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Complementi di Matematica I: Esercizi
Da consegnare entro il 26/03/2009
Esercizio 7 Dimostrare il seguente
Teorema (Criterio di congruenza L-A-A): se due triangoli hanno un lato
e due angoli (di cui uno opposto al lato) congruenti, allora sono congruenti.
Esercizio 8 Dimostrare che ogni segmento ammette il punto medio.
Esercizio 9 Dimostrare che ogni angolo ammette bisettrice, essendo data la
seguente
\ si definisce bisettrice di ABC
\ la semiretta
Definizione: Dato un angolo ABC,
di vertice B interna all’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.
Esercizio 10 Dimostrare per almeno due delle seguenti proposizioni, che l’assioma
delle parallele di Hilbert é ad esse equivalente (per la Proposizione 4: dimostrare
solo che ne deriva l’enunciato dell’assioma):
• Proposizione 1 Siano m k l, r 6= m ∧ r ∩ m 6= φ ⇒ r ∩ m 6= φ.
• Proposizione 2 (Reciproco del Teorema dell’angolo alterno interno):Se
m k l, allora gli angoli alterni interni individuati da ogni trasversale sono
congruenti.
• Proposizione 3 Se k k l, m ⊥ k, n ⊥ l ⇒ {m} = {n} ∨ m k n.
• Proposizione 4 La somma degli angoli interni di un triangolo 180 (Σ4 =
180).
• Proposizione 5 (Transitivitá della relazione di parallelismo): se l k m ∧
m k n ⇒ l k n.
Esercizio 11 Un passo della dimostrazione del fatto che, se esiste un rettangolo, allora tutti i rettangoli hanno difetto nullo, consiste nel dimostrare che
tutti i triangoli rettangoli hanno difetto nullo. La prova fornita a lezione per
questo fatto contiene una lacuna. Trovarla e colmarla .
Esercizio 12 *** A partire da un qualunque triangolo 4ABC di difetto δ, é
possibile costruire un triangolo che lo contenga tracciando le parallele a ogni
lato passanti per il vertice opposto al lato stesso. Il triangolo A1 , B1 , C1 cosı́
costruito é costituito da 4 trangoli congruenti al precedente -come dimostrato
da Legendre-, e avrá dunque difetto δ1 . Iterando la costruzione n volte si puó
allora ottenere un triangolo An , Bn , Cn di difetto δn = 4n δ > 180. Legendre
sosteneva di non usare, in tale costruzione, il V postulato. Dove fa acqua il
ragionamento?
***NOTA: l’esercizio 12 NON va consegnato necessariamente entro il 26 marzo.
La scadenza per la consegna non é fissata.
