Polinomi Cetraro, 9/10/2012 (1) Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi. Dimostrare che p(n) non è un numero primo per infiniti numeri naturali n. (2) Dimostrare che, se p(x) ∈ Z[x], allora a − b|p(a) − p(b) per ogni coppia di interi a, b. (3) (a) Trovare tutti i polinomi Q(x) tali che (x − 1) Q(x) = (x − 15) Q(x + 3). (b) Trovare tutti i polinomi P (x) tali che (x − 1) P (x) = (x − 16) P (x + 3). (4) (a) Per quanti valori di k l’equazione x2 + kx + 40 = 0 ammette come radici due interi positivi, uno pari e uno dispari? (b) Per quali numeri interi n esiste uno e un solo valore di k per cui l’equazione x2 + kx + n = 0 ammette come radici due interi positivi, uno pari e uno dispari? (5) Tra i polinomi p(x) ∈ Z[x] con 8 diverse radici intere, quale può essere il minimo valore positivo di p(n), dove n ∈ Z? (6) Sia p(x) un polinomio di grado 2012 tale che p(n) = 0 per ogni n intero con 0 6 n 6 2011 e p(2012) = 1. Quanto vale p(2013)? Sia p(x) un polinomio di grado 2012 tale che p(n) = n per ogni n intero con 0 6 n 6 2011 e p(2012) = 2013. Quanto vale p(2013)? (7) Il polinomio p(x), monico di grado n, verifica le uguaglianze p(k) = k 2 per 1 6 k 6 n. Quanto vale p(n + 1)? (8) Il polinomio p(x), monico di 4◦ grado, possiede 4 radici intere distinte α, β, γ, δ. Sia r un intero tale che p(r) = 9. Dimostrare che α + β + γ + δ = 4r. (9) Dimostrare che, se p(x) è un polinomio a coefficienti interi tale che p(0) e p(5) sono dispari, allora p(x) non ha radici intere. (10) Sia Q(x) = x3 + ax2 + bx + c un polinomio con tre radici intere distinte. Dimostrare che non esistono m, n interi distinti tali che Q(m) = Q(n) = 3. (11) Sia p(x) un polinomio a coefficienti interi, e siano a, b, c, d, numeri interi distinti tali che p(a) = p(b) = p(c) = p(d) = 12. Dimostrare che non esiste alcun intero n tale che p(n) = 23. (12) Il polinomio p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ha coefficienti razionali ed inoltre esiste un intero k tale che p(n) ha valore intero per ogni intero n maggiore di k. Dimostrare che 24n è intero. (13) Trovare Trovare Trovare Trovare Trovare tutti tutti tutti tutti tutti i i i i i polinomi polinomi polinomi polinomi polinomi p(x) p(x) p(x) p(x) p(x) tali tali tali tali tali che che che che che p(2x) = 2p(x). p(2x) = p(x). p(x2 ) = 2p(x). p(0) = 0 e p(x2 + 1) = p(x)2 + 1. p(x2 ) = p(x)2 . (14) Determinare quali sono le coppie di numeri primi positivi p, s tali che il polinomio Q(x) = x2 − (7s + 1)x + 2p abbia due radici intere. (15) Dette α, β, γ le radici del polinomio x3 + 5x2 + 2x − 1, quanto vale α2 + β 2 + γ 2 ? (16) Siano α, β, γ le radici del polinomio x3 − 6x2 + 12x − 15. Si determini un polinomio di terzo grado avente come radici αβ, βγ, αγ. (17) Dato il polinomio q(x) = 2x3 − 8x2 + 7, siano α, β, γ le sue radici. Scrivere dei polinomi che abbiano come radici rispettivamente: 3α, 3β, 3γ α + 2, β + 2, γ + 2; α2 , β 2 , γ 2 . (18) Scrivere un polinomio di 4◦ grado nel quale la somma delle radici è 1, la somma dei loro quadrati è 2, la somma dei loro cubi è 3 e la somma delle loro quarte potenze è 4. (19) Un polinomio monico p(x) ∈ Z[x], di grado n > 1, possiede n radici intere distinte, a due a due coprime. Dimostrare che, nella scrittura di p(x), il termine noto e il coefficiente di x sono coprimi. (20) Siano u2 , uv, v 2 le radici di un polinomio di 3◦ grado a coefficienti razionali. Si dimostri che uv è razionale. (21) Determinare i valori interi di n per cui le radici del polinomio p(x) = x3 − 3x + n sono tutte intere. (22) Per quali valori reali di k le radici del polinomio p(x) = x2 − kx + 3k + 1 sono due interi? (23) Siano a1 , a2 , ..., an degli interi distinti. Dimostrare che il polinomio P (x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x − an ) − 1 è irriducibile in Z[x]. (24) Sia P (x) ∈ R[x] un polinomio monico di grado n > 1, con coefficienti tutti positivi e radici tutte reali, tale che P (0) = 1. Provare che, per ogni k ∈ N, si ha P (k) > (k + 1)n . (25) • Dimostrare che esistono polinomi p(x) ∈ Z[x], di qualsiasi grado n > 1, con la proprietà che p(a) = b e p(b) = a per qualche coppia di interi distinti a e b. • Dimostrare che non esiste un polinomio a coefficienti interi p(x) tale che p(a) = b, p(b) = c, p(c) = a, dove a, b, c sono interi distinti. Una dimostrazione del teorema fondamentale dell’algebra 1. Primo passo. • • • • • • • • Mettere a fuoco l’operazione di coniugio z = x + yi 7→ z = x − yi in C. Gode di varie proprietà: z = z; a + b = a + b e a · b = a · b; z = z se e solo se z ∈ R; dato p(x) ∈ C[x], per ogni t ∈ R si ha p(t) = p(t) [p(x) è il polinomio i cui coefficienti sono rispettivamente i coniugati di quelli di p(x)]; z · z è sempre reale e non negativo; per ogni z ∈ C, il numero z è l’unico z ′ ∈ C tale che z + z ′ ∈ R e z · z ′ ∈ R; dato p(x) ∈ R[x], se per c ∈ C si ha p(c) = 0, allora anche p(c) = 0; per ogni p(x) ∈ C[x], si ha p(x) · p(x) ∈ R[x] [infatti: per ogni t ∈ R, si ha p(t) · p(t) ∈ R, il che consente di ricavare con sistema lineare i coefficienti di p(x) · p(x), che saranno reali]. 2. Secondo passo. • • • • Convincersi che le seguenti proposizioni sono tra loro equivalenti: Ogni polinomio in C[x] di grado n > 0 si fattorizza in n fattori tutti di 1◦ grado in C[x]. Ogni polinomio in C[x] di grado n > 0 possiede almeno una radice in C. Ogni polinomio in R[x] di grado n > 0 possiede almeno una radice in C. Ogni polinomio in R[x] di grado n > 0 si fattorizza in fattori tutti di 1◦ o 2◦ grado in C[x]. 3. Terzo passo. • Cerchiamo di dimostrare la terza delle proposizioni qui sopra: ogni polinomio p(x) ∈ R[x] di grado n > 0 possiede almeno una radice in C. • Considerato p(x) ∈ C[x], sia K un campo di spezzamento per p(x) (contenente C), ossia un campo nel quale p(x) possiede n radici. Vogliamo vedere che almeno una di queste radici nel campo K si trova in effetti già in C. • Se n è dispari, sappiamo che p(x) ha una radice reale. Fine. • Assumiamo n = 2k · m, con m dispari. Procediamo per induzione su k. • Il caso k = 0 corrisponde a n dispari (già visto). • Supponendo k > 1, siano α1 , α2 , ..., αn ∈ K le radici di p(x). Consideriamo, al variare di t ∈ R, la famiglia di polinomi Qt (x) ∈ K[x] cosı̀ costruita: ∏ Qt (x) = (x − t(αi + αj ) − αi αj ). αi ̸=αj Osservazioni su Qt (x). ( ) • Il grado di Qt (x) è n2 = n(n−1) 2 = 2k−1 (2k m − 1), dove 2k m − 1 è dispari. • In realtà Qt (x) ∈ R[x]! Infatti: per costruzione, i coefficienti di Qt (x), oltre al parametro reale t, contengono solo espressioni di α1 , α2 , ..., αn tutte simmetriche. Ciascuna di tali espressioni dovrà essere un polinomio delle espressioni simmetriche elementari di α1 , α2 , ..., αn [teorema di Newton]. Ma tali espressioni sappiamo essere tutte numeri reali, giacché i coefficienti di p(x) sono reali. • Pertanto: qualunque sia t ∈ R, il polinomio Qt (x) ha una radice in C, che dovrà essere uno degli elementi αi αj + t(αi + αj ). • Essendo i possibili t ∈ R infiniti, vi dovrà essere una coppia i, j tale che, per due diversi t1 e t2 , ritroviamo αi αj + t1 (αi + αj ) e αi αj + t2 (αi + αj ) in C. • È immediato constatare che, in tal caso, sia la somma S = αi + αj che il prodotto P = αi αj sono in C. • Perciò αi e αj sono le radici in K del polinomio di 2◦ grado x2 − Sx + P in C[x]. • Ultimo passo: è quasi immediato verificare che qualsiasi polinomio di 2◦ grado in C[x] ha sempre due radici in C. E cosı̀, in realtà, αi e αj sono numeri complessi. Fine.