 5n
1007, 10017, 100117, 1001117, . . .
5
20n
equivale a
8. La successione
6.
sono tutti divisibili per
7. La somma di tutti i numeri naturali minori di
2
è divisibile per
10n
53.
che non sono divisibili né per
2
né per
.
an
a1 = 1
è denita da
√
an+1 =
e
2an .
Dimostra che la successione è
monotona crescente e limitata.
9. Per
n≥1
e
0 ≤ xk ≤ 1 (1 ≤ k ≤ n)
n
Y
vale
(1 − xk ) ≥ 1 −
k=1
n
X
xk .
k=1
Quando vale l'uguaglianza?
10. (Sviluppo
binomiale ) Per due numeri naturali arbitrari a, b vale
n
(a + b) =
n X
n
k=0
11. (Successione
(a) Vale la formula di
n−1
0
+
n−2
1
Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2.
Binet:
1
Fn = √
5
Fn =
ak bn−k .
di Fibonacci ) La successione di Fibonacci è denita ricorsivamente da
F0 = 0, F1 = 1,
(b)
k
+
n−3
2
"
√ !n
1+ 5
−
2
+ ...
3
√ !n #
1− 5
.
2
(c)
(d)
Pn
i=1
Fi2 = Fn Fn+1 .
mcd(Fn , Fn+1 ) = 1
an
cifre 1
(e) Sia
per ogni
n ≥ 0.
il numero di parole di lunghezza
non sono mai distanti
2
n
costruite sull'alfabeto
{0, 1},
per cui due
posti una dall'altra. Trova una formula per
an
con
l'aiuto della successione di Fibonacci.
12. Su una pista rotonda ci sono
n automobili identiche.
In tutto hanno tanta benzina quanta
ne sevirebbe a un'auto per fare un giro completo della pista. Un'auto parte, mentre le altre
restano ferme. Quando quest'auto raggiunge un'auto ferma, prende la benzina dell'auto
ferma. Dimostra che esiste un'auto che riesce a fare il giro di tutta la pista senza restare
senza benzina.
13. Nello spazio siano indicati
2n
punti. Tra almeno
n2 + 1
coppie di punti sia disegnata la
linea che collega i due punti. Dimostra che ci sono tre punti tutti collegati tra di loro.
14. Dimostra:
n X
n+k 1
= 2n .
k
2
k
k=0
15. Nel piano siano disegnati
regioni.
n
cerchi diversi. Questi cerchi suddividono il piano in diverse
Dimostra che si possono sempre colorare queste regioni di bianco o di nero,
in modo che due regioni adiacenti (che hanno in comune un pezzo di un cerchio) siano
colorate con colori diversi.
16. Nel piano siano disegnate
n>2
rette, in modo che non ce ne siano di parallele e che tre
rette non abbiano mai un punto d'intersezione in comune. Queste rette suddividono il
piano in diverse regioni. Dimostra che si può assegnare a ogni regione un numero intero
con valore assoluto
sia uguale a
≤ n,
in modo che la somma dei numeri dalle due parti di ogni retta
0.
17. Per ogni numero naturale
N vale
v s
u
r
u
q
√
t
2 3 4 . . . (N − 1) N < 3.
18. Considera tutti i sottoinsiemi non vuoti di
consecutivi.
{1, 2, . . . , n}
che non contengono due numeri
Per ognuno di questi sottoinsiemi calcola il prodotto degli elementi che
contengono.
(n + 1)! −
19. Sia
a 6= 0
Dimostra che la somma dei quadrati di tutti questi prodotti è uguale a
1. (Per esempio per n = 3: 12 + 22 + 32 + (1 · 3)2 = 23 = 4! − 1.)
un numero reale tale che
an +
20. Sia
n = 2k .
Dimostra che tra
a + 1/a ∈ Z.
1
∈Z
an
(2n − 1)
Dimostra che
per ogni
n ∈ N.
numeri interi se ne possono sempre scegliere
modo che la loro somma sia divisibile per
4
n.
n
in
21. Siano indicati
n
n ≥ 3 punti, che non appartengono a una stessa retta.
Dimostra che almeno
delle rette che collegano due punti sono diverse.
x1 , x2 , . . . , xn e y1 , y2 , . . . , ym numeri naturali, m, n ≥ 2, tali che le somme x1 + . . . +
xn e y1 +. . .+ym siano uguali e minori di mn. Dimostra che dall'equazione x1 +. . .+xn =
y1 + . . . + ym si possono cancellare dei numeri (non tutti), in modo da ottenere un'altra
22. Siano
equazione.
23.
n≥2
persone siedono al ristorante ad un tavolo rotondo. Si possono scegliere
3
menu.
