COMPITIPERLEVACANZEESTIVEDALLASECONDAALLATERZA
PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA
Inscrivere in una semicirconferenza di diametro 2r un rettangolo ABCD avente il lato AB
sul diametro ed avente il perimetro uguale a 4r.
1)
E data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r.Determina su AB un punto C
in modo che condotta per C la perpendicolare ad AB fino a incontrare la
semicirconferenza in E,sia verificata la relazione AC^2 +3 CE^2 =72/25 r^2
2)
3) Sul diametro AB = 2r di una semicirconferenza determina due punti C e D in modo che
AD = 2AC e che le semicorde CM e DN perpendicolari al diametro AB soddisfino la
relazione 4MC ^2 + ND ^2= AB^2. Determina l'area del trapezio MCDN.
4)Su di una semicirconferenza di diametro AB = 2r determina un punto P in modo che
detta H la sua proiezione sul diametro AB,sia verificata la relazione AP^2+ AH ^2+4HB^2
= 47/5 r^2.
5)In un trapezio ABCD,rettangolo in A e in D,circoscritto ad una circonferenza di centro
O,la base minore DC è divisa dal punto di tangenza K in due parti tali che DK=4/3 KC.
Sapendo che il perimetro del trapezio è 294a,calcola l'area.
6) In una semicirconferenza di diametro AB =2r inscrivere un triangolo rettangolo ABC in
modo che il rapporto tra il cateto AC e la sua proiezione sull'ipotenusa sia 5/2.
7) Determina su di una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r un punto P in
modo che detta H la sua proiezione sul diametro AB sia verificata la seguente relazione
AH + PH = 4/5 r.
8) Data una semicirconferenza di diametro AB,traccia la tangente nel punto A e prendi su
di essa il segmento AD =cm.18;congiungi D con B ed indica con C il punto di intersezione
di tale congiungente con la semicirconferenza.Sapendo che DC = cm.10.8,determina il
raggio della circonferenza.
9) E' data una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r:Determina su AB un punto
P in modo che detto C il punto di intersezione della perpendicolare condotta da P ad AB
con la semicirconferenza sia verificata la relazione 2AC ^2 +5 CP^2 + CB^2 =8r^2.
Conduci poi dal punto C la tangente alla semicirconferenza che incontra in M la retta del
diametro AB e in N la semiretta tangente in B alla semicirconferenza.Determina il
perimetro dei triangoli OCM e MNB.
10) Determina l'area di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r
sapendo che la somma della base e dell'altezza ad essa relativa è 16/5 r.
11) Determina la misura dei cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 10a e
che è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura 2a.
12)In un triangolo ABC rettangolo in A,sia M un punto dell'ipotenusa tale che BM =6a.Si
conduca da M la perpendicolare all'ipotenusa stessa che incontra il cateto AC nel punto N
tale cheAN =3a e NC =5a.Determina il perimetro di ABC.
13) La base di un triangolo isoscele è cm.8 e il lato è cm.5,determina il lato del quadrato
inscritto avente un lato sulla base.
14) Nel triangolo rettangolo ABC la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa BC misura
4a,sapendo che 2HC -AB=HB,determina il perimetro del triangolo ABC:
15) In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC è perpendicolare al lato
BC.Sapendo che la base CD è di cm.32 e l'altezza AD è di cm.24,calcola il perimetro del
trapezio.
N.B. il simbolo ^2 corrisponde ad elevare al quadrato
EQUAZIONI PARAMETRICHE
1) Datal’equazioneparametrica 3x 2 + (2k − 1)x + k − 2 = 0 determinaperqualevalorediksussistonotralesueradicileseguentirelazioni:
a) x1 = x2 b) x1 = 0 c) x1 = 2 d) x1 = − x2 e) x1 =
1
x2
f) x1 = −
g)
1
x2
1
1
+
= 3
x1 x 2
2)Datal’equazione kx 2 − (k + 1)x + 1 = 0 conk ≠ 0 determinakinmodoche:
a)leradicisianoreali
b)leradicisianouguali
c)leradicisianoopposte
d)leradicisianoconcordi
e)lasommadeireciprocidelleradicisia 3 f)lasommadeiquadratidelleradicisia6
g)ladifferenzadelleradicisia3
h)lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisia10.
