Fondamenti di controlli automatici 3/ed - Paolo Bolzern, Riccardo
Scattolini e Nicola Schiavoni
Note sui numeri complessi
1 Introduzione
Queste note raccolgono alcune nozioni fondamentali sui numeri complessi. La
trattazione non ha alcuna pretesa di completezza e si limita a richiamare gli elementi utili per la comprensione del testo nella maniera più semplice e funzionale
possibile.
Sinteticamente, i temi trattati sono:
• le forme e le rappresentazioni;
• le regole di calcolo;
• qualche proprietà di polinomi, funzioni razionali ed equazioni polinomiali.
2 Definizioni preliminari e forma algebrica
Un numero complesso z espresso in forma algebrica o cartesiana è definito dalla
relazione
z = a + jb
(1)
dove a e b sono numeri reali e j è l’unità immaginaria definita dalla relazione
√
j = −1
(2)
Si usa dire che a è la parte reale di z, scrivendo a = Re z, e b è la parte
immaginaria o meglio il coefficiente dell’unità immaginaria, scrivendo b = Im z.
I numeri complessi possono essere rappresentati geometricamente sul piano
complesso o di Gauss, che è un piano cartesiano ortogonale nel quale sull’asse
delle ascisse è riportata la parte reale e sull’asse delle ordinate è riportata la parte
immaginaria dei numeri stessi. Pertanto, gli assi sono detti, rispettivamene, asse
reale e asse immaginario.
È chiaro che, sul piano complesso, al numero z corrispondono in modo biu−→
nivoco il punto P di ascissa a e ordinata b e anche il vettore O P spiccato dall’origine O del piano e avente il secondo estremo in P. In proposito, si veda la
Figura 1.
Facendo riferimento a tali rappresentazioni, si definisce modulo ρ di z, scri−→
vendo ρ = |z|, il modulo di O P, cioè la quantità non negativa
ρ = a 2 + b2
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Note sui numeri complessi
Figura 1
Numero complesso.
Im
P
b
ρ
OP
θ
a
O
Re
−→
e argomento o fase o angolo θ di z, scrivendo θ = arg z, l’angolo di O P.
Quest’ultimo è l’angolo di cui occorre fare ruotare l’asse delle ascisse perché la
−→
sua direzione e il suo verso coincidano con quelli di O P, ed è assunto positivo se
tale rotazione è antioraria. Per la verità, l’angolo θ è definito a meno di multipli
di un angolo giro, e allora, se si vogliono evitare ambiguità, si pone la limitazione
−180◦ ≤ θ < 180◦
se θ è misurato in gradi e
−π ≤ θ < π
se θ è misurato in radianti, parlando cosı̀ di argomento principale.
Si osservi che l’argomento del numero complesso z = 0 è indeterminato,
mentre il suo modulo è nullo. Nessun altro numero complesso ha modulo nullo o
argomento indeterminato.
Nel caso in cui invece ρ > 0:
• i numeri z con b = 0, che di fatto sono i reali, hanno argomento principale
θ = 0, se a > 0, e θ = −π , se a < 0;
• i numeri
z con a = 0, detti anche
immaginari puri, hanno argomento principale
θ = π 2 , se b > 0, e θ = −π 2 , se b < 0.
Quando a = 0, l’argomento di z si può facilmente esprimere facendo ricorso alla
funzione arcotangente, indicata per un generico angolo
ϕcon il simbolo arctan ϕ,
che si suppone assuma valori compresi tra −π 2 e π 2 , come mostrato nella
Figura 2
Funzione arcotangente.
1.5
1
arctan(ϕ)
0.5
0
0.5
1
1.5
10
8
6
4
2
0
ϕ
2
4
6
8
10
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Figura 2. Infatti risulta
b
arctan
, a>0
a
arg z = arg (a + jb) = arctan b + π , a < 0 , b > 0
a
arctan b − π , a < 0 , b < 0
a
Due numeri complessi sono uguali se hanno la stessa parte reale e la stessa parte
immaginaria, cioè se hanno lo stesso modulo e le fasi differiscono di un multiplo
dell’angolo giro; si dicono diversi in caso contrario. Per l’uguaglianza valgono le
usuali proprietà.
È importante notare che per i numeri complessi non si definiscono relazioni
d’ordine, cioè per due numeri z 1 e z 2 le formule z 1 < z 2 e z 1 > z 2 non hanno
alcun significato. Naturalmente relazioni di disuguaglianza si posso scrivere tra le
parti reali, le parti immaginarie, i moduli e le fasi, che sono numeri reali.
Per complesso coniugato di z si intende il numero complesso
z̄ = a − jb
che ha la stessa parte reale di z e parte immaginaria con il segno cambiato. Quindi
risulta
|z̄| = |z|
arg z̄ = − arg z
e inoltre
z̄ = z
3 Forma trigonometrica
Semplici considerazioni geometriche sulla Figura 1 portano a concludere che
a = ρ cos θ
b = ρ sin θ
cosicché, per la (1), si può scrivere
z = ρ (cos θ + j sin θ)
(3)
che è detta forma trigonometrica o polare di z.
