Matematica/Fisica

Testbusters
studenti per gli studenti
Dispensa di Matematica e fisica
Seguendo le linee di tendenza dei test degli anni precedenti al 2012 e il Programma Ministeriale dei contenuti delle prove di
quest’anno abbiamo raccolto le tipologie di domande e gli argomenti più ricorrenti e ve li abbiamo corretti nero su bianco in
maniera chiara, pratica e utile.
Le seguenti 20 venti domande cercano di coprire il più ampio ventaglio di argomenti paradigmatici per la sezione di matematica e fisica, senza ovviamente coprirlo in toto, ma l’intento della dispensa è pragmatico, non di summa teorica.
Un’idea più precisa da punto di vista teorico la trovate sicuramente nel Programma Ministeriale, facilmente reperibile all’indirizzo www.testbusters.it
Ma veniamo alla pratica:
1. Il 3,5% di una certa somma K ammonta a 70.000. Allora l’intera somma K ammonta a:
A) 200.000
B) 500.000
C) 1.930.000
D) 2.000.000
E) 7.000.000
2. Un micron corrisponde a:
A) 10-6 m
B) 10+6 m
C) 10-3 cm
D) 10+4 m
E) 10-5 m
3. Per b > 0, log bn =
A) n . log b
B) n + log b
C) log n . b
D) (1/n) . log b
E) (log b)n
4. La funzione x = k/y, dove x e y sono variabili e k un numero negativo, è rappresentata in un piano cartesiano
da:
A) una parabola
B) una iperbole
C) una ellisse
D) un cerchio con centro nell’origine
E) dipende dal valore di k
5. La funzione y= 2-x:
A) è sempre positiva
B) ha valori positivi e negativi
C) è sempre negativa
D) è costante
E) non ha significato
6. La tangente di un angolo è:
A) il prodotto del seno per il coseno dell’angolo
B) la perpendicolare all’angolo
C) la parallela all’angolo
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D) il rapporto tra il coseno ed il seno dell’angolo
E) il rapporto tra il seno ed il coseno dell’angolo
7. Se in un triangolo rettangolo l’ipotenusa BC misura 30 cm, l’angolo [beta] ad essa adiacente ha il seno che
vale 4/5, allora la sua area:
A) misura 216
B) misura 184
C) misura 312
D) non può essere calcolata
E) misura 324
8. Con tre segmenti di lunghezze rispettive 1 cm, 2 cm, 4 cm:
A) non è possibile costruire un triangolo
B) è possibile costruire un triangolo rettangolo
C) è possibile costruire un triangolo ottusangolo
D) è possibile costruire un triangolo scaleno
E) è possibile costruire un triangolo isoscele
9. Qual è la probabilità che lanciando due dadi si abbia il risultato di 9?
A) 2/9
B) 1/9
C) 3/4
D) 1/4
E) 5/6
10. Quanti ambi si possono formare con 90 numeri differenti?
A) 27.000
B) 7.200
C) 4.005
D) 8.010
E) 180
11. Due persone di identica massa superano un dislivello di 3 m, A, salendo su di una pertica verticale, l’altro, B,
impiegando una scala inclinata. Chi ha compiuto il lavoro maggiore contro le forze del campo gravitazionale?
