Esercizi

Polinomi
Cetraro, 9/10/2012
(1) Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi.
Dimostrare che p(n) non è un numero primo per infiniti numeri naturali n.
(2) Dimostrare che, se p(x) ∈ Z[x], allora a − b|p(a) − p(b) per ogni coppia di interi a, b.
(3) (a) Trovare tutti i polinomi Q(x) tali che (x − 1) Q(x) = (x − 15) Q(x + 3).
(b) Trovare tutti i polinomi P (x) tali che (x − 1) P (x) = (x − 16) P (x + 3).
(4) (a) Per quanti valori di k l’equazione x2 + kx + 40 = 0 ammette come radici due interi positivi, uno pari e uno
dispari?
(b) Per quali numeri interi n esiste uno e un solo valore di k per cui l’equazione x2 + kx + n = 0 ammette
come radici due interi positivi, uno pari e uno dispari?
(5) Tra i polinomi p(x) ∈ Z[x] con 8 diverse radici intere, quale può essere il minimo valore positivo di p(n), dove
n ∈ Z?
(6) Sia p(x) un polinomio di grado 2012 tale che p(n) = 0 per ogni n intero con 0 6 n 6 2011 e p(2012) = 1.
Quanto vale p(2013)?
Sia p(x) un polinomio di grado 2012 tale che p(n) = n per ogni n intero con 0 6 n 6 2011 e p(2012) = 2013.
Quanto vale p(2013)?
(7) Il polinomio p(x), monico di grado n, verifica le uguaglianze p(k) = k 2 per 1 6 k 6 n. Quanto vale p(n + 1)?
(8) Il polinomio p(x), monico di 4◦ grado, possiede 4 radici intere distinte α, β, γ, δ. Sia r un intero tale che
p(r) = 9. Dimostrare che α + β + γ + δ = 4r.
(9) Dimostrare che, se p(x) è un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) e p(5) sono dispari, allora p(x) non ha
radici intere.
(10) Sia Q(x) = x3 + ax2 + bx + c un polinomio con tre radici intere distinte. Dimostrare che non esistono m, n
interi distinti tali che Q(m) = Q(n) = 3.
(11) Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi, e siano a, b, c, d, numeri interi distinti tali che p(a) = p(b) = p(c) =
p(d) = 12. Dimostrare che non esiste alcun intero n tale che p(n) = 23.
(12) Il polinomio p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ha coefficienti razionali ed inoltre esiste un intero k tale che p(n)
ha valore intero per ogni intero n maggiore di k. Dimostrare che 24n è intero.
(13) Trovare
Trovare
Trovare
Trovare
Trovare
tutti
tutti
tutti
tutti
tutti
i
i
i
i
i
polinomi
polinomi
polinomi
polinomi
polinomi
p(x)
p(x)
p(x)
p(x)
p(x)
tali
tali
tali
tali
tali
che
che
che
che
che
p(2x) = 2p(x).
p(2x) = p(x).
p(x2 ) = 2p(x).
p(0) = 0 e p(x2 + 1) = p(x)2 + 1.
p(x2 ) = p(x)2 .
(14) Determinare quali sono le coppie di numeri primi positivi p, s tali che il polinomio Q(x) = x2 − (7s + 1)x + 2p
abbia due radici intere.
(15) Dette α, β, γ le radici del polinomio x3 + 5x2 + 2x − 1, quanto vale α2 + β 2 + γ 2 ?
(16) Siano α, β, γ le radici del polinomio x3 − 6x2 + 12x − 15. Si determini un polinomio di terzo grado avente come
radici αβ, βγ, αγ.
(17) Dato il polinomio q(x) = 2x3 − 8x2 + 7, siano α, β, γ le sue radici. Scrivere dei polinomi che abbiano come
radici rispettivamente: 3α, 3β, 3γ α + 2, β + 2, γ + 2; α2 , β 2 , γ 2 .
(18) Scrivere un polinomio di 4◦ grado nel quale la somma delle radici è 1, la somma dei loro quadrati è 2, la somma
dei loro cubi è 3 e la somma delle loro quarte potenze è 4.
(19) Un polinomio monico p(x) ∈ Z[x], di grado n > 1, possiede n radici intere distinte, a due a due coprime.
Dimostrare che, nella scrittura di p(x), il termine noto e il coefficiente di x sono coprimi.
(20) Siano u2 , uv, v 2 le radici di un polinomio di 3◦ grado a coefficienti razionali. Si dimostri che uv è razionale.
(21) Determinare i valori interi di n per cui le radici del polinomio p(x) = x3 − 3x + n sono tutte intere.
(22) Per quali valori reali di k le radici del polinomio p(x) = x2 − kx + 3k + 1 sono due interi?
(23) Siano a1 , a2 , ..., an degli interi distinti.
Dimostrare che il polinomio P (x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x − an ) − 1 è irriducibile in Z[x].
