MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
APPUNTI DI TOPOGRAFIA
MODULO 1
ELEMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E USO DI MACCHINE CALCOLATRICI
PROF. SPADARO EMANUELE
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
UNITA’ DIDATTICA N°1
UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI E USO DELLE MACCHINE CALCOLATRICI
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Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Alfabeto Greco
Lettera Greca
minuscola
maiuscola
A
B
E
Z
H
I
K
M
N
O
P
T
Y
X
Corrispondente
lettera italiana
Nome delle
lettere
a
b
g
d
e
z
e
th
i
c
l
m
n
cs
o
p
r
s
t
u (francese)
f
ch
ps
o
alfa
beta
gamma
delta
épsilon
zeta
éta
theta
iota
cappa
lambda
mu
nu
csi
òmicron
pi (greco)
rho
sigma
tau
upsilon
fi
chi
psi
oméga
Segni Matematici
Segno
significato
Segno
significato
perpendicolare, a 90°
non perpendicolare
parallelo
uguale e parallelo
uguale (identico)
coincidente
non uguale (diverso)
congruenete
simile
circa
maggiore
maggiore o uguale
minore
minore o uguale
sommatoria
appartiene
non appartiene
da, a
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DEFINIZIONE DI ANGOLO
Si definisce angolo la parte di piano compresa fra due semirette che hanno origine nello stesso
punto
fig. 1
DEFINIZIONE DI ANGOLO ORIENTATO
Per evitare l’incertezza se si intenda o l’angolo fra i due segmenti OA e OB è opportuno dare
un orientamento al senso di rotazione che deve avere un segmento per sovrapporsi all’altro con il
quale forma l’angolo in questione.
In topografia si usa il senso orario e si dirà che l’angolo è rappresentato dalla rotazione che deve
compiere il segmento OA per sovrapporsi ad OB. Si scriverà quindi:
= AOB;
= BOA.
Esercizio proposto
Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti
elementi:
AB = 16,28m; BC = 19,32m; CD = 15,12m; DE = 10,92m; EF = 13,12m; ABC = = 140°;
BCD = = 130°; CDE = = 100°; DEF = = 280°.
Suggerimento: utilizzando un goniometro destrorso (che avanza con la graduazione in senso orario),
posizionare lo zero nella direzione della prima lettera della terna che individua il generico angolo e
il numero che rappresenta la sua ampiezza nella direzione della terza lettera.
UNITA’ DI MISURA DEGLI ANGOLI
Le unità di misura angolari utilizzati in topografia sono :
i sessagesimali (sg);
i sessadecimali (sd);
i centesimali o gon (g);
i radianti (rad) per la verità questi sono quasi mai utilizzati in topografia.
I Sessagesimali
L’unità di misura è il grado che si definisce come la novantesima parte dell’angolo retto.
L’angolo sessagesimale si indica con i gradi (°), i primi (‘) e i secondi (“). primi e secondi sono
sottomultipli del grado.
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In particolare:
1° (un grado) = 60’ (sessanta primi)
1’ (un primo) = 60” (sessanta secondi)
perciò:
1° = 3600”
sg = g° p’ s”.
In genere un angolo in sessagesimali si indica:
Ad esempio = 65°44’38”.
I Sessadecimali
L’unità di misura è la stessa del sistema sessagesimale.
Il sistema sessadecimale è stato introdotto per semplificare le operazioni di calcolo un tempo
onerose. L’angolo sessadecimale è composto da gradi, decimi, centesimi,millesimi e decimillesimi
di grado.
= 121°,6359.
Un esempio di angolo sessadecimale è il seguente:
Sia per i sessagesimali che per i sessadecimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in
DEG (D).
PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A SESSADECIMALI
Per effettuare la conversione da sessagesimale a sessadecimale , tenendo conto della relazione
esistente fra il grado e i suoi sottomultipli, si può utilizzare la seguente relazione:
sd g
p'
s"
.
60' 3600"
Esercizio risolto
Trasformare in sessadecimale il seguente angolo:
= 113° 15’ 22”
= 113° + 15’/60’ + 22”/3600” = 113°,2561
Si ripete l’esercizio usando la calcolatrice scientifica (le procedure si riferiscono alla calcolatrice
SHARP EL-506R) sulla quale, dopo averla impostata in DEG si pigiano i seguenti tasti:
1
1
3
DMS
1
5
DMS
2
2
DMS
2ndf
DEG
Esercizio proposto
Trasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessagesimale a sessadecimale i seguenti
angoli:
= 72° 39’ 48”; = 193° 59’ 01”
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PASSAGGIO DA SESSADECIMALE A SESSAGESIMALE
Quando si vuole trasformare un angolo da sessadecimale a sessagesimale si procede nel seguente
modo:
sia dato:
= 73°,1347
= 73° (0,1347 x 60)’ = 73° 08’,082
= 73° 08’ (0,082 x 60)” = 73° 08’04”,92.
Utilizzando la calcolatrice scientifica, dopo averla impstata in DEG, il procedimento è il seguente:
7
3
,
1
3
4
7
2ndf
DMS
Esercizio proposto
Trasformare con e senza calcolatrice scientifica da sessadecimale a sessagesimale i seguenti
angoli:
= 329°,1234; = 15°,9999.
I Centesimali (o Gon)
Sono strutturati in modo analogo ai sessadecimali, perciò hanno una parte intera rappresentata
dai gradi centesimali (o gon) e quattro decimali che rappresentano i decimi, centesimi, millesimi e
decimillesimi di grado.
L’angolo giro in centesimali conta 400 gon, l’angolo piatto 200 gon e l’angolo retto 100 gon.
Perciò il grado centesimale corrisponde alla centesima parte dell’angolo retto.
Vi sono modi diversi per scrivere un angolo centesimale.
1° modo:
= 75c, 42¯73¯ ¯
75c = gradi centesimali
42¯ = primi centesimali
73¯ ¯ = secondi centesimali
essendo:
1¯ (un primo centesimale) = 1c /100 (un centesimo di grado)
ed
1¯ ¯ (un secondo centesimale) = 1c /10000 (un decimillesimo di grado)
2° modo:
= 75g, 42c 73 cc
75g = gradi centesimali
42c = primi centesimali
73cc = secondi centesimali
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analogamente a prima si avrà:
1c = 1g /100
1cc = 1g /10000.
ed
3° modo: è molto utilizzato perché più pratico e veloce
= 75c, 4273.
4° modo: è il modo più utilizzato perché più pratico, veloce e moderno
= 75g, 4273
oppure
= 75,4273 gon.
Per operare con i centesimali le calcolatrici scientifiche vanno impostate in GRAD (G).
PASSAGGIO DA SESSAGESIMALI A GON
L’operazione è composta dai due seguenti passaggi:
passaggio da sessagesimali a sessadecimali;
passaggio da sessadecimali a gon.
Poiché il primo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul secondo passaggio.
Per la sua effettuazione è sufficiente considerare che lo stesso angolo misurato nelle due unità di
misura diverse ha valori numericamente diversi. In particolare esso sarà tanto più grande quanto più
tacche contiene l’angolo piatto di quel determinato sistema a cui viene riferito.
Esiste quindi una proporzione diretta fra il valore dell’angolo in un determinato sistema e
l’angolo piatto di quel sistema di riferimento. Queste considerazioni ci consentono di scrivere:
g /200g = sd /180°
g = sd x 200g /180°
da cui:
ed effettuando le dovute semplificazioni:
g = sd 10g / 9°
(1).
Esercizio risolto
Trasformare in gon il seguente angolo:
= 83° 53’ 48”
1° passaggio:
2° passaggio:
= 83° + 53’/60’ + 48”/3600” = 83°,8967.
= 83°,8967 x 10g /9° = 93,2185 gon.
Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essere
impostata in DEG e alla fine risulterà impostata in GRAD:
8
3
DMS
5
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3
DMS
4
8
7
DMS
2ndf
DRG
2ndf
DRG
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Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
= 79° 03’ 12”;
= 115° 15’ 13”;
= 179° 52’08”.
PASSAGGIO DA CENTESIMALI A SESSAGESIMALI
L'operazione è composta dai due seguenti passaggi:
passaggio da centesimali a sessadecimali;
passaggio da sessadecimali a sessagesimali.
Poiché il secondo passaggio è già noto focalizzeremo la nostra attenzione sul primo passaggio.