Si osservi che |cos θ + j sin θ | = 1.
4 Operazioni elementari
Sui numeri complessi si possono effettuare le operazioni di somma, sottrazione,
moltiplicazione e divisione, per le quali valgono le proprietà usuali.
Dati i numeri z α = aα + jbα e z β = aβ + jbβ , si ha
z α + z β = a α + a β + j bα + b β
z α − z β = a α − a β + j bα − b β
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Figura 3
Somma e sottrazione tra
numeri complessi.
Im
bα +bβ
zα +zβ
bα
zα
bβ
bα − bβ
O
zΠ
zβ
−zβ
zα -zβ
aα −aβ aα aα +aβ
Re
−zβ
come illustrato nella Figura 3, nonché, ricordando la (2),
z α z β = aα aβ − bα bβ + j aα bβ + aβ bα
aα + jbα aβ − jbβ
aα aβ + bα bβ
−aα bβ + aβ bα
zα
=
=
+j
2
2
zβ
aβ + jbβ aβ − jbβ
a β + bβ
aβ2 + bβ2
Nel calcolo del quoziente z α z β , che naturalmente ha senso solo quando z β = 0,
per separare la parte reale da quella immaginaria è stata effettuata la cosiddetta razionalizzazione di un numero complesso frazionario, consistente nel moltiplicare
numeratore e denominatore per il complesso coniugato del denominatore. Inoltre
si è sfruttato il fatto che il prodotto di un numero complesso per il suo complesso
coniugato è reale e pari al quadrato del modulo, cioè
z z̄ = |z|2
In realtà, mentre per calcolare somme e sottrazioni la forma algebrica risulta
comoda da usare, prodotti e quozienti si determinano più facilmente riferendosi alla
Infatti, per z α = ρ α (cos θ α + j sin θ α ) e z β =
forma trigonometrica.
ρ β cos θ β + j sin θ β , si ottiene
z α z β = ρ α ρ β cos θ α cos θ β − sin θ α sin θ β +
+ j cos θ α sin θ β + sin θ α cos θ β =
= ρ α ρ β cos θ α + θ β + j sin θ α + θ β
(4)
ρ α (cos θ α + j sin θ α ) cos θ β − j sin θ β
zα
=
=
zβ
ρ β cos θ β + j sin θ β cos θ β − j sin θ β
ρ = α cos θ α cos θ β + sin θ α sin θ β +
ρβ
+ j − cos θ α sin θ β + sin θ α cos θ β =
ρ = α cos θ α − θ β + j sin θ α − θ β
ρβ
(5)
In altri termini, il prodotto di due numeri complessi ha come modulo il prodotto
dei moduli dei due numeri e come argomento la somma dei loro argomenti (primo
teorema di De Moivre, Equazione (4)), mentre il quoziente di due numeri comCopyright © 2008 - The McGraw-Hill Companies s.r.l.
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plessi ha come modulo il quoziente dei moduli dei due numeri e come argomento
la differenza dei loro argomenti (secondo teorema di De Moivre, Equazione (5)).
Sulla base di quanto sopra, si possono enunciare alcune ulteriori proprietà dei
numeri complessi che possono essere di interesse
z + z̄
z − z̄
zα + zβ
zα zβ
1
z
zα
zβ
z α z β zα z β
|z α | − z β =
=
=
=
2 Re z
2 j Im z
z̄ α + z̄ β
z̄ α z̄ β
=
1
z̄
z̄ α
z̄ β
= |z α | z β |z α |
= z β ≤ z α ± z β ≤ |z α | + z β =
A partire dalla definizione di moltiplicazione è poi immediato calcolare la potenza
n-esima, con n intero positivo, di un numero complesso z. Infatti, dalle Equazioni
(3) e (4), applicata ripetutamente, si trova
z n = (ρ (cos θ + j sin θ ))n = ρ n (cos nθ + j sin nθ )
(6)
Per definizione poi, se z = 0, si pone
z −n =
1
zn
e quindi, dalla (5),
1
= ρ −n (cos (−nθ ) + j sin (−nθ)) =
ρ n (cos nθ + j sin nθ )
= ρ −n (cos nθ − j sin nθ )
z −n =
Infine, assumendo ancora z = 0, si pone convenzionalmente
z0 = 1
Per definire la radice m-esima, con m intero positivo, di un numero complesso
z, si può procedere alla determinazione dei numeri complessi vk la cui potenza
m-esima sia pari proprio a z, cioè dei numeri vk tali che
vkm = z = ρ (cos θ + j sin θ )
Cosı̀ facendo si trova
vk = z
1/m
θ + 2kπ
θ + 2kπ
+ j sin
,
cos
m
m
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
=ρ
1/m
(7)
come si può verificare applicando l’Equazione (6).
