s_040913

STATISTICA E MISURAZIONE
lunedì 13 settembre 2004
Prof. Cesare Svelto
Tempo a disposizione 2 ore e 30 minuti
Terzo Appello AA 2003/2004
Aula V.S.9 ore 9.15
Cognome e nome: __________________________
_____________________
(stampatello)
Matricola e firma __ __ __ __ __ __
_____________________ (firma leggibile)
Esercizi svolti (almeno parzialmente): 1 2 3 4 5
(crocettare)
N.B. gli esercizi non crocettati non saranno corretti; quelli crocettati ma neanche iniziati comporteranno una
penalità.
Esercizio 1
(svolgere su questo foglio e sul retro)
1)
1a)
1b)
1c)
Per stimare la variabilità del prezzo della benzina col tempo abbiamo annotato i prezzi esposti ad un
distributore un giorno alla settimana, ottenendo i seguenti valori:
Prezzo (€/l): 1.103, 1.110, 1.115, 1.115, 1.112, 1.108, 1.105, 1.111, 1.120, 1.124
Calcolare la media e la varianza campionaria del prezzo.
Rappresentare un diagramma rami e foglie dei dati acquisiti.
Si calcoli la mediana e si diano le definizioni di mediana e k-esimo percentile.
Soluzione:
1a) n=10.

media campionaria = x 
1 n
 xi  1.112°€/l
n i 1
n

varianza campionaria = s 2 
 (x
i 1
i
 x)2
n 1
 °4.178910-5 °(€/l)2
1b)
Diagramma rami e foglie,
con N = 10
Rami Foglie Frequenza
1.10
1.11
1.12
358
01255
04
3
5
2
1c) Essendo il numero di dati pari, la mediana è il valor medio dei due valori centrali, quindi 1.1115°€/l.
Si vedano gli appunti del corso.
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Esercizio 2
(svolgere su questo foglio e sul retro)
2a)
2b)
2c)
2d)
Sapendo che la potenza consumata da un modello di lampadina segue una distribuzione normale, con
valor medio pari a 100 W e varianza di 16 W2, si calcoli la probabilità che l’illuminazione di un locale,
che richiede 4 di queste lampadine, richieda più di 410 W.
La vita media di questo tipo di lampadine è pari a 1000 h. Una stanza viene illuminata in continuazione
con una di queste lampadine (sostituendola subito appena bruciata). Quanto vale la probabilità di dover
cambiare esattamente 5 volte la lampadina in un anno (365 giorni)? (Si supponga che la durata di una
lampadina segua una distribuzione di probabilità esponenziale).
In una partita di lampadine difettose, per un guasto alle apparecchiature di saldatura, si trova una
lampadina rotta su dieci. Quanto vale la probabilità di trovare meno di 3 lampadine rotte in un pacco di
20 lampadine?
Si enunci il teorema del limite centrale, spiegandone l’importanza pratica.
Soluzione:
2a)
Dato che le 4 lampadine hanno potenze che possiamo considerare statisticamente indipendenti, la
variabile (sempre gaussiana) “potenza consumata da 4 lampadine” avrà valor medio e varianza pari
rispettivamente a  = 400 W e 2 = 64 W2 (si vedano gli appunti sulla combinazione lineare di variabili
statisticamente indipendenti). Per calcolare la probabilità standardizziamo la variabile casuale gaussiana, e
ricorriamo quindi alla tabella dei valori della distribuzione cumulativa (z) per una variabile normale
x
standard (VNS). Ricordiamo che z 
è la VNS ricavata da x.