Per la sua effettuazione è sufficiente invertire la (1) dalla quale si ricava:
sd = g 9°/10g .
Esercizio risolto
Trasformare in sessagesimale il seguente angolo:
= 126,4467 gon
1° passaggio:
= 126,44679°/10g = 113°,8020.
2° passaggio:
= 113° (0,802060)’ = 113° 48’,12 = 113° 48’ (0,1260)” = 113° 48’ 07”,2.
Si risolve il problema utilizzando la calcolatrice scientifica che inizialmente deve essere
impostata in GRAD e alla fine risulterà impostata in DEG:
1
2
6
,
4
4
6
7
2ndf
DRG
2ndf
DMS
Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
= 12°56’41”;
= 42°11’09”;
= 14°37’51”.
Esercizio proposto
Trasformare con e senza l’uso della calcolatrice scientifica da centesimale a sessagesimale i
seguenti angoli:
= 12,5681 gon;
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= 342,1190 gon;
8
= 143,6751 gon.
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SISTEMA ASSOLUTO O ANALITICO
L’unità di misura è il radiante che è l’angolo che sottende un arco lungo come il raggio della
circonferenza a cui l’arco appartiene.
= 1 rad
se
AB = R
fig. 2
Tra arco, angolo e raggio del settore circolare OAB esiste la seguente relazione:
rad = AB / R
L’angolo giro nel sistema assoluto vale
retto vale /2 radianti.
2 radianti, l’angolo piatto vale radianti, l’angolo
Per operare con i radianti le calcolatrici scientifiche vanno impostate in RAD (R).
PASSAGGIO FRA SESSADECIMALI, CENTESIMALI E RADIANTI
Per effettuare questi passaggi, tenendo conto della proporzionalità fra l’angolo in una determinata
unità di misura e il corrispondente angolo piatto, è sufficiente applicare le seguenti uguaglianze:
sd
gon
rad
180 200 g rad
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UNITA’ DIDATTICA N°2
FONDAMENTI DI TRIGONOMETRIA PIANA E RISOLUZIONE DI TRIANGOLI
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FUNZIONI
Si dice funzione l’operatore matematico che ad ogni valore della variabile indipendente x associa
un solo valore della variabile dipendente y.
In generale si scrive:
y = f(x)
Alcuni esempi di funzioni sono i seguenti:
y = 2x + 3;
y = x2 - 1;
y x.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Nelle funzioni goniometriche la variabile indipendente è un angolo mentre la variabile
dipendente è un numero adimensionato.
Le funzioni goniometriche più importanti per la topografia sono:
1.
2.
3.
4.
la funzione seno (sin);
la funzione coseno (cos);
la funzione tangente (tg);
la funzione cotangente (cotg).
DEFINIZIONE DI SENO E COSENO TANGENTE E COTANGENTE
Per definire le funzioni goniometriche utilizzeremo il cerchio goniometrico. Tale cerchio è
caratterizzato dal fatto che il suo raggio è sempre unitario. Ciò non vuol dire che deve
necessariamente valere un centimetro o un decimetro o un metro o un ..... ma vuol dire che
qualunque sia la sua lunghezza essa va presa come unità di misura del disegno.
fig. 4
Si definisce seno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse orizzontale (per questo
detto asse dei seni) perciò:
CD = AB = sin
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Analogamente si definisce coseno dell’angolo la proiezione del raggio BC sull’asse verticale
(per questo detto asse dei coseni) perciò:
AC = BD = cos.
In base alla definizione data sia il seno che il coseno avranno valori compresi fra -1 e 1.
Si definisce tangente dell’angolo il segmento EF della retta tangente al cerchio goniometrico e
parallela all’asse dei seni. Essendo E il punto di tangenza col cerchio ed F il punto di intersezione
fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
EF = tg.
Si definisce cotangente dell’angolo il segmento GH della retta tangente al cerchio
goniometrico e parallela all’asse dei coseni. Essendo G il punto di tangenza col cerchio e H il punto
di intersezione fra la retta tangente e il prolungamento del raggio del cerchio goniometrico. Perciò:
GH = cotg.
In base alla definizione data sia la tg che la cotg hanno valori compresi fra meno infinito (- ) e
più infinito (+ ).
Esercizio risolto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,
= 56°.
il coseno, la tangente e la cotangente del seguente angolo:
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
Risoluzione grafica:
Si costruisce la figura in modo
preciso assumendo come unità di
misura il raggio BC. Quindi si
misurano con accuratezza i
segmenti
CD, AC, EF ed GH
dividendo la lunghezza di ogni
segmento per la lunghezza del
raggio BC si determinano i valori
delle funzioni goniometriche.
Dalla figura si legge:
BC = 27 mm; CD = 23 mm;
AC = 15 mm;
EF = 38 mm; GH = 19 mm.
sin = 23 : 27 = 0,85;
cos = 15 : 27 = 0,56;
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tg = 38 : 27 = 1,41;
12
cotg = 19 : 27 = 0,70.
MODULO 1:
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Risoluzione con calcolatrice scientifica:
Dopo avere impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:
sin
5
6
=
0,82904;
tg
5
6
=
1,48256.
cos
5
6
=
risoluzione grafica
0,85
0,56
1,41
0,70
sin56°
cos56°
tg56°
cotg56°
0,55919;
risoluzione con calcolatrice
scientifica
0,82904
0,55919
1,48256
non siamo ancora in grado
di calcolarlo
Si nota una sufficiente rispondenza fra le due serie di risultati. Naturalmente i risultati grafici sono
affetti da inevitabili errori di graficismo.
Esercizio proposto
Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno,
il coseno, la tangente e la cotangente dei seguenti angoli: = 20°; = 40°; = 70°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
RELAZIONI FONDAMENTALI
Fra le funzioni goniometriche esistono alcune importanti proprietà.
Relazione fra seno e coseno
Fra seno e coseno esiste la seguente importante relazione fondamentale:
sin2 + cos2 = 1
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
ABC della fig. 4 percio:
AB2 + AC2 = BC2
(2)
quindi essendo:
AB = sin; AC = cos; BC = 1
sostituendo nella (2) si ottiene:
sin2 + cos2 = 1
come volevamo dimostrare.
Relazione fra seno coseno e tangente
Fra seno, coseno e tangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
tg = sin / cos
(3)
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli ABC e CFE della fig. 4 sono simili
(in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:
EF : AB = CE : AC
quindi essendo:
EF = tg; AB = sin;
sostituendo nella (4) si ottiene:
(4)
AC = cos
CE = 1;
tg = sin / cos
come volevamo dimostrare.
Relazione fra seno coseno e cotangente
Fra seno, coseno e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
cotg = cos / sin
(5)
Per dimostrare quanto asserito è sufficiente notare che i triangoli CHG e CBD della fig. 4 sono
simili (in quanto hanno gli angoli uguali) quindi si può scrivere la seguente proporzione:
GH : BD = CG : CD
quindi essendo:
GH = cotg;
sostituendo nella (6) si ottiene:
BD = cos;
(6)
CG = 1;
CD = sin
cotg = cos / sin
come volevamo dimostrare.
Relazione fra tangente e cotangente
Fra tangente e cotangente esiste la seguente importante relazione fondamentale:
cotg = 1 / tg
Per dimostrare quanto asserito mettiamo a sistema la (3) con la (5) cioè:
tg = sin / cos
cotg = cos / sin
moltiplicando membro a membro le due equazioni del sistema otteniamo:
tg cot g
sin cos
cos sin
ed effettuando le semplificazioni del caso otteniamo:
tg cotg = 1
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
da cui:
cotg = 1 / tg
come volevamo dimostrare.
Da questa relazione risulta evidente che pur non essendoci il tasto cotg sulle calcolatrici
scientifiche la cotangente di un angolo può essere calcolata come reciproco della tangente dello
stesso angolo.
Esercizio risolto
Calcolare la cotangente di 58°.
Dopo aver impostato la calcolatrice in DEG si procede nel seguente modo:
1
:
tg
5
8
= 0,62487
Esercizio risollto
Dato sin = 3 / 5 determinare: cos, tg e cotg.
sin2 + cos2 = 1
_________
cos =
1 - sin2 = 4 / 5
sapendo che:
si ricava:
per la tangente utilizzando la (3) si ricava:
tg = sin / cos = 3/4
per la cotangente utilizzando la (5) si ricava:
cotg = cos / sin = 4 / 3.
