Gli insiemi numerici
L’insieme N
•
•
•
•
Insieme dei numeri naturali
N = {0; 1; 2; 3; 4; …}
Sono i numeri “che si usano per contare”
È un insieme infinito (ogni numero naturale
ha un successivo)
• È un insieme ordinato, cioè è possibile
introdurre una relazione d’ordine (<)
L’insieme N
• In questo insieme sono interne due
operazioni:
– Addizione
– Moltiplicazione (ed elevamento a potenza)
• Equivalentemente si dice che l’insieme N è
chiuso rispetto all’addizione e alla
moltiplicazione.
• Ampliamo l’insieme N in modo che si
possano svolgere anche tutte le sottrazioni.
• L’insieme N si può “ampliare” aggiungendo
i numeri negativi.
• Nasce così l’insieme Z dei numeri interi.
L’insieme Z
•
•
•
•
È l’insieme dei numeri interi
Z = {0; +1; -1; +2; -2; …}
È un insieme infinito
Contiene:
– Numeri negativi
– Zero
– Numeri positivi
L’insieme Z
• Identificando i numeri positivi con quelli
naturali ((considerando Z+=N), possiamo
dire che N è un sottoinsieme di Z.
Z
N=Z+
L’insieme Z
• Z è chiuso rispetto alle operazioni:
– Addizione e sottrazione
– Moltiplicazione (ed elevamento a potenza)
• Ampliamo l’insieme Z in modo che
si possano svolgere anche tutte
(quasi) le divisioni.
• L’insieme Z si può “ampliare”
aggiungendo le frazioni.
• Nasce così l’insieme Q dei numeri
razionali.
• Ancora non possiamo svolgere tutte le
divisioni, ma quasi tutte…
– Quanto fa 0 : 3 ? Perché?
– Quanto fa 3 : 0 ? Perché?
– Quanto fa 0 : 0 ? Perché?
• 0 : 3 = 0 perché 0 x 3 = 3
• 3 : 0 = nessun un numero!
– Infatti nessu numero, moltiplicato per 0 dà 3
• 0 : 0 = qualsiasi numero!
– Infatti qualsiasi numero, moltilpicato per 0
dà 0
Quindi:
• Escludiamo le divisioni con divisore 0,
che sono:
– Impossibili se il dividendo è diverso da zero
– Indeterminate se il dividendo è uguale a zero
L’insieme Q
• È l’insieme dei numeri razionali (ratio =
rapporto)
• Q = {a/b : a, b sono numeri interi,
a è diverso da 0}
• Quindi Q è un insieme infinito, che ha Z
come sottoinsieme
L’insieme Q
Q
Z
N=Z+
L’insieme Q
• Q è chiuso rispetto alle operazioni:
– Addizione e sottrazione
– Moltiplicazione (ed elevamento a
potenza) e divisione*
• Ampliamo l’insieme Q in modo che
si possa svolgere anche l’operazione
inversa dell’elevamento a potenza.
• Tutte???
• Ci porterà a generare l’insieme R
dei numeri reali.
L’insieme R
• È un insieme infinito
• È chiuso rispetto a:
– Addizione e sottrazione
– Moltiplicazione e divisione*
– Estrazione di radice di indice dispari
– Estrazione di radice di indice pari di
numeri positivi
L’insieme R
• Contiene:
– numeri razionali (in Q)
– numeri irrazionali (in R meno Q)
(esempi: radice di due, radice di tre,
pi-greco,…)
L’insieme R
R
Q
Z
N=Z+
Esempi…
R
-√2
π
+2/3
-3/4
Q
+0,333…
Z
N=Z+
0
-1
+1
1) Il problema algebrico
Insieme
numerico
Operazioni interne
N
Addizione
Moltiplicazione-Elevamento a potenza
Z
Addizione,
Moltiplicazione - Elevamento a potenza
Sottrazione
Q
Addizione,
Moltiplicazione - Elevamento a potenza
Sottrazione
Divisione
?
Voglio che diventi interna l’operazione inversa
all’elevamento a potenza
Qual è l’operazione inversa
dell’elevamento al quadrato?
La RADICE QUADRATA di un numero a
positivo o nullo è quel numero, positivo o
nullo, che elevato al quadrato dà come risultato
a.
a =b
se a=b2 con a ≥ 0
e b≥ 0
Q non è chiuso rispetto all’estrazione
di radice quadrata, infatti ci sono
alcuni numeri che non hanno la
radice quadrata in Q.
Vediamo il caso del numero 2
Cerchiamo in N…
Cerchiamo in Q…
Supponiamo che ci sia una frazione
ridotta ai minimi termini che abbia
come quadrato 2.
2
⎛ a ⎞
⎜ ⎟ = 2
⎝ b ⎠
Ma a non è multiplo di b, quindi
nemmeno a a è frazione apparente.
bb
Come fa una frazione non apparente ad essere uguale a 2 ?
Abbiamo ottenuto una contraddizione!!!
Quindi non esiste alcun numero razionale che abbia come
quadrato 2.
Proviamo a cercare quel numero che elevato al quadrato dà 2.
(1) 2 < 2 < (2) 2
Se cerco quello con una cifra decimale?
2
(1,....) < 2 < (1,....)
2
2) Problema storico,
alla scuola di Pitagora
È possibile trovare una unità di misura
che sia contenuta un numero intero di volte
sia nel lato
sia nella diagonale di qualsiasi quadrato?
Tutto è
numero
Pitagora
Samo 470 a.C. – Metaponto 495 a.C.
Se il lato del quadrato si può ricoprire
con un numero intero di palline senza
lasciare spazi vuoti...
...si potrà fare lo stesso per la
diagonale?
Se il lato del quadrato si può ricoprire
con un numero intero di palline...
...si potrà fare lo stesso per la
diagonale?
Questa non è una soluzione accettabile:
non si possono lasciare spazi vuoti!
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
Non funziona!
Si riuscirà in qualche modo?
Lato e diagonale di un quadrato
qualsiasi sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Lato e diagonale di un quadrato sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Lato e diagonale di un quadrato sono
incommensurabili :
è impossibile trovare un’unità di misura che
sia contenuta un numero intero di volte
tanto nel lato quanto nella diagonale
Rivediamo la dimostrazione proposta
nel dialogo tra Ippaso e i pitagorici.
Supponiamo che:
n
m
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
Supponiamo che:
C
D
b
a
A
B
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
C
D
Supponiamo che:
b
a
A
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
Teorema di Pitagora
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
a=2c
a2=4c2
2b2=4c2
a/b è ridotta ai minimi
termini
b è dispari
b2=2c2
b2 è pari
contraddizione
b è pari
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
cioè che esista una unità di
misura contenuta a volte nella
diagonale e b volte nel lato...
b
a
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
…. questa affermazione ci porterà a delle
conclusioni contraddittorie.
b è dispari
contraddizione
b è pari
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
…. questa affermazione ci porterà a delle
conclusioni contraddittorie.
Perciò dobbiamo concludere che:
lato e diagonale sono incommensurabili
