07 - Derivate ed applicazioni del calcolo differenziale

Università degli Studi di Palermo
Facoltà di Economia
CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale
Appunti del corso di Matematica
07 - Derivate ed
applicazioni del calcolo
differenziale
Anno Accademico 2013/2014
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
1. Introduzione
1. Introduzione
Nelle due ﬁgure riportate di seguito sono riportate due rette secanti
una curva e passanti per i punti A e B. E’ interessante esprimere le
coordinate del punto B in funzione della distanza h dall’ascissa di A. Il
punto A è identiﬁcato dalle coppia ordinata (x0 , f (x0 )). Ad esempio, in
ﬁgura 1, A = (0.50, 0.45). Dalle coordinate di A possiamo immediatamente ottenere le coordinate di qualsiasi punto B la cui ascissa disti ∆x,
con ∆x > 0, dall’ascissa di A: B = (x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)). L’equazione
della retta passante per due punti A = (xA , yA )) e B = (xB , yB ))
y − yA
x − xA
=
,
yB − yA
xB − xA
da cui, esplicitando la y, otteniamo:
yB − yA
y=
(x − xA ) + yA .
xB − xA
Questa equazione ci consente di esprimere il coeﬃciente angolare, cioé
la pendenza, della retta in funzione delle coordinate dei due punti:
yB − yA
m=
.
xB − xA
Quindi, se applichiamo questa formula al calcolo del coeﬃciente angolare della retta secante i punti A = (x0 , f (x0 )) e B = (x0 + ∆x, f (x0 +
∆x)) otteniamo:
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
m=
.
∆x
Tale quantità prende il nome di rapporto incrementale della funzione f relativo al punto x0 e all’incremento ∆x. Se facciamo tendere
Figure 1. Esempi di rette secanti una curva.
a 0 la quantità ∆x, allora i punti A e B tenderanno a sovrapporsi e
(x0 )
il limite per ∆x tendente a 0 del rapporto incrementale f (x0 +∆x)−f
,
∆x
se ﬁnito, rappresenterà il coeﬃciente angolare della retta tangente alla
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3
1. Introduzione
curva nel punto A = B = (x0 , f (x0 )) e verrà indicato con la notazione
f ′ (x0 ).
1.1. Definizione di funzione derivabile e derivata. Una funzione f : A ⊆ R → R si dice derivabile in x0 ∈ A se il limite
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x→0
∆x
lim
esiste ﬁnito. Il valore assunto da tale limite é detto derivata di f in
x0 e si denota con f ′ (x0 ).
Se il precedente limite esiste ﬁnito ∀x0 ∈ A, allora diremo che la funzione é derivabile in A.
Se il precedente limite non é ﬁnito o non esiste, diremo che la funzione
non é derivabile in x0 .
Esempi 1.1
• Derivata della funzione f (x) = x.
Calcoliamo il limite del rapporto incrementale in un generico punto x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
(x0 + ∆x) − x0
lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
x0 + ∆x − x0
= 1.
= lim
∆x→0
∆x
Quindi, la derivata della funzione f (x) = x é pari ad uno.
• Derivata della funzione x2 . Sia f (x) = x2 e calcoliamo
il limite del rapporto incrementale nel generico punto x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
(x0 + ∆x)2 − x20
lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
x2 + ∆x2 + 2x ∆x − x2
=
= lim
∆x→0
h
∆x2 + 2x ∆x
= lim
=
∆x→0
∆x
= lim ∆x + 2 x = 2 x.
∆x→0
Quindi la derivata della funzione f (x) = x2 è una funzione
di x e, in particolare, è una funzione lineare passante per
l’origine: f ′ (x) = 2 x. In ﬁgura 2 è riportata f (x) = x2 e
la sua derivata f ′ (x) = 2 x. Si osservi che la tangente in
A = (−1, 1) ha come pendenza m = −2, che è proprio il
valore che assume f ′ (x) in x = −1.
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1. Introduzione
Trattandosi del calcolo di un limite, la funzione non ammetterá
derivata in x0 quando
lim +
.
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
̸= lim −
∆x→0
∆x
∆x
In questo caso avremo invece una derivata destra ed una derivata
sinistra della funzione in x0 .
Vediamo ora alcuni esempi di derivata di una funzione.
Figure 2. Graﬁco della funzione f (x) = x2 e della sua
derivata f ′ (x) = 2 x.
In generale, se una funzione f è derivabile in x0 , la retta passante
per il punto (x0 , f (x0 )), tangente alla funzione f , ha come coeﬃciente
angolare f ′ (x0 ) e la sua equazione è data da
y − f (x0 ) = f ′ (x0 ) (x − x0 )
Si osservi inoltre che tale retta è la migliore approssimazione lineare di
f nell’intorno di x0 .
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1. Introduzione
Esercizio 1.1
√
Veriﬁcare che le derivate delle funzioni f (x) = x e g(x) = x1 sono,
rispettivamente:
1
f ′ (x) = √ ,
2 x
1
g ′ (x) = − 2 .
x
√
Si noti che la funzione f (x) = x NON é derivabile in x0 = 0,
nonostante sia ivi deﬁnita.
Un altro esempio di funzione deﬁnita e continua in 0, ma ivi non
derivabile è la funzione f (x) = |x|. Infatti, facendo il limite del rapporto incrementale in x = 0 otteniamo:
|∆x| − 0
+∆x
= lim +
=+1
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
|∆x| − 0
−∆x
lim −
= lim −
=−1
∆x→0
∆x→0
∆x
∆x
Quindi, poiché limite destro e limite sinistro del rapporto incrementale
sono diversi, allora il limite non esiste e la funzione NON è derivabile
in x0 = 0.
Si noti invece che essa lo è ∀x > 0 in cui f ′ (x) = 1 e ∀x < 0 in cui
f ′ (x) = −1.
Il seguente teorema mostra che la continuità è condizione necessaria
(ma non suﬃciente) alla derivabilità.
lim +
Teorema 1.1 (Continuità e derivibilità). Se f è una funzione
derivabile in x0 ∈Dom(f ) allora f è continua in x0 .
Proof. Dalla deﬁnizione di derivata abbiamo che esiste ﬁnito il
limite del rapporto incrementale di f in un intorno di x0 :
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
= f ′ (x0 ).
∆x→0
∆x
La condizione di continuità richiede che limx→x0 f (x) = f (x0 ) che,
posto x = x0 + ∆x, possiamo riscrivere lim∆x→0 f (x0 + ∆x) = f (x0 )
ovvero che lim∆x→0 f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 0.
Nel nostro caso abbiamo:
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆x =
lim f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim
∆x→0
∆x→0
∆x
lim
= f ′ (x0 ) · lim ∆x = f ′ (x0 ) · 0 = 0.
∆x→0
Quindi lim∆x→0 f (x+∆x)−f (x) = 0 e pertanto f è continua in x0 . Come per il calcolo dei limiti, la determinazione delle derivate per
funzioni più complesse si basa sui seguenti teoremi.