(24) Sia P (x) ∈ R[x] un polinomio monico di grado n > 1, con coefficienti tutti positivi e radici tutte reali, tale che
P (0) = 1. Provare che, per ogni k ∈ N, si ha P (k) > (k + 1)n .
(25)
• Dimostrare che esistono polinomi p(x) ∈ Z[x], di qualsiasi grado n > 1, con la proprietà che p(a) = b e
p(b) = a per qualche coppia di interi distinti a e b.
• Dimostrare che non esiste un polinomio a coefficienti interi p(x) tale che p(a) = b, p(b) = c, p(c) = a, dove
a, b, c sono interi distinti.
Una dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra
1. Primo passo.
•
•
•
•
•
•
•
•
Mettere a fuoco l’operazione di coniugio z = x + yi 7→ z = x − yi in C. Gode di varie proprietà:
z = z;
a + b = a + b e a · b = a · b;
z = z se e solo se z ∈ R;
dato p(x) ∈ C[x], per ogni t ∈ R si ha p(t) = p(t) [p(x) è il polinomio i cui coefficienti sono rispettivamente i
coniugati di quelli di p(x)];
z · z è sempre reale e non negativo;
per ogni z ∈ C, il numero z è l’unico z ′ ∈ C tale che z + z ′ ∈ R e z · z ′ ∈ R;
dato p(x) ∈ R[x], se per c ∈ C si ha p(c) = 0, allora anche p(c) = 0;
per ogni p(x) ∈ C[x], si ha p(x) · p(x) ∈ R[x] [infatti: per ogni t ∈ R, si ha p(t) · p(t) ∈ R, il che consente di
ricavare con sistema lineare i coefficienti di p(x) · p(x), che saranno reali].
2. Secondo passo.
•
•
•
•
Convincersi che le seguenti proposizioni sono tra loro equivalenti:
Ogni polinomio in C[x] di grado n > 0 si fattorizza in n fattori tutti di 1◦ grado in C[x].
Ogni polinomio in C[x] di grado n > 0 possiede almeno una radice in C.
Ogni polinomio in R[x] di grado n > 0 possiede almeno una radice in C.
Ogni polinomio in R[x] di grado n > 0 si fattorizza in fattori tutti di 1◦ o 2◦ grado in C[x].
3. Terzo passo.
• Cerchiamo di dimostrare la terza delle proposizioni qui sopra: ogni polinomio p(x) ∈ R[x] di grado n > 0
possiede almeno una radice in C.
• Considerato p(x) ∈ C[x], sia K un campo di spezzamento per p(x) (contenente C), ossia un campo nel quale
p(x) possiede n radici. Vogliamo vedere che almeno una di queste radici nel campo K si trova in effetti già in
C.
• Se n è dispari, sappiamo che p(x) ha una radice reale. Fine.
• Assumiamo n = 2k · m, con m dispari. Procediamo per induzione su k.
• Il caso k = 0 corrisponde a n dispari (già visto).
• Supponendo k > 1, siano α1 , α2 , ..., αn ∈ K le radici di p(x). Consideriamo, al variare di t ∈ R, la famiglia di
polinomi Qt (x) ∈ K[x] cosı̀ costruita:
∏
Qt (x) =
(x − t(αi + αj ) − αi αj ).
αi ̸=αj
Osservazioni su Qt (x).
( )
• Il grado di Qt (x) è n2 =
n(n−1)
2
= 2k−1 (2k m − 1), dove 2k m − 1 è dispari.
• In realtà Qt (x) ∈ R[x]!
Infatti: per costruzione, i coefficienti di Qt (x), oltre al parametro reale t, contengono solo espressioni di
α1 , α2 , ..., αn tutte simmetriche. Ciascuna di tali espressioni dovrà essere un polinomio delle espressioni simmetriche elementari di α1 , α2 , ..., αn [teorema di Newton]. Ma tali espressioni sappiamo essere tutte numeri reali,
giacché i coefficienti di p(x) sono reali.
• Pertanto: qualunque sia t ∈ R, il polinomio Qt (x) ha una radice in C, che dovrà essere uno degli elementi
αi αj + t(αi + αj ).
• Essendo i possibili t ∈ R infiniti, vi dovrà essere una coppia i, j tale che, per due diversi t1 e t2 , ritroviamo
αi αj + t1 (αi + αj ) e αi αj + t2 (αi + αj ) in C.
• È immediato constatare che, in tal caso, sia la somma S = αi + αj che il prodotto P = αi αj sono in C.
• Perciò αi e αj sono le radici in K del polinomio di 2◦ grado x2 − Sx + P in C[x].
• Ultimo passo: è quasi immediato verificare che qualsiasi polinomio di 2◦ grado in C[x] ha sempre due radici in
C. E cosı̀, in realtà, αi e αj sono numeri complessi. Fine.