A) A
B) B
C) Il lavoro compiuto è uguale
D) Occorre conoscere il tempo di salita
E) Occorre conoscere l’inclinazione della scala
12. Un corpo di 4 kg di massa è soggetto ad una forza costante di 20 N. La sua accelerazione è pari a:
A) 5 J/s2
B) 5 m/s
C) 5 m2/s
D) 5 m/s2
E) 80 N/kg
13. Una data quantità di gas perfetto, contenuto in un recipiente a pareti rigide, viene riscaldata dalla temperatura di
27°C a quella di 127 °C. La sua pressione è aumentata di un fattore:
A) 2
B) 4/3
C) 3/2
D) 10
E) 100
14. Trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo:
A) non è mai possibile
B) è possibile solo spendendo lavoro
C) contraddice il principio della termodinamica
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D) contraddice il secondo principio della termodinamica
E) può avvenire solo nel vuoto
15. La temperatura di un corpo è un “indice”:
A) del calore posseduto dal corpo
B) dell’energia cinetica media delle particelle del corpo
C) del calore scambiato dal corpo
D) della capacità termica del corpo
E) del calore specifico del corpo
16. Un campo magnetico può essere prodotto:
A) da una carica elettrica in quiete
B) soltanto da magneti permanenti
C) da circuiti percorsi da correnti
D) da un opportuno sistema di cariche elettriche in quiete
E) solo quando un circuito in parallelo è attraversato da corrente
17. Una carica di + 8 Coulomb si muove da un punto a potenziale di 6 V ad un punto a potenziale di 2 V. Il
lavoro fatto dalla forza del campo è pari a:
A) +32 J
B) +6 J
C) - 2 J
D) - 32 J
E) 16 J
18. Due conduttori rettilinei paralleli percorsi da corrente continua nello stesso verso:
A) si attraggono
B) si respingono
C) non esercitano alcuna forza reciproca
D) interagiscono con forze che dipendono dal materiale dei conduttori
E) esercitano tra loro forze parallele ai conduttori
19. La resistenza di un conduttore ohmico di forma cilindrica è direttamente proporzionale:
A) alla sezione
B) al quadrato della sezione
C) al cubo della sezione
D) alla lunghezza
E) al quadrato della lunghezza
20) L’ultravioletto, rispetto all’infrarosso, ha:
A) frequenza minore
B) frequenza maggiore
C) lunghezza d’onda maggiore
D) uguale frequenza
E) uguale lunghezza d’onda
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Correzione commentata
1.
A : B = C : D meglio conosciuta come proporzione. È semplice matematica in cui spesso ci si perde per il fatto che la
si legga come A sta a B come C sta a D. Sono semplici rapporti → A/B=C/D. Quindi A∙D=B∙C, ovvero per chi ama le regoline
“il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi”. 3,5% corrisponde a dire 3,5/100 inteso come 100 come massimo. Essendo il 3,5% di una quantità X uguale a 70000 allora 3,5/100=70000/X. Per trovare X allora basterà isolarla matematicamente
→ x=(70000 ∙100)/3,5=2000000. Risposta D
Es. il 25% di 280 è uguale a scrivere 25/100=x/280 → x=(25∙280)/100=70
2. Risposta A . Spesso nei test alcune opzioni sono eliminabili perché sono lo stesso numero espresso con ordini di
grandezza diversi.
Es. 0,0001 metri = 0,1 mm = 10-2cm = 100 micron.
Nel caso della nostra domanda la risposta C e la risposta E sono eliminabili perché sono la stessa risposta con ordini di grandezza diversi.
NB: E’ importante conoscere gli ordini di grandezza! (tabella)
Kilometro
km
103 m
1 000 m
1000/1
Metro
m
1
Decimetro
1m
1/1m
dm
−1
10 m
0,1 m
1/10 m
Centimetro
cm
10 m
0,01 m
1/100 m
Millimetro
mm
10 m
0,001 m
1/1 000 m
Micrometro/micron
μm
10−6 m
0,000001 m
1/1 000 000 m
Nanometro
nm
10−9 m
0,000000001 m
1/1 000 000 000 m
Picometro
pm
10
0,000000000001 m
1/1 000 000 000 000 m
−2
−3
−12
m
3.
Il logaritmo è una funzione matematica che serve a determinare l’esponente da dare alla base per ottenere l’argomento. È la funzione inversa della potenza.y= logax (si legge: y è uguale al logaritmo in base a di x). a rappresenta la base e x
rappresenta l’argomento Log216=4 ovvero 24=16. Regole dei logaritmi:
- loga(x∙y)=logax+logay
- loga(x/y) =logax-logay
- loga(x)n=n∙logax
4,
La funzione xy = k viene definita come iperbole equilatera. Risposta B
Se un’iperbole equilatera viene riferita ai propri asintoti (e cioè se gli asintoti dell’iperbole coincidono con gli assi cartesiani),
allora la sua equazione assume una forma molto semplice. Per poter velocizzare lo studio delle funzioni e delle caratteristiche
è molto utile avere uno schema delle funzioni principali (figura) e saperle analizzare ricordando almeno le basi. Le intersezioni
con gli assi vanno trovate ponendo a sistema prima x=0 e poi y=0. La positività di una funzione si vede sulla Y.
