Osservazioni sulla complessità delle varietà di Chow
Lucio Guerra1
1. Introduzione
Un collegamento introdotto da Catanese [1] tra gli spazi My = spazio dei moduli
delle superfici di tipo generale con K 2 = y, Cn,k (Pr ) = varietà dei cicli di dimensione
n e grado k nello spazio proiettivo Pr , è dato dalla relazione
# comp irrid My ≤ # comp irrid C2,9y (P5 ),
insieme con la stima (lemma di Andreotti-Bezout)
# comp irrid Cn,k (Pr ) ≤ DF ,
se Cn,k (Pr ) ha equazioni di grado ≤ D e codimensione ≤ F nel suo spazio ambiente.
Applicando questo stesso lemma non direttamente alla varietà dei cicli ma a una
varietà che la domina, Kollár [4] trova che il # comp irrid Cn,k (Pr ) è maggiorato
da
» „
« „
«–
(r+1) k k + n − 1 + k + n − 1
n
rk + k
r
n−1
n
che ha rispetto a k un andamento come k k . In questa nota si verifica che lo studio
delle equazioni di Chow, a causa della complessità computativa della eliminazione
di variabili, fornisce una maggiorazione del tipo
[k(n + 1)]2
[k(r+1)+(r+k)(n+1)]
k
che ha un andamento come k 2 .
2. Preliminari
Sia Z una sottovarietà di dimensione n e grado k nello spazio proiettivo Pr =
P(V ). Esiste un polinomio irriducibile FZ (u0 , . . . , un ), omogeneo di grado k rispetto a ogni ui ∈ V ∨ , tale che FZ (u0 , . . . , un ) = 0 se e solo se lo spazio lineare
u0 (x) = · · · = un (x) = 0 incontra Z. Questo polinomio FZ , che è unico a meno
di proporzionalità, è detto la forma associata della varietà Z, e i suoi coefficienti
P
sono detti le coordinate di Z. La forma associata
di
un
ciclo
positivo
Z
=
ai Zi
Q ai
di dimensione pura n è definita come FZ = FZi .
Sia F lo spazio proiettivo dei polinomi multi-omogenei di grado k in u0 , . . . , un .
In virtù del teorema di Chow [2], l’insieme Cn,k (Pr ) delle forme associate FZ dei
cicli Z di dimensione n e grado k in Pr è un sottoinsieme algebrico di F.
Il gruppo speciale lineare SL(n+1) agisce sulle
P successioni u = u0 , . . . , un tramite
la sostituzione A, u 7−→ A u = u0 , dove u0i = j aij uj , e dualmente agisce tramite
1
Maggio 1996. Dipartimento di Matematica, Università di Perugia, via Vanvitelli 1, 06123
Perugia. e-mail: [email protected].
1
F (u) 7−→ F (Au) sullo spazio dei polinomi F. Sia F0 ⊂ F il sottospazio lineare dei
polinomi invarianti sotto SL(n + 1). Poichè le forme associate FZ sono invarianti,
Cn,k (Pr ) è infatti una sottovarietà di F0 .
3. Equazioni di Chow
3.1. Condizioni necessarie e sufficienti perchè una forma F (u0 , u1 , . . . , un ) sia
associata ad un ciclo sono:
1. F sia invariante rispetto a GL(n + 1);
2. per ogni u1 , . . . , un esistono x1 , . . . , xk tali che
2.1 F (u0 , u1 , . . . , un ) ≡ u0 (x1 ) · . . . · u0 (xk )
proporzionali come polinomi in u0 ;
2.2 ui (xj ) = 0 per ogni i = 1, . . . , n e per ogni j = 1, . . . , k;
2.3 per ogni xj e per ogni v0 , v1 , . . . , vn che passano per xj si ha
F (v0 , v1 , . . . , vn ) = 0.
Nota. Vedere [3]. Le condizioni 2 da sole sono sufficienti, come in [2]. Avendo
aggiunta la condizione 1, si può dimostrare che 1 + 2.1 implica 2.2 ma non 2.3.
3.2.
Come queste condizioni si traducono in equazioni.
La condizione 1 rappresenta le equazioni lineari del sottospazio F0 ⊂ F. La
proporzionalità 2.1 è una condizione bilineare su due polinomi, che si può ricordare
nella forma F (u0 , u1 , . . . , un ) ∧ u0 (x1 ) · . . . · u0 (xk ) = 0.
Ogni forma lineare passante per un punto x si può scrivere come x · s := s(x, −),
dove s è una forma bilineare antisimmetrica.
