Analisi Matematica II
corso di studio in Ingegneria Gestionale, scaglione PO-Z
a.a. 2016/17
Prof. Ettore Lanzarone
Prima parte
Sono corredati dal simbolo (*) gli asserti di cui è richiesta la dimostrazione.
Algebra lineare (24 ore). Sistemi lineari. Sistemi a scala, risoluzione di sistemi a scala (*),
pivots, sistemi equivalenti (*), metodo di eliminazione di Gauss (*). Matrici, rango di una matrice,
matrici singolari e non singolari, teorema di struttura delle soluzioni di sistemi lineari omogenei e
non omogenei (*).
Matrici: prodotto tra matrici, matrice trasposta, matrice invertibile, unicità della matrice inversa
(*), invertibilità del prodotto di due matrici (*), una matrice è invertibile se e solo se è non singolare
(*).
Spazi vettoriali. Definizione ed esempi, vettori, combinazioni lineari di vettori, vettori linearmente
indipendenti e dipendenti, Span di k vettori, lo Span di k vettori è un sottospazio (*), basi, condizione
necessaria e sufficiente perché una collezione di vettori formi una base (*), coordinate di un vettore
rispetto ad una base; se un sottospazio vettoriale ammette due basi, allora esse sono costituite dallo
stesso numero di vettori (*), dimensione di un sottospazio vettoriale, estrazione di una base da un
sistema di generatori (*), il rango è il massimo numeri di righe o di colonne linearmente indipendenti
(*). Teorema di Kronecker.
Determinante. Definizione, proprietà, complemento algebrico, teorema di Laplace, matrice aggiunta,
calcolo della matrice inversa, teorema di Binet, teorema di Cramer (*), teorema di Rouché-Capelli.
Trasformazioni lineari. Definizione, endomorfismi, matrice associata ad una trasformazione lineare
(*), nucleo e immagine, dimensione di nucleo ed immagine (*), trasformazioni iniettive, suriettive
e biiettive, loro caratterizzazione mediante il rango della matrice di rappresentazione (*). Matrici
simili; ad un endomorfismo sono associate matrici simili (*).
Autovalori ed autovettori. Definizioni, autospazio, base di autovettori e rappresentazione di un endomorfismo con una matrice diagonale (*), determinazione analitica di autovalori ed autovettori (*),
polinomio caratteristico, matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico (*), ad autovalori
distinti corrispondono autovettori indipendenti (*), molteplicità algebrica e geometrica, condizione
per la diagonalizzabilità di una matrice (*).
Spazi vettoriali metrici. Prodotto scalare, vettori ortogonali, basi ortonormali. Matrici ortogonali e
loro proprietà. Matrici simmetriche, teorema spettrale.
Forme quadratiche. Definizione, matrice di rappresentazione, segno di una forma quadratica, rapporto tra segno ed autovalori (*).
Curve (a esercitazione). Curve regolari in R2 e in R3 , vettore tangente, coordinate polari, curve
in forma polare, curve rettificabili e lunghezza. Integrali di prima specie.
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili (6 ore). Topologia di Rn : distanza, intorni,
insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi, semplicemente connessi in R2 , punti di frontiera, punti di
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accumulazione.
Funzioni di più variabili: insieme di definizione, grafico, insiemi di livello. Definizione di limite,
calcolo di limiti. Funzioni continue. Teorema di Weierstrass, teorema di esistenza degli zeri (*).
Derivate parziali, formule di calcolo per le derivate, gradiente, derivate direzionali. Differenziabilità,
piano tangente. Continuità e derivabilità in ogni direzione delle funzioni differenziabili (*). Condizione sufficiente per la differenziabilità (*). Formula del gradiente (*), ortogonalità del gradiente
alle curve di livello (*), direzione di massima e minima crescita (*).
Seconda parte
Calcolo differenziale per funzioni di più variabili, estremi liberi e vincolati (7 ore). Derivazione delle funzioni composte. Derivate di ordine superiore, teorema di Schwarz. Matrice Hessiana,
formula di Taylor col resto di Lagrange, formula di Taylor col resto di Peano (*). Definizione di
punto di massimo e di minimo relativo e assoluto, punti critici, punti di sella, teorema di Fermat (*).