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D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
2. Notazione di Lagrange, notazione di Leibniz e derivate successive
Teorema 1.2. Sia α ∈ R ed f e g due funzioni derivabili in x,
allora:
(1) (f + g)(x) = f (x) + g(x) ⇒ (f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x);
(2) (α · f )(x) = α f (x) ⇒ (α · f )′ (x) = α f ′ (x);
′
′
′
(3) (
(f )
· g)(x) = f (x) · g(x) ⇒ (f(· g)
) (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x);
(4)
(5)
1
g
(x) =
1
,
g(x)
g(x) ̸= 0 ⇒
f
g
(x) =
f (x)
,
g(x)
g(x) ̸= 0 ⇒
( )
1
g
′
( )′
f
g
′
g (x)
(x) = − g(x)
2;
(x) =
f ′ (x)g(x)−f (x)g ′ (x)
;
g(x)2
2. Notazione di Lagrange, notazione di Leibniz e derivate
successive
Finora abbiamo utilizzato la notazione di Lagrange per indicare la
derivata di una funzione. Un’altra notazione molto usata è la notazione
introdotta da Leibniz che rende esplicita la variabile rispetto alla quale
una funzione y viene derivata:
dy
se y è funzione di x,
dx
dy
se y è funzione di t,
dt
eccetera. Cosı̀, se y = x3 , scriveremo
dy
= 3 x2 ,
dx
mentre, se y =
1
t2
scriveremo:
dy
2
= −2 t−3 = − 3 ,
dt
t
√
o, ancora, se y = z allora
dy
1
= √ .
dz
2 z
La notazione con la doppia d può essere usata come preﬁsso dell’espressione
che deve essere derivata. Ad esempio:
d 2
d
(x − 2)2 = 2 (x − 2); oppure
(t + 2 t − 1) = 2 t + 2
dx
dt
Nella notazione di Leibniz, ad esempio, alcune delle regole di derivazione
già viste si scrivono:
d
d
d
[f (x) + g(x)] =
f (x) + g(x) =
dx
dx
dx
[
]
1
1
−1 d
d
g(x) = 2
=
2
dx g(x)
[g(x)] dx
g
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df
dg
+ ;
dx dx
dg
.
dx
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3. Derivazione delle funzioni composte
Come osservato in procedenza, quando si deriva una funzione si ottiene una nuova funzione. Quest’ultima può essere a sua volta derivata
cosı̀ da ottenere la derivata seconda. Derivando ancora si ottiene la
derivata terza, e cosı̀ via. Nella notazione di Lagrange, se f (x) = 4 x5
si ha:
f ′ (x) = 20 x4 ; f ′′ (x) = 80 x3 ; f ′′′ (x) = 240 x2 ;
f (4) (x) = 480 x;
f (5) (x) = 480 e, per n ≥ 6, f (n) (x) = 0.
Nella notazione di Leibniz si osserva che se y è funzione di x allora
rappresenta la (funzione) derivata prima. La derivata seconda è
data da
[ ]
d2 y
d dy
= 2.
dx dx
dx
dy
dx
Iterando, otteniamo che la derivata n-esima è denotata da
dn y
dxn
3. Derivazione delle funzioni composte
Siano f : A ⊆ R → B e g : B ⊆ R → R due funzioni componibili
nella funzione (g ◦ f ) : A ⊆ R → R, con f derivabile in x0 e g derivabile in y0 = f (x0 ). La funzione composta (g ◦ f )(x) = g(f (x)) sará
derivabile in x0 con derivata prima pari a
(g ◦ f )′ (x0 ) = g ′ [f (x0 )] · f ′ (x0 ).
Enunciamo ora lo stesso teorema con la notazione di Leibniz.
Se y è funzione di u, y(u), e, a sua volta, u è una funzione di x, u(x),
la funzione composta y(u(x)) può essere derivata rispetto ad x come
segue:
dy
dy du
=
· .
dx
du dx
Quindi la derivata di y rispetto ad x si ottiene moltiplicando la derivata
di y rispetto ad u calcolata nel punto u = u(x) per la derivata della
funzione u(x) nel punto x. Questa formula è nota anche come chain
rule.
Esercizio 3.1
Si determini attraverso la regola di derivazione delle funzioni
composte la derivata delle seguenti funzioni:
y = (x3 − 1)2 e y = (3 x2 − 2 x + 5)2 .
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3. Derivazione delle funzioni composte
Esempio 3.1
Si determini la derivata della funzione
(
)2
1
y = x+
.
x
Possiamo sviluppare il quadrato e procedere con le regole di
derivazione già apprese, oppure, preferibilmente utilizzare la regola
di derivazione delle funzioni composte.
Iniziamo da quest’ultima.
Considerando la funzione composta y(t(x)), con y(t) = t2 e t(x) =
x + x1 . Abbiamo:
(
)
(
)(
)
dy dt
dt
1
1
1
′
y (x) =
= 2t
= 2t 1 − 2 = 2 x +
1− 2 =
dt dx
dx
x
x
x
−1
−1
−3
−3
= 2 (x − x + x − x ) = 2 (x − x ).
Vediamo ora che si può ottenere lo stesso risultato svolgendo prima
il quadrato e poi derivando:
)2
(
1
= x2 + x−2 + 2 x x−1 = x2 + x−2 + 2.
y = x+
x
Allora:
y ′ (x) = 2 x − 2x−3 = 2 (x − x−3 ).
In questo esercizio, potrebbe sembrare che svolgere i quadrati sia
più semplice che utilizzare la chain rule e per certi versi lo è davvero.
Si provi pero ad immaginare di voler derivare:
(
)4
1
y = x+
x
Con la chain rule otteniamo immediatamente:
(
)4−1 (
)
(
)3 (
)
1
1
1
1
′
y (x) = 4 x +
1− 2 =4 x+
1− 2 .
x
x
x
x
Si provi ora a sviluppare la quarta potenza del binomio per poi
derivare.
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3. Derivazione delle funzioni composte
3.1. Derivata della funzione logaritmo. Calcoliamo la derivata
della funzione log(x) attraverso il limite del rapporto incrementale:
(
)
loga x+∆x
d
loga (x + ∆x) − loga (x)
x
loga (x) = lim
= lim
=
∆x→0
∆x→0
dx
∆x
∆x
[(
(
)
)1 ]
1
∆x
∆x ∆x
= lim
loga 1 +
= lim loga
=
1+
∆x→0 ∆x
∆x→0
x
x
[(
] x1
[(
x
) ∆x
)x]
1
∆x
∆x ∆x
= lim loga
= lim loga
=
1+
1+
∆x→0 x
∆x→0
x
x
[(
)x] (
)
1
∆x
∆x ∆x
=
lim log
= posto t =
=
1+
x ∆x→0 a
x
x
]
[
1
1
t
= lim loga (1 + t) = (per uno dei limiti notevoli studiati) =
x t→0
1
= loga (e).
x
Quindi la derivata della funzione ln(x) è:
d
1
ln(x) = .
dx
x
3.2. Derivata della funzione esponenziale. Calcoliamo la derivata
della funzione ax come limite del rapporto incrementale.
d x
ax+∆x − ax
ax ( a∆x − 1)
a∆x − 1
a = lim
= lim
= lim ax
=
∆x→0
∆x→0
∆x→0
dx
∆x
∆x
∆x
e∆x − 1
= ax lim
= (per uno dei limiti notevoli studiati) =
∆x→0
∆x
= ax · lg(a).