Esercizio risolto
Data tg = 5 determinare: sin; cos e cotg.
per la cotangente si utilizza la sua relazione con la tangente:
cotg = 1 / tg = 1 / 5
per determinare seno e coseno si scrive il seguente sistema:
sin / cos = 5
sin2 + cos2 = 1
risolviamo per sostituzione:
25 cos2+ cos2 = 1
26 cos2 = 1
______
cos = 1 / 26
___
cos =
26 / 26
___
sin = 5 26 / 26.
e razionalizzando:
infine:
Esercizio proposto
Sapendo che cotg = 3
determinare sin, cos, e tg.
Esercizio proposto
Sapendo che:
sintg = 2
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sin = 5 cos
(5 cos)2 + cos2 = 1
sin, cos, tg e cotg.
determinare
15
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
SEGNI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE NEI VARI QUADRANTI
In base alle definizioni date per le funzioni goniometriche, ragionando sul cerchio goniometrico
determiniamo i segni del seno e del coseno. Tenendo conto che se la proiezione del raggio è un
segmento a destra dell’origine (sull’asse dei seni) o verso l’alto (sull’asse dei coseni) il segno è più
viceversa è meno. Per i segni delle funzioni tangente e cotangente si utilizzano le relazioni (3) e (5).
1°
quadrante
0°90°
2°
quadrante
90°180°
3°
quadrante
180°270°
4°
quadrante
270°360°
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tg
+
-
+
-
cotg
+
-
+
-
fig. 5
VALORI DELLE FUNZIONI GONIOMETRICHE DI ALCUNI ARCHI NOTEVOLI
Trattiamo l’argomento utilizzando il seguente esercizio che risolviamo solo parzialmente.
Esercizio
Degli archi notevoli 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360° determinare i valori del seno,
coseno, tangente e cotangente raggruppandoli in appositi specchietti. Nei seguenti modi:
1. grafico (scrivere i risultati con due decimali);
2. analitico (utilizzando ragionamenti sui triangoli ove è necessario);
3. con l’uso della calcolatrice scientifica (scrivere i risultati con cinque decimali).
Svolgimento:
1. Omettiamo la risoluzione grafica per la quale si procede come visto nell’esercizio di pagina 12.
2. Nella risoluzione analitica si procede in due diversi modi a seconda degli angoli che si prendono
in considerazione. In particolare per gli angoli: 0°, 90°, 180°, 270° e 360° il valore delle funzioni
goniometriche si ricava facendo delle considerazioni sul cerchio goniometrico in base alle
definizioni date per le funzioni stesse.
Per gli altri angoli è necessario ragionare su appositi triangoli costruiti ad hoc sul cerchio
goniometrico.
come esempio prendiamo in considerazione l’angolo di 30°.
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Per determinare il sin30° e cos30° si
ribalta il triangolo ABC rispetto all’asse
dei coseni e si costruisce quindi il
triangolo equilatero B’BC (equilatero in
quanto ha i tre angoli di 60°).
Perciò essendo:
si avrà:
cioè:
B’B = BC = 1
AB = B’B / 2 = 1 / 2
sin30° = 1 / 2.
fig. 6
Per determinare cos30° si utilizza la relazione fondamentale fra seno e coseno:
__________
cos30° = 1 - sin2 30°
sostituendo il valore del seno trovato:
__________
cos30° = 1 - (1 / 2)2
________
cos30° = 1 - 1 / 4
__
cos30° = 3 / 2.
Per determinare tg30° si utilizza la relazione fondamentale (3).
__
__
tg30° = sin30° / cos30° = 1 / 2 : 3 / 2 = 1 / 3
__
tg30° = 3 / 3.
e razionalizzando:
Per determinare cotg30° è sufficiente ricordare che la cotangente è il reciproco della tangente.
Quindi:
__
cotg30° = 1 / tg30° = 1 : 1 / 3
quindi:
__
cotg30° = 3 .
Procedendo in modo analogo per 45° e 60° si ottengono i risultati del seguente specchietto:
0°
30°
45°
60°
90°
sin
0
½
2
3
1
0
-1
0
cos
1
3
2
½
0
-1
0
1
tg
0
3
3
imp.
0
imp.
0
cotg
imp.
0
imp.
0
imp.
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2
3
3
1
1
2
2
3
2
3
17
180° 270° 360°
MODULO 1:
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3. Omettiamo la risoluzione con l’uso della calcolatrice scientifica per la quale si procede come per
l’esercizio di pagina 11.
FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE
Nelle funzioni inverse le variabili cambiano di significato cioè la x diventa variabile dipendente e
la y variabile indipendente. Se ad esempio la funzione diretta o semplicemente funzione è la
seguente:
y = x2
la funzione inversa è:
x y.
Le funzioni inverse goniometriche associano un angolo (arco) ad un numero. Per questo sono
dette funzioni arco. Le funzioni goniometriche inverse che assumono importanza per la topografia
sono:
arcoseno (arcsin) che è la funzione inversa del seno;
arcocoseno (arccos) che è la funzione inversa del coseno;
arcotangente (arctg) che è la funzione inversa della tangente.
Arcoseno
L’arcoseno di un numero è l’angolo il cui seno è uguale al numero di partenza.
La funzione arcoseno si scrive nel seguente modo:
= arcsin y
dove: = angolo (arco)
arcsin = funzione inversa
y = numero adimensionato.
Poichè come già detto (vedi pag. 11) il seno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la
variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
sin
0
,
3
8
=
22°,33368
2NDF
DMS
22°20'01",25
Arcocoseno
L’arcocoseno di un numero è l’angolo il cui coseno è uguale al numero di partenza.
La funzione arcocoseno si scrive nel seguente modo:
= arccos y
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18
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
dove: = angolo (arco)
arccos = funzione inversa
y = numero adimensionato.
Poiché come già detto (vedi pag. 11) il coseno può assumere solo valori compresi fra -1 e 1 la
variabile indipendente y potrà avere solo valori compresi in questo intervallo (estremi inclusi).
Esercizio risolto
Calcolare l’arcocoseno di 0,38.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
COS
0
,
3
8
=
67°,66632
2NDF
DMS
67°39'58",75
Arcotangente
L’arcotangente di un numero è l’angolo la cui tangente è uguale al numero di partenza.
La funzione arcotangente si scrive nel seguente modo:
dove: = angolo (arco)
arctg = funzione inversa
y = numero adimensionato.
= arctg y
Poichè come già detto (vedi pag. 10) la tangente può assumere solo valori compresi fra - e + la
variabile indipendente y potrà avere tutti i valori compresi in questo intervallo.
Esercizio risolto
Calcolare l’arcotangente di 43.
Si imposta la calcolatrice nell’unità di misura in cui si intende ottenere l’angolo, (DEG per i
sessagesimali e i sessadecimali, GRAD per i centesimali) supponiamo DEG quindi:
2NDF
tg
4
3
=
88°,66778
2NDF
DMS
88°40'04",01
Esercizio proposto
Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri:
2,87940.
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19
0,23499;
0,56232;
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
TRIGONOMETRIA
La trigonometria (dal greco misura dei triangoli) studia le relazioni tra i lati e gli angoli dei
triangoli. Essa utilizza le funzioni goniometriche per la risoluzione dei triangoli.
Risolvere un triangolo vuol dire determinare tutti i suoi elementi (tre lati, tre angoli e la
superficie).
Una cosa nota a priori per qualsiasi triangolo è che la somma dei suoi angoli interni corrisponde
all’angolo piatto. Questa affermazione può essere dimostrata nel modo seguente:
si traccia AD prolungamento di AB,
si traccia AE parallela a BC quindi si
nota che:
CAE = (angoli alterni interni)
e
EAD = (angoli corrispondenti)
Perciò:
+ + = 180°.
fig. 7
TRIANGOLI RETTANGOLI
Sono quei triangoli che hanno sempre un angolo retto (90°). In esso i lati che definiscono
l’angolo retto sono detti cateti mentre il lato opposto all’angolo retto è detto ipotenusa.
Per risolvere questo tipo di triangoli si possono utilizzare alcuni teoremi già noti quali ad esempio
Pitagora ed Euclide oppure i seguenti teoremi trigonometrici.
