compiti dalla seconda alla terza

COMPITIPERLEVACANZEESTIVEDALLASECONDAALLATERZA
PROBLEMI DI APPLICAZIONE DELL'ALGEBRA ALLA GEOMETRIA
Inscrivere in una semicirconferenza di diametro 2r un rettangolo ABCD avente il lato AB
sul diametro ed avente il perimetro uguale a 4r.
1)
E data la semicirconferenza di centro O e diametro AB=2r.Determina su AB un punto C
in modo che condotta per C la perpendicolare ad AB fino a incontrare la
semicirconferenza in E,sia verificata la relazione AC^2 +3 CE^2 =72/25 r^2
2)
3) Sul diametro AB = 2r di una semicirconferenza determina due punti C e D in modo che
AD = 2AC e che le semicorde CM e DN perpendicolari al diametro AB soddisfino la
relazione 4MC ^2 + ND ^2= AB^2. Determina l'area del trapezio MCDN.
4)Su di una semicirconferenza di diametro AB = 2r determina un punto P in modo che
detta H la sua proiezione sul diametro AB,sia verificata la relazione AP^2+ AH ^2+4HB^2
= 47/5 r^2.
5)In un trapezio ABCD,rettangolo in A e in D,circoscritto ad una circonferenza di centro
O,la base minore DC è divisa dal punto di tangenza K in due parti tali che DK=4/3 KC.
Sapendo che il perimetro del trapezio è 294a,calcola l'area.
6) In una semicirconferenza di diametro AB =2r inscrivere un triangolo rettangolo ABC in
modo che il rapporto tra il cateto AC e la sua proiezione sull'ipotenusa sia 5/2.
7) Determina su di una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r un punto P in
modo che detta H la sua proiezione sul diametro AB sia verificata la seguente relazione
AH + PH = 4/5 r.
8) Data una semicirconferenza di diametro AB,traccia la tangente nel punto A e prendi su
di essa il segmento AD =cm.18;congiungi D con B ed indica con C il punto di intersezione
di tale congiungente con la semicirconferenza.Sapendo che DC = cm.10.8,determina il
raggio della circonferenza.
9) E' data una semicirconferenza di centro O e diametro AB =2r:Determina su AB un punto
P in modo che detto C il punto di intersezione della perpendicolare condotta da P ad AB
con la semicirconferenza sia verificata la relazione 2AC ^2 +5 CP^2 + CB^2 =8r^2.
Conduci poi dal punto C la tangente alla semicirconferenza che incontra in M la retta del
diametro AB e in N la semiretta tangente in B alla semicirconferenza.Determina il
perimetro dei triangoli OCM e MNB.
10) Determina l'area di un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza di raggio r
sapendo che la somma della base e dell'altezza ad essa relativa è 16/5 r.
11) Determina la misura dei cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura 10a e
che è circoscritto ad una circonferenza il cui raggio misura 2a.
12)In un triangolo ABC rettangolo in A,sia M un punto dell'ipotenusa tale che BM =6a.Si
conduca da M la perpendicolare all'ipotenusa stessa che incontra il cateto AC nel punto N
tale cheAN =3a e NC =5a.Determina il perimetro di ABC.
13) La base di un triangolo isoscele è cm.8 e il lato è cm.5,determina il lato del quadrato
inscritto avente un lato sulla base.
14) Nel triangolo rettangolo ABC la proiezione BH del cateto AB sull'ipotenusa BC misura
4a,sapendo che 2HC -AB=HB,determina il perimetro del triangolo ABC:
15) In un trapezio rettangolo ABCD la diagonale minore AC è perpendicolare al lato
BC.Sapendo che la base CD è di cm.32 e l'altezza AD è di cm.24,calcola il perimetro del
trapezio.
N.B. il simbolo ^2 corrisponde ad elevare al quadrato
EQUAZIONI PARAMETRICHE
1) Datal’equazioneparametrica 3x 2 + (2k − 1)x + k − 2 = 0 determinaperqualevalorediksussistonotralesueradicileseguentirelazioni:
a) x1 = x2 b) x1 = 0 c) x1 = 2 d) x1 = − x2 e) x1 =
1
x2
f) x1 = −
g)
1
x2
1
1
+
= 3
x1 x 2
2)Datal’equazione kx 2 − (k + 1)x + 1 = 0 conk ≠ 0 determinakinmodoche:
a)leradicisianoreali
b)leradicisianouguali
c)leradicisianoopposte
d)leradicisianoconcordi
e)lasommadeireciprocidelleradicisia 3 f)lasommadeiquadratidelleradicisia6
g)ladifferenzadelleradicisia3
h)lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisia10.