410   
410  400 


P( x  410)  P z 
  P z 
  P( z  1.25)  1  P( z  1.25) 
 
8



 1   (1.25)  1  0.89435  10.565%
2b) Dato che il tempo tra un evento e l’altro segue una distribuzione esponenziale, sappiamo che il numero di
eventi in un intervallo di tempo fisso deve seguire una distribuzione poissoniana (si vedano gli appunti del
corso).
e   x
,
x  0,1,2...
La funzione di probabilità di una variabile poissoniana X vale f ( x) 
x!
il suo valor medio vale  =  e la sua varianza vale 2 = .
Il valor medio vale  = 0.001 rotture/ora  (36524) ore = 8.76 rotture.
la probabilità di dover cambiare esattamente 5 lampadine in un anno vale
e    x e 8.76 8.76 5
P( x  5) 

 0.0674  6.7%
x!
5!
2c) Dato che ogni prova è un processo di Bernoulli (o è rotta oppure non lo è, ovvero successo o insuccesso),
le prove sono indipendenti e la probabilità di successo in ogni prova è costante, la probabilità di x lampadine
rotte su n segue la distribuzione binomiale, con probabilità di successo p =0.1:
n
 20 
2
P(2 successi su 20 prove )    p x (1  p) n x   0.1 (0.9) 202  0.285  28.5 %
 x
2
n
10  10! 10  9
n!

avendo ricordato che   
e dunque   
=45
 x  x!(n  x)!
 8  8!2! 2  1
Viene richiesta la probabilità di trovare meno di 3 lampadine rotte, quindi:
P( x  3)  P( x  2)  P( x  1)  P( x  0)  0.285  0.270  0.122  67.7%
avendo calcolato le probabilità come descritto in precedenza.
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Esercizio 2
(continua)
2d)
Si vedano le dispense del corso
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Esercizio 3
(svolgere su questo foglio e sul retro)
3) Siamo interessati a controllare la carica di pile commerciali da 1000 mAh. Misuriamo quindi la carica di
1000 pile ottenendo un valor medio di 987 mAh con una deviazione standard campionaria di 150 mAh.
3a) Si dia una definizione di errore di tipo I e di tipo II di un test statistico:
3b) Si effettui un test statistico con lo scopo di verificare se il livello di carica è inferiore a quello nominale,
con livello di significatività pari a 1 %
Soluzione:
3a) Si commette un errore di tipo I se si rifiuta l’ipotesi nulla quando è vera.
Si commette un errore di tipo II se non si rifiuta l’ipotesi nulla quando è falsa.
3b) Possiamo effettuare un test z, in quanto dobbiamo stimare il valor medio di una popolazione con
varianza ricavata da un numero molto alto di misure (1000, quindi si può ritenere un’ottimo stimatore della
varianza della popolazione).
Seguiamo gli 8 passi descritti nel libro di testo.
1. Il parametro di interesse è la carica della pila 
2. H0:  = 1000 mAh
3. H1:  < 1000 mAh (il test è a un solo lato, in quanto espressamente richiesto dal testo)
4. livello di significatività richiesto  = 0.01
5. La statistica di test è la statistica Z: z0 
X 
X

X 
/ n
6. Rifiutiamo H0 se z0 < -Z = -2.326 (questo valore si ricava dalla tabella della funzione cumulativa per
una VNS in corrispondenza di un valore di probabilità =0.01)
7. Calcoliamo quindi z0, z 0 
X 
X

