sfere di hill

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SFERE DI HILL
Ing. Pier Franz Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto
Riassunto:
In questo documento esaminiamo la sfera di Hill che indica le dimensioni della sfera
di influenza gravitazionale di un corpo celeste rispetto alle perturbazioni di un altro
corpo, di massa maggiore, attorno al quale esso orbita.
Possiamo definirla una vera e propria sfera di protezione o di schermo difensivo
gravitazionale dove tutto ciò che è al suo interno e quindi un 3° corpo orbita attorno
al corpo minore anche se ci fosse una forza gravitazionale maggiore esercitata sul 3°
corpo dal corpo di massa maggiore.
Inoltre con la sfera di Hill si spiegano perché la Luna è attratta dalla Terra e non dal
Sole, la formazione stessa della Luna e si cerca di calcolare la massa del buco nero
supermassiccio che si trova al centro della nostra Galassia.
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Indice:
1. PERCHE’ LA LUNA È ATTRATTA DALLA TERRA E NON DAL SOLE? ..................................................................... 3
2. SFERA DI HILL .................................................................................................................................................................. 4
3. TABELLA DEI RAGGI DELLE SFERE DI HILL ............................................................................................................. 5
4. FORMAZIONE DELLA LUNA ......................................................................................................................................... 7
5. CALCOLO DELLA MASSA DEL BUCO NERO SUPERMASSICCIO AL CENTRO DELLA VIA LATTEA............... 9
7. RIFERIMENTI (sul nostro sito, salvo diversa indicazione) ............................................................................................. 16
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1. PERCHE’ LA LUNA È ATTRATTA DALLA TERRA E NON DAL
SOLE?
La forza gravitazionale è data dalla seguente formula di Newton:
F =G
m1m 2
,
r2
dove:
•
•
•
•
•
F è l'intensità della forza tra le masse,
G è la costante di gravitazione universale = 6,67 × 10-11 Nm²/kg2,
m1 è la prima massa,
m2 è la seconda massa, e
r è la distanza tra i centri delle masse.
Massa Terra = 5,9736 × 1024 kg
Massa Luna = 7,34 10^22 Kg
Massa Sole = 1,9891 × 1030 kg
Distanza media Sole-Luna = 1,492 x 10^11 m
Distanza media Terra-Luna = 3,84 x 10^8 m
Applicando questi dati sulla formula si ottengono le 2 forze gravitazionali di attrazione
reciproca che sono le seguenti:
Forza Sole-Luna = 4,38 10^20 N
Forza Terra-Luna= 1,98 10^20 N
E quindi la forza gravitazionale del Sole sulla Luna è circa 2,2 volte maggiore della
forza gravitazionale esercitata dalla Terra.
Ma allora perché la Luna orbita attorno alla Terra e non gira attorno al Sole?
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La risposta è che esiste una sfera di influenza gravitazionale di protezione chiamata
sfera di Hill.
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2. SFERA DI HILL
La sfera di Hill (il cui raggio è detto raggio di Hill) indica le dimensioni della sfera di
influenza gravitazionale di un corpo celeste rispetto alle perturbazioni di un altro corpo,
di massa maggiore, attorno al quale esso orbita.
Possiamo definirla una vera e propria sfera di protezione gravitazionale dove tutto ciò
che è al suo interno e quindi un 3° corpo orbita attorno al corpo minore anche se ci fosse
una forza gravitazionale maggiore esercitata sul 3° corpo dal corpo di massa maggiore.
Se il corpo minore di massa m, orbita attorno ad uno maggiore di massa M con un
semiasse maggiore a e una eccentricità di e, allora il raggio r della sfera di Hill del
corpo minore è
r ≈ a(1 − e )3
m
3M
Quando l'eccentricità è trascurabile (il caso più favorevole per la stabilità orbitale), la
formula diventa
r ≈ a3
m
3M
Per esempio, la Terra (m = 5,9736 × 1024 kg) orbita intorno al Sole (M =
1,9891 × 1030 kg) ad una distanza di circa 1,49597870691 × 108 km. La sfera di Hill per
la Terra si estende a circa 1,496505 × 106 km (0,01 UA).
L'orbita della Luna, ad una distanza di circa 3,844 × 105 km dalla Terra, è
confortevolmente all'interno della sfera gravitazionale di influenza della Terra e non è
quindi a rischio di essere attratta in un'orbita indipendente intorno al Sole.