3)Datal’equazione (2k − 1)x 2 − (k + 2)x + 8 − 6k = 0 con k ≠
1
determinarekinmodoche:
2
a)leradicisianoreali
b)unaradicesiaugualea2
c) lasommadellesoluzionisia
3
4
d)ledueradicisianoopposte
e) x1 =
4
x2
f)leradicisianoreciproche
g)lasommadeiquadratidelleradicisiaugualea5
h)lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisiugualea
5
16
i) 3x1 − x2 = −14 4)Determinareivaloridelparametrokperiqualil’equazione:
x 2 − 2x + k − 3 = 0
ammetta
a)radicireali;b)unaradiceugualea0;c)unaradiceugualea 2 -1
d)dueradicirealitalichelasommadeiloroquadratisiaugualea3
e)dueradicirealitalicheiloroprodottosiaugualea
2
3
f)dueradicirealitalicheilloroprodottosiaugualea10;g)unaradicesiaugualea 3 -2
h)dueradicirealitaliche x1 + x 2 −
1
= 3
x1 x 2
i)dueradicirealitalichelasommadeilorocubisiaugualea10.
2
2
5)Datal’equazioneparametrica (k − 1)x + kx − k = 0 (conk≠1)determinakinmodochesianosoddisfatteleseguenticondizioni:
a) lesoluzionisianoreali;
b) lesoluzionisianorealiecoincidenti;
c)lesoluzionisianorealiereciproche;
d)lesoluzionirealiabbianosommadeireciprociugualea3;
e)unasoluzionerealesiaugualea2;
f)lesoluzionirealisianotalicheildoppiodellalorosommasiaugualealtriplodelloro
prodotto;
g)realieopposte;
h)lesoluzionisianorealiediscordi.
2
6)Datal’equazione 4 x − 2(k + 2)x + 2k = 0 determinaperqualivaloridiksonosoddisfatteleseguenticondizioni:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
lasommadeireciprocidelleradicisia6
lasommadeiquadratidelleradicisia10
lasommadeireciprocideiquadratidelleradicisia2
leradicisianoreali;
unaradicesiaugualea7;
leradicisianoopposte
leradicisianodiscordi;
leradicisianoreciproche
x +x
=5
1
2
i)
8
x
+
8
x
=
4
1
2
j)
k) lasommadeicubidelleradicisia2
l) unaradicesia0.
7) Data l’equazione parametrica kx 2 − (2k −1)x + k − 3 = 0
modochevalganoleseguenticondizioni:
a)
Ilmodulodellasommadelleradicièmaggioredi2
€
Ilmodulodelprodottodelleradicièminoredi4
b)
Risolviiseguentisistemidiequazionidisecondogrado:
⎧ x− y+2=0
8) ⎨ 2
⎩ x + xy − x + y = 2
#% −x 2 + 2 x − 2 y − 2 = 3x − y 2 + 2 2x
9) $
%&
3( y − x ) = 3 2
(
)
Risolviediscutileseguentiequazioniletteraliintere:
€
10) ax 2 + (4a − 1)x + 4a = 0 con k ≠ 0 , determina k in
11)
(1 − a − x )x 2 x(1 − x )
−2=
a +1
a
Risolviediscutileseguentiequazioniletteralifratte:
12)
2b + 1 3(1 + b )
2
=
−
x+b
x
x−b
2
13) x + 2a −
x 2 + 7 a 2 − (x + a )
= 0
x − 3a
RISOLVILESEGUENTIDISEQUAZIONI:
2x
⎧
−3<0
⎪
2
⎪
D1) ⎨
x+ 2 >0
⎪
⎪⎩8 x 2 − 2 2 x − 2 > 0
1
⎧x + 2
⎪x −3 < x + 2
⎪
D4) ⎨ 6
6
⎪x −1 − x <1
⎪
⎩
⎧ x 2 4x
8
5
1
⎧
+
+
>0
⎪
≤x+
⎪ −
D5) ⎨
3
6x − 9
3 D6) ⎨ 2
162
⎪ 3x 2 + 4 x 4 ≤ 0
⎪⎩6 x 3 + x 2 − 11x − 6 ≥ 0
⎩
3x − 1
⎧ x
⎪⎪ x − 6 ≤ (x + 1)(x − 6)
D2) ⎨
x2 − 9
⎪
≥0
x+4
⎩⎪
⎧6x 2 − 7x + 2
⎪
<0
D3) ⎨ x 2 + x + 7
⎪⎩ x 2 − x − 30 ≤ 0
1
x+2 x+3
⎧
⎪ x 2 − 5x + 6 − x − 2 > x − 3
⎪
D7) ⎨ 2 x
3 − x2
−
<
1
⎪
2
⎪ 3x − 1 9 x − 6 x + 1
⎩
⎧ x+2 x−2
x2
+
<
⎪
2
⎪ 2x + 1 x − 1 1 + x − 2x
D8) ⎨ x − 5 8 − x
<
⎪
⎪x + 3 3 − x
⎩
RISOLVILESEGUENTIDISEQUAZIONIEEQUAZIONICONIMODULI:
M1)
1
x
−
> 1 x −2 x +3
2
€M3) 2 − x < x − 3x + 2
€
M2)
€
M4)
x2 + x − 2
>1
x 2 − x +1
x 2 + 3x < x 2 + 3x
Teoremidigeometria
1) InuntriangolorettangoloABC,aventeperbasel’ipotenusaBCtraccial’altezzaAH.DaH
manda le perpendicolari ai cateti indicando con E l’intersezione con AB e con D
l’intersezioneconAC.Dimostrache:a)A,E;H,Dsonopuntidiunastessacirconferenza;b)il
quadrilateroEBCDèinscrivibileinunacirconferenza.
