LAUREA IN MATEMATICA Esame di profitto di Geometria 2 Modulo

LAUREA IN MATEMATICA
Esame di profitto di Geometria 2
Modulo di Topologia
giugno 2013
1. Si consideri
dato spazio
Quale delle
fatto che X
lo spazio topologico quoziente Y : X/∼ ottenuto a partire da un
topologico X e da una relazione d’equivalenza ∼ definita su X.
seguenti condizioni sulle classi di equivalenza è compatibile col
è connesso e Y di Hausdorff?
(a) una delle classi d’equivalenza è densa in X;
(b) ciascuna classe d’equivalenza è un aperto in X;
(c) ciascuna classe è un chiuso in X;
(d) nessuna delle precedenti.
Soluzione. Se una delle classi d’equivalenza è densa ogni aperto di X la
interseca e quindi ogni aperto di Y deve contenerla: ciò impedisce che questo
elemento di Y possa essere separato da ogni altro elemento di Y con due
intorni disgiunti. Se le classi d’equivalenza sono aperti di X, allora ogni classe
d’equivalenza è il complementare dell’unione delle rimanenti classi, cioè di un
aperto, e quindi è un chiuso, oltre che un aperto di X: ciò contraddice il fatto
che X è connesso. Si osservi infine che la congruenza modulo un intero in E1
individua classi d’equivalenza che sono dei chiusi di E1 e lo spazio quoziente
dà S1 , uno spazio di Hausdorff.
2. Individuare l’affermazione corretta per una funzione f : Sm → En continua e
suriettiva:
(a) f è un’identificazione solamente se m < n;
(b) f è un’identificazione solamente se m = n;
(c) f è un’identificazione solamente se m > n;
(d) le precedenti affermazioni sono tutte false.
Soluzione. Poiché Sm è compatto e En è di Hausdorff, f è in ogni caso una
funzione chiusa, quindi un’identificazione.
3. Si consideri il sottospazio X di E3 che ha sostegno nell’insieme dei punti di
coordinate (x, y, z) che soddisfano l’equazione
x2 +
2
p
y 2 + z 2 − 2 = 1.
. Delle funzioni
• (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ x2 , (x1 + 2)x3 , (x1 + 2)x4 ;
• (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ x1 , (x2 − 2)x3 , (x2 − 2)x4 ;
• (x1 , x2 , x3 , x4 ) 7→ x4 , (x3 + 2)x1 , (x3 + 2)x2 ;
1
quelle che danno una funzione continua T2 → X sono:
(a) tutte
(b) esattamente due
(c) esattamente una
(d) nessuna
Soluzione. Calcolando le immagini delle funzioni date si ottengono rispettivamente i valori
2
2
q
(x1 + 2)2 x23 + (x1 + 2)2 x24 − 2
= x22 +
(x1 + 2)2 (x23 + x24 ) − 2
2
p
= x22 +
(x1 + 2)2 − 2 = x22 + (x1 + 2 − 2)2 = 1;
2
2
q
q
(x2 − 2)2 x23 + (x2 − 2)2 x24 − 2
(x2 − 2)2 (x23 + x24 ) − 2
x21 +
= x21 +
p
2
= x21 +
(x2 − 2)2 − 2 = x21 + (2 − x2 − 2)2 = 1;
q
2
2
q
(x3 + 2)2 x21 + (x3 + 2)2 x22 − 2
= x24 +
(x3 + 2)2 (x21 + x22 ) − 2
x24 +
2
p
(x3 + 2)2 − 2 = x24 + (x3 + 2 − 2)2 = 1.
= x24 +
x22 +
q
4. Siano X e Y spazı̂ topologici con sostegno Q con Y avente in particolare la
topologia di sottospazio di E1 . Tra le seguenti condizioni
• X è di Hausdorff;
• X è compatto;
• X è connesso;
quali sono compatibili col fatto che x 7→ x3 è funzione continua X → Y ?
(a) tutte
(b) esattamente due
(c) esattamente una
(d) nessuna
Soluzione. Tenuto conto che la funzione x 7→ x3 induce una biiezione tra gli
intervalli aperti di R, possiamo concludere che la topologia di X è più fine di
quella di Y . Ne consegue che:
• X è di Hausdorff perchè tale è Y ,
• X non è né compatto, né connesso perchè altrimenti eguali proprietà
dovrebbe avere Y .
5. Nello spazio topologico euclideo M(3, R) delle matrici 3×3 a coefficienti in R si
consideri l’insieme X delle matrici antisimmetriche. Individuare l’affermazione
corretta:
(a) X non è né aperto né chiuso in M(3, R);
(b) X è chiuso, ma non aperto in M(3, R);
(c) X è aperto, ma non chiuso in M(3, R);
(d) X è sia aperto che chiuso in M(3, R).
Soluzione. L’applicazione A 7→ A+ tA dà una funzione continua f : M(3, R) 7→
M(3, R) e si ha X = f −1 {0M(3,R) }. Se X fosse anche aperto, M(3, R) sarebbe
sconnesso.
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