Quindi la derivata della funzione ex è ex · lg(e), cioé la funzione stessa:
d x
e = ex .
dx
La relazione che lega ax ad ex , ax = ex ln(a) , si utilizza per calcolare
d
f (x)g(x) , in cui si assume che f (x) e g(x)
la derivata della funzione dx
siano entrambe derivabili e che f (x) > 0:
d
d
d
f (x)g(x) = eg(x) ln[f (x)] = eg(x) ln[f (x)] [g(x) ln[f (x)]] =
dx
dx
dx
[
]
f ′ (x)
g(x) ln[f (x)]
′
=e
g (x) ln[f (x)] + g(x)
=
f (x)
[
]
f ′ (x)
g(x)
′
=f (x)
g (x) ln[f (x)] + g(x)
.
f (x)
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4. Derivata della funzione inversa
4. Derivata della funzione inversa
Si consideri una funzione f (x) biettiva e la sua funzione inversa
f −1 (y). Supponiamo che la funzione f sia derivabile in x e indichiamo
con f ′ (x) la sua derivata. Possiamo calcolare la derivata della funzione
inversa f −1 nel punto y = f (x) sfruttando la regola di derivazione
delle funzioni composte. Infatti, per deﬁnizione di funzione inversa,
abbiamo:
(f −1 ◦ f ) (x) = f −1 (f (x)) = x.
Deriviamo ambo i membri di questa uguaglianza rispetto ad x e sfruttiamo la regola di derivazione delle funzioni composte:
d −1
d
d −1 df
d −1 ′
(f ◦f ) (x) =
x=1 ⇔
f ·
=1 ⇔
f ·f (x) = 1.
dx
dx
dy
dx
dy
Da questa equazione possiamo ricavare
d −1
f .
dy
Infatti
d −1
1
f = ′ .
dy
f (x)
Possiamo usare la regola di derivazione delle funzioni inverse per calcolare, ad esempio, la derivata della funzione ln(y) come derivata della
d x
e = ex . Allora:
funzione inversa di y = ex . Abbiamo già visto che dx
d
1
1
ln(y) = x = .
dy
e
y
Esercizio 4.1
Derivare le seguenti funzioni:
1
(1) f (x) = 1−2
x
(2) f (x) = (1 + 2 x)5
(3) f (x) = (x5 − x10 )20
(
)3
(4) f (x) = x2 + x12
(
)4
(5) f (x) = x − x1
( 1 )4
(6) f (t) = 1+t
(7) f (x) = (x − x3 + x5 )4
(8) f (t) = (t − t2 )3
(9) f (t) = (t−1 + t−2 )4
(
)3
(10) f (x) = 45 x+3
( x−2
)
x 4
(11) f (x) = x32 +1
(12) f (x) = [(2 x + 1)2 + (x + 1)2 ]3
(13) f (x) = (1 + x1 )x
(14) f (x) = (1 + ex )x
x
(15) f (x) = xa
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4. Derivata della funzione inversa
Esercizio 4.2
dy
Calcolare la derivata dx
delle seguenti funzioni composte:
1
(1) y = 1+u
2 , u = 2 x + 1;
(2) y = u + u1 , u = (3 x + 1)4 ;
2u
(3) y = 1−4
, u = (5 x2 + 1)4 ;
u
(4) y = u3 − u + 1, u = 1−x
.
1+x
Esercizio 4.3
Disegnare il graﬁco della derivata di ciascuna delle funzioni disegnate
di seguito.
Figure 3. Graﬁco delle funzioni relative all’esercizio 4.3.
Esercizio 4.4
Determinare la funzione y = f (x) tale che:
(1) y ′ (x) = 4 x3 − x2 + 4 x
(2) y ′ (x) = x − x23 + 3
(3) y ′ (x) = 5 x4 + x15
(4) y ′ (x) = 4 x5 − x54 − 2
Esercizio 4.5
Calcolare la derivata dy
delle seguenti funzioni composte:
dt
1−7 u
(1) y = 1+u2 , u = x2 + 1, x = 2 t − 5;
x
(2) y = 1 + u2 , u = 1−7
, x = 5 t + 2.
1+x2
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5. Teoremi sulle funzioni derivabili
5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Teorema 5.1. Sia f : A ⊆ R → R una funzione continua in A e
derivabile in A/{x0 }, se
lim f ′ (x)
x→x0
esiste finito, allora la funzione é derivabile in x0 e risulta
f ′ (x0 ) = lim f ′ (x0 ).
x→x0
In pratica il teorema sancisce una condizione suﬃciente per l’esistenza
della derivata di una funzione in un punto.
Teorema 5.2 (del valor medio o di Lagrange). Sia f una funzione
continua nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabile nell’intervallo aperto
]a, b[, allora esiste almeno un c ∈]a, b[ tale che
f (b) − f (a)
f ′ (c) =
b−a
Graﬁcamente, il teorema del valor medio postula l’esistenza di una o
più rette parallele alla secante passante per i punti (a, f (a)) e (b, f (b))
e tangenti alla curva nel punto (o nei punti) (c, f (c)).
La ﬁgura 4 fornisce la rappresentazione graﬁca del teorema di Lagrange
nel caso di uno e due punti c.
Figure 4. Rappresentazione graﬁca del teorema di
Lagrange nel caso di uno e due punti c.
Il teorema di Lagrange consente di dimostrare due importanti proprietá:
Corollario 5.3. Se f (x) é una funzione continua in un intervallo
[a, b] e derivabile in un intervallo ]a, b[ e ∀x ∈]a, b[ si ha f ′ (x) = 0,
allora la funzione é costante in [a, b].
Corollario 5.4. Se f (x) é una funzione continua in un intervallo
[a, b] e derivabile in un intervallo ]a, b[ e ∀x ∈]a, b[ si ha che f ′ (x) > 0,
allora la funzione é crescente in [a, b].
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
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5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Corollario 5.5. Se f (x) e g(x) sono due funzioni continue in un
intervallo [a, b] e derivabili in un intervallo ]a, b[ e ∀x ∈]a, b[ risulta che
f ′ (x) = g ′ (x), allora le due funzioni differiscono per una costante in
[a, b].
Teorema 5.6 (di Rolle). Sia f una funzione continua nell’intervallo
chiuso [a, b] e derivabile nell’intervallo aperto ]a, b[. Se la funzione assume agli estremi dell’intervallo lo stesso valore:
f (a) = f (b)
allora esiste almeno un punto c ∈]a, b[, ossia interno al dominio, tale
che
f ′ (c) = 0
La ﬁgura 5 fornisce la rappresentazione graﬁca del teorema di Rolle nel
caso di tre punti c.
Il teorema di Rolle postula l’esistenza di uno o più punti in cui la
tangente a f è parallela all’asse delle ascisse.
