Connessioni tra i numeri di Bernoulli, di Eulero e di
Fibonacci
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Un approccio diverso al percorso che va da Bernoulli alla
funzione zeta e poi anche alla teoria di stringa, potrebbe
essere il seguente
POSSIBILI CONNESSIONI MATEMATICHE TRA:
a) i numeri Bernoulli (B),
b) i numeri di Eulero (E),
c) i numeri di Fibonacci (F),
d) la funzione zeta (Z) di Riemann, e
e) la teoria di stringa (S)
Prima di esporre le suddette connessioni, iniziamo con
la griglia generale delle possibili (5*4)/2 =10 connessioni
1
B
E
F
Z
B
E
F
Z
S
-
si
si
si
?
-
si
?
?
-
si
si
-
si
S
-
Per EZ, BS, ed ES non conosciamo ancora eventuali
e possibili connessioni dirette utili al completamento delle
dieci possibili connessioni indicate nella griglia di cui sopra,
ma in questo lavoro ci occuperemo delle sole connessioni BE, BF,
EF, per le altre rimandiamo i lettori eventualmente interessati al
Rif. 1.
2
1. Connessione BE tra Bernoulli ed Eulero
I numeri B di Bernoulli e i numeri E di Eulero sono dati
da due serie numeriche molto simili, e connessi anche alla
costante matematica π = 3,14.
“”Numeri di Bernoulli ed Eulero” con Google:
“ I numeri di Bernoulli B1, B2, B3,… Bn sono definiti dalle
due serie qui di seguito :
Da Wikipedia
per valori interi positivi fissati di m.
…
I numeri di Bernoulli possono anche essere definiti usando una
funzione generatrice esponenziale con la formula
3
Connessione BE tra i numeri di Bernoulli e i numeri di
Eulero
Relazione tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Eulero
Tabella dei primi 12 numeri di Bernoulli e di Eulero
Numeri di Bernoulli
B1 =1/6
B2 = 1/30
B3 = 1/42
B4 = 1/30
B5 = 5/66
B6 = 691/2730
B7 = 7/6
B8 = 3617/510
B9 = 43867/798
B10 = 174611/330
B11 = 854513/138
B12 = 236364091/2730
Numeri di Eulero
E1 = 1
E2 = 5
E3 = 61
E4 = 1385
E5 = 50521
E6 = 2702765
E7 = 199360981
E8 = 19391512145
E9 = 2404879675441
E10 = 370371188237525
E11 = 69348874393137901
E12 = 15514534163557086905
Circa la voce di Wikipedia “Numeri di Bernoulli” alla
quale rimandiamo, riportiamo anche il brano finale, per noi
interessante per la connessione BZ, in cui si dice che:
“I numeri di Bernoulli compaiono anche negli sviluppi in serie
di Taylor della tangente e della tangente iperbolica, nella formula
4
di Euler - Maclaurin e nelle espressioni di certi valori della
funzione zeta di Riemann”
(vedi anche successiva connessione BZ, in Rif.1).
2) Connessioni BF tra i numeri di Bernoulli e i numeri di
Fibonacci
I numeri di Bernoulli si possono anche scrivere in maniera
decimale, per esempio 1/6 = 0,166…. 1/30 = 0,333…
0,166
0,033
0,023
0,033
0,075
0,253
1,166
7,092
54,97
529,124
6192,123
8658,025
…
~
~
~
~
~
~
~
0
“
“
“
“
“
1
8
55
610
5473 = (6765 + 4181)/2
8855 = (10946 + 6765)/2
…
Tale relazione si ferma però a 55, dopo diventa meno precisa
(529 anziché 610) e ancora dopo si collega all’incirca alla media
5
aritmetica tra due numeri di Fibonacci più grandi (4181, 6765,
10946).