X 
/ n

987  1000
150 / 1000
 2.74
8. Conclusione: dato che z0 = -2.74 < -Z = -2.326 possiamo rifiutare l’ipotesi nulla con livello di
significatività 0.01: c’è abbastanza evidenza che l’ipotesi nulla sia falsa.
Concludiamo che la carica delle pile è significativamente inferiore a 1000 mAh.
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Esercizio 4
(svolgere su questo foglio e sul retro)
4a) Si dia la definizione, e se ne illustri il significato con un esempio, di ciascuno dei seguenti termini
metrologici:
 risoluzione
 sensibilità
 stabilità
4b) Si illustrino brevemente la storia e l’importanza, tecnica e commerciale (facendo alcuni esempi), del
Sistema Internazionale di unità di misura e si spieghi perché questo è un sistema coerente.
4c) Si illustri con esempi pratici l’importanza delle unità logaritmiche. Si fornisca la definizione di tutte le
unità logaritmiche da voi conosciute. Si convertano in dBm i seguenti valori di potenza: i) potenza elettrica di
una lampadina da 100 W; ii) potenza meccanica di un motore da 20 kW; iii) potenza termica di una reazione
chimica da 5 W.
4a) Vedi Libro di testo e appunti del Corso.
4b) Vedi Libro di testo e appunti del Corso.
4c) Vedi Libro di testo e appunti del Corso.
i) P(W)=100 W=105 mW  P(dBm)=+50 dBm
ii) P(W)=20 kW=2104 W=2107 mW  P(dBm)=+73 dBm
iii)P(W)=5 W=510-6 W=510-3 mW  P(dBm)=-23 dBm
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Esercizio 5
(svolgere su questo foglio e sul retro)
5) Una centrale idroelettrica, con efficienza di conversione  del 50 % 3 %, sfrutta un salto di caduta
dell’acqua pari a 10,0 m (misurato con una barra metrica graduata ogni 20 cm). Il flusso d’acqua è
mediamente di 10 000 m3/h (distribuzione triangolare con semiampiezza di 350 m3/h).
5a) Si calcoli l’incertezza standard e relativa di queste tre variabili.
5b) Si stimi la potenza media prodotta dalla centrale, in watt e dBm, e la quantità di energia elettrica generata
in una giornata.
(Si ricordi che l’energia meccanica potenziale convertita in energia elettrica è pari a Emecc=mgh dove m è la massa d’acqua che
effettua il salto di quota h e g indica l’accelerazione di gravità. La potenza, meccanica o elettrica, si ottiene dal rapporto tra
l’energia E e l’intervallo di tempo t in cui è generata: P=E/t)
5c) Si calcoli l’incertezza relativa della potenza prodotta dalla centrale.
Per l’accelerazione di gravità sulla Terra si utilizzi il valore g=9,806 650(11) m/s2 e per la densità dell’acqua
=1 kg/dm3
5a) Calcoliamo le varie incertezze.
3%
 6,0  10  2 (incertezza già data dal testo in formato standard)
u2()= 3 %
u2r()=
50%
0,2 / 12 m
u2(h)= 0,2 / 12 m  5,8 cm
u2r(h)=
 5,8  10 3 (incertezza di quantizzazione)
10,0 m
u (pV)= 700 / 24  140 m /h
2
3
700 / 24 m 3 / h
 1,4  10  2
u r(pV)=
3
10000 m h
2
(dalla distribuzione triangolare)
5b) L’energia elettrica generata con efficienza  è Eele=Emecc
La potenza elettrica generata è
mgh
 pm gh  pV gh  136 kW  8  17  10 3 W  8  20  10 6 mW 
t
 9 dB 13 dB 60 dBm  82 dBm
In una giornata (24h) di lavoro la centrale idroelettrica produce una quantità di energia
Eele,24h=Pele·t24h(136000 W) ·(3600·24 s)11,8·109 J12 GJ
Pele  Pmecc  
5c) Per il calcolo dell’incertezza composta della potenza Pele ricavata mediante misura indiretta, riscriviamo
la relazione funzionale (equazione della misura):
Pele=pVgh
Osserviamo che l’equazione della misura è una semplice produttoria delle variabili di ingresso e dunque, in
termini di incertezze relative, si ha:
u2r(Pele)= u2r()+ u2r()+ u2r(pV)+ u2r(g)+ u2r(h)
0,000011m/s 2
u2r(g)=
 1,12116  10 6 (sicuramente trascurabile)
2
9,806650 m/s
Per la densità dell’acqua si può certamente immaginare
u2r()<1%=1,0·10-2
In prima approssimazione dunque
ur(Pele) ur()=6%
e se si vuole ridurre tale incertezza occorrerà misurare/conoscere in maniera più accurata l’efficienza
dell’impianto idroelettrico.
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