Il teorema di Rolle può essere utilizzato per stabilire l’esistenza di una
o più radici reali di un polinomio.
Figure 5. Rappresentazione graﬁca del teorema di
Rolle nel caso di tre punti c.
Teorema 5.7 (Teorema di Cauchy). Siano f (x) e g(x) due funzioni continue nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabili nell’intervallo
aperto ]a, b[, allora esiste almeno un c ∈]a, b[ tale che
f (b) − f (a)
f ′ (c)
=
′
g (c)
g(b) − g(a)
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D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Esempio 5.1
Il polinomio cubico p(x) = 2x3 + 5x + 1 ha almeno una radice reale
(in realtà le soluzioni di un polinomio di terzo grado sono sempre tre, ma le altre due soluzioni potrebbero essere o reali oppure
complesse coniugate).
Si tratta di stabilire se sono più di una (tre radici reali).
Se fossero più di una si avrebbero due punti distinti a e b, con a < b
in cui p(a) = p(b) = 0 e, per Rolle, deve esistere c ∈ (a, b) tale che
p′ (c) = 0.
Se si dimostra che l’equazione p′ (c) = 0 ha soluzioni, allora p(x)
avrà più di una radice (e quindi tre).
Nel caso in questione
p′ (c) = 6x2 + 5 = 0
è impossibile per qualunque x.
Ne consegue che p(x) ha una sola radice reale.
Esempio 5.2
Si dimostri che l’equazione 6x4 −7x+1 = 0 non ha più di due radici
reali distinte.
Si assuma che l’equazione abbia più di due radici reali distinte, per
esempio, x1 < x2 < x3 , ordinate per convenienza.
Per il teorema di Rolle devono allora esistere due punti c1 ∈ (x1 , x2 )
e c2 ∈ (x2 , x3 ) tali che p′ (c1 ) = p′ (c2 ) = 0 ove p′ (x) = 24x3 − 7.
Si osservi che p′ (x) = 0 ha una sola radice reale, quindi, p(x) ha al
più due radici distinte.
Esempio 5.3
Sia f derivabile in (1, 4) e continua in [1, 4], con f (1) = 2.
Si ipotizzi inoltre che 2 ≤ f ′ (x) ≤ 3 ∀x ∈ (1, 4). Qual’è il valore
minimo che può assumere f (4)?
Per il teorema del valor medio f (4) − f (1) = f ′ (c)(4 − 1) da cui
f (4) = 2+3f ′ (c). Poichè f ′ (x) ≥ 2, avremo che f (4) ≥ 2+2·3 = 8.
Poichè f ′ (x) ≤ 3, avremo che f (4) ≤ 2 + 3 · 3 = 11. Quindi il valore
minimo che può raggiungere f (4) è 8.
Teorema 5.8 (Regola di de l’Hôpital). Siano f (x) e g(x) due funzioni continue nell’intervallo chiuso [a, b] e derivabili nell’intervallo
aperto ]a, b[, compresi i casi a = −∞ e/o b = +∞, con g ′ (x) ̸= 0
∀x ∈ [a, b] tranne al piú il punto c ∈]a, b[, se
lim f (x) = lim g(x) = 0,
x→c
x→c
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
15
5. Teoremi sulle funzioni derivabili
oppure
lim f (x) = lim g(x) = ±∞,
x→c
x→c
e
f ′ (x)
= L ∈ R̃
x→c g ′ (x)
⇒
lim
lim
x→c
f (x)
= L.
g(x)
In altre parole, il limite di una forma indeterminata 0/0 o ∞/∞ può
essere calcolato risolvendo il limite del rapporto tra le derivate delle
due funzioni:
f (x) H
f ′ (x)
lim
= lim ′
=L
x→c g(x)
x→c g (x)
Il teorema di de l’Hôpital può essere applicato indirettamente anche
alle altre forme indeterminate: basta trasformare queste forme in forme
indeterminate del tipo 0/0 o ∞/∞ attraverso opportuni passaggi algebrici.
Nel caso delle altre forme indeterminate, i passaggi algebrici per ricondursi alle forme indeterminate per cui risulta possibile applicare il
teorema di de l’Hôpital sono:
[
]
1 − fg(x)
g(x)
(x)
• caso + ∞ − ∞, f (x) − g(x) = f (x) · 1 −
=
1
f (x)
f (x)
f (x) − g(x) =
1
g(x)
−
1
f (x)
1
f (x)g(x)
f (x) − g(x) = ln ef (x) − ln eg(x) = ln
• caso
0 · ∞, f (x) · g(x) =
g(x)
f (x) · g(x) =
f (x)
1
f (x)
1
g(x)
• caso 1∞ , f (x)g(x) = eg(x)ln f (x) = e
• caso 0 , f (x)
0
g(x)
g(x)ln f (x)
=e
=e
• caso ∞0 , f (x)g(x) = eg(x)ln f (x) = e
16
ef (x)
eg(x)
ln f (x)
1
g(x)
ln f (x)
1
g(x)
ln f (x)
1
g(x)
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5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Esempi 5.4
Forme indeterminate ∞/∞
• Sia α > 0. Determinare il seguente limite:
ln(x)
lim
.
x→+∞ xα
Applichiamo il teorema di de l’Hôpital:
1
1
1
ln(x) H
x
= lim
=
lim α−1+1 =
lim
x→+∞ α xα−1
x→+∞
x→+∞ xα
α
x
1
1
1
= · 0 = 0.
=
lim
α x→+∞ xα
α
• Determinare
ex
lim k ,
x→+∞ x
con k ∈ N.
Applicando k volte il teorema di de l’Hôpital otteniamo:
ex H
ex H
ex
ex
H
H
lim k = lim
=
lim
=
...
=
lim
=∞
x→+∞ x
x→+∞ kxk−1
x→+∞ k(k − 1)xk−2
x→+∞ k!
Esempi 5.5
Forme indeterminate 0/0
Calcolare
ex − x − 1
lim
.
x→0
x2
Come nei casi precedenti, possiamo applicare il teorema di de
l’Hôpital
ex − x − 1 H
ex − 1
1
ex − 1
lim
=
lim
=
lim
x→0
x→0 2 x
x2
2 x→0 x
1
= (sfruttando il limite notevole già studiato) = .
2
E’ tuttavia interessante notare come allo stesso risultato saremmo
potuti arrivare applicando nuovamente il teorema di de l’Hôpital:
ex − x − 1 H
ex − 1
1
ex − 1
lim
=
lim
=
lim
x→0
x→0 2 x
x2
2 x→0 x
x
e
1
1
1
H
= ·1= .
= lim
2 x→0 1
2
2
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17
5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Esempi 5.6
Determinare
lim+
√
x ln(x).
x→0
Questa è una forma indeterminata del tipo 0·∞. Per poter applicare
il teorema di de l’Hôpital è necessario trasformare questa forma
indeterminata in una forma indeterminata del tipo 0/0 o ∞/∞. Si
ha:
√
ln(x)
lim+ x ln(x) = lim+ 1 ,
x→0
√
x→0
x
che è una forma indeterminata del tipo ∞/∞. Possiamo dunque
applicare la regola di de l’Hôpital a questa forma:
√
ln(x) H
1/x
lim+ x ln(x) = lim+ 1 = lim+ 1 −3/2 = −2 · lim+ x1/2 = 0.