PRIMO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il seno
dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
c = a sin
b = a sin
fig. 8
le (7) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AB = BC sin
AC = BC sin
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(7)
20
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Dimostrazione: per la dimostrazione utilizziamo il cerchio goniometrico sul quale riportiamo,
anche se ribaltato, il triangolo ABC.
fig. 9
I triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati si può scrivere la seguente proporzione:
ed essendo:
si ha:
AB : A’B’ = BC : B’C
A’B’ = sin
B’C = 1
AB : sin = BC : 1
quindi:
AB = BC sin
come volevamo dimostrare.
SECONDO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’ipotenusa e il coseno
dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
b = a cos
c = a cos
fig. 10
le (8) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AC = BC cos
AB = BC cos
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(8)
21
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Dimostrazione:
per la dimostrazione utilizziamo la fig. 9. Sulla quale, come per la
dimostrazione precedente si nota che i triangoli ABC ed A’B’C sono simili perciò fra i loro lati si
può scrivere la seguente proporzione:
AC : A’C = BC : B’C
ed essendo:
A’C = cos
B’C = 1
si ha:
AC : cos = BC : 1
quindi:
AC = BC cos
come volevamo dimostrare.
TERZO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la
tangente dell’angolo ad esso opposto.
In base all’enunciato si possono scrivere le
seguenti formule:
c = b tg
b = c tg
fig. 11
(9)
le (9) possono anche essere scritte nel modo
seguente:
AB = AC tg
AC = AB tg
Dimostrazione:
per la dimostrazione utilizziamo la prima relazione delle (7) e la prima
relazione delle (8) mettendole a sistema:
dividendo membro a membro otteniamo:
semplificando:
c = a sin
b = a cos
c : b = a sin : a cos
c : b = sin : cos
cioè:
c = b tg
come volevamo dimostrare.
QUARTO TEOREMA SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Enunciato: in un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto fra l’altro cateto e la
cotangente dell’angolo ad esso adiacente.
In base all’enunciato, con riferimento alla fig. 11, si possono scrivere le seguenti formule:
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22
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
b = c cotg
c = b cotg
le precedenti possono anche essere scritte nel modo seguente:
AC = AB cotg
AB = AC cotg
Dimostrazione: per la dimostrazione è sufficiente invertire le (9).
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 31,08 m; a = 51,98 m. Risolvere
il triangolo.
Nella risoluzione di questi problemi è sempre opportuno disegnare il triangolo, in scala per
verificare i risultati, mettendo i vertici in senso orario qualora non venga specificato, esplicitamente
o implicitamente, il contrario.
b a2 c2
in questo caso che fra i dati non vi sono angoli si è
liberi di scegliere per essi l’unità di misura che si
desidera.
Scegliamo i centesimali perciò impostiamo la
calcolatrice in GRAD.
Essendo:
c = a sin
si ricava:
= arcsin (c /a) = 40,8014 gon
= 100g - = 59,1986 gon
S = ½ b c = 647,40 m2.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elmenti: b = 27,45 m; CBA = = 32,865
gon. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD
= 100g - = 67,135 gon
essendo:
si ricava:
b = a sin
a = b / sin = 55,61 m
c = b tg = 48,36 m
S = ½ b c = 663, 74 m2
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23
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 35,61 m; b = 25,88 m.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 44,02 m; = 59,9909 gon; = 40,0091 gon; S = 460,79 m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 68,51 m; CBA = = 12,5133
gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 13,38 m; c = 67,19 m; = 87,4867 gon; S = 449,50 m2.)
FORMULE PER IL CALCOLO DELL’AREA DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
Per calcolare l’area di un triangolo rettangolo possono essere utilizzate formule diverse a seconda
degli elementi noti.
In particolare se sono noti i cateti la formula da utilizzare è:
S = ½ b c.
(10)
Quando invece è noto un cateto e un angolo si utilizza la
seguente formula:
S = ½ b2 tg
opuure:
S = ½ c2 tg .
Le precedenti si ottengono dalla (10) dove, utilizzando il
terzo teorema sui triangoli rettangoli, alla c prima e alla b
poi si sostituiscono le seguenti espressioni:
fig.12
c = b tg
e
b = c tg.
Quando è nota l’ipotenusa e un angolo si può utilizzare la seguente espressione:
S = 1/4 a2 sin(2).
A questa formula si giunge ragionando sulla figura 13 che si ottiene ribaltando intorno al lato AC il
triangolo della figura 12.
SABC = ½ SBCB’ = ½ ( ½ B’CBH)
ed essendo:
B’C = a
si ha:
BH = a sin(2)
SABC = 1/4 a2 sin(2).
fig. 13
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e
24
dal triangolo
rettangolo BCH
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: CBA = = 75,2018 gon, S =
864,30 m2. Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD.
Essendo:
S = ½ c2 tg
si ricava:
c
quindi:
2S
= 26,64 m
tg
b = c tg = 64,89 m
= 100g - = 24,7982 gon.
a b 2 c 2 = 70,15 m;
Esercizio risolto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: BC = a = 58,35 m, S = 615,00 m 2.
Risolvere il triangolo.
La calcolatrice va impostata in GRAD.
Essendo:
S = 1/4 a2 sin(2)
si ricava:
= ½ arcsin (4 S : a2) = 25,7019gon
quindi:
= 100g - = 74,2981 gon
c = a sin = 22,58 m
b = a cos = 53,66 m.
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 6482,00 m2; = 53° 31’ 42”.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 164,68 m; b = 97,89 m; c= 132,43 m; = 36° 28’ 18”.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: a = 254,36 m; S = 10000 m 2.
Risolvere il triangolo.
(R. = 19° 05’ 39”; = 70° 54’ 21”; b 240,37 m; c = 83,21 m.)
CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Come sin qui visto per risolvere un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno due
elementi dei quali almeno uno deve essere lineare (lati, perimetro, superficie, .......).
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25
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
RISOLUZIONE DEI TRIANGOLI QUALSIASI
Sono qualsiasi quei triangoli per i quali l’unica cosa nota a priori è la somma degli angoli interni
(180° o 200 gon o rad). Per la risoluzione di questi triangoli, a seconda dei dati e dopo averli
scomposti in due triangoli rettangoli, si possono utilizzare i teoremi sui triangoli rettangoli. Ma la
risoluzione risulta molto più spedita se vengono applicati i teoremi per essi specifici. Esistono
diversi teoremi per la risoluzione dei triangoli rettangoli, fra questi assumono particolare
importanza:
1. il teorema dei seni;
2. il teorema di Carnot.
TEOREMA DEI SENI
Enunciato: in un triangolo qualsiasi il rapporto fra il lato e il seno dell’angolo opposto è
costante ed è uguale al doppio del raggio del cerchio circoscritto (il cerchio circoscritto passa per i
tre vertici del triangolo. Il suo centro è detto circocentro e si ottiene come intersezione degli assi dei
tre lati. Ciascun asse di ciascun lato passa per il punto medio del lato ed è perpendicolare al lato).
HO, MO ed NO sono gli assi rispettivamente
dei lati AB, BC ed AC.
In base all’enunciato possiamo scrivere la
seguente formula:
a
b
c
2R
sin sin sin
Dalla (11) si possono scrivere le seguenti sei
relazioni:
fig.14
a
b
;
sin sin
a
c
;
sin sin
(11)
b
c
;
sin sin
a
2R;
sin
b
2R ;
sin
c
2R.
sin
Dimostrazione: effettueremo la dimostrazione verificando che sono vere le tre uguaglianze della
(11). Per fare ciò ci serviremo dei triangoli rettangoli DBC ed ADC prima e AEC ed ABE poi ed
infine del triangolo sempre rettangolo HBO.
Dimostriamo che:
a : sin = b : sin.
B
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai
triangoli rettangoli DBC e ADC possiamo scrivere:
D
c
a
DBC:
CD = a sin
fig. 15
E
ADC:
CD = b sin
A
b
C
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26
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere:
a sin = b sin
da cui si ricava:
a : sin = b : sin
(12).
Applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli ai triangoli AEC e ABE possiamo scrivere:
AEC:
AE = b sin
ABE:
AE = c sin
nelle precedenti tenendo conto che i termini di sinistra sono uguali possiamo scrivere:
b sin = c sin
da cui si ricava:
b : sin = c : sin
(13).
Per dimostrare l’ultima uguaglianza del teorema ritorniamo sulla figura 14, nella quale si nota
che l’angolo AOB è uguale a due volte per la nota proprietà della geometria la quale afferma che
l’angolo al centro che insiste su un certo arco è il doppio dell’angolo alla circonferenza che
insiste sullo stesso arco. Perciò applicando il primo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo
HBO possiamo scrivere:
HB = c/2 = R sin
da cui si ricava:
c : sin = 2 R
(14).