Nessuna persona vuole mangiare lo stesso menu dei suoi due vicini. In quanti modi possono ordinare i loro pranzi queste persone?
Consigli per esercizi scelti
1. - 3. Analogamente all'esempio 1.
4. Prova per cominciare a trovare una formula per la somma in questione, quindi una formula
che non contenga più somme di questo tipo. Potresti aiutarti con una tabella per piccoli
valori di
n.
Poi dimostra questa formula per induzione.
5. - 6. Per il passo dell'induzione, dimostra che la dierenza tra due numeri consecutivi è divisibile per
6
o rispettivamente per
53.
8. Comincia a dimostrare per induzione che
an
è limitata. Un limite superiore adatto non è
dicile da trovare.
9. Induzione su
n.
Nota:
è richesta anche una condizione per avere l'uguaglianza.
Per
cominciare si deve quindi riettere su quali casi abbiano eettivamente l'uguaglianza. Si
deve poi dimostrare per induzione da una parte la disuguaglianza, e dall'altra parte la
condizione per l'uguaglianza. Procedere con cautela!
10. Qui si deve applicare la formula
che vale
n
k
n−1
= n−1
+ k−1 per i coecienti binomiali.
k
n
n!
.
=
k!(n − k)!
k
Ricordati
Con questo la formula è facilmente dimostrabile.
11. Per la parte (d), applica l'algoritmo di Euclide, rispettivamente l'uguaglianza
mcd(a, b ± a)
e la formula ricorsiva per
una formula ricorsiva per
formula esplicita per
an .
Fn .
mcd(a, b) =
Nella parte (e) si deve per prima cosa trovare
Confrontando con i numeri di Fibonacci si ottiene una
an .
12. Per poter fare il passo dell'induzione si deve in qualche modo togliere un'auto. Per farlo
in modo che funzioni, si deve però eliminare anche un pezzo di pista (perché?).
Cosa
succede con la benzina di qeust'auto? Una volta che si capisce come funziona questo, il
resto non è dicile.
Consiglio più specico :
c'è un'auto che con la sua benzina riesce ad arrivare almeno
alla prossima auto (come mai?). Elimina quest'auto e il pezzo di pista tra quest'auto e la
prossima. Togli tanta benzina a quest'auto, quanta gliene serve per arrivare alla prossima,
5
e metti quella che resta nel serbatoio della prossima auto. Adesso si può applicare l'ipotesi
dell'induzione.
13. Anche qui si devono eliminare dei punti, per poter utilizzare l'ipotesi dell'induzione, in
eetti se ne devono togliere
2.
Si deve però fare attenzione a non cancellare troppe linee
che congiungono due punti (perché?). È sempre fattibile?
14. Usa la formula del consiglio per l'esercizio 10.
17. Questo è un esercizio dicile. Si devono avere due buone idee. Il problema è troppo
specico, è molto più semplice dimostrare questa generalizzazione:
r q
√
m (m + 1) . . . N < m + 1
per ogni
N !),
2 ≤ m ≤ N.
Questa formula si può dimostrare per induzione su
ma al contrario, cioè: ssa
N
m
e dimostra la disuguaglianza prima per
(e non su
m = N,
e
poi giù
19. La semplice ma geniale idea è quella di provare a descrivere
1/a.
Prova con
n = 2, 3, 4
an + 1/an
attraverso
a+
e vedi come potrebbe essere. Inoltre: non scriverlo in modo
completamente esplicito, se no diventa troppo dicile. Basta accorgersi di come, grosso
n
n
modo, si possa descrivere a + 1/a .
21. Qui si deve usare un teorema che dimostreremo più tardi:
Se n punti non giacciono tutti su una stessa retta, allora esiste una retta su cui giacciono
esattamente due punti.
La dimostrazione di questo teorema è molto corta e elegante, ma dicile da trovare.
Potete quindi semplicemente applicare il teorema. Per il nostro esercizio, questo teorema
ci dà quindi una retta che contiente esattamente due punti
A e B.
Cancella uno di qeusti
due punti e applica l'ipotesi dell'induzione. Si può orientarsi con l'esempio 2.
22. Induzione su
m + n.
Il caso
m=n=2
è semplice. Per il passo dell'induzione si deve
riettere bene su quali numeri si possono cancellare, il che non è così semplice.
23. Sia
an
questo numero. Per cominciare si deve pensare a una formula ricorsiva per
an ,
il
resto è calcolo combinatorio allo stato puro. Alla ne si dovrebbe trovare una formula
esplicita per
an .
Per questo è utile calcolare i primi termini della successione e trovare un
modello. Poi puoi dimostrarlo per induzione.
Consiglio più specico :
per
n≥4
valgono
6
a2 = a3 = 6
e
an = an−1 + 2an−2 .