√
x→0
x→0
x→0 − x
x→0
2
x
Esempi 5.7
Determinare
lim+ xx .
x→0
Questo limite presenta una forma indeterminata del tipo 00 , che
appartiene alla classe di forme indeterminate che si ottengono da
funzioni del tipo [f (x)]g(x) , con f (x) > 0. A questa classe appartengono anche le forme indeterminate 1∞ e ∞0 . Tali forme
indeterminate possono essere risolte notando che, in generale:
[f (x)]g(x) = eg(x) ln[f (x)] .
e quindi calcolando il limite dell’esponente, ossia di y =
g(x) ln[f (x)]. Nel nostro caso risulta xx = ex ln(x) e quindi y =
x ln(x). Dobbiamo quindi calcolare il seguente limite:
lim x ln(x),
x→0+
che è una forma indeterminata del tipo 0·∞, ma che possiamo facilmente ricondurre, ad una forma ∞/∞ cui applicare direttamente
la regola di de l’Hôpital:
lim x ln(x) = lim+
x→0+
x→0
ln(x)
1
x
H
= lim+
x→0
1
x
− x12
= lim+ −x = 0.
x→0
Quindi:
lim xx = elimx→0+ x ln(x) = e0 = 1.
x→0+
18
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5. Teoremi sulle funzioni derivabili
Esempi 5.8
Determinare
1
lim+ (1 + x) x .
x→0
Questa è una forma indeterminata del tipo 1∞ , che possiamo risolvere come nel caso precedente scrivendo:
1
1
lim+ (1 + x) x = lim+ e x ln(1+x) = elimx→0+
x→0
ln(1+x)
x
x→0
e risolvendo il limite ad esponente (che è una forma indeterminata
del tipo 0/0) sfruttando il teorema di de l’Hôpital:
1
lim+
x→0
ln(1 + x) H
1
= lim+ x+1 = lim+
= 1,
x→0
x→0 x + 1
x
1
da cui
1
lim+ (1 + x) x = e1 = e
x→0
Esempi 5.9
Determinare
1
lim (ax + bx ) x ,
con 1 < a < b.
x→+∞
Questo limite presenta una forma indeterminata del tipo ∞0 . Anche in questo caso sfruttiamo le proprietà delle funzioni esponenziale e logaritmo per ricondurci ad una forma indeterminata su cui
sia applicabile la regola di de l’Hôpital:
1
lim (ax + bx ) x = lim e x ·ln(a
x→+∞
1
x→+∞
x +bx )
= elimx→+∞ x ·ln(a
1
x
x +bx )
.
x
Il limite limx→+∞ x1 · ln (ax + bx ) = limx→+∞ ln(a x+b ) rappresenta
una forma indeterminata del tipo ∞/∞. Quindi:
ln (ax + bx ) H
ax ln(a) + bx ln(b)
lim
= lim
=
x→+∞
x→+∞
x
a x + bx
( a )x
ln(a) + ln(b)
ln(b)
= lim b ( a )x
=
= ln(b).
x→+∞
1
+1
b
Quindi:
1
lim (ax + bx ) x = eln(b) = b.
x→+∞
ATTENZIONE: Un uso inappropriato della regola di de l’Hôpital
(ossia la sua applicazione in casi in cui le ipotesi del teorema NON
siano soddisfatte), può condurre ad errori. Per esempio applicarlo a
limiti in una forma diversa da 0/0 o ∞/∞ porta ad errori.
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19
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e
decrescenti
L’obiettivo di questa sezione é ricercare i punti di massimo e di minimo
relativi, interni all’insieme di deﬁnizione della funzione, supponendo
che questa sia derivabile
Teorema 6.1. Sia f una funzione derivabile in x0 punto interno
dell’insieme A di definizione della funzione. Se f ′ (x0 ) > 0, allora f (x)
è crescente in x0 .
Teorema 6.2. Sia f una funzione derivabile in x0 punto interno
dell’insieme A di definizione della funzione. Se f ′ (x0 ) < 0, allora f (x)
è decrescente in x0 .
Teorema 6.3. Sia f una funzione derivabile in x0 punto interno
dell’insieme A di definizione della funzione. Se f (x) ha un punto di
massimo o di minimo relativo in x0 , allora f ′ (x0 ) = 0.
I teoremi 6.1 e 6.2 esprimono una condizione suﬃciente perché una funzione derivabile risulti crescente o decrescente in un punto x0 , interno
al suo dominio.
Il teorema 6.3 esprime invece una condizione necessaria ma non suﬃciente perché una funzione derivabile presenti un estremante relativo
in un punto x0 , interno al suo dominio. Ne costituisce un esempio la
funzione f (x) = x3 che è crescente in x0 pur essendo f ′ (0) = 0.
La condizione necessaria espressa dal teorema 6.3 viene anche detta
condizione del primo ordine. Essa opera una prima selezione: aﬃnché
un punto x0 (interno al dominio di una funzione f derivabile) sia un
estremenate, deve almeno annullare la derivata prima di f . I punti
che non sono soluzione dell’equazione f ′ (x) = 0 sicuramente non sono
estremanti.
Il fatto che la derivata prima si annulli nel punto x0 non ci assicura che
in quel punto la funzione abbia un minimo o un massimo. Potrebbe
avere un flesso orizzontale o addirittura potrebbero presentarsi situazioni ancora piú complicate. Occorre quindi necessariamente studiare
il segno della derivata prima nei punti a sinistra e nei punti a destra di
x0 .
Teorema 6.4. Sia x0 un punto che, assieme alla derivata prima,
annulla tutte le derivate della funzione f fino a quella di ordine n-1,
ma non quella di ordine n:
f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = f ′′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0
con
f (n) (x0 ) ̸= 0.
Se n é pari, il punto x0 é di massimo quando risulta f (n) (x0 ) < 0 e di
minimo quando risulta f (n) (x0 ) > 0; se n é dispari il punto x0 non é
né di massimo né di minimo.
20
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6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
Teorema 6.5. Sia x0 tale che f ′ (x0 ) = 0 e sia f una funzione
continua in x0 . Se ∃ δ > 0 tale che:
i: f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) e f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + δ),
allora f (x0 ) è un massimo locale
ii: f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) e f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (x0 , x0 + δ),
allora f (x0 ) è un minimo locale
iii: f ′ (x) ha lo stesso segno su (x0 − δ, x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ), allora
f (x0 ) non è un estremo locale (ossia né un massimo, né un
minimo).
Teorema 6.6. Sia f una funzione derivabile in tutti i punti interni
dell’insieme A di definizione:
i: se f ′ (x) > 0, ∀ x interno ad A, allora f (x) è crescente in A;
ii: se f ′ (x) < 0, ∀ x interno ad A, allora f (x) è decrescente in
A;
iii: se f ′ (x) = 0, ∀ x interno ad A, allora f (x) è costante in A.