La (12), (13) e (14) insieme dimostrano il
teorema dei seni.
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 28,23 m; = 53,1200 gon; = 71,1600 gon. Risolvere il triangolo.
B
= 200g - ( + ) = 75,7200 gon
c
A
h
b
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a
C
b : sin = a : sin
b = a sin : sin = 34,26 m
c : sin = a : sin
c = a sin : sin = 35,36 m
27
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
S=½bh
h = a sin
essendo:
sostituendo nella precedente si ha:
S = ½ a b sin = 448,83 m2.
La formula utilizzata per il calcolo della superficie è detta di camminamento. Si può esprimere
nel modo seguente:
l’area di un triangolo qualsiasi è data dal semi prodotto fra due lati e il seno dell’angolo compreso.
Perciò:
S = ½ a b sin
S = ½ a c sin
S = ½ b c sin
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti: = 71,43 gon;
circoscritto:
R = 33,12 m. Risolvere il triangolo.
= 49,58 gon. ed il raggio del cerchio ad esso
= 200g - ( + ) = 78,99 gon
a : sin = 2 R
a = 2 R sin = 59,68 m
b : sin = 2 R
b = 2 R sin = 46,53 m
c : sin = 2 R
c = 2 R sin = 62,67 m
S = ½ a c sin = 1313,59 m2.
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 403,82 m; = 53° 27’ 24”; = 58° 19’ 42”. Risolvere il triangolo.
(R.
= 68° 12’ 54”; c = 370,11 m; a = 349,38 m;
S = 60037,36 m2.)
Esercizio proposto
Del triangolo ABC sono noti il raggio del cerchio circoscritto R = 191,24 m e gli angoli
= 65,0500 gon; = 56,8889 gon. Risolvere il triangolo.
(R.
= 78,0611 gon; a = 326,27 m; b = 359,99 m;
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28
c = 298,08 m; S = 45768,16 m2.)
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO DEL QUALE SONO NOTI DUE LATI E UN
ANGOLO NON COMPRESO
Quando i dati del problema sono due lati e un angolo non compreso fra essi ad esempio:
a = 10 m; b = 11 m; = 30°
si procede come segue:
B
c
A
a
sostituendo i numeri:
cioè:
b
da cui:
C
b : sin = a : sin
sin : b = sin : a
= arcsin(b sin : a)
= arcsin 0,55
ricordando la definizione di arcoseno e di seno risulta che esistono due angoli il cui seno vale 0,55 e
questi sono:
= 33° 22’ 01”,25
= 146° 37’ 58”,75.
e
Il problema è quale dei due è quello giusto?
Per evitare l’errore è necessario effettuare la risoluzione grafica cioè bisogna costruire il
triangolo in scala utilizzando i soli dati.
Supponendo che gli elementi noti siano di nuovo a, b ed si possono presentare i tre seguenti
casi:
1° caso:
A
b
C
fig. 15
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e
nella scala decisa il lato noto adiacente
all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col
goniometro si traccia un segmento lungo
indefinitamente che forma l’angolo noto col
lato b. Con il compasso si traccia un cerhio
avente apertura a puntando in C In questo caso
non si forma il triangolo perciò non esiste
soluzione.
2° caso:
Si costruisce la figura mettendo in orizzontale e nella scala decisa il lato noto adiacente
all’angolo noto (in questo caso b). Quindi col goniometro si traccia un segmento lungo
indefinitamente che forma l’angolo noto col lato b. Con il compasso avente apertura a puntando
in C si traccia un cerchio In questo caso si forma il triangolo perciò esiste una soluzione. Per
determinare la soluzione si procede nel modo seguente:
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29
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
B
= acsin (b sin : a)
= 180° - ( + )
c
a
A
c = a sin : sin;
S = ½ a b sin.
C
b
fig.16
3° caso:
Si costruisce la figura mettendo in
orizzontale e nella scala decisa il lato
noto adiacente all’angolo noto (in questo
caso b). Quindi col goniometro si traccia
un segmento lungo indefinitamente che
forma l’angolo noto col lato b. Con il
compasso avente apertura a puntando in
C si traccia un cerhio.
In questo caso si formano due triangoli
che hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C)
perciò
esistono due soluzioni.
Per determinare le soluzioni si procede
come segue:
fig. 17
Triangolo AB1C:
1 = acsin (b sin : a)
ACB1 = 1 = 180° - ( + )
AB1 = c1 = a sin1 : sin;
S1 = ½ a b sin1.
Triangolo AB2C:
essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che:
2 = 180° - 1
quindi:
da cui:
B1B2C = 1
2 = 180° - ( + 2);
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AB2= c2 = a sin2 : sin;
30
S2 = ½ a b sin2.
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Esercizio risolto
Del triangolo ABC sono noti:
triangolo.
= 40°12’00”;
a = 40,16m;
b = 45,12m. Risolvere il
Si costruisce la figura mettendo in
orizzontale e nella scala decisa il lato
noto adiacente all’angolo noto (in questo
caso b). Quindi col goniometro si traccia
un segmento lungo indefinitamente che
forma l’angolo noto col lato b. Con il
compasso avente apertura a puntando in
C si traccia un cerchio.
In questo caso si formano due triangoli
che hanno gli stessi dati (AB1C e AB2C)
perciò:
esistono due soluzioni.
Per determinare le soluzioni si procede
come segue:
Triangolo AB1C:
1 = arcsin (b sin : a) = 46°29’00”
ACB1 = 1 = 180° - ( + ) = 93°19’00”
AB1 = c1 = a sin1 : sin = 62,12m;
S1 = ½ a b sin1 = 904,49m2.
Triangolo AB2C:
essendo il triangolo CB1B2 isoscele siha che:
2 = 180° - 1 = 133°31’00”
quindi:
da cui:
B1B2C = 1
2 = 180° - ( + 2) = 6°17’00”;
AB2= c2 = a sin2 : sin = 6,81m;
S2 = ½ a b sin2 = 99,16m2.
Esercizio proposto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
a = 20,12m; b = 40,31m; = 75°30’.
(R. Il problema non è risolvibile.)
Esercizio proposto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: b = 81,12m; c = 107,84m;
= 84,68gon.
(R.
a = 92,98 m; = 63,18 gon; = 52,14 gon; S = 3662,20m2.)
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31
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
TEOREMA DI CARNOT
Se gli elementi noti sono due lati e l’angolo compreso, oppure i tre lati il problema non può
essere risolto con il teorema dei seni.
In questo caso entra in gioco il Teorema di Carnot il cui enunciato si esprime nel seguente modo:
In un triangolo qualunque il quadrato di un lato è uguale alla somma del quadrato degli
altri due diminuiti del doppio prodotto fra questi ultimi e il coseno dell’angolo che essi
comprendono.
B
c
a
A
(15)
b
C
a 2 b 2 c 2 2bc cos
a b 2 c 2 2bc cos
b 2 a 2 c 2 2ac cos
b a 2 c 2 2ac cos
c 2 a 2 b 2 2ab cos
c a 2 b 2 2ab cos
Per trovare gli angoli quando sono noti i tre lati si applicano le seguenti formule che si ottengono
invertendo le (15)
b2 c2 a2
2bc
ar cos
a2 c2 b2
2ac
a2 b2 c2
ar cos
2ab
ar cos
Dimostrazione del Teorema di Carnot
Per dimostrare il teorema utilizziamo dei triangoli rettangoli
B
c
a
A
triangolo BCH:
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b
H
a2 = BH2 + HC2
32
C
(16)
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
triangolo ABH:
triangolo ABC:
BH = c sin
(17)
AH = c cos
(18)
HC = b – AH
e sostituendo la (18) diventa:
HC = b - c cos
(19)
Sostituendo la (17) e la (19) nella (16) otteniamo:
a 2 (c sin ) 2 (b c cos ) 2
a 2 c 2 sin 2 b 2 c 2 cos 2 2bc cos
2
2
a 2 b 2 c 2 (sin
cos
) 2bc cos
1
e infine:
a b c 2 2bc cos
2
2
c.v.d.
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 52,40 m; BC = a = 42,65 m; CA = b = 65,40 m .