Posto allora
P
F (x · s0 , x · s1 , . . . , x · sn ) =
ϕα (F, x) Mα (s0 , s1 , . . . , sn ),
la condizione 2.3 si può scrivere nella forma equivalente:
ϕα (F, xj ) = 0 per ogni j ed ogni α.
I polinomi ϕα sono lineari in F e di grado d = k(n + 1) rispetto alla variabile x.
I gradi osservati di queste equazioni sono riassunti nella tabella.
F u1 , . . . , un x1 , . . . , xk
1
−
−
1
2.1 1
k, . . . , k
1, . . . , 1
2.2 −
1
1
2.3 1
−
d, . . . , d
3.3. Nello spazio delle successioni F, u1 , . . . , un , x1 , . . . , xk le equazioni
I = (1 + 2.1 + 2.2 + 2.3) definiscono una varietà V (I). Detta π la proiezione che
dimentica le x, le equazioni
I0 : P (F, u1 , . . . , un ) = 0
tali che π(V (I)) = V (I0 ) eliminano le variabili x1 , . . √
. , xk . Si può prendere I0 = π(I),
l’ideale risultante, oppure anche un ideale tale che I0 = π(I).
Le condizioni perchè F sia una forma associata equivalgono dunque alla condizione che: per ogni u1 ,P
. . . , un la successione F, u1 , . . . , un appartenga a V (I0 ). Posto
P (F, u1 , . . . , un ) =
pα (F ) Mα (u), si ottengono equazioni di Cn,k (Pr )
J : pα (F ) = 0 per ogni α ed ogni P ∈ I0 .
2
Notare che il grado di un polinomio pα è il grado del corrispondente P rispetto alla
variabile F .
4. Eliminazione di variabili
4.1. Siano f1 , . . . , fp polinomi omogenei di grado ≤ d nelle variabili x0 , . . . , xr con
coefficienti indeterminati. Esiste un ideale che elimina le x generato da polinomi
r
omogenei di grado ≤ 2r d2 −1 nei coefficienti di f .
Qualche risultato del genere è sicuramente ben noto nel campo dell’algebra computativa. Il presente enunciato è stato ricavato sulla base del metodo esposto in [5].
Si deducono facilmente i seguenti corollari.
4.2. Se i coefficienti indeterminati di f sono specializzati come polinomi omogenei
di grado ≤ d rispetto a nuove variabili x0 , si trova un ideale che elimina le x generato
r
r+1
da polinomi omogenei di grado ≤ 2r d2 nelle x0 , e questo grado è ≤ d2
se d ≥ 2.
4.3. Se f1 , . . . , fp sono polinomi multi-omogenei di grado massimo d ≥ 2 rispetto
alle serie x1 , . . . , xk di r + 1 variabili ciascuna, con coefficienti indeterminati, esiste
k(r+1)
un ideale che elimina x1 , . . . , xk generato da polinomi omogenei di grado ≤ d2
nei coefficienti di f .
4.4. Applicando 4.3 alle equazioni I, in cui d = k(n+1) è il massimo grado relativo
rispetto alle x, preso dalla tabella, si trovano equazioni di grado ≤
D = d2
k(r+1)
nei coefficienti delle I, che a loro volta sono omogenei nelle altre variabili, di grado 1
rispetto a F . Applicando 3.3 si trovano dunque equazioni I0 di grado ≤ D rispetto
a F , infine si trovano equazioni J di grado ≤ D.
4.5. Poichè dim F ≤ n +c 1 − 1 dove c = r +k k , si può prendere
F = 2(r+k)(n+1)
e si ottiene l’enunciato nella introduzione.
Nota. Si potrebbe prendere come F il valore della dimensione dim F0 , che è dato
dalla postulazione in grado k della grassmanniana Gn+1 (P).
5. Bibliografia
1. Catanese,F.: Chow varieties, Hilbert schemes and moduli spaces of surfaces of general
type. J. Alg. Geom. 1 (1992), 561-595.
2. Chow,W.L., v.d.Waerden,B.L.: Zur algebraischen Geometrie, IX: Über zugeordnete
Formen und algebraische Systeme von algebraischen Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 113
(1937), 692-704.
3. Gelfand,I.M., Kapranov,M.M., Zelevinski,A.V.: Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Birkhauser 1994.
4. Kollár,J.: Rational Curves on Algebraic Varieties. Springer 1995.
5. Segre,B.: Prodromi di Geometria Algebrica. Roma: Cremonese 1972.
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