3)Datal’equazione (2k − 1)x 2 − (k + 2)x + 8 − 6k = 0 con k ≠
1
determinarekinmodoche:
2
a)leradicisianoreali
b)unaradicesiaugualea2
c) lasommadellesoluzionisia
3
4
d)ledueradicisianoopposte
e) x1 =
4
x2
f)leradicisianoreciproche
g)lasommadeiquadratidelleradicisiaugualea5
h)lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisiugualea
5
16
i) 3x1 − x2 = −14 4)Determinareivaloridelparametrokperiqualil’equazione:
x 2 − 2x + k − 3 = 0
ammetta
a)radicireali;b)unaradiceugualea0;c)unaradiceugualea 2 -1
d)dueradicirealitalichelasommadeiloroquadratisiaugualea3
e)dueradicirealitalicheiloroprodottosiaugualea
2
3
f)dueradicirealitalicheilloroprodottosiaugualea10;g)unaradicesiaugualea 3 -2
h)dueradicirealitaliche x1 + x 2 −
1
= 3
x1 x 2
i)dueradicirealitalichelasommadeilorocubisiaugualea10.
2
2
5)Datal’equazioneparametrica (k − 1)x + kx − k = 0 (conk≠1)determinakinmodochesianosoddisfatteleseguenticondizioni:
a) lesoluzionisianoreali;
b) lesoluzionisianorealiecoincidenti;
c)lesoluzionisianorealiereciproche;
d)lesoluzionirealiabbianosommadeireciprociugualea3;
e)unasoluzionerealesiaugualea2;
f)lesoluzionirealisianotalicheildoppiodellalorosommasiaugualealtriplodelloro
prodotto;
g)realieopposte;
h)lesoluzionisianorealiediscordi.
2
6)Datal’equazione 4 x − 2(k + 2)x + 2k = 0 determinaperqualivaloridiksonosoddisfatteleseguenticondizioni:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
lasommadeireciprocidelleradicisia6
lasommadeiquadratidelleradicisia10
lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisia2
leradicisianoreali;
unaradicesiaugualea7;
leradicisianoopposte
leradicisianodiscordi;
leradicisianoreciproche
x +x
=5
1
2
i)
8
x
+
8
x
=
4
1
2
j)
k) lasommadeicubidelleradicisia2
l) unaradicesia0.
7) Data l’equazione parametrica kx 2 − (2k −1)x + k − 3 = 0
modochevalganoleseguenticondizioni:
a)
Ilmodulodellasommadelleradicièmaggioredi2
€
Ilmodulodelprodottodelleradicièminoredi4
b)
Risolviiseguentisistemidiequazionidisecondogrado:
⎧ x− y+2=0
8) ⎨ 2
⎩ x + xy − x + y = 2
#% −x 2 + 2 x − 2 y − 2 = 3x − y 2 + 2 2x
9) $
%&
3( y − x ) = 3 2
(
)
Risolviediscutileseguentiequazioniletteraliintere:
€
10) ax 2 + (4a − 1)x + 4a = 0 con k ≠ 0 , determina k in
11)
(1 − a − x )x 2 x(1 − x )
−2=
a +1
a
Risolviediscutileseguentiequazioniletteralifratte:
12)
2b + 1 3(1 + b )
2
=
−
x+b
x
x−b
2
13) x + 2a −
x 2 + 7 a 2 − (x + a )
= 0
x − 3a
RISOLVILESEGUENTIDISEQUAZIONI:
2x
⎧
−3<0
⎪
2
⎪
D1) ⎨
x+ 2 >0
⎪
⎪⎩8 x 2 − 2 2 x − 2 > 0
1
⎧x + 2
⎪x −3 < x + 2
⎪
D4) ⎨ 6
6
⎪x −1 − x <1
⎪
⎩
⎧ x 2 4x
8
5
1
⎧
+
+
>0
⎪
≤x+
⎪ −
D5) ⎨
3
6x − 9
3 D6) ⎨ 2
162
⎪ 3x 2 + 4 x 4 ≤ 0
⎪⎩6 x 3 + x 2 − 11x − 6 ≥ 0
⎩
3x − 1
⎧ x
⎪⎪ x − 6 ≤ (x + 1)(x − 6)
D2) ⎨
x2 − 9
⎪
≥0
x+4
⎩⎪
⎧6x 2 − 7x + 2
⎪
<0
D3) ⎨ x 2 + x + 7
⎪⎩ x 2 − x − 30 ≤ 0
1
x+2 x+3
⎧
⎪ x 2 − 5x + 6 − x − 2 > x − 3
⎪
D7) ⎨ 2 x
3 − x2
−
<
1
⎪
2
⎪ 3x − 1 9 x − 6 x + 1
⎩
⎧ x+2 x−2
x2
+
<
⎪
2
⎪ 2x + 1 x − 1 1 + x − 2x
D8) ⎨ x − 5 8 − x
<
⎪
⎪x + 3 3 − x
⎩