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5.
La domanda chiede quale sia la caratteristica di y=2-x. Per risolverla in casi di confusione vi consigliamo di fare una
tabellina velocissima in cui date scegliete 4-5 valori di x e trovate i corrispettivi valori di y. Ad esempio per questa funzione
scegliete dei valori (-1; 0; 1; 2; 3) facendo una tabellina in questo modo.
Una volta trovati i punti congiungendoli potrete avere il grafico della funzione (nell’immagine a sinistra) richiesta e poterne
dire le caratteristiche. Nel nostro caso y=2-x il grafico assume questa forma e quindi possiamo dire rapidamente che è sempre
positiva. Risposta A
6.
La tangente di un angolo è una funzione trigonometrica
definita come il rapporto tra il seno ed il coseno dello stesso angolo. Risposta E. Il nome della funzione deriva dal fatto che può esser
definita come la lunghezza di un segmento della tangente (in senso
geometrico) alla circonferenza goniometrica. Delle funzioni goniometriche è importante saper definire seno coseno come funzioni trigonometriche. Il seno di un angolo ( α ) è definito in un triangolo
rettangolo come il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa. Il coseno di α è definito come il cateto adiacente all’angolo fratto
l’ipotenusa. La tangente come il rapporto tra seno e coseno.
7.
Per risolvere ogni problema è importante acquisire un metodo di risoluzione a ritroso. Per trovare l’area del triangolo
rettangolo è necessario conoscere le misure dei cateti (che sarebbero base e altezza).
Noi dobbiamo, per poter determinare l’area, trovare le misure dei cateti. In base ai dati che abbiamo possiamo trovare un cateto
usando le formule goniometriche. Si ricorda la f(x) di seno → sinα=cateto opposto/ipotenusa ∙ sinα = cateto. Il cateto sarà
quindi uguale a 30 (ipotenusa) x 4/5 (valore del seno)= 24. Una volta trovato il cateto abbiamo bisogno di trovare l’altro cateto.
Qui possiamo ricorrere al teorema di Pitagora( la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa):
cateto maggiore2+ cateto minore2=ipotenusa2
Conoscendo i valori dell’ipotenusa e di un cateto possiamo quindi ottenere la misura dell’altro cateto 302-242=cateto2=324. Per
trovare il cateto ci basta quindi fare la radice quadrata di 324 che è 18. Ora che abbiamo tutti i dati per risolvere il problema
possiamo dire che l’Area del triangolo è di 216 ( 18 x 24) /2). Risposta A
8.
In ogni triangolo la somma di due lati più piccoli e’ maggiore del terzo lato. Nel nostro caso i lati sono 1, 2 e 4. La somma di 1 e 2 non è maggiore di 4 → 1+2=3 3 < 4. Risposta A. Il triangolo quindi non si può costruire. Cerchiamo comunque di
capire come portarsi in una situazioni di minori opzioni nel caso non si sapesse questa regola. Il triangolo isoscele può essere
immediatamente scartato in quanto presenta lati tutti diversi. Il triangolo rettangolo può essere scartato perché non è verificata
la relazione di Pitagora. 12+22=5 e non 42 (16)
9.
La probabilità viene definita come il rapporto di numero di eventi positivi o ricercati e tutti i possibili eventi. Nel
nostro caso 2 dadi di sei facce hanno come possibili combinazioni di lancio 6 x 6 = 36. Ovvero il primo lancio ha 6 possibili
combinazioni e per ognuna di queste ci sono 6 possibili combinazioni del secondo dado. Questo è il numero di tutti gli eventi
possibili, 36 combinazioni. Il numero di eventi che soddisfa la nostra richiesta sarà data dalle possibile coppie di numeri che
sommati danno 9. Ovvero la coppia 6;3 la coppia 5;4 la coppia 4;5 e la coppia 3;6. Quindi avremo 4 possibilità su 36 che lanciando 2 dadi la loro somma sia 9. Quindi 4/36= 1/9 . Risposta B
10.