B
c
a
A
b
C
a2 b2 c2 2bc cos
2bc cos b 2 c 2 a 2 ar cos
65,40 2 52,40 2 42,65 2
b2 c2 a 2
ar cos
45 ,g1124
2bc
2 65,40 52,40
b2 a2 c2 2ac cos
2ac cos a 2 c 2 b 2 ar cos
a 2 c 2 b2
42,652 52,402 65,402
ar cos
95,g 9006
2ac
2 42,65 52,40
c2 a2 b2 2ab cos
2ab cos a 2 b 2 c 2
ar cos
a 2 b2 c 2
42,652 65,402 52,402
ar cos
58,g 9871
2ab
2 42,65 65,40
1
1
S b c sen 65,40 52,40 sen 45 g ,1123 1115,11m 2
2
2
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33
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 24,05m;
CA = b = 22,82m;
ACB = = 41,7705gon.
B
c
a
A
b
C
c a 2 b 2 2ab cos 24,052 22,822 2 (24,05 22,82) cos 41g ,7705 15,15m
a2 b2 c2 2bc cos
2bc cos b c a
2
2
2
b2 c2 a 2
22,822 15,152 24,052
ar cos
ar cos
84,g 0079
2bc
2 22,82 15,15
b2 a2 c2 2ac cos
2ac cos a 2 c 2 b 2 ar cos
a 2 c 2 b2
24,052 15,152 22,822
ar cos
74,g 2160
2ac
2 24,05 15,15
Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((................) : (................)) =
Grad
Ricordati di impostarla in
1
1
S b c sen 22,82 15,15 sen84 g ,0079 167,44m 2
2
2
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi: BC = a = 30,15m; CA = b =
68,42m;
ACB = = 32,4128gon.
B
c
a
A
b
C
c a 2 b 2 2ab cos 30,152 68,42 2 2 30,15 68,42 cos 44,59m
a 2 b2 c2 2bc cos
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34
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
2bc cos b 2 c 2 a 2 ar cos
b2 c2 a 2
68,422 44,592 30,152
ar cos
21,g 3889
2bc
2 68,42 44,59
b2 a2 c2 2ac cos
2ac cos a 2 c 2 b 2 ar cos
a 2 c 2 b2
30,152 44,592 68,422
ar cos
146,g1860
2ac
2 30,15 44,59
Per la calcolatrice usa 2ndF cos ((................) : (................)) =
Grad.
Ricordati di impostarla in
1
1
S b c sen 68,42 44,59 sen81g ,3889 502,92m 2
2
2
Formule per il calcolo dell’area di un tiangolo qualsiasi
c
A
b
H
B
h
a
C
S = ½ bh
1
S b c sin
2
1
S a c sin
2
1
S a b sin
2
S
1
a2
2 cot g cot g
S
1
b2
2 cot g cot g
S
Formula di CAMMINAMENTO
per un Triangolo
Si usa quando sono noti:
Formula delle COTANGENTI
Anche
2
1
c
2 cot g cot g
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un Lato + i due Angoli adiacenti
L'area + 2 Angoli
35
MODULO 1:
S P( P a)( P b )( P c)
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Formula di ERONE
dove:
P
abc
2
Esercizio risolto
Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA = = 60,128gon;
ACB = = 88,031gon;
S = 10,8830m2.
B
c
a
A
b
C
200 g ( ) 51g ,8410
S
1
a2
2 cot g cot g
a 2 S (cot g cot g ) = 2 1088,30(cot g 60 g128 cot g 88 g ,031) = 44,60 m
b
a
44,60
sin
sin 60 g ,128 49,69 m
g
sin
sin 51 ,8410
c
a
44,60
sin
sin 88 g ,031 60,24 m
sin
sin 51 g ,8410
Esercizio proposto:
Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso (si dice ottuso un angolo maggiore
di 90° e minore di 180°) e del quale sono noti i seguenti elementi AB = c = 86,55m; CA = b =
62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)
CONSIDERAZIONE SUI TRIANGOLI QUALSIASI
Per risolvere un triangolo qualsiasi è necessario conoscere tre elementi dei quali almeno uno
deve essere lineare (altezza, superficie, lato ecc. ecc.).
Con i teoremi sviluppati si sono ricavate delle formule che consentono di calcolare lati o angoli.
Bisogna però prestare molta attenzione quando si fa l’arcoseno per ricavare gli angoli (perché la
calcolatrice ci da sempre un angolo del 1° quadrate e questo, a volte non è sufficiente) e precedere il
calcolo dalla risoluzione grafica del problema (fare la figura in scala partendo dai dati).
E’ consigliabile, tutte le volte che è possibile, applicare Carnet nella ricerca degli angoli.
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36
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
CERCHI NOTEVOLI DEI TRIANGOLI
Un cerchio si dice notevole quando basta il nome per individuarlo in tutte le sue caratteristiche.
Oltre al cerchio circoscritto del quale abbiamo già parlato nel teorema dei seni esistono altri due
cerchi notevoli dei quali tratteremo: il cerchio inscritto e il cerchio ex-inscritto.
IL CERCHIO INSCRITTO
E' il cerchio interno al triangolo che contemporaneamente tange ai tre lati. Il suo centro si chiama
incentro e si ottiene come intersezione delle bisettrici degli angoli del triangolo (si ricorda che la
bisettrice è una linea interna al triangolo che partendo da un vertice divide in due parti uguali
l'angolo di quel vertice).
Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABO
BCO CAO e ragionare sulle superfici:
S ABC S ABO S BCO S CAO
1
1
1
cr ar br
2
2
2
1
S ABC r (c a b)
2
S ABC
ed infine:
r
2 S ABC
abc
IL CERCHIO EX-INSCRITTO
E' il cerchio "inscritto fuori", esso è contemporaneamente tangente ad un lato ed al
prolungamento degli altri due. Quindi come il cerchio inscritto esso è tangente ai tre lati ma sta fuori
dal triangolo.
Da quanto detto si evince che ogni triangolo ha tre cerchi ex-inscritti uno per ogni lato.
Il centro del cerchio ex-inscritto, si chiama ex-incentro e si ottiene come intersezione delle
bisettrici degli angoli esterni al triangolo adiacenti al lato di tangenza e della bisettrice dell'angolo
interno opposto al lato detto.
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37
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Per determinare il raggio è sufficiente prendere in considerazione i tre triangoli in figura ABO a
CBOa CAOa e ragionare sulle superfici:
S ABC S ABOa S CAOa S CBOa
S ABC
1
1
1
c ra b ra a ra
2
2
2
S ABC
e infine:
1
ra (c b a)
2
ra
2 S ABC
bca
formule analoghe si hanno per determinare i raggi dei cerchi ex-inscritti ai lati b e c:
rb
2 S ABC
acb
rc
2 S ABC
abc
RISOLUZIONE DEI QUADRILATERI
Per risolvere un quadrilatero è necessario sapere che la somma degli angoli interni vale 360°.
Inoltre è necessario conoscere almeno 5 elementi dei quali almeno 2 devono essere lineari.
Per la risoluzione dei quadrilateri ci si serve dei triangoli utilizzando uno dei seguenti metodi:
si considera il quadrilatero come somma di due triangoli qualsiasi;
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38
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
si considera il quadrilatero come differenza di due triangoli qualsiasi;
si considera il quadrilatero come somma di tre triangoli rettangoli e di un rettangolo.
Primo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
si conoscono due lati consecutivi e tre angoli;
si conoscono tre lati e due angoli opposti, in questo caso però si corrono i rischi visti nel teorema
dei seni per la risoluzione di un triangolo del quale sono noti due lati e un angolo non compreso;
si conoscono tre lati e i due angoli fra essi compresi;
si conoscono tutti i lati e un angolo;
si conoscono tutti i lati e una diagonale.
B
b
C
a
A
c
d
Le formule da utilizzare sono quelle dei triangoli qualsiasi.
D
Secondo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli.
B
A
b
a
C
'
d
c
'
D
E
Per la risoluzione:
si prolungano i due lati incogniti fino a farli intersecare nel punto E;
’ = 180° - e
’ = 180° -
quindi dopo aver calcolato:
si calcolano con le formule dei triangoli qualsiasi gli elementi dei due triangoli ABE ed CED;
ed infine per differenza fra gli elementi dei due triangoli sopra detti si calcolano gli elementi del
quadrilatero.
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39
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Terzo metodo
Si utilizza questo metodo quando:
non è possibile utilizzare il primo e il secondo metodo;
si conoscono due lati opposi e tre angoli e quindi in alternativa al secondo metodo;
si conoscono tre lati e i due angoli non compresi.
