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4.3.2 Punti notevoli di un triangolo
4.3.2.1 Definizione - Bisettrici
Le bisettrici sono le rette passanti per un vertice che tagliano l'angolo in due parti uguali, quindi da un punto di vista di
luogo geometrico esse sono il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo.
Procedimento per tracciare la bisettrice di un angolo:
• Si traccia, con apertura qualsiasi del compasso, la circonferenza 1 con centro nel vertice. Si trovano così due
punti A e B di intersezione tra la circonferenza e i lati dell'angolo.
• Si tracciano, con la stessa apertura del compasso, le circonferenze 2 e 3 di centro A e B. Si trova così il punto C
di intersezione tra le circonferenze 2 e 3.
• La retta passante per C e il vertice dell'angolo è la bisettrice.
4.3.2.2 Teorema - Teorema della bisettrice
Dato un qualsiasi triangolo ABC, in cui sia r la bisettrice dell'angolo `AhatBC` e D il punto di intersezione tra r e il lato
AC, allora vale la seguente proporzione
AB:BC=AD:DC.
Dimostrazione
Si tracci la retta passante per C parallela a r e si prolunghi il lato AB. Tali rette si intersecano in E. Gli angoli `DhatBC`
e `BhatCE` sono congruenti perché alterni interni date le rette BD e EC parallele tagliate dalla trasversale BC. Gli angoli
`BhatEC` e `AhatBD` sono congruenti perché corrispondenti date le rette BD e EC parallele tagliate dalla trasversale
BE. Vale inoltre `AhatBD~=DhatBC` perché BD bisettrice di `AhatBC`. Da ciò segue che il triangolo ADC è isoscele in
quanto `BhatEC` e `BhatCE` sono congruenti. Risulta quindi BE`~=`BC. Per il teorema di Talete, date le rette parallele
BD e EC tagliate dalle trasversali AC e AE vale AB:BE= AD:DC, ma BE`~=`BC da cui segue la tesi.
Le tre bisettrici di un triangolo si incontrano nell'incentro. L'incentro è il centro della circonferenza inscritta.
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Per trovare l'incentro basta tracciare DUE bisettrici e trovarne il punto di intersezione. Vale infatti il seguente teorema.
4.3.2.3 Teorema
Le tre bisettrici si incontrano in un unico punto.
Dimostrazione
La bisettrice è il luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo. Sia D il punto di incontro delle bisettrici di vertici A e B.
D appartiene alla bisettrice dell'angolo di vertice A, dunque è equidistante da AB e da AC. D appartiene alla bisettrice di
vertice B, dunque è equidistante da AB e da BC. E' allora provato che D è equidistante da AC e da BC, dunque
appartiene alla bisettrice di vertice C.
Raggio della circonferenza inscritta. Dato un triangolo qualunque si è già visto che l'incentro, punto di intersezione
delle bisettrici, è il centro della circonferenza inscritta al triangolo.
Per trovare il raggio della circonferenza inscritta si faccia riferimento alla figura. Si calcola l'area del triangolo ABC, e si
indicano con r il raggio della circonferenza inscritta e con p il semiperimetro, ossia (AB+BC+AC)/2.
`text(Area)(ABC)=text(Area)(ABO)+text(Area)(BCO)+text(Area)(ACO)=`
`=(AB·OE)/2+(BC·OE)/2+(AC·OD)/2=`
`=(AB·r)/2+(BC·r)/2+(AC·r)/2=r(AB+BC+AC)/2=r·p`
Si ha dunque `text(Area)(ABC)=r·p`, da cui segue `r=(text(Area)(ABO))/p`.
Se il triangolo è equilatero è ovvio che circocentro, baricentro, incentro e ortocentro coincidono, e in tal casi si dice
semplicemente centro del triangolo equilatero.
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Le definizioni di circocentro, baricentro e ortocentro sono talmente diverse che è difficile pensare che ci possa essere
un legame tra le posizioni di questi tre punti. Invece tale legame esiste, e il seguente risultato, dovuto ad Eulero, non è
per nulla ovvio.
4.3.2.4 Teorema - Retta di Eulero
Dato un qualsiasi triangolo il suo circocentro O, il suo baricentro G e il suo ortocentro H sono allineati. La retta sulla
quale giacciono è detta retta di Eulero. G appartiene al segmento OH e vale OH/GO=3.
Questo è un risultato che negli Elementi di Euclide non era presente, e la dimostrazione (un po' lunga, anche se non
molto complessa) è dovuta a Eulero (1707-1783), uno dei più importanti matematici della storia. Non esiste branca della
matematica che egli non abbia affrontato, ed esistono numerosi teoremi che vengono chiamati oggi con il suo nome.
Numerosi altri punti giacciono sulla retta di Eulero, tra cui il centro della circonferenza passante per i punti medi dei lati.
In particolare il centro di tale circonferenza è il punto medio del segmento avente come estremi ortocentro e circocentro.
Un altro risultato dovuto ad Eulero è che il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è sempre maggiore del
diametro della circonferenza inscritta. Essi sono uguali solo nei triangoli equilateri.
Esistono tre circonferenze, dette excerchi, che sono tangenti a un lato e ai prolungamenti degli altri due lati.
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I centri di tali circonferenze sono dette excentri e sono le intersezioni delle bisettrici dei prolungamenti dei lati, come si
può vedere in figura.
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In questa unità
Testo: Storia delle idee
Autore: Marcello Ciancio
Curatore: Maurizio Châtel
Metaredazione: Rosanna Lo Piccolo
Editore: BBN
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