Per poter calcolare gli ambi che si possono fare con 90 numeri bisogna introdurre il concetto di permutazioni. Una
permutazione di un insieme di oggetti è una presentazione ordinata, cioè una sequenza, dei suoi elementi nella quale ogni
oggetto viene presentato una ed una sola volta. Per contare quante siano le permutazioni di un insieme con n oggetti, si osservi
che il primo elemento della configurazione può essere scelto in n modi diversi, il secondo in (n-1), il terzo in (n-2) e così via
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sino all’ultimo che potrà essere preso in un solo modo essendo l’ultimo rimasto.
permutazione di n elementi = n∙(n-1)∙(n-2)…=n!
Ad esempio le permutazioni degli elementi dell’insieme {a,b,c} sono 3! = 6: abc, bac ,bca, cab, cba, acb. Un altro esempio può
essere il seguente: In quanti modi possibili possiamo anagrammare la parola -ATRIO-, contando anche le parole prive di significato: ATRIO n=5; P5= 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 modi di anagrammare la parola ATRIO. N.B: nella parola ATRIO nessuna
lettera si ripete.
Per calcolare i possibili ambi ovvero di 2 elementi in cui non si possono ripetere gli elementi bisogna applicare la seguente
formula.
Risposta D
Più semplicemente ragionando bastava pensare che all’estrazione del 1 numero avremo 90 possibili numeri estraibili. All’estrazione del 2 numero avremo 89 numeri estraibili. Quindi gli ambi possibili saranno stati 90x89 = 8010.
NB: Non temete, con un po’ di esercizio il tutto vi sembrerà più chiaro.
11.
Il lavoro è definito come il prodotto della forza per lo spostamento per il coseno dell’angolo compreso tra forza e
spostamento. L=F∙ s. essendo il dislivello di 3 metri sia per A che per B il lavoro contro le forze gravitazionali, quindi il lavoro
verticale è uguale per entrambi i percorsi. Quello che varia sarà il lavoro orizzontale che sarà nullo per A (la pertica verticale)
essendo assente lo spostamento in orizzontale. Risposta C
12.
Una forza è una grandezza fisica vettoriale e viene misurata in Newton (N→(kg∙m)/s2 ). La forza è descritta classicamente dalla seconda legge di Newton come derivata temporale della quantità di moto(p=mv) di un corpo. Essendo l’accelerazione la differenza di velocità nel tempo (a=v/t) allora la Forza sarà F=p/t=mv/t=m∙v/t=m∙a. Nel nostro caso abbiamo F e m
e dobbiamo trovare l’accelerazione che sarà a=F/m → accelerazione = 20N/ 4Kg = 5m/s2 . La risposta esatta è quindi la D. La
risposta E è corretta dal punto di vista delle unità di misura(N/kg) però non per il risultato. Risposta E
13.
È molto importante ricordarsi la legge di stato dei gas perfetti Questa equazione rappresenta una generalizzazione
delle leggi empiriche osservate da Boyle (in un gas, in condizioni di temperatura costante, il volume è inversamente proporzionale alla pressione), Gay-Lussac (in un gas a volume costante, la pressione è proporzionale alla temperatura assoluta) e Charles
(in un gas a pressione costante, il volume è proporzionale alla temperatura assoluta), ottenibili rispettivamente per T costante,
V costante e P costante. La legge è la seguente:
p∙V=n∙R∙T
in cui:
•
•
•
•
•
p è il valore della pressione del gas;
V è il volume occupato dal gas;
n sono le moli del gas;
R è la costante universale dei gas = 8,314472 J/(mol∙K)
T è la temperatura assoluta del gas, espressa in kelvin (K)
Nel nostro problema quindi se la temperatura passa da 27°C a 127°C vuol dire che varia da 300 a 400 K (la temperatura va
espressa in Kelvin) e viene quindi moltiplicata per 4/3. Essendo il recipiente rigido il volume non potrà variare e quindi l’unico
fattore che potrà variare sarà p e cambierà esattamente come T, di 4/3. Risposta B
14.