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3. TABELLA DEI RAGGI DELLE SFERE DI HILL
CORPO a
m
M
Terra
1,50E+08 5,97E+24 1,99E+30
Luna
Nettuno
Sole1
Sole2
3,84E+05
4,50E+09
2,46E+17
2,46E+17
7,34E+22
1,02E+26
1,99E+30
1,99E+30
5,97E+24
1,99E+30
1,16E+49
1,16E+46
RAGGIO RAPPORTO
RAGGIO
DEL
TRA I 2
SFERA DI HILL
CORPO RAGGI
235≈233
n.di
Fibonacci
1500000
6370
35≈34 n.di
61451
1740
Fibonacci
115901163
24500
4731*
94774838110
695000
136367**
947748381101
695000
1363667***
* 4731 ≈ media 4674,5 tra i due numeri di Fibonacci alternati 2584 e 6765
(rispettivamente il 18° e il 2à numero di Fibonacci (il 19° è 4181)
** 136367 ≈ 121393 = 26° numero di Fibonacci
*** 1363667≈ 1346269 = 31° numero di Fibonacci
Poiché 34 è il 9° numero di Fibonacci, e 233 è il 13°, possiamo dire che
9, 13, 19, 26 e 31 come numeri d’ordine dei rispettivi numeri di Fibonacci,
sono anch’essi molto vicini a numeri di Fibonacci :
9= 8 +1
13 esso stesso numero di Fibonacci,
19 =21- 2
26 ≈ 27,5 media tra 21 e 34; con 26 -21 = 5 e 34 -26 =8
31=34 - 3
Dove anche le piccole differenze 1, 2, 3, 5 e 8 sono anch’esse numeri di Fibonacci
Questa eventuale connessione con i numeri di Fibonacci potrebbe essere
interessante, poiché altre simili connessioni sono presenti in astronomia, come per
esempio la legge astronomica di Bode sulle distanze dei pianeti dal Sole, sia
espresse in milioni di km sia espresse in U.A.( Unità astronomiche)
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Nota: Nettuno è stato inserito perché è il pianeta del sistema solare che presenta il
raggio più grande della sfera di Hill rispetto a tutti gli altri pianeti.
Ecco un istogramma sui valori dei pianeti del sistema solare:
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4. FORMAZIONE DELLA LUNA
Ci sono diverse ipotesi per spiegare la formazione della Luna che, in base alla datazione
isotopica dei campioni di roccia lunare portati sulla Terra dagli astronauti, risale a 4,527
± 0,010 miliardi di anni fa, cioè circa 50 milioni di anni dopo la formazione del sistema
solare.
Siccome la forza gravitazionale esercitata dal Sole è più di 2 volte la forza
gravitazionale esercitata dalla Terra possiamo escludere la cattura gravitazionale di un
satellite già formatosi, che però sarebbe stato catturato dal Sole.
L’ipotesi sull'origine per fissione della crosta terrestre a causa della forza centrifuga, che
però richiederebbe un valore iniziale troppo elevato per la rotazione terrestre e quindi va
anche scartata.
Un’altra teoria è quella secondo la quale essa si sia formata a seguito della collisione di
un planetesimo, chiamato Theia, delle dimensioni simili a quelle di Marte con la Terra
quando quest'ultima era ancora calda, nella prima fase della sua formazione. Il materiale
scaturito dall'impatto rimase in orbita intorno alla Terra e per effetto della forza
gravitazionale si riunì formando la Luna. Detta comunemente la Teoria dell'Impatto
Gigante, è supportata da simulazioni pubblicate nell'agosto 2001. Una conferma di
questa tesi deriva dal fatto che la composizione della Luna è pressoché identica a quella
del mantello terrestre privato degli elementi più leggeri, evaporati per la mancanza di
un'atmosfera e della forza gravitazionale necessarie per trattenerli.
Uno studio del maggio 2011 porta elementi che tendono a smentire questa ipotesi. Lo
studio, eseguito su campioni vulcanici lunari, ha permesso di misurare nel magma
lunare una concentrazione d'acqua 100 volte superiori a quelle precedentemente stimate.
Secondo la teoria dell'impatto l'acqua dovrebbe essersi dissolta quasi completamente
durante l'impatto mentre dai dati qui ricavati la quantità d'acqua stimata è simile a quella
presente nella crosta terrestre.
Questa ipotesi non si adatterebbe molto bene perchè un corpo grande delle dimensioni
di Marte, non potrebbe impattare con la Terra perchè sarebbe prima attratto dal Sole.
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L’ipotesi della co-formazione di entrambi i corpi celesti nel disco di accrescimento
primordiale è quella che si adatta meglio di tutte le altre e sarebbe possibile perché la
Luna, in questo modo, nascerebbe all’interno della sfera di Hill e quindi non potrebbe
più essere attratta dalla forza gravitazionale maggiore del Sole.