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Figura 4
Radici quarte di un numero
reale positivo.
Im
v1
v2
v0
ρ1/4
Re
v3
Si osservi che l’Equazione (7) fornisce solo m valori distinti (se z = 0), che
si possono individuare assegnando m valori consecutivi qualunque all’intero k.
Si conclude cosı̀ che ogni numero complesso (non nullo) possiede m radici. I
corrispondenti punti sul piano di Gauss si trovano su una circonferenza con centro
nell’origine e raggio ρ 1/m ; essi sono i vertici del poligono regolare di m lati che
ha un vertice nel punto di ascissa ρ 1/m cos (θ /m ) e ordinata ρ 1/m sin (θ /m ), come
illustrato nella Figura 4 per il caso in cui z = ρ è reale positivo e m = 4.
Vale la pena notare in particolare che in campo complesso sono ben definite
anche le radici pari dei numeri reali negativi, a differenza di quanto accade in
campo reale. Ciò è mostrato dalla (7) per m pari e θ = −π .
Infine, dalle Equazioni (6) e (7) è immediato definire le potenze frazionarie
z n /m di z, come i numeri vk per cui
vkm = z n
dove conviene assumere che m e n siano primi tra loro. Si trova
n
n
vk = z n /m = ρ n /m cos (θ + 2kπ ) + j sin (θ + 2kπ ) ,
m
m
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
che produce m valori distinti (se z = 0).
5 Esponenziale, forma esponenziale e logaritmo
L’esponenziale del numero complesso (1) si definisce mediante la relazione
e z = ea+ jb = ea e jb
e la formula di Eulero
che producono
e jb = cos b + j sin b
(8)
e z = ea (cos b + j sin b)
Per prodotti, quozienti e potenze
jb di esponenzialijb valgono le usuali regole sugli
esponenti. Si osservi che e = 1; inoltre e , vista come funzione di b, è
periodica di periodo 2π, in quanto e j(b+2kπ ) = e jb per ogni k intero.
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Dall’Equazione (8) si ottiene
e− jb = cos b − j sin b
e quindi
e jb − e− jb
2j
jb
e + e− jb
cos b =
2
sin b =
Inoltre, dalla (3) si ricava la forma esponenziale
z = ρe jθ
per la quale si possono riformulare immediatamente i risultati già illustrati per la
forma trigonometrica. Per esempio, ancora con riferimento a
z α = ρ α (cos θ α + j sin θ α ) = ρ α e jθ α
z β = ρ β cos θ β + j sin θ β = ρ β e jθ β
si ha
z α z β = ρ α ρ β e j (θ α +θ β )
zα
ρ
= α e j (θ α −θ β )
zβ
ρβ
e poi
z n = ρ n e jnθ
z = ρ −n e− jnθ
−n
z 1/m = ρ 1/m e j(θ+2kπ)/m
z n /m = ρ n /m e j(θ+2kπ)n /m
,
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
,
Per chiudere, se z = 0, ancora con la simbologia dell’Equazione (3), il suo
logaritmo (in base e) è
ln z = ln ρ + j (θ + 2kπ )
,
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
che è una funzione a infiniti valori, tutti con la stessa parte reale, per la quale
valgono le relazioni
eln z = z
e
ln e z = z + j2kπ
,
k = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .
Anche in campo complesso per la funzione logaritmo si possono dimostrare le
proprietà usuali.
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6 Polinomi, funzioni razionali
ed equazioni polinomiali
Dato un polinomio, funzione della variabile complessa z = a + jb, descritto da
p (z) = p0 z n + p1 z n−1 + . . . + pn−1 z + pn
con tutti i coefficienti pi reali, risulta
p (− jb) = p ( jb)
per qualunque valore di b, come si può verificare per semplice ispezione.
Analogamente, data una funzione razionale
G (z) =
p (z)
q (z)
rapporto dei polinomi con coefficienti reali p (z) e q (z), si ha
G (− jb) = G ( jb)
per qualunque valore di b.
Considerata poi l’equazione polinomiale di grado n
p (z) = p0 z n + p1 z n−1 + . . . + pn−1 z + pn = 0
,
p0 = 0
(9)
nella quale i coefficienti pi sono generici numeri complessi (quindi non necessariamente reali), il numero delle sue radici è sempre pari a n, pur di tenere conto
della loro molteplicità (teorema fondamentale dell’algebra). Pertanto, se esse si
denotano con ri , i = 1, 2, . . . , n, si può scrivere
p (z) = p0
n
(z − ri )
i=1
Si osservi che, se in particolare i coefficienti pi sono numeri reali, allora le radici
ri sono reali o complesse coniugate a coppie.
È opportuno rilevare come un risultato di questo genere non sussista se si
cercano le radici dell’Equazione (9) nell’ambito dei numeri reali e pertanto il contesto più adeguato per lo studio delle equazioni polinomiali è proprio quello che
fa riferimento ai numeri complessi.
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