Secondo l’enunciato del 2° principio di termodinamica non è possibile trasferire calore da un corpo freddo a uno più
caldo senza l’apporto di lavoro esterno (formulazione di celsius). Altra formulazione conseguente alla prima dice che È impossibile realizzare una macchina termica il cui rendimento sia pari al 100%. Risposta B, è possibile solo spendendo lavoro e non
è la D perché è specificato nel 2° principio il “senza l’apporto di lavoro esterno”. Un’applicazione dell’uso di lavoro per trasferire
calore da un corpo più freddo a uno più caldo e il frigorifero che assorbe energia da un ambiente freddo e lo cede a un ambiente
più caldo. Questo è permesso a spese di un lavoro che è quello dell’energia elettrica che consuma il nostro frigo.
Ricordiamo brevemente anche gli altri principi di termodinamica :
1° L’energia possa essere trasformata e convertita da una forma all’altra ma la quantità totale di essa in un sistema isolato non
varia nel tempo. Questa legge può essere applicata sia alla meccanica che alla termodinamica. Nel caso della termodinamica,
grazie all’esperimento di Joule, fu dimostrato che ∆U=Q+L (la variazione di energia interna U di un sistema termodinamico è
uguale alla somma del calore Q e del lavoro L). Quindi ritornando alla domanda che ci viene posta la soluzione D è da scartare.
3° non è possibile raggiungere lo zero assoluto tramite un numero finito di operazioni (ovvero di trasformazioni termodinamiche).
15.
Calore e temperatura sono concetti che vengono spesso confusi nell’uso comune, ma sono in realtà due grandezze
fisiche ben distinte. Entrambi sono legati al moto di agitazione termica che anima gli atomi e le molecole della materia, in tutti i
suoi stati di aggregazione. La temperatura di un corpo misura il grado di agitazione delle particelle che lo compongono, mentre
il calore è una forma di energia, che ha la tendenza a trasferirsi dai corpi a temperatura maggiore a uno a temperatura minore
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(a meno che non venga speso del calore). Risposta B
Il trasferimento di calore può avvenire per :
• conduzione: a contatto. Nella conduzione viene trasferita energia attraverso la materia.
• per convezione(figura): raccoglie calore da una parte, lo deposita in
un’altra ed è tenuto in movimento dal trasporto del calore. Questo è
alla base del movimento ad esempio dell’aria e del meccanismo delle
piogge. L’aria a livello del terreno si espande e se c’è alta umidità assorbe
acqua. Per movimento convettivo si porta in alto e una volta arrivata in
alto la massa d’aria si raffredda, diminuisce il volume cedendo calore
ma mantenendo la sua umidità che ora diventa molto più concentrata
nella massa d’aria e scende sotto forma di precipitazione, o pioggia.
• per irraggiamento: tra due sistemi la trasmissione di calore può avvenire a distanza (anche nel vuoto), per emissione, propagazione e assorbimento di onde elettromagnetiche
La relazione che intercorre fra le due grandezze può essere rappresentata da questa formula Q=c∙m∙∆T (c = calore specifico e
m = massa )
Si definisce capacità termica di un corpo il rapporto fra il calore fornitogli e l’aumento di temperatura che ne è derivato.
C=m∙c dove m è la massa e c il calore specifico per unità di massa e C la capacità termica. Possiamo quindi scartare la D
Il calore specifico di una sostanza è definito come la quantità di calore necessaria per innalzare la temperatura di una unità di
massa di 1 K. In questo modo possiamo scartare l’opzione E.
16.
