LEZIONI SULLA PROBABILITA`

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A’
CENNI STORICI
Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 1.500 e
per lungo tempo solo come una branca della matematica. Solo dal secolo scorso si è
andato caratterizzando come una disciplina autonoma , applicabile nei più diversi contesti,
demografici, sociali, economici.
I diversi studiosi della materia sono concordi con il considerare il matematico e filosofo
francese B. Pascal ( 1623-1662 ) l’iniziatore del calcolo delle probabilità ai tempi in cui la
disciplina veniva applicata quasi esclusivamente ai giochi dei dadi, delle monete o delle
carte.
Nei secoli successivi ci sono state diverse definizioni di probabilità , ciascuna delle quali
ha messo in evidenza degli aspetti consoni alle problematiche da risolvere. Le diverse
concezioni riconosciute e applicate sono quattro :
A) PROBABILITA’ CLASSICA;
B) PROBABILITA’ FREQUENTISTA o FREQUENTISTICA;
C) PROBABILITA’ SOGGETTIVA;
D) PROBABILITA’ ASSIOMATICA .
La probabilità assiomatica, nata nel secolo scorso ad opera del matematico russo A.
Kolmogorov, rappresenta l’impostazione più accettata e seguita anche perché riesce a
comprendere, entro certi limiti e sotto determinate ipotesi, anche le impostazioni
precedenti.
P R O B A B I L I T A’ C L A S S I C A
Consideriamo l’esperimento ( ripetibile ) del lancio di un dado ; la prova consiste nel fare
rotolare il dado e scommettere sull’uscita di una certa faccia tra le sei possibili e
comunque necessarie. Le possibili manifestazioni della prova ( faccia 1, faccia 2,…faccia
6 ) sono chiamate EVENTI ; in particolare, se non vi sono motivi per ritenere il dado
“truccato o manipolato” , l’evento generato dal lancio è un risultato definito CASUALE o
ALEATORIO, cioè un evento sul quale non è possibile predeterminare l’uscita al pari degli
altri eventi possibili.
All’interno di questo schema, ripetibilità dell’esperimento, evento casuale,
uguale
possibilità del verificarsi di tutti gli eventi generati dalla prova , è possibile definire la
probabilità classica.
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DEFINIZIONE : indicato con E l’evento aleatorio, con v il numero dei casi favorevoli
all’evento E , con N il numero di tutti i casi possibili generati dalla prova, si definisce
probabilità dell’evento E il rapporto tra i casi favorevoli all’evento E ed il numero dei casi
possibili , purché questi ultimi siano ugualmente possibili:
P( E ) =
v
N
Dalla formula risulta:
A) v ≤ N il numero dei casi favorevoli necessariamente non può superare il numero dei
casi possibili dal quale viene generato;
B) v ≥ 0 , non esistono logicamente casi favorevoli in numero negativo;
C) P ( E ) ≥ 0 , la probabilità è un numero non negativo, dalla condizione B);
D) P ( E ) ≤ 1 , la probabilità è un numero non superiore a 1 essendo una frazione tra una
parte e la sua totalità.
In particolare ,
E) P ( E ) = 0 se v = 0 , la probabilità è uguale a zero se il numero dei casi favorevoli è
zero, E è un evento impossibile ;
F) P ( E ) = 1 se v = N , la probabilità è uguale a uno se numero dei casi favorevoli e
numero dei casi possibili si eguagliano, E è un evento certo.
In tutti gli altri casi la probabilità è sempre un numero compreso tra 0 e 1 .
Esempi :
-
Un’urna contiene 10 palline numerate dall’uno al dieci; calcolare la probabilità di
estrarre una pallina non superiore al quattro; indicato con X ≤ 4 la variabile numero
non superiore al quattro , con E = X ≤ 4 , il numero dei casi favorevoli è 4 , {1;2;3;4} , il
numero dei casi possibili è 10 , pertanto : P ( E = X ≤ 4) =
v
4 2
=
= ;
N 10 5
COMMENTO.