Proof. Dimostriamo il caso (i). Per il teorema del valor medio,
esiste almeno un c ∈ A tale che
f (x2 ) − f (x1 )
f ′ (c) =
x2 − x1
′
con x1 < x2 . Per ipotesi f (x) > 0 e quindi f ′ (c) > 0, per cui
f (x2 ) − f (x1 )
>0
x2 − x1
Tale frazione è maggiore di zero se il numeratore è maggiore di zero,
ossia f (x2 ) > f (x1 ), pertanto la funzione è crescente.
Si osservi che la (i) e la (ii) sono condizioni suﬃcienti, ma non necessarie (la funzione f (x) = x3 è crescente su R, ma f ′ (0) = 0). La
(iii) esprime invece una condizione necessaria e suﬃciente, ossia vale
la doppia implicazione:
f ′ (x) = 0 ⇔ f è costante
I punti di massimo e minimo relativo sono stati ricercati nell’ipotesi che
tali punti fossero interni al dominio della funzione e che questa fosse
derivabile. Senza queste ipotesi restrittive, giá la condizione f ′ (x) = 0
non é piú necessariamente soddisfatta dagli estremanti, come accade
nel punto x0 = 0 delle funzioni rappresentate nella ﬁgura 6.
Per la funzione
√ y = |x| la derivata nel punto x0 =′ 0 non esiste. Per la
funzione y = x, la derivata prima in x0 = 0, f (x0 ), é diversa da 0.
In entrambi i casi x0 é un estremante della funzione.
Per arrivare a conclusioni generali occore dunque aggiungere, ai punti
critici ottenuti con le precedenti regole, lo studio dei punti in cui la
funzione non é derivabile e dei punti di frontiera del suo dominio.
Confrontando le immagini dei punti cosı́ individuati, si perverrá alla
determinazione degli eventuali punti di massimo e minimo assoluti.
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
21
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
Figure 6. Funzioni con estremanti per cui risulta
f ′ (x0 ) = @ oppure f ′ (x0 ) ̸= 0.
Esempio 6.1
Determinare in quali intervalli la funzione
4
f (x) = x5 − 3x4 − 4x3 + 22x2 − 24x + 6
5
è crescente o decrescente. Si osservi che la f (x) è deﬁnita, continua
e derivabile su tutto R.
La sua derivata è
f ′ (x) = 4x4 − 12x3 − 12x2 + 44x − 24 = 4(x + 2)(x − 1)2 (x − 3)
Vediamo qual è il segno di f ′ (x).
In particolare
(x − 3)
(x − 1)2
(x + 2)
......
......
......
......
+++ −−− −−− +++
−2
1
3
↗
↘
↘
↗
Quindi f (x) è crescente su (−∞, −2), decrescente su (−2, 3) e crescente su (3, +∞).
Esempio 6.2
Determinare i punti critici della funzione f (x) = 3 − x2 .
Dalla deﬁnizione di punto critico, sappiano che i valori di x per cui
f ′ (x) = 0 sono punti critici, quindi
f ′ (x) = −2x = 0
per x = 0
Quindi, x = 0 è un punto critico.
22
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
Esempio 6.3
Sia f (x) = |x + 1| + 2. Determinare i punti critici.
Si osservi che
{
x+1+2
se x + 1 ≥ 0
f (x) =
−(x + 1) + 2 se x + 1 < 0
quindi
{
1
se x > −1
−1 se x < −1
I punti critici vanno ricercati dove si annulla la derivata prima o
dove la derivata prima non esiste. In questo caso f ′ (x) ̸= 0 sempre.
Per x = −1 la derivata prima non esiste. Per x = −1, f (−1) =
2 < f (x), ∀x ∈ R e x ̸= 1. Quindi x = −1 é un punto critico.
′
f (x) =
Esempio 6.4
Determinare i punti critici della funzione f (x) = |x2 − 2|.
{ 2
x −2
se x2 − 2 ≥ 0
f (x) =
−(x2 − 2) se x2 − 2 < 0
ossia
{
f (x) =
√
√
x2 − 2
se x √
≤ − 2 oppure
x
≥
2
√
−(x2 − 2) se − 2 < x < 2
La derivata prima vale
√
√
{
2x
se x √
< − 2 oppure
x
>
2
′
√
f (x) =
−2x se − 2 < x < 2
√
In questo caso, f ′ (x) = 0 per x = 0, inoltre, in x = ∓ 2 la derivata
√
f ′ (x) non esiste. Quindi i punti critici sono x = 0 e x = ∓ 2. A
tal ﬁne si osservi la ﬁgura 7.
Esempio 6.5
1
.
x−1
Si osservi che f (x) è deﬁnita in (−∞, 1) ∪ (1, +∞) e che anche
1
′
f ′ (x) = − (x−1)
2 è deﬁnita sullo stesso dominio. In x = 1 f (x) non
esiste, ma x = 1 non è un punto critico in quanto non appartenente
al dominio di f (x).
Determinare i punti critici della funzione f (x) =
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23
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
Figure 7. Punti critici della funzione f (x) = |x2 − 2|
Figure 8. Punti critici delle funzioni f (x) e g(x)
dell’esempio 6.6
24
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
5
2
Figure 9. Punti critici della funzione g(x) = 2x 3 + 5x 3
Esempio 6.6
(Figura 8)
{
{
7 − 2x se x ≤ 2
1 + 2x se x ≤ 1
7 1
(i) f (x) =
(ii) g(x) =
5 − x se x > 1
− x se x > 2
2 4
Nel caso (i), in x = 2 la funzione è continua ma f ′ (2) non esiste.
In x = 2 la funzione non assume nè massimo nè minimo in quanto
f ′ (x) < 0 in (2 − δ, 2) ∪ (2, 2 + δ).
Per quanto riguarda il caso (ii ), f ′ (x) in x = 1 non esiste e, sebbene
f ′ (x) > 0 in (1 − δ, 1) e f ′ (x) < 0 in (1, 1 + δ), in x = 1 la funzione
non è continua e quindi non possiamo dire nulla in base al teorema,
visto che esso NON può essere applicato. Come si vede dalla ﬁgura
8, tuttavia, il punto x = 1 è un punto di massimo (locale e assoluto).
Vi sono casi in cui è diﬃcile determinare il segno di f ′ nell’intorno
del punto critico. Inoltre, è importante fornire una condizione suﬃciente aﬃnchè un punto critico possa essere identiﬁcato come un massimo o un minimo. Questa condizione si basa sullo studio del segno
della derivata seconda, f ′′ (x), e prende il nome di condizione del secondo ordine.
Teorema 6.7 (Test della derivata seconda). Sia f ′ (c) = 0 e si
ipotizzi che esiste f ′′ (c). Allora:
i: se f ′′ (c) > 0, f (c) è un minimo locale
ii: se f ′′ (c) < 0, f (c) è un massimo locale
Nulla si può concludere se f ′′ (c) = 0. Se f ′′ (c) = 0 non possiamo
concludere che f (c) non sia estremo.