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5. CALCOLO DELLA MASSA DEL BUCO NERO
SUPERMASSICCIO AL CENTRO DELLA VIA LATTEA
Il Sole orbita a una distanza dal centro della Via Lattea stimata in 26 000 ± 1400 anni
luce (7,62 ± 0,32 kpc).
Il diametro della Galassia è stimato essere di 100.000 a.l.
Il sistema solare impiega 225–250 milioni di anni per completare una rivoluzione
attorno al centro della Galassia (anno galattico); perciò il Sole avrebbe completato 20–
25 orbite dal momento della sua formazione ed 1/1250 di orbita dalla comparsa
dell'essere umano sulla Terra. La velocità orbitale della nostra stella è di circa 220 km/s;
a questa velocità il sistema solare impiega circa 1 400 anni per percorrere la distanza di
un anno-luce, ossia 8 giorni per percorrere una unità astronomica (UA).
Il Centro della Via Lattea, noto anche come Centro Galattico, è il centro rotazionale
della Via Lattea; e dove si trova un buco nero supermassiccio.
Applicando la formula della sfera di Hill ci manca il dato della massa di questo enorme
buco nero supermassiccio, però possiamo cercare di stimare i valori minimo e massimo
considerando che il raggio della sfera di Hill sia compreso fra r=0,01 a.l (630 UA) e
r=0,1 a.l (6300UA).
Ovviamente non possiamo scegliere dei valori superiori perché a 4,23 a.l. si trova la
stella più vicina al Sole, Proxima Centauri.
La formula può essere riesposta come segue:
3
r3
m
≈
3
M
a
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Quindi si ha:
per r=0,01 a.l (630 UA)
M - Massa buco nero supermassiccio = 1,16 x 10^49
per r=0,1 a.l. (6300 UA)
M - Massa buco nero supermassiccio = 1,16 x 10^46
I dati sono indicati nella tabella rispettivamente con le righe Sole1 e Sole2.
Quindi la massa del buco nero supermassiccio è compresa tra:
1,16 x 10^46 < M < 1,16 x 10^49
Questi valori rapportati alla massa del Sole sono compresi tra:
5,86 x 10^15 < M Sole < 5,86 x 10^18
Questi valori non contraddicono la massa stimata della nostra Galassia che è circa 6,82
x 10^11 masse solari calcolata però solo sul numero stimato di stelle presenti fra 200 e
400 miliardi.
Addirittura questi valori così grandi potrebbero spiegare che la materia oscura non
sarebbe necessaria perché i calcoli stimati sulla massa del buco nero supermassiccio
sono di 4,1 x 10^6 masse solari, un valore che dai nostri calcoli è molto più piccolo.
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6. POSSIBILI CONNESSIONI TRA GLI ANELLI DI SATURNO, I
NUMERI CUBICI E I NUMERI DI FIBONACCI
Possibili connessioni tra cubi (somme righe n^3) e serie di Fibonacci per gli anelli di
Saturno, Rif. 3 dal quale riportiamo il seguente brano:
“Il professor Nikolai Brilliantov del Dipartimento di Matematica dell’Università di Leicester,
uno degli autori di questo studio, ha spiegato che la distribuzione dei frammenti degli anelli
segue una legge matematica dell’inverso del cubo per quanto riguarda le loro dimensioni. Ad
esempio, i frammenti di 2 metri di lunghezza sono 8 volte meno comuni di quelli di 1 metro di
lunghezza perché 8 è 2 elevato al cubo. I frammenti di 3 metri di lunghezza sono 27 volte meno
comuni di quelli di 1 metro perché 27 è 3 elevato al cubo.
Questa ricerca si è concentrata in particolare sugli anelli di Saturno ma la regola vale anche per
quelli di Giove, Urano, Nettuno, Chariklo e qualsiasi altro corpo celeste dotato di anelli. È un
modello matematico che può essere applicato anche a corpi celesti esterni al sistema solare anche
se al momento è impossibile verificarlo….”
Cubi
a
1
8
27
64
125
216
343
Fibonacci
inferiori
b
1
5
21
55
89
144
233
vicini Fibonacci
superiori
c
1
13
34
89
144
233
377
vicini Differenze a-.b. cb
0
0
3
5
6≈5
13
9 ≈8
25≈21
36 ≈34 19 ≈ 21
72 17 medie
110
≈116,5*
34
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512
377
610
729
610
987
1000
987
1597
….
….