L’impostazione classica trova idonea applicazione nel campo dei giochi, dadi, monete,
carte, urne, dove la prova è ripetibile, si svolge sempre nelle stesse condizioni ed in
coerenza con la condizione di casualità degli eventi ( gioco del lotto, superenalotto,
lotteria, roulette ) ; tutti i problemi in coerenza con questo modello possono essere risolti
efficacemente con l’impostazione classica.
La definizione classica è criticata per il suo carattere tautologico, in quanto nella
definizione è presente il vincolo “casi ugualmente possibili” , supponendo che i casi
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abbiano uguale probabilità di verificarsi e quindi nella definizione viene utilizzato lo stesso
concetto che si vuole definire.
PROBABILITA’ E CALCOLO COMBINATORIO
-
Lanciamo
contemporaneamente
due
dadi;
consideriamo
l’evento
:
E = entrambe le facce pari e calcoliamo la probabilità dell’evento E . I casi possibili
sono tutte le possibili coppie di numeri da 1 a 6 anche ripetuti , disposizione con
ripetizione n = 6, k = 2 , D'6, 2 = 36 ; i casi favorevoli sono tutte le possibili coppie di
numeri pari anche ripetuti, disposizioni con ripetizione n = 3, k = 2 , D'3, 2 = 9 , pertanto :
P( E ) =
-
v
9 1
=
= .
N 36 4
Da un mazzo di 40 carte si estraggono contemporaneamente due carte ; consideriamo
l’evento : E = entrambe le carte sono figure e calcoliamo la probabilità dell’evento E.
L’estrazione è in blocco, siamo in presenza di combinazioni semplici . I casi possibili
sono tutte le coppie con le 40 carte a disposizione , n = 40 , k = 2 , C40, 2 = 780 , i casi
favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le 12 figure a disposizione,
n = 12 , k = 2 , C12, 2 = 66 , pertanto P ( E ) =
-
v
66
11
=
=
= 0,0846
N 780 130
Da un’urna contenente 40 palline numerate , 20 rosse, 18 verdi, 2 bianche, si
estraggono
successivamente
2
palline
;
consideriamo
l’evento
:
E = entrambe le palline sono verdi e calcoliamo la probabilità dell’evento E nei due casi
seguenti:
a. primo caso, la pallina estratta non viene rimessa nell’urna ; l’evento non è
ripetibile , siamo in presenza di disposizioni semplici . I casi possibili sono tutte le
coppie con le 40 palline a disposizione , n = 40 , k = 2 , D40, 2 = 1.560 , i casi
favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le 18 palline verdi,
n = 18 , k = 2 , D18, 2 = 306 , pertanto P ( E ) =
v
306
51
=
=
= 0,196 ;
N 1.560 260
b. secondo caso, la pallina estratta viene rimessa nell’urna ; l’evento è ripetibile,
siamo in presenza di disposizioni con ripetizione . I casi possibili sono tutte le
coppie con le 40 palline a disposizione , n = 40 , k = 2 , D' 40, 2 = 1.600 , i casi
favorevoli sono tutte le coppie che si possono formare con le 18 palline verdi,
n = 18 , k = 2 , D '18, 2 = 324 , pertanto P( E ) =
v
324
81
=
=
= 0,2025 .
N 1.600 400
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P R O B A B I L I T A’ F R E Q U E N T I S T I C A
Nell’impostazione frequentistica la probabilità è strettamente legata alla frequenza relativa
di un evento.
Il concetto di frequenza relativa è presente già nella statistica descrittiva rappresentando la
frazione unitaria di volte che si presenta un carattere con una data modalità .
Nello schema frequentistico, indicato con E l’evento aleatorio, con k il numero delle volte
che si è verificato l’evento favorevole ad E , con N il numero delle prove effettuate , si
definisce frequenza relativa dell’evento E il rapporto tra il numero delle volte che si è
verificato l’evento favorevole E e il numero delle prove effettuate:
f =
k
N
Dalla formula risulta:
A) k ≤ N il numero delle volte che si è verificato l’evento favorevole E non può superare il
numero delle prove effettuate;
B) k ≥ 0 ;
C) f ≥ 0 , la frequenza è un numero non negativo, dalla condizione B);
D) f ≤ 1 , la frequenza è un numero non superiore a 1 essendo una frazione tra una parte
e la sua totalità.