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25
6. Punti di massimo e di minimo. Funzioni cescenti e decrescenti
Esempio 6.7
Determinare gli estremi delle seguenti funzioni
5
2
(i) f (x) = x4 − 2x3 ; (ii) g(x) = 2x 3 + 5x 3 ; (iii) h(x) = |x2 − 2|
i: f ′ (x) = 4x3 − 6x2 = 0; 4x3 − 6x2 = 2x2 (2x − 3) = 0; i
punti critici sono x = 0 e x = 23 .
Studiamo il segno della derivata prima:
−−− ◦ −−− ◦ +++
3
0
2
↘
↘ min ↗
Quindi in x = 0 non abbiamo estremi (vedremo in seguito
che f (0) è un ﬂesso).
Mentre, in x = 32(si )
ha un minimo.
3
27
In particolare f
=− .
2
16
x 3 + 10
x− 3 = 10
x− 3 (x + 1) = 0.
ii: g ′ (x) = 10
3
3
3
Si osservi che in x = 0, g ′ (x) non esiste e che g ′ (x) si
annulla in x = −1. Pertanto,
2
1
1
+++ ◦ −−− ∃ +++
−1
0
↗ max ↘ min ↗
Dalla ﬁgura 9 si evince che in x = 0 la funzione assume
un minimo.
iii: Come già visto, per h(x) = |x2 − 2| abbiamo che
√
√
{
2x
se x √
< − 2 oppure
x
>
2
′
√
h (x) =
−2x se − 2 < x < 2
√
e h′ (x) = 0 in x = 0, mentre, h′ (x) non√esiste in √
x = ∓ 2.
Studiamo il segno di h′ (x). Se x√< − 2 e x > 2, allora
f ′ (x)√
= 2x, e quindi per x √
< − 2, f ′ (x)
√ < 0 mentre per
′
x > 2, f (x) > 0.√ Se − 2 < x < 2, allora f ′ (x) =
−2x, quindi, per − 2 < x < 0, f ′ (x) > 0 e per 0 < x <
√
2, f ′ (x) < 0.
− − −√
∃ + + + ◦ − − −√
∃ +++
− 2
0
2
↘ min ↗ max ↘ min
↗
26
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
7. Concavità e convessità
Esempio 6.8
Siano date le funzione f (x) = x3 , g(x) = x4 e h(x) = −x4 .
Esse hanno un punto critico in c = 0. Se applichiamo il test
della derivata seconda osserviamo che f ′′ (x) = 6x con f ′′ (0) = 0;
g ′′ (x) = 12x2 con g ′′ (0) = 0; h′′ (x) = −12x2 con h′′ (0) = 0. Nel
primo caso, f (x) in c = 0 non ha nè massimo nè minimo; nel secondo caso, g(x) assume un minimo in x = 0; inﬁne, nel terzo caso,
h(x) assume in x = 0 un massimo. Lo studente veriﬁchi che il test
della derivata prima permette di giungere alle tre conclusioni senza
ispezione dei graﬁci delle tre funzioni.
Esempio 6.9
Determinare gli estremi della seguente funzione:
(i) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 5;
(i) Calcoliamo le derivate, prima e seconda di f (x):
f ′ (x) = 6x2 −6x−12 e f ′′ (x) = 12x−6. Poniamo a zero la derivata
prima al ﬁne di determinare i punti critici. Possiamo fattorizzare
f ′ (x) ottenendo 6(x − 2)(x + 1) = 0 da cui i punti critici risultano
essere x = 2 e x = −1. Per tali punti f ′′ (2) = 18 > 0 e f ′′ (−1) =
−18 < 0. Pertanto,f (2) è un minimo mentre f (−1) è un massimo.
7. Concavità e convessità
Lo studio del segno della derivata prima permette l’individuazione
dei valori estremi di una funzione. Vedremo adesso come lo studio del
segno della derivata seconda permetta di stabilire in quali intervalli la
funzione sia concava o convessa.
Teorema 7.1. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione f sia convessa (concava) in un intervallo [a, b] é che la sua
derivata f ′ sia crescente (decrescente) su [a, b].
Teorema 7.2. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione f , derivabile due volte nell’intervallo [a, b], sia convessa (concava)
é che ∀x ∈ [a, b] risulti f ′′ (x) ≥ 0 (f ′′ (x) ≤ 0).
Teorema 7.3. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione derivabile f sia convessa (concava) in un intervallo [a, b] é che
il suo diagramma si trovi sempre al di sopra (al di sotto), o per lo
meno non al di sotto (non al di sopra), di quello della retta tangente
al diagramma stesso in un generico punto x1 ∈ [a, b].
Si noti che, nella deﬁnizione di funzione concava e convessa la necessità
che la funzione sia derivabile nell’intervallo aperto (a, b) segue dalla
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
27
7. Concavità e convessità
necessità di poter deﬁnire la retta tangente ad f in ogni punto di tale
intervallo.
Se si indica con t(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ) la retta tangente ad
f nel punto (x0 , f (x0 )), la funzione è convessa nell’intervallo (a, b) se
∀x0 ∈ (a, b) e, dato x0 , ∀x ∈ [a, b] si ha che:
f (x) ≥ t(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ).
In modo analogo, la funzione sarà concava in (a, b) se ∀x0 ∈ (a, b) e,
dato x0 , ∀x ∈ [a, b] risulta:
f (x) ≤ t(x) = f (x0 ) + f ′ (x0 ) (x − x0 ).
Nella ﬁgura 10 è riportato il graﬁco di una funzione convessa nell’intervallo
(−∞, 0.29), concava nell’intervallo (0.29, 1.71) e (ancora) convessa
nell’intervallo (1.71, +∞).
Si noti che nei punti F e G in ﬁgura, di ascissa 0.29 e 1.71, rispettivamente, avviene il cambiamento da concava a convessa e viceversa.
In tali punti, che prendono il nome di punti di flesso la funzione NON
è né concava né convessa.
Figure 10. Graﬁco di una funzione convessa
nell’intervallo (−∞, 0.29), concava nell’intervallo
(0.29, 1.71) e (ancora) convessa nell’intervallo (1.71, ∞)
Definizione Un punto x0 ∈ (a, b) si dice punto di flesso per la funzione f : (a, b) → R se ∃δ > 0 tale che f risulti convessa nell’intervallo
(x0 − δ, x0 ) e concava nell’intervallo (x0 , x0 + δ), o viceversa.
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D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
7. Concavità e convessità
Teorema 7.4. Se il punto (x0 , f (x0 )) è un punto di flesso allora
f ′′ (x0 ) = 0 oppure f ′′ (x0 ) non esiste.
Come per i punti critici, il teorema precedente fornisce una condizione
necessaria ma non suﬃciente:
(x0 , f (x0 )) è un punto di ﬂesso
⇒ f ′′ (x0 ) = 0 o f ′′ (x0 ) non esiste.
Si noti che NON è sempre vera l’implicazione inversa (per esempio la
funzione y = x4 ammette derivata seconda che si annulla in x0 = 0, ma
il punto (0,0) non è un ﬂesso).