Tra i numeri di Bernoulli e i numeri di Fibonacci ci sono
anche altre delle connessioni; una di queste è nel rapporto
Bn/Bn-1, accennato nella connessione precedente. I valori di
tali rapporti sono infatti molto vicini a numeri di Fibonacci,
come da tabella seguente:
1/6
1/30
= 0,16
0,03
=
5,33
1/42
1/30
= 0,02
0,03
=
0,66 ~ 1
1/30
1/42
= 0,03
0,02
=
1,5
~ 1 ~ 2
=
2,5
~2 ~ 3
5/66 =
1/30
691/2730
5/66
0,075
0,03
= 0,25
0,075
_7/6___ = 1,16 =
691/2730
0,25
~ 5
= 3,33
~
4,64
~
6
3
5
3617/510
7/6
= 7,09
1,16
43867/798
3617/510
= 54,97
7,09
174611/330
43867/798
=
854513/138
174611/330
=
6,11
~ 5
= 7,75
~ 8
529,12
54,97
=
236364091/2730
854513/138
= 9,62 ~ 8
6192,12 =
529,12
11,70 ~ 13
= 86580,25 = 13,98 ~ 13
6192,12
Invertendo invece denominatore con numeratore >1 dei
numeri di Bernoulli, abbiamo:
66/5 = 13,2
~
13
2730/691 = 3,9
~
3
non invertendoli, invece:
3617/510 = 7,09
~
8
43867/798 = 54,97
~
55
7
174611/ 330 = 529,12 ~
610
…
…
…
…
Un’altra relazione tra i numeri di Bernoulli e i numeri di
Fibonacci riguarda il cosiddetto “calcolo umbrale”, nelle
cui formule un indice passa ad esponente e viceversa.
Per esempio, per Fibonacci, abbiamo:
“…Un altro clamoroso esempio di tale tecnica si ha nella
manipolazione dei numeri Fn di Fibonacci quando la loro
relazione di ricorrenza che li genera:
Fn = Fn-1 + Fn-2
si scrive sotto forma di potenze simboliche
Fn = Fn-1 + Fn-2
Essa caratterizza l’ombra di Fibonacci cosi come la (2.1)
Bk = (B – 1)k
caratterizza l’ombra di Bernoulli. Nonostante gli sforzi di
numerosi matematici del novecento per rendere rigoroso questo
tipo di calcolo (vedi per esempio lo stesso [RR]), soltanto con il
8
lavoro di [RT] di Rota e Taylor sembra che si sia arrivati a una
soluzione definitiva” Vedi:
Introduzione alla matematica discreta di Gian Carlo Rota
Mauro Cerasoli
www.webalice.it/mauro.cerasoli/Articoli/A77/Art77.htm
3) Connessione EF tra i numeri di Eulero e i numeri di
Fibonacci
Tra i numeri di Eulero e i numeri di Fibonacci c’è anche la
seguente relazione, basata sul rapporto tra En/En-1
5/1
=
5
=
5
61/5
=
12,2
1385/61
=
22,70 ~ 21
50521/1385
=
36,47 ~ 34
2702765/50521 =
53,49 ~ 55
~ 13
199360981/2702765 = 73,76 ~ 89
19391512145/199360981 = 97,26 ~ 89
(73,76 + 97,26)/2=85,51
9
2404879675441/19391512145 = 124,017 ~ 144
370371188237525/2404879675441 = 154,008 ~ 144
(124,017+154,008)/2 = 139,012 ~ 144
69348874393137901/370371188237525 = 187,24
187,24 ~ (144 + 233)/2 = 188,5
15514534163557086905/69348874393137901 = 223,71 ~ 233
Connessioni
FZ, FS e
ZS insieme
Per quanto riguarda la connessione FZ tra i numeri F di
Fibonacci e la funzione Zeta di Riemann, ed FS tra i n
numeri di Fibonacci e la teoria di stringa rinviamo al Rif.1
Una connessione indiretta tra numeri di Fibonacci e la
teoria di stringa si ha tramite i numeri di dimensioni
10
coinvolte nelle vibrazioni delle stringhe (esse vibrano in
spazi con diversi numeri di dimensioni): da Rif. 2,
dal quale riportiamo il solo riassunto iniziale:
“In questo lavoro si mostrano semplici ma interessanti connessioni tra i
numeri F di Fibonacci F = 1, 2, 3, 5, 8, 13 e i numeri D (2, 4, 6, 10, 16, 26,
N.d.A.A) corrispondenti alle dimensioni spazio-temporali coinvolte nelle
teorie di stringa, con D = 2F, formula che potrebbe essere la condizione
limitante (o una delle condizioni limitanti) circa i modi di vibrazioni delle
stringhe, le quali possono vibrare solo con certi numeri D, come 10 e 26
per le stringhe eterotiche, e non con altri. Inoltre potrebbe esistere una
connessione tra le simmetrie dei gruppi algebrici di Lie, importanti nel
Modello Standard, e i numeri D = 2F.
