DIVISORI E MULTIPLI
Consideriamo il numero 20. Il numero 10 è contenuto nel 20 esattamente 2 volte: si dice che
il 10 è un divisore del numero 20.
(Possiamo anche dire che il 20 è divisibile per 10.)
Il numero 20 ammette anche altri divisori, cioè altri numeri che sono contenuti nel 20 un numero
esatto di volte. Ecco tutti i divisori del numero 20:
1
contenuto 20 volte
2
״ ״10
4
״ ״5
5
״ ״4
10
״2
״
20
״ ״1
Facciamo altri esempi:
NUMERO
12
15
8
28
12;
15;
8;
28;
SUOI DIVISORI
6;
4;
3;
2;
5;
3;
1.
4;
2;
1.
14;
7;
4;
2;
1.
1.
In generale per poter capire se un numero è divisibile per un altro, occorre eseguire la divisione del
primo per il secondo: se la divisione risulta senza resto (divisione esatta) allora il secondo numero è
contenuto esattamente nel primo e si può dire che è un suo divisore.
Esempi:
il 21 è divisibile per 3?
Sì: la divisione 21:3 dà per risultato 7 con resto uguale a zero;
allora il 3 è un divisore del 21.
Il 13 è divisibile per 5?
No: la divisione 13:5 dà per risultato 2 con resto uguale a 3;
il 5 non è un divisore del 13.
Per alcuni facili numeri esistono però delle regole che permettono di evitare la divisione:
Criteri di divisibilità
Criterio di divisibilità per 2 un numero è divisibile per 2 se la cifra delle unità è una delle seguenti:
0; 2; 4; 6; 8.
Criterio di divisibilità per 5 un numero è divisibile per 5 se la cifra delle unità è una delle seguenti:
0; 5.
Criterio di divisibilità per 3 un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è divisibile
per 3.
Facciamo qualche esempio:
il 258 è divisibile per 2?
il 995 è divisibile per 5?
il 405 è divisibile per 3?
il 113 è divisibile per 3?
Sì: la cifra delle unità è 8
Sì: la cifra delle unità è 5
Sì: la somma delle sue cifre è 9, che è divisibile per 3
No: la somma delle sue cifre è 5, che non è divisibile per 3
10
E ancora:
il numero 36 è divisibile contemporaneamente per 2 e per 3
il numero 135 è divisibile contemporaneamente per 3 e per 5
il numero 1230 è divisibile contemporaneamente per 2, per 3 e per 5
Altri Criteri di divisibilità:
Criterio di divisibilità per 9 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è divisibile
per 9.
Esempi: 1044 è divisibile per 9;
298 non è divisibile per 9.
Criterio di divisibilità per 10, 100 1000
un numero è divisibile per 10, 100, 1000 se termina
rispettivamente con 0, con 00, con 000
Esempi: 1470 è divisibile per 10;
2700 è divisibile per 100.
Criterio di divisibilità per 11 per capire se un numero è divisibile per 11 si fa la somma delle sue
cifre di posto dispari e la somma delle sue cifre di posto pari, se la
differenza tra questi due risultati è 0 oppure 11 (oppure22…), allora il
numero è divisibile per 11.
Esempi:
cifre di posto dispari:
3+6+4 = 13
447623
cifre di posto pari:
2+7+4 = 13
poiché 13 – 13 = 0, allora 447623 è divisibile per 11.
46253
cifre di posto dispari: 3+2+4 = 9
cifre di posto pari:
5+6=11
poiché 11 – 9 = 2 (diverso da zero), allora 46253 non è divisibile per 11.
Esercizi:
1)
Completa la seguente tabella (come nelle prime due righe):
Numero
Divisibile per 2 Divisibile per 3 Divisibile per 5
9262
x
11520
x
x
x
3246
1782
32400
4356
21780
12100
50625
117128
9201
Divisibile per 11
x
2)
Al posto del trattino scrivi una cifra tale che i seguenti numeri siano divisibili per 3:
23_10;
_1111;
876_;
1_4221;
55_1
3)
Al posto del trattino scrivi una cifra tale che i seguenti numeri siano divisibili per 11:
23_10;
_1114;
876_;
1_4221;
95_1
11
Consideriamo il numero 5. Se lo moltiplichiamo per un qualsiasi numero intero otteniamo un
multiplo di 5. Per esempio, il 10, il 15, il 20, il 25, ecc. sono multipli del numero 5.
Possiamo dire che un multiplo di un numero lo contiene esattamente un certo numero di volte: così
il 10 contiene il 5 due volte, il 30 contiene il 5 sei volte,ecc: il 10 e il 30 sono multipli del 5.
Al contrario dei divisori di un certo numero (che sono limitati), i suoi multipli sono infiniti: se ne
possono trovare quanti se ne vogliono…
Si dice numero pari qualsiasi numero multiplo di 2.
Minimo comune multiplo
Consideriamo in ordine crescente alcuni multipli del numero 2 e del numero 3:
multipli di 2:
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20…
multipli di 3:
3; 6; 9; 12; 15; 18; 21…
Notiamo che alcuni di questi multipli sono in comune: il 6; il 12; il 18 sono contemporaneamente
multipli sia del numero 2 che del numero 3.
Il più piccolo di questi è il numero 6: lo chiameremo minimo comune multiplo dei numeri 2 e 3 e
useremo la seguente scrittura:
mcm (2; 3) = 6
Facciamo un altro esempio, cercando il minimo comune multiplo dei numeri 3, 4 e 6:
multipli di 3:
3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27…
multipli di 4:
4; 8; 12; 16; 20; 24; 28…
multipli di 6:
6; 12; 18; 24; 30; 36…
Anche tra i pochi multipli qui indicati, si nota che il 12 e il 24 sono multipli comuni. ( Per trovarne
altri basterebbe scriverne molti ancora…). Tra i multipli comuni, comunque, il 12 è il più piccolo:
potremo scrivere
mcm (3; 4; 6) = 12
Esercizi:
1)
Trova il mcm delle seguenti coppie di numeri: (3; 4)
2)
Trova il mcm delle seguenti coppie di numeri: (8; 10)
(4; 6) (8; 12)
(5;6) (4; 20)
(9; 12)
(10; 15)
(16;18)
Numeri primi
Abbiamo già osservato, parlando dei divisori di un numero, che ogni numero è divisibile per 1 e per
se stesso.
Proviamo a scrivere i divisori del 16: 1; 2; 4; 8; 16
e i divisori del 17:
1; 17.
Nel caso del numero 16 abbiamo trovato parecchi divisori, mentre per il 17 i divisori sono soltanto
due: l’unità e il numero stesso.
Tutti i numeri che ammettono come divisori solamente 1 e se stessi si dicono numeri primi.
È facile verificare che tutti i numeri seguenti sono numeri primi:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31 …..
12