…
135≈144
233
119
≈116,5*
258≈ 233
13
5 97≈
610
…
…
116,5= media tra 89 e 144, poiché (89 +144)/2 =116,51
Notiamo che un cubo è sempre compreso tra due numeri di Fibonacci successivi, con
differenze da questi anch’esse numeri di Fibonacci o molto vicine a numeri di
Fibonacci (in verde)
Questo perché i cubi fino a 10^n sono quasi quanto i numeri di Fibonacci (circa 5n,
dei quali 1,5n primi di Fibonacci), mentre i cubi sono 2 fino a 10, 4 fino a 100, 10
fino a 1000. Quindi inizialmente pari a circa 2n, per 1000 sono 10 ≈ 3n =3*3 = 9,
e 10^=0,3333 = 9,997
Fino a 10000 ce ne saranno circa 10000^0.3333= 21,53, in realtà sono 21; e 21/4 =
5,38 ≈ 5n come per i 20 numeri di Fibonacci fino a 10 000, 20/2n = 20/4 = 5, 20 =
5=5*4 = 20
Anche questa è una connessione iniziale con i numeri di Fibonacci, e applicabile
con la relazione riguardante gli anelli di Saturno e/o altri pianeti “anellati”
Rapporti successivi tra cubi (connessioni con 1,618, tramite radici successive dei
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singoli rapporti
Tabella n^3
8
27
64
125
216
343
(n-1)^3
1
8
27
64
125
216
(n^3)/ (n-1)^3
8
3,375
2,370
1,953
1,728
1, 587
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
3375
….
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2744
….
1,492
1, 423
1,371
1,331
1.298
1,271
1,248
1,229
TOTALE 21,676
21,676/13=1,667
circa 1,628
≈
(media
con
1,728) = 1,657
circa 1,618
Se facciamo la media aritmetica tra i tutti i 14 valori dei rapporti successivi (tranne
l’8 iniziale anomalo (troppo elevato rispetto ai successivi, quindi ne consideriamo
solo 13), otteniamo: 1,667 molto vicino a 1,618 numero aureo.
Ecco quindi come la relazione tra le dimensioni dei corpuscoli negli anelli di
Saturno con i numeri cubici, possa essere estesa anche ai numeri di Fibonacci,
presenti anche in altre questioni astronomiche (per es. la legge astronomica di Blode,
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e il Monstrous Moonshine, (Rif. 5) connesso a un certo tipo di buchi neri) , oltre
che alle sfere di Hill oggetto di questo lavoro.
Segnaliamo anche, per semplice curiosità, che i numeri cubici sono la somma di
numeri particolari, per esempio i numeri dispari nelle righe dei triangoli numerici:
Triangolo numerico di tipo b) numeri dispari
somma righe =
cubi n^3
1
1
3 4
5
8
7
9
11
27
13 15 16 17 19
64
21
23
25
27
29
125
… … … ….
…
(da un nostro lavoretto in corso di preparazione, Triangoli numerici) .
Ma anche , tra gli infiniti triangoli Tk di Tartaglia , nostra estensione del Triangolo
di Tartaglia , T1, , notiamo che in T2 la somma dei termini di ogni n riga equivale a
n^3. (in T1, com’è già noto, equivale ad n^2), Rif. 4, pag. 5
Circa un ‘ altra connessione tra numeri di Fibonacci e fenomeni astronomici, vedere Rif.
5, sul gruppo mostro moonshine , che riguarderebbe anche i buchi neri, e
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matematicamente connesso con i numeri iniziali di Fibonacci (nostra osservazione).
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7. RIFERIMENTI (sul nostro sito, salvo diversa indicazione)
- 1) Wikipedia
- 2) La legge astronomica di Bode e i numeri di Fibonacci
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
3) Una spiegazione per un mistero sulla struttura degli anelli di Saturno
Massimo Luciani August 7, 2015 0 link
tachyonbeam.com/.../una-spiegazione-per-un-
mistero-sulla-struttura-degl...
4) I N F I N I T I T R I A N G O L I (Tk) D I T A R T A G L I A
(possibili applicazioni in geometria (k + 2) - dimensionale)
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
5) POSSIBILI CONNESSIONI TRA IL MOUSTROUS MOONSHINE,
ALCUNI GRUPPI ALGEBRICI E I NUMERI DI FIBONACCI
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pierfrancesco Roggero
dal quale riportiamo l’abstract e il riassunto:
Abstract
In this paper we will propose some connections between Monstrous moonshine, or a
some algebraic groups, and Fibonacci numbers.
Theese connections could be very interesting in physical phenomena as black holes.
Riassunto
Studiando alcuni gruppi algebrici, abbiamo notato qualche connessione con i numeri di
Fibonacci. Qui mostreremo brevemente tali connessioni, e rimandiamo la dimostrazione
in futuro o, in alternativa, la proponiamo ad altri fisici e matematici eventualmente
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interessati, poiché tali connessioni potrebbero essere interessanti anche per alcuni
fenomeni fisici, per es. buchi neri..