RISOLVILESEGUENTIDISEQUAZIONIEEQUAZIONICONIMODULI:
M1)
1
x
−
> 1 x −2 x +3
2
€M3) 2 − x < x − 3x + 2
€
M2)
€
M4)
x2 + x − 2
>1
x 2 − x +1
x 2 + 3x < x 2 + 3x
Teoremidigeometria
1) InuntriangolorettangoloABC,aventeperbasel’ipotenusaBCtraccial’altezzaAH.DaH
manda le perpendicolari ai cateti indicando con E l’intersezione con AB e con D
l’intersezioneconAC.Dimostrache:a)A,E;H,Dsonopuntidiunastessacirconferenza;b)il
quadrilateroEBCDèinscrivibileinunacirconferenza.
2) Dimostrarecheinognitriangoloipuntimedideitrelatieilpiedediunaqualsiasidelletre
altezzeindividuanountrapezioisoscele.
3) Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è metà dell’ipotenusa BC. Sull’ipotenusa,
esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA
finchèsiincontranoinF.Dimostrache:a)ABECèuntrapezio;b)AèpuntomediodiFB.
4) DaunpuntoPesternoadunacirconferenzasiconducanoduesecanti.Leintersezionidella
primarettaconlacirconferenzasianoAeB(AcompresotraPeB),quelledellasecondaC
e D (C compreso tra P e D). Dimostrare che i triangoli PBC e PAD hanno gli angoli
ordinatamentecongruenti.
5) Datol’esagonoregolareABCDEFdimostrareche:a)ilquadrilateroAEDBèunrettangolo;
b)ilquadrilateroADEFèuntrapezioisoscele;c)ladiagonaleECèdivisadallediagonaliDF
eDBintresegmenticongruenti..
6) SiadatoiltriangoloABCconBA>AC.SiconducalabisettriceADdell’angoloAedalpuntoD
si conduca la semiretta DE che forma con AD un angolo ADE=CDA. Dimostrare che AD è
assedelsegmentoCE.
7) NeltriangoloABClemedianeAEeBFsonocongruenti.DettoOilpuntodiintersezionedi
AEeBF,dimostrareche:a)AO=OB=;b)BEO=AOF;c)ABCèisoscele.
8) Da un punto P, esterno a una circonferenza, si conducano le tangenti PA e PB. Sul
prolungamento di AP si consideri un punto C tale che sia PC=PA. Se AD è il diametro
condottoperA,dimostrarecheipuntiC,BDsonoallineati.
9) L angolo AVB è un angolo alla circonferenza che insiste sull arco AB, M è il punto medio
di AB, BC è una corda parallela a VM. Dimostrare che AM=CV.
10) Siano AB e AC due corde consecutive, M il punto medio dell arco BA ed N il punto medio
dell arco AC. Dette D ed E le intersezioni di MN rispettivamente con AB e AC, dimostrare
che AD=AE.
11) In un trapezio ABCD circoscritto a una circonferenza di centro O, AB e CD sono
rispettivamente la base maggiore e la base minore. Dimostrare che gli angolo COB e AOD sono
retti.
12) Il triangolo ABC è rettangolo in A e CA è il cateto maggiore: Detta AH l altezza relativa
all ipotenusa BC, si consideri su BC un segmento HE=BH e dal vertice C si conduca la
perpendicolare CF ad AE: Dimostrare che: a) il triangolo ABE è isoscele; b) FCB=BCA; c) il
quadrilatero AHFC è inscittibile in una circonferenza.
13) Si consideri un triangolo equilatero e le rispettive circonferenze inscritta e circoscritta.
Dimostrare che: a) il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della
circonferenza inscritta; b) l altezza del triangolo è 3/2 del raggio della circonferenza
circoscritta.