B
a
b
C
T
c
A
K
d
H
D
Per la risoluzione:
si tracciano le perpendicolari (BK e CH) ad uno dei lati incogniti (in questo caso AD);
partendo da un vertice (in questo caso C) si traccia la perpendicolare (CT) ai segmenti tracciati
prima;
si calcolano con le formule dei triangoli rettangoli gli elementi incogniti.
RISOLUZIONI GRAFICHE
Si riportano di seguito alcuni casi importanti di problemi sulla risoluzione dei quadrilateri,con la
risoluzione grafica e con indicazioni sul metodo più idoneo per la risoluzione analitica.
Per la
risoluzione
analitica si
usa il
primo
metodo
dopo aver
tracciato la
diagonale
AC.
Per la
risoluzione
analitica si
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40
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
usa il terzo
metodo dopo
aver prolungato
i lati incogniti
AD e BC.
Per la
risoluzione
analitica si usa
il primo metodo
dopo aver
tracciato la
diagonale AC o
la diagonale
BD,
Per la
risoluzione
analitica si usa
il terzo metodo
dopo aver
tracciato da B e
C le
perpendicolari
al lato AD.
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41
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Per la
risoluzione
analitica si
usa il primo
metodo dopo
aver tracciato
la diagonale
AC.
Per la
risoluzione
analitica si
usa il primo
metodo dopo
aver tracciato
la diagonale
BD.
Per la
risoluzione
analitica si
usa il primo
metodo dopo
aver tracciato
la diagonale
AC.
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42
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
RISOLUZIONE DEI POLIGONI
Per risolvere un poligono di n lati è necessario conoscere almeno 2n – 3 elementi dei quali
almeno n – 2 devono essere lineari
Per la risoluzione dei poligoni ci si serve dei triangoli considerando, in genere, il poligono come
somma di triangoli.
La somma degli angoli interni di un poligono si ottiene con la seguente formula:
= (n – 2) 180.
Alla quale si giunge facendo il seguente ragionamento:
l'esagono della figura è stato scomposto in 6 triangoli,
sapendo che la somma degli angoli interni di un triangolo
è 180° e togliendo l'angolo giro (360° = 2180°) si ottiene:
= 6180 - 2180°
quindi sostituendo a 6 la lettera n, che indica il numero
dei vertici di un generico poligono, e raccogliendo il 180°
si ottiene:
= (n – 2)180.
FORMULA DI CAMMINAMENTO
Si applica per determinare l'area di un poligono (per cui anche di un triangolo e di un
quadrilatero), del quale sono noti tutti i lati meno uno e tutti gli angoli meno i due adiacenti al
lato incognito
D
d
E
c
C
e
F
b
B
a
A
Applichiamo la regola al poligono della figura nel quale abbiamo supposto di conoscere i lati a,
b, c, d, e e gli angoli , , ,
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43
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
S = ½ a b sin + b c sin + c d sin + d e sin - a c sin(+) - b d sin(+) – c e sin(+) + a d
sin(++) + b e sin(++) – a e sin(+++).
La formula sopra scritta si legge nel seguente modo:
la superficie è uguale ad un mezzo della somma dei prodotti dei lati consecutivi (presi a due a due)
per il seno dell'angolo fra essi compreso, diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati alterni (presi a
due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi, aumentata dalla somma dei
prodotti fra i lati bi-alterni (presi a due a due) per il seno della somma degli angoli fra essi compresi,
diminuita dalla somma dei prodotti fra i lati tri-alterni (presi a due a due) per il seno della somma
degli angoli fra essi compresi, e così via.
Ogni tornata inizia da uno dei lati adiacenti a quello incognito e finisce quando si arriva all'altro
lato adiacente al lato incognito.
La formula si blocca quando si moltiplicano insieme i due lati adiacenti al lato incognito.
Il segno davanti ad ogni termine dipende dal numero di angoli che sono all'argomento del seno ed è
+ se tale numero è dispari, - in caso contrario.
Dimostrazione della formula di camminamento
Per la dimostrazione utilizziamo il quadrilatero in figura
C
D
b
B
d
F
a
E
A
nel quale supponiamo noti i lati a, b, d e gli angoli , e dopo averlo diviso in due triangoli
rettangoli e in un trapezio rettangolo tramite i segmenti DE ed CF.
S = SBCF + SCDEF + SAED
S = ½ BF CF + ½ (CF + DE) FE + ½ AE DE
(20)
utilizzando i teoremi sui triangoli rettangoli ricaviamo le quantità che compaiono nella (20):
BF = b cos;
CF = b sin;
DE = d sin;
EA = d cos;
cos;
FE = a – BF – EA = a - b cos - d
sostituendo nella (20) e raccogliendo otteniamo:
S = ½ b cos b sin + (b sin + d sin) (a - b cos - d cos) + d cos d sin
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44
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
quindi:
S = ½ b2 sin cos + a b sin - b2 sin cos - b d sin cos + a d sin - b d sin cos +
- d2 sin cos + d2 sin cos
semplificando:
raccogliendo:
S = ½ a b sin - b d sin cos + a d sin - b d sin cos
S = ½ a d sin + a b sin - b d (sin cos + sin cos)
(21)
ricordando che per la formula di addizione del seno (vedi goniometria di Matematica):
la (21) diventa:
sin( + ) = sin cos + sin cos
S = ½ a d sin + a b sin - b d sin( + )
che è ciò che si otterrebbe applicando la formula di camminamento, e quindi la formula stessa è
dimostrata.
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45
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
Esercizi
1) Rappresentare in scala opportuna la spezzata (poligonale aperta) della quale sono noti i seguenti
elementi:
AB = 26,28m; BC = 29,44m; CD = 25,12m; DE = 16,95m; EF = 23,12m; ABC = = 130°;
DCB = = 100°; CDE = = 130°; FED = = 150°.
2) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, in sessadecimale i seguenti angoli:
= 13°15’52” = 172°09’33”; = 93°59’01”
(R. = 13°,2644; = 172°,1592; = 93°,9836)
3) Trasformare, con e senza calcolatrice scientifica, da sessadecimale a sessagesimale i seguenti
angoli:
= 29°,5234; = 115°,2619.
(R. = 29°31’24”; = 115°15’43”)
4) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
= 9°13’22”; = 115°55’32”; = 79°42’38”.
(R. = 10g,2475; = 128g,8062; = 88g,5673)
5) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da sessagesimale a centesimale i
seguenti angoli:
= 112°56’41”; = 32°11’09”; = 14°55’51”.
(R. = 125g,4941; = 35g,7620; = 16g,5898)
6) Trasformare, con e senza l’uso della calcolatrice scientifica, da centesimale a sessagesimale i
seguenti angoli:
= 22,5681gon; = 34,2290gon; = 43,6331gon.
(R. = 20°18’41”; = 30°48’22”; = 39°16’11”)
7) Dati: = 32°,5451; = 29,2298gon; = 43°53’31”; = 0,1264rad. Effettuare, con e
senza l’uso della calcolatrice scientifica, le seguenti operazioni e dare il risultato in sessagesimali:
;
2
.
(R. = 44°37’28”; = 55°53’19”)
8) Calcolare graficamente, in base alle definizioni, e con l’uso della calcolatrice scientifica il seno, il
coseno, la tangente e la cotangente del seguenti angoli: = 40°; = 140°; = 250°.
Raccogliere i risultati in una tabella scrivendoli con 2 decimali per la risoluzione grafica e con 5 per
la risoluzione con calcolatrice scientifica.
9) Sapendo che: sin = 1/3, senza utilizzare la calcolatrice scientifica, determinare cos , e tg,
cotg.
(R. cos
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46
2 2
2
; tg
; cot g 2 2 )
3
4
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
10) Sapendo che:
cotg = ½ e che al terzo quadrante, senza utilizzare la calcolatrice
scientifica, determinare sin, cos, e tg.
(R. sin
11)
Sapendo che:
tg e cotg.
2 5
5
; cos
; tg 2 )
5
5
sin tg = 3 e che al primo quadrante, determinare
sin, cos,
(R. sin = 0,95307; cos = 0,30278; tg = 3,14773 e cotg = 0,31769)
12) Calcolare l’arcoseno, l’arcocoseno e l’arcotangente dei seguenti numeri: 0,44499; 0,58832;
1,87940.
13) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
b = 37,35m; CBA = = 42,845gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 57g,155; c = 46,85m; a = 59,92m; S = 874,92m2)
14) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: c = 25,61m; b = 37,88m.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 45,72m; = 34°03’43”; = 55°56’17”; S = 485,05m2)
15) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
a = 118,22m; CBA = = 32,5143gon. Risolvere il triangolo.
(R. b = 57,79m; c = 103,13m; = 67,4857gon; S = 2979,94m2)
16) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
ABC = = 65,2018gon, S = 564,58m2. Risolvere il triangolo.
(R. a = 50,43m; b = 43,08m; c = 26,21m; = 34,7982gon;)
17) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 58,35m, S = 515,00 m2. Risolvere il triangolo.
(R. b = 55,30m; c = 18,63m; = 79,3156gon; = 20,6844gon;)
18) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi: S = 5482,39m 2; = 57°32’41”.
Risolvere il triangolo.
(R. a = 155,61m; b = 83,51m; c = 131,30m; = 32°27’19”)
19) Del triangolo ABC retto in A sono noti i seguenti elementi:
AD = altezza relativa
2
all’ipotenusa = 84,63 m; S = 7645,56 m . Risolvere il triangolo.
(R. a = 180,68m; b = 148,44m; c = 103,02m; = 55°14’21”; = 34°45’39”)
20) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
a = 38,23 m; = 63,1205gon; = 71,1666gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 65,7129gon; b = 41,08m; c = 39,22m S = 674,08m2)
21) Del triangolo ABC sono noti: = 69,43gon; = 52,58gon ed il raggio del cerchio ad esso
circoscritto R = 43,14m. Risolvere il triangolo.
(R. = 77,99gon; a = 76,52m; b = 63,43m; c = 81,17m S = 2283,23m2)
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47
MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
22) Del triangolo ABC sono noti i seguenti elementi:
b = 383,82m; = 55°37’24”; = 63°19’42”. Risolvere il triangolo.
(R. = 61°02’54”; a = 362,03m; c = 391,96m;
S = 62084,35m2)
23) Del triangolo ABC sono noti il il raggio del cerchio circoscritto R = 201,24m e gli angoli
= 65,0500gon; = 56,8889gon. Risolvere il triangolo.
(R. = 78,0611gon; a = 343,34m; b = 378,82m; c = 313,67m; S = 50681,94m2)
24) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
b = 79,22m; c = 108,84 m; = 84,6855gon.
(R.
a = 95,86m; = 65,3332gon; = 49,9813gon; S = 3687,68m2)
25) Del triangolo ABC sono noti:
triangolo.
(R.
= 42° 13’ 18”;
a = 40,16 m;
b = 45,12 m. Risolvere il
1 =49°01’30”; 1 = 88°45’12”; c1 =59,75m; S1 = 905,80m2;
2 = 130°58’30”; 2 = 6°48’12”; c2 = 7,08m; S2 = 107,33m2)
26) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
a = 30,12 m; b = 50,31 m; = 73°53’.
(R. Il problema non è risolvibile.)
27) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
AB = c = 55,45 m; BC = a = 39,65 m; CA = b = 63,43 m .
(R. = 42,4748gon; = 90,9431gon; = 66,5821gon; S = 1088,19m2)
28) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
BC = a = 28,15m; CA = b = 42,82m; ACB = = 44,7705gon.
(R. c = 28,06m = 44,9587gon; = 110,2708gon; S = 389,76m2)
29) Risolvere il triangolo ABC del quale sono noti i seguenti elementi:
CBA = = 60°,128; ACB = = 88°,031;
S = 108,83m2.
(R. = 31°,841; a = 11,51m; b = 18,92m; c = 21,82m)
30) Risolvere il triangolo ABC che ha l’angolo BAC = ottuso e del quale sono noti i seguenti
elementi: AB = c = 86,55m; CA = b = 62,40m; S = 1815,00m²
(R. a = 139,22m; = 137°46’05”; = 17°32’01”; = 24°41’54”)
31) Del triangolo ABC sono noti: AB = c = 65,45 m; BC = a = 49,65 m; CA = b = 55,43 m .
Risolvere il triangolo, fare la figura in scala 1:800, quindi trovare i raggi dei cerchi inscritto ed exinscritti e rappresentare tali cerchi in figura.
(R. = 52,9071gon; = 61,7242gon; = 85,3687gon; S = 1339,87m2;
r = 15,71m; Ra = 37,62m; Rb = 44,91m; Rc = 67,62m)
32) Del triangolo ABC sono noti: a = 123,12m; b = 109,45m; = 57°13’52”. Risolvere il
triangolo. Quindi tracciati gli ex-incentri relativi ad ogni lato collegarli tra loro e risolvere il
triangolo che ne viene fuori.
(R. c = 112,03m; = 67°32’00”; = 55°14’08”; S = 5665,50m2;
OaOb = 233,92m; OaOc = 181,95m; ObOc = 221,52m; A = 56°14’00”;
B = 62°22’56”; C = 61°23’04”; S1 = 17690,96m2)
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
33) Dal vertice A del triangolo ABC si sono collimati i vertici B e C, utilizzando un
distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di punti
letture al cerchio
distanze
stazione collimati
orizzontale
topografiche
B
23°14’21”
439,88m
A
C
320°21’11”
1829,59m
risolvere il triangolo.
(R. BC = 741,00m; S = 162408,10m2; = 62°53’10”; = 85°13’01”; = 31°53’49”)
34) Dal punto S di stazione si sono collimati i vertici A, B e C di un triangolo, utilizzando un
distanziometro elettronico e si sono ottenuti i seguenti elementi:
punto di punti
letture ai lerchio
distanze
stazione collimati orizzontale
topografiche
A
23,6214gon
2991,15m
S
B
170,1648gon
3014,77m
C
295,4965gon
4399,13m
risolvere il triangolo.
(R. a = 6222,48m; b = 6288,98m; c = 5484,32m; = 70,4210gon;
= 71,8087gon; = 57,7703gon; S = 15417193,29m2)
35) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 76,45m; BC = 93,28m; = 123,12gon;
= 113,76gon; = 72,28gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AD = 98,86mm; CD = 123,80m; = 90,84gon; S = 15595,06m2)
36) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 82,365m; CD = 160,449m; = 112,35gon;
= 129,66gon; = 98,44gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 78,815m; AD = 141,615m; = 59,55gon; S = 12043,37m2)
37) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 165,82m; AD = 202,44m; CD = 112,45m;
= 91,556gon; = 135,658gon. Risolvere il quadrilatero.
(R.: BC = 152,47m; = 86,269gon; = 86,517gon; S = 23658,17m2)
38) Del quadrilatero ABCD sono noti:
BC = 56,15m; AD = 50,34m; CD = 49,05m;
= 57°,315; = 74°,919. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AB = 89,39m; = 91°,104; = 136°,662; S = 3270,49m2)
39) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 79,44m; BC = 107,67m; AD = 66,90m;
CD = 34,02m; BD = 110,81m. Risolvere il quadrilatero.
(R.: = 98°......; = 54°.......; = 86°.........; = 121°........; S = ..............m2)
40) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 42,16m; BC = 39,76m; CD = 53,28m;
= 127°42’13”; = 84°35’22”. Risolvere il quadrilatero.
(R.: AD = 55,96m; = 71°29’23”; = 76°13’02”; S = .............m2)
41) Del quadrilatero ABCD sono noti:
AB = 102,32m; BC = 124,44m; CD = 53,23m;
= 133,2734gon; = 107,4321gon. Calcolare la lunghezza del lato AD e la distanza fra il vertice
A e il punto E ottenuto dall’intersezione delle due diagonali.
(R.: AD = 61,90m; AE = 39,40m)
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MODULO 1:
Elementi Di Trigonometria Piana E Uso Di Macchine Calcolatrici
42) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 39,82m; BC = 42,16m;
CD = 33,33m; = 123°45’; 117°34’; = 93°12’; = 95°44’. Risolvere il poligono.
(R.: DE = ..........m; AE = ............m; = .............; S = ..............m2)
43) Del poligono ABCDE si sono misurati i seguenti elementi: AB = 28,92m; BC = 42,53m;
CD = 29,66m; DE = 36,32m; 122°14’; = 117°35’; = 103°46’. Calcolare l’area.
(R.: S = ..............m2)
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