Criterio della matrice Hessiana (*). Funzioni definite implicitamente, teorema del Dini, derivata
della funzione implicita. Estremi vincolati, vincoli di uguaglianza e metodo dei moltiplicatori di
Lagrange (*); vincoli di disuguaglianza.
Calcolo integrale per funzioni di più variabili (8 ore). Integrali doppi, integrale di una
funzione limitata su un rettangolo, teorema di riduzione per un rettangolo, insiemi semplici, regolari, funzioni integrabili, insiemi misurabili, insiemi di misura nulla. Proprietà dell’integrale doppio.
Proprietà dell’integrale doppio di funzioni continue. Teorema di riduzione per domini semplici (*),
calcolo di baricentri e di momenti di inerzia. Cambiamento di coordinate, matrice Jacobiana. Cambiamento di coordinate negli integrali doppi. Integrali doppi generalizzati, calcolo dell’integrale della
Gaussiana (*). Integrali tripli: calcolo, integrazione per fili e per strati.
Campi vettoriali (6 ore). Operatore rotore e operatore divergenza. Integrali curvilinei di seconda
specie. Campi conservativi e potenziali, caratterizzazione dei campi conservativi(*), campi irrotazionali e condizione necessaria perché un campo sia conservativo(*), tale condizione non è sufficiente
(*). Formula di Gauss-Green nel piano(*), calcolo di aree mediante integrali curvilinei (*).
Equazioni differenziali ordinarie (9 ore). Integrale generale e problema di Cauchy. Equazioni del prim’ordine, equazioni a variabili separabili (*), formula risolutiva per equazioni lineari del
prim’ordine (*). Teorema di Cauchy di esistenza e unicità per problemi del prim’ordine. Equazioni di Bernoulli, equazioni differenziali omogenee. Equazioni lineari del second’ordine: struttura
dell’integrale generale per equazioni omogenee e non omogenee (*). Teorema di esistenza e unicità
delle soluzioni. Equazioni lineari del second’ordine a coefficienti costanti omogenee: equazione caratteristica associata, integrale generale (*). Determinante Wronskiano. Equazioni non omogenee:
soluzioni particolari, metodo di somiglianza (*), variazione delle costanti (*). Equazione del moto
armonico.
Libri di maggior riferimento
• M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1 con elementi di geometria e algebra
lineare, Zanichelli (2014), per la parte di Algebra lineare (cap. 8, teoria ed esercizi);
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• M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli (2009), per la parte di
Analisi Matematica (teoria ed esercizi);
• S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi Matematica, Vol. 2 , Zanichelli (2011), eserciziario
di Analisi Matematica.
Ulteriori libri suggeriti per la consultazione
• M. Abate, C. De Fabritiis, Geometria analitica con elementi di algebra lineare, III Ed., McGrawHill (2015), per la parte di Algebra Lineare (teoria ed esercizi);
• S. Abeasis, Elementi di Algebra Lineare e Geometria, Zanichelli (1993), per la parte di Algebra
lineare (teoria ed esercizi);
• M. Bertsch, R. Dal Passo, L. Giacomelli, Analisi Matematica, II Ed., McGrawHill (2011), per
la parte di Analisi Matematica (teoria ed esercizi);
• M. Bramanti, Esercitazioni di Analisi Matematica 2, Esculapio (2012), eserciziario di Analisi
Matematica;
• E. Giusti, Analisi Matematica 2, III Ed., Bollati Boringhieri (2003), per la parte di Analisi
Matematica (teoria ed esercizi);
• J. Hass, M. D. Weir, G. B. Thomas, Analisi matematica 2. Equazioni differenziali e funzioni
in più variabili, Pearson (2014), per la parte di Analisi Matematica (teoria ed esercizi);
• P. Marcellini, C. Sbordone, Esercizi di Matematica, Vol. 2, Liguori (2009), eserciziario di
Analisi Matematica.
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