Il campo magnetico è un campo di forze generato nello spazio dal moto di una carica elettrica o da un campo elettrico
variabile nel tempo, che insieme al campo elettrico costituisce il campo elettromagnetico. Il campo magnetico prodotto da un
filo percorso da corrente agisce su un oggetto elettricamente carico tramite la forza di Lorentz ( F = qvB). Il campo magnetico,
a distanza r dal conduttore, prodotto invece da un filo percorso da corrente è:
dove:
B = vettore di induzione magnetica µ = permeabilità magnetica i = corrente costante
r = distanza dal conduttore.
Il campo elettrico è quindi prodotto da circuiti percorsi da corrente e non SOLTANTO da magneti permanenti. Per creare un
campo elettrico a partire da una carica è dunque necessario un movimento, quindi gli elementi stazionari non sono in grado
di generare un campo elettrico come viene detto nelle risposte A e D. Risposta C
17.
Il lavoro di un campo elettrico è definito come L=q∙∆V. Nel nostro caso quindi il lavoro sarà uguale a L = 8 c∙(6-2)V
= 32 Joule. Risposta A: il potenziale elettrico.
Il potenziale elettrico è il lavoro che le forze del campo elettrico devono compiere per portare una carica unitaria dal punto in
cui si trova fino ai limiti del campo (in teoria fino all’infinito). È dato dal rapporto tra l’energia potenziale elettrica e la carica
di prova: V=U/q
18.
Per sapere il comportamento di due fili e il loro movimento dobbiamo conoscere le forze che genera un filo elettrico
attraversato da corrente elettrica. Le forze in questione sono le forze di Lorenz. Dal caso generale (F=qvB), al caso particolare
in cui il calcolo della forza di Lorentz su un filo percorso da corrente i la forza di Lorenz può essere descritta come F=B∙i∙l. In
questo caso per capire il senso della forza dovremo ricorrere a una regola, la regola della mano destra (figura) In questo modo
possiamo determinare le direzioni delle forze che saranno nella forze che attrarranno un filo all’altro. Risposta A. Senza sapere
comunque la risposta potevamo portarci a una situazione di dubbio tra 3 opzioni ovvero: si attraggono (A), si respingono (B)
e non esercitano alcuna forza reciproca (C), perché queste tre opzioni rappresentavano tutte le possibili interazioni tra i due fili
ovvero positiva, negativa o nulla. Altri interazioni non esistono e quindi per forza una di queste tre doveva essere corretta.
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19.
La resistenza di un conduttore è regolata dalla legge di Ohm R=(ρ∙L)/S dove ρ è la resistività elettrica, L è la distanza
(misurata in m) dei punti tra i quali è misurata la resistenza (misurata in Ω) e S è l’area della sezione del campione perpendicolare alla direzione della corrente (misurata in m2). La resistenza può anche essere definita come R=∆V/i, ovvero il rapporto tra
differenza di potenziale elettrico e intensità. Risposta D perché ci viene chiesto a quale è direttamente proporzionale. Nel caso
ci fosse stato chiesto a cosa fosse inversamente proporzionale, allora la risposta corretta sarebbe stata la A.
La resistività è determinata dalle caratteristiche intrinseche del materiale e in base a come esso si comporta si riconoscono
conduttori e superconduttori, ovvero quelli che hanno una bassa resistività e quindi bassa resistenza al passaggio di i (corrente
elettrica).
20.
La radiazione ultravioletta (UV) è una radiazione elettromagnetica con una lunghezza d’onda immediatamente inferiore alla luce visibile dall’occhio umano e immediatamente maggiore di quella dei raggi X. Il nome significa “oltre il violetto”,
perché il violetto è l’ultimo colore visibile dello spettro percepito dall’uomo, quello con la lunghezza d’onda più corta (intervallo tra i 420 e i 380 nanometri).
NB: la frequenza f ha una relazione di proporzionalità inversa con la grandezza lunghezza d’onda. La frequenza è pari alla
velocità c dell’onda divisa per la lunghezza d’onda λ:
La frequenza dell’ultravioletto è quindi maggiore dell’infrarosso (figura). Risposta A
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