In particolare ,
E) f = 0 se k = 0 , la frequenza è uguale a zero se l’evento non si è mai presentato;
f = 0 non significa necessariamente che E è un evento impossibile , ma che nelle
prove effettuate l’evento non si è verificato;
F) f = 1 se k = N , la frequenza è uguale a uno se l’evento si è presentato in tutte le
prove effettuate; f = 1 non significa necessariamente che E è un evento certo, ma che
nelle prove effettuate l’evento si è verificato sempre.
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Esempi:
-
lanciamo un dado per 1.000 volte ottenendo i risultati disposti nella tabella 1:
tabella 1
faccia
frequenza
assoluta
Calcolare
la
frequenza
k = 172, N = 1.000 f =
1
2
3
4
5
6
totale
158
172
168
162
170
170
1.000
relativa
E = si è presentata la faccia due
dell’evento
k
172
=
= 0,172 .
N 1.000
La probabilità dell’evento E secondo la concezione classica è P ( E ) =
-
:
−
v 1
= = 0,16 .
N 6
Un’urna contiene palline colorate ma non conosciamo il numero e nemmeno la
composizione dei diversi colori. Vengono estratte 100 palline, rimettendo ogni volta la
pallina nell’urna in modo che la prova si svolga sempre nelle stesse condizioni. I
risultati sono descritti nella tabella 2:
tabella 2
colore
pallina
frequenza
assoluta
bianca
verde
gialla
rossa
nera
totale
20
30
18
20
12
100
La frequenza relativa dell’evento E = si è presentata la pallina rossa : k = 20, N = 100
f =
k
20
=
= 0,20 .
N 100
----Se ripetessimo un’altra prova verosimilmente i risultati sarebbero diversi , ma se
aumentassimo il numero delle estrazioni le frequenze relative tenderebbero a stabilizzarsi
ed avvinarsi sempre più alla probabilità dei rispettivi eventi. Questo aspetto viene definito
dalla cosiddetta LEGGE EMPIRICA DEL CASO : considerato l’evento E , eseguendo una
serie di prove sempre nelle stesse condizioni , all’aumentare del numero delle prove la
differenza tra frequenza relativa dell’evento E e la probabilità dell’evento E tende ad
essere sempre più piccola e prossima allo zero quando il numero delle prove tende
all’infinito. La legge non è dimostrabile se non attraverso delle prove che danno valore
all’assunto.
Attraverso la funzione casuale del foglio di calcolo Excel abbiamo simulato il lancio della
moneta per 100,1.000 e 10.000 volte ; i risultati acquisiti sono riportati nella tabella 3 :
tabella 3
evento
T
C
100 lanci
frequenza
assoluto
relativa
47
0,47
53
0,53
1.000 lanci
frequenza
assoluto
relativa
493
0,493
507
0.507
10.000 lanci
frequenza
assoluto
relativa
4.976
0,4976
5.024
0,5024
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La probabilità dell’evento testa è 0,50 ; come si può osservare, la frequenza relativa al
crescere del numero dei lanci si avvicina sempre più al valore teorico , la differenza tra
valore teorico e valore “sperimentato” è sempre più piccolo , con 100 lanci la differenza è
0,03, con 1.000 lanci 0,007, con 10.000 lanci 0,0024.
La legge empirica del caso è alla base della definizione di probabilità frequentistica.
DEFINIZIONE PROBABILITA’ FREQUENTISTICA: la probabilità di un evento E è il limite
della frequenza relativa dell’evento con il numero delle prove che tende ad un valore
sempre più alto , tendenzialmente all’infinito.
P (E ) = lim
N →∞
k
N
COMMENTO.
Nella impostazione classica non vi è bisogno di fare prove per il calcolo della probabilità ,
essa già è calcolabile e conosciuta, non cambia se le condizioni alla base del calcolo
restano costanti.