Se così fosse veramente, l’intero nostro universo visibile poggerebbe, dal
punto di vista matematico, quasi interamene sui numeri di Fibonacci, oltre
che sui numeri primi, i numeri primi naturali, ed anche sui numeri di
partizioni p(n), coinvolti nelle teorie sulla gravitazione ma anche nelle
teorie di stringa, e i numeri p-adici, coinvolti nelle teorie di stringa. Ci
sarebbe quindi un solido ponte tra la fisica teorica e alcuni settori della
teoria dei numeri (numeri di Fibonacci con la formula D = 2F, numeri
primi sottoforma di numeri primi naturali, di forma 6F + 1, numeri p-adici,
e infine i numeri di partizione; tutti numeri con curve logaritmiche, molto
diffuse in parecchi fenomeni naturali”
La connessione FS, anche se indiretta, risulta evidente:
Numeri di Fibonacci F – numeri D di dimensioni in cui
vibrano le stringhe - stringhe – teorie di stringa (S), e
quindi, più brevemente:
FDS = connessione Fibonacci – Dimensioni- Teorie di
11
stringa S = FS
Conclusioni
Come si può notare, ci sono delle connessioni
matematiche tra numeri B di Bernoulli, numeri E di Eulero,
numeri F di Fibonacci, trattate in questo lavoro,oltre che
con funzione zeta Z e teorie di stringa S, viste in Rif.1 e
2; connessioni che, come abbiamo visto partendo da
funzioni trigonometriche (sech nei numeri di Bernoulli e
relazioni con la tangente e la tangente iperbolica, che
portano poi ai numeri di Eulero; ed entrambi portano a
Fibonacci, i cui numeri e la sezione aurea portano poi a
loro volta alle teorie di stringa e alla funzione zeta, in un
lungo percorso matematico più o meno continuo e logico
ancora però da perfezionare ulteriormente, che dalla
matematica pura e dalla teoria dei numeri (trigonometria,
costanti matematiche e, π, Ф, numeri primi, ecc.), porta
12
infine alla fisica teorica (Modello Standard e fisica
quantistica, chimica, relatività e cosmologia, insomma dalle
microscopiche stringhe all’universo intero).
Riferimenti
1) “POSSIBILI CONNESSIONI MATEMATICHE TRA:
a) i numeri Bernoulli (B),
b) i numeri di Eulero (E),
c) i numeri di Fibonacci (F),
d) la funzione zeta (Z) di Riemann, e
e) la teoria di stringa (S) “
Gruppo Eratostene
sul sito
http://nardelli.xoom.it/virgiliowizard/
13
2) “FIBONACCI, DIMENSIONI, STRINGHE: NUOVE
INTERESSANTI CONNESSIONI”
Francesco Di Noto e Michele Nardelli
Sito eprints.bice.rm.cnr.it/640/1/Nardinot02.pdf
14