2) Dimostrarecheinognitriangoloipuntimedideitrelatieilpiedediunaqualsiasidelletre
altezzeindividuanountrapezioisoscele.
3) Nel triangolo ABC, rettangolo in A, il cateto AC è metà dell’ipotenusa BC. Sull’ipotenusa,
esternamente al triangolo, disegna il triangolo equilatero BEC. Prolunga i lati EC e BA
finchèsiincontranoinF.Dimostrache:a)ABECèuntrapezio;b)AèpuntomediodiFB.
4) DaunpuntoPesternoadunacirconferenzasiconducanoduesecanti.Leintersezionidella
primarettaconlacirconferenzasianoAeB(AcompresotraPeB),quelledellasecondaC
e D (C compreso tra P e D). Dimostrare che i triangoli PBC e PAD hanno gli angoli
ordinatamentecongruenti.
5) Datol’esagonoregolareABCDEFdimostrareche:a)ilquadrilateroAEDBèunrettangolo;
b)ilquadrilateroADEFèuntrapezioisoscele;c)ladiagonaleECèdivisadallediagonaliDF
eDBintresegmenticongruenti..
6) SiadatoiltriangoloABCconBA>AC.SiconducalabisettriceADdell’angoloAedalpuntoD
si conduca la semiretta DE che forma con AD un angolo ADE=CDA. Dimostrare che AD è
assedelsegmentoCE.
7) NeltriangoloABClemedianeAEeBFsonocongruenti.DettoOilpuntodiintersezionedi
AEeBF,dimostrareche:a)AO=OB=;b)BEO=AOF;c)ABCèisoscele.
8) Da un punto P, esterno a una circonferenza, si conducano le tangenti PA e PB. Sul
prolungamento di AP si consideri un punto C tale che sia PC=PA. Se AD è il diametro
condottoperA,dimostrarecheipuntiC,BDsonoallineati.
9) L angolo AVB è un angolo alla circonferenza che insiste sull arco AB, M è il punto medio
di AB, BC è una corda parallela a VM. Dimostrare che AM=CV.
10) Siano AB e AC due corde consecutive, M il punto medio dell arco BA ed N il punto medio
dell arco AC. Dette D ed E le intersezioni di MN rispettivamente con AB e AC, dimostrare
che AD=AE.
11) In un trapezio ABCD circoscritto a una circonferenza di centro O, AB e CD sono
rispettivamente la base maggiore e la base minore. Dimostrare che gli angolo COB e AOD sono
retti.
12) Il triangolo ABC è rettangolo in A e CA è il cateto maggiore: Detta AH l altezza relativa
all ipotenusa BC, si consideri su BC un segmento HE=BH e dal vertice C si conduca la
perpendicolare CF ad AE: Dimostrare che: a) il triangolo ABE è isoscele; b) FCB=BCA; c) il
quadrilatero AHFC è inscittibile in una circonferenza.
13) Si consideri un triangolo equilatero e le rispettive circonferenze inscritta e circoscritta.
Dimostrare che: a) il raggio della circonferenza circoscritta è il doppio del raggio della
circonferenza inscritta; b) l altezza del triangolo è 3/2 del raggio della circonferenza
circoscritta.