Nell’impostazione frequentistica la probabilità va calcolata sempre mediante l’esperimento
ed è nota solo dopo aver conseguito i risultati; se le prove sono sufficientemente elevate il
valore della frequenza relativa si assume come probabilità .
Per la validità dell’impostazione frequentistica bisogna fare riferimento a prove eseguite
sempre nelle stesse condizioni, cosiddetto schema delle prove ripetute, e questo limita il
campo di applicabilità .
D’altra parte ci sono eventi che non possono essere calcolati con l’approccio classico ed è
necessario valutare esclusivamente l’esperimento come base di una futura previsione (
campo assicurativo, probabilità di vita o di morte, tasso di incidentalità, efficacia di un
farmaco , controllo qualità di un prodotto ).
P R O B A B I L I T A’ S O G G E T T I V A
Le impostazioni precedenti si basano esclusivamente sulla casualità degli eventi ,
probabilità classica, e sugli esperimenti ripetuti , probabilità frequentistica. Spesso nel
prendere una decisione con risultati incerti non sempre facciamo riferimento al caso o
all’esperienza. Pensiamo al risultato di una partita di calcio : in esso entrano tanti fattori,
quali l’attuale posizione in classifica delle due squadre, il giocare in “casa”, eventuali
assenze per infortuni o squalifiche di giocatori importanti ed una serie di tanti altri fattori
ai quali ciascuno di noi assegna una importanza relativa ( fattore climatico , rapporti
giocatori/allenatore/società, aspettativa nei confronti della squadra a cui facciamo
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riferimento ) . In questo contesto difficilmente possiamo parlare di una probabilità
classica che assegna uguali probabilità di
1
ai tre possibili risultati. Se non avessimo
3
alcuna conoscenza del fenomeno potremmo considerare gli eventi equiprobabili, basta
un semplice indizio a far variare le aspettative.
L’impostazione soggettiva fa riferimento al grado di fiducia che una persona assegna
al verificarsi dell’evento ; evidentemente la frase lascia un margine soggettivo molto
ampio e difficilmente potrebbe essere accettata da tutti; è necessario introdurre anche
una condizione di coerenza in modo tale che entrambe le parti in gioco siano disposte a
scambiare le poste in gioco.
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ SOGGETTIVA: “ la probabilità di un evento è il
prezzo che un individuo ritiene equo pagare per ricevere 1 se l’evento si verifica e 0 se
l’evento non si verifica. La probabilità degli eventi devono essere attribuite in modo che
non sia possibile ottenere con un insieme di scommesse una vincita certa o una perdita
certa” ( Giorgio Dall’aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli ) .
Indicato con E l’evento, con p il prezzo da pagare e con S la somma da riscuotere nel
caso si verifichi E la probabilità di E è data dal rapporto P ( E ) = p .
S
Esempi:
- Una persona ad un torneo di calcio scommette sulla vincita della squadra A pagando
una somma di 10 euro ricevendo, in caso di vittoria, la somma di 16 euro . La
probabilità che la persona attribuisce all’evento E =“vincita della squadra A” è
P( E ) =
p 10
=
= 0,625 . Si dice pure che la scommessa sulla squadra A è data 10 a 16
S 16
oppure 5 a 8 ; per la condizione di coerenza la persona deve essere disposta ,
scambiando i ruoli, a pagare 16 e ricevere 10 sempre in caso di vincita della squadra
A.
COMMENTO.
Anche questa impostazione non è esente da critiche, in primis l’estrema soggettività della
probabilità che ogni individuo assegna al verificarsi dell’evento , ovviamente diversa da
persona a persona. Ma è indubbio che ogni persona assegna a degli eventi un proprio
grado di fiducia dipendente da svariati fattori , il più importante dei quali è il grado di
conoscenza dl fenomeno.
Nella nostra vita quotidiana sovente prendiamo decisioni o scommettiamo sul verificarsi di
un evento in base alle nostre conoscenze e aspettative. La scelta di un’alternativa, di
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un’azione, presuppone anche l’avvenuta assegnazione , pur se in modo inconscio, di una
probabilità .