Esempio 7.1
Determinare gli eventuali punti di ﬂesso, nonché gli intervalli di concavità e convessità delle seguenti funzioni:
(i) f (x) = x3 − 6 x2 + 3 x + 1;
5
(ii) g(x) = 3 x 3 − 5 x;
(i) Determiniamo f ′ (x) e f ′′ (x). Queste sono, rispettivamente,
f (x) = 3 x2 − 12 x + 3 e f ′′ (x) = 6 x − 12. Si osservi che f ′′ (x) = 0
per x = 2. Tramite lo studio del segno di f ′′ (x) riportato in Fig.11
possiamo individuare in quale intervallo f (x) è convessa e in quale è
concava. In particolare, si ottiene che f (x) è concava in (−∞, 2) e
convessa in (2, ∞). Il punto (2, f (2)) è un punto di ﬂesso.
′
Figure 11. Concavità e convessità della funzione
f (x) = x3 − 6 x2 + 3 x + 1.
(ii) Le derivate prima e seconda di g(x) sono: g ′ (x) = 5 x 3 − 5 e
1
g ′′ (x) = 10
x− 3 . La derivata seconda non si annulla mai ed è discon3
tinua in x = 0. Questo è dunque un potenziale punto di ﬂesso. In
Fig.12 è riportato lo studio del segno di g ′′ (x), da cui si evince che g(x)
è concava in (−∞, 0) e convessa in (0, ∞).
2
Lo studente determini gli eventuali punti di massimo e minimo di f (x)
e g(x).
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29
8. Asintoti
Figure 12. Concavità e convessità della funzione
5
g(x) = 3 x 3 − 5 x.
Figure 13. ESERCIZIO 1 (di approfondimento): Determinare gli intervalli in cui la f (x) è crescente e decrescente.
8. Asintoti
Definizione Un asintoto é una retta tale che la distanza tra essa e
la funzione y = f (x) tende a 0 per x → ±∞ (asintoti orizzontali o
obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non é deﬁnita o é
discontinua (asintoti verticali).
Possiamo classiﬁcare tre tipi di asintoti:
30
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8. Asintoti
i: Asintoti Verticali
Si dice che la retta x = x0 é un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’é un punto singolare x0 (punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia
lim f (x) = ±∞
x→x+
0
oppure
lim f (x) = ±∞
x→x−
0
In pratica la curva si avvicina sempre piú alla retta di equazione
x = x0 senza mai attraversarla né toccarla. La ricerca degli asintoti verticali deve quindi avvenire nell’intorno di quel (quei)
valore(i) x0 , se esiste (se esistono), in cui la funzione non é
deﬁnita. Pertanto una funzione che non abbia punti singolari
non puó avere asintoti verticali.
ii: Asintoti Orizzontali
Si dice che la retta di equazione y = k é un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si veriﬁca una delle seguenti
condizioni:
lim f (x) = k
x→+∞
oppure
lim f (x) = k
x→−∞
dove k un numero reale. In pratica la curva si avvicina sempre pi ad una retta di equazione y = k ed in questo caso é il
numero k quel che dobbiamo determinare.
iii: Asintoti Obliqui
Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale
asintoto obliquo (sia per x tendente a +∞, che per x tendente
a −∞).
La retta di equazione y = ax + b (dove a ̸= 0, altrimenti si
tratterebbe di un asintoto orizzontale) si dice asintoto obliquo
se il graﬁco della funzione si avvicina ad essa, al tendere di x
verso piú o meno inﬁnito.
Bisogna quindi determinare i valori A (coeﬃciente angolare) e
b (ordinata allorigine).
D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
31
9. Indicazioni per lo studio di una funzione
Si ha:
f (x)
= a,
x→±∞ x
lim
con a ∈ R e a ̸= 0
e
lim f (x) − ax = b,
x→±∞
con b ∈ R.
Evidentemente possono presentarsi simultaneamente l’asintoto per x →
+∞ (asintoto destro) e x → −∞ (asintoto sinistro) che in generale sono
distinti, ovvero uno soltanto dei due.
y=
ax
+b
y
y=k
x=x0
x
Figure 14. Graﬁco di una funzione che presenta i tre
tipi di asintoto.
9. Indicazioni per lo studio di una funzione
Le operazioni da compiere per eﬀettuare lo studio di funzione sono:
• Determinazione dell’insieme di deﬁnizione (o dominio) della
funzione, cioé il sottoinsieme dei numeri reali piú esteso entro il quale l’espressione che deﬁnisce la funzione non perda di
senso;
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D. Provenzano, M. Tumminello, V. Lacagnina e A. Consiglio
9. Indicazioni per lo studio di una funzione
• Simmetrie e periodicitá. Se individuate, sempliﬁcano notevolmente lo studio della funzione;
• Intersezioni con gli assi e segno della funzione. Si opera come
segue:
intersezioni con l’asse x, basta sostituire nell’espressione
algebrica della funzione alla y il valore 0 e risolvere, se possibile, l’equazione.
intersezione con l’asse y. Esiste solamente se lo 0 (zero)
appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione é unica per deﬁnizione stessa di una funzione, e sará
il punto di coordinate (0, f (0)).
In questa fase, si studia anche il segno della funzione, cioé
ci si chiede quando la funzione é positiva (sopra l’asse x) o
negativa (al di sotto dell’asse x);
• Calcolo dei limiti agli estremi del campo d’esistenza e nei punti
singolari. Il calcolo dei limiti permette di veriﬁcare la continuitá di una funzione o di valutarne le discontinuitá. Con il
calcolo dei limiti si é in grado anche di individuare l’esistenza di
eventuali asintoti verticali, orizzontali o obliqui. La presenza
dell’asintoto orizzontale esclude la presenza di quello obliquo.
Da notare che potranno esserci da zero a inﬁniti asintoti verticali, da zero a due asintoti orizzontali, da zero a due asintoti
obliqui;
• Massimi, minimi, crescenza e descrescenza della funzione. Si
eﬀettua il calcolo della derivata prima della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l’esistenza di eventuali punti
stazionari. Tramite lo studio del segno della derivata prima
si é in grado di individuare eventuali punti di massimo o di
minimo relativi;
• Concavitá, convessitá e ﬂessi della funzione. Si eﬀettua lo studio del segno della derivata seconda in modo da valutare se
esistono punti di ﬂesso (nei punti dove la derivata seconda
si annulla) nonché se i punti stazionari trovati con lo studio
della derivata prima sono massimi, minimi di funzione o punti
di ﬂesso a tangente orizzontale.
• Graﬁco della funzione.
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9. Indicazioni per lo studio di una funzione
Figure 15. ESERCIZIO 2 (di approfondimento): Determinare massimi, minimi, ﬂessi e intervalli di concavità
e convessità delle seguenti funzioni.
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9. Indicazioni per lo studio di una funzione
Figure 16. ESERCIZIO 3 (di approfondimento): Determinare massimi, minimi, ﬂessi e intervalli di concavità
e convessità delle seguenti funzioni.
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