P R O B A B I L I T A’ NELL’I M P O S T A Z I O N E A S S I O M A T I C A
Nell’impostazione assiomatica vengono riprese tutte le conoscenze acquisite con le tre
diverse impostazioni della probabilità sistemandole in modo rigoroso ed oggettivo facendo
ricorso al linguaggio insiemistico .
Il matematico russo A. Kolmogorov rappresenta gli eventi mediante gli insiemi e partendo
da queste informazioni segue una impostazione assiomatica del calcolo delle probabilità
che ancora adesso è la base più seguita nella letteratura.
( Ricordiamo che un assioma rappresenta una frase assunta come vera senza dimostrazione ) .
PROVA, EVENTO, PROBABILITA’
Consideriamo il lancio di una moneta : la prova consiste nel lanciare una moneta, la prova
stessa genera l’evento , Testa e Croce, il quale evento si verificherà con una certa
probabilità . Le tre parole, prova, evento, probabilità, riassumono il percorso da compiere
per arrivare al calcolo delle probabilità . Deve essere chiara la tipologia di prova che si
compie, noti gli eventi generati , oggettivo il calcolo della probabilità degli eventi stessi.
Facendo riferimento ad una prova gli elementi da considerare sono i seguenti:
-
SPAZIO DEGLI EVENTI ( o universo dei campioni ) Ω : rappresenta tutti i possibili
risultati della prova ; esso è anche chiamato insieme totale e rappresenta l’evento
certo.
Nel lancio di due dadi lo spazio degli eventi è rappresentato dall’insieme delle coppie
possibili n = 6, k = 2 , D'6, 2 = 36 (1;1), (1;2),...(1;6 ),...(6;1), (6;2),...(6;6) .
-
EVENTO E : si identifica come un sottoinsieme dello spazio degli eventi;
nell’esempio precedente l’evento E =”somma delle facce minore di 4”; l’evento E si
compone dei seguenti eventi elementari (1;1), (1;2), (2;1) .
−
-
EVENTO CONTRARIO O COMPLEMENTARE E ( non E, il complementare di E ) :
l’insieme degli eventi , rispetto allo spazio degli eventi Ω , che non appartengono ad
E ; il complementare di Ω è l’insieme vuoto ∅ , esso rappresenta l’evento impossibile;
−
nell’esempio E =“somma delle facce maggiore o uguale a 4”.
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-
UNIONE DI DUE EVENTI : si definisce unione o SOMMA LOGICA di due eventi E1 e
E2 e si indica con E1 U E2 l’evento che si verifica quando si verifica almeno uno dei due
eventi , si verifichi E1 , oppure si verifichi E2 oppure entrambi ;
Nel lancio di un dado consideriamo i due eventi E1 =”faccia pari”, E2 =”faccia maggiore di
4”; l’unione sarà costituita dall’insieme E = E1 U E2 = {2,4,5,6}.
-
UNIONE DI PIU’ EVENTI : U ni=1 Ei = E1 U E2 U E3 U ...Ei U ...En è l’unione che si verifica
quando si verifica almeno uno degli eventi Ei ;
-
INTERSEZIONE DI DUE EVENTI : si definisce intersezione o PRODOTTO LOGICO di
due eventi E1 e E2 e si indica con E1 I E2 l’evento che si verifica quando si verificano
entrambi gli eventi E1 e E2 ,si verifichi sia l’uno sia l’altro evento contemporaneamente.
Riprendiamo l’esempio dell’unione dei due eventi dove E1 = {2;4;6} e E2 = {5;6};
l’intersezione sarà costituita dall’insieme E = E1 I E2 = {6}, unico elemento comune.
-
INTERSEZIONE DI PIU’ EVENTI : I ni=1 Ei = E1 I E2 I E3 I ...Ei I ...En è l’intersezione
che si verifica quando si verificano tutti gli Ei ; deve esserci, pertanto, almeno un
elemento comune a tutti .
-
EVENTI INCOMPATIBILI : due eventi sono incompatibili quando il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi dell’altro ; i due eventi pertanto non hanno elementi in comune , la
loro intersezione è nulla , E1 I E2 = ∅ , non si possono verificare entrambi ;
la definizione si può estendere a più eventi : essi sono incompatibili quando risultano
incompatibili a due a due , l’intersezione di due eventi contrari è sempre nulla;
Nel lancio di un dado consideriamo i due eventi E1 =”faccia pari”, E2 =”faccia minore di
2”; i due insiemi non hanno elementi comuni, sono disgiunti e pertanto verificandosi
l’uno necessariamente non si potrà verificare l’altro, i due eventi sono incompatibili.
-
EVENTI NECESSARI : gli eventi sono necessari se nella prova almeno uno di essi
deve verificarsi .
Nel lancio di un dado consideriamo i due eventi E1 =”faccia dispari”, E2 =”faccia
maggiore di 1”; nell’ambito dello spazio degli eventi Ω = {1;2;3;4;5;6} almeno uno dei due
eventi dovrà verificarsi , gli eventi sono necessari.
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Dalle definizioni di eventi contrari, incompatibili e necessari , è chiaro che due eventi
contrari sono sempre incompatibili ; due eventi incompatibili sono contrari se sono anche
necessari.
Gli eventi contrari dividono lo spazio degli eventi in due parti , l’elemento appartiene ad
uno solo dei due insiemi ; è sempre possibile creare lo spazio degli eventi diviso in due
parti tra loro incompatibili, solitamente si parla anche di uno spazio dicotomico, spazio
degli eventi distinto in due sole modalità. Alcuni eventi sono già di per sé dicotomici,
maschi e femmine, acceso e spento, pari e dispari; altri lo possono diventare mediante
l’evento contrario; in un raggruppamento per classi di reddito , ad esempio,
basta
−
prendere una classe di reddito come evento E e creare l’evento contrario E come tutte le
altre classi del collettivo in esame.
DEFINIZIONE DI PROBABILITA’ ASSIOMATICA
La probabilità di un evento E è un numero reale variabile che soddisfa i seguenti assiomi :
1) P ( E ) ≥ 0 la probabilità di un evento è un numero non negativo ;
2) P (Ω) = 1 la probabilità dell’evento certo è uguale a 1 ;
3) se E1 I E2 = ∅ allora P( E1 U E2 ) = P( E1 ) + P( E2 )
se due eventi sono incompatibili la
probabilità dell’unione dei due eventi è uguale alla somma delle singole probabilità
degli eventi.
Dagli assiomi possiamo dedurre le seguenti proprietà:
a)
P (∅) = 0 , la probabilità dell’insieme vuoto è uguale a 0.
Dimostrazione : Ω = Ω U ∅ e per l’assioma 3 P (Ω) = P (Ω U ∅) = P (Ω) + P (∅) ,
essendo per l’assioma 2 P (Ω) = 1 necessariamente deve essere P (∅) = 0 ;
−
b)
P ( E ) = 1 − P ( E ) , la probabilità dell’evento contrario è il complemento a 1 della
probabilità dell’evento E .
−
−
−
−
Dimostrazione: da Ω = E U E segue P(Ω) = P( E U E ) = P( E ) + P( E ) , P( E ) = P(Ω ) − P( E ) = 1 − P( E ) .
c)
0 ≤ P ( E ) ≤ 1 , la probabilità è un evento compreso tra 0 e 1 estremi inclusi.
−
Dimostrazione: primo caso) se fosse P ( E ) < 0 allora P ( E ) = 1 − P ( E ) = (1 − ( − P ( E )) > 1
ed è un assurdo in quanto la probabilità non può essere maggiore di 1;
−
secondo caso) se fosse P ( E ) > 1 allora P ( E ) = 1 − P ( E ) = (1 − ( > 1)) < 0
ed è un assurdo in quanto la probabilità non può essere minore di 0.
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d) Se E1 I E2 I E3 I ... I E s = ∅ allora P ( E1 U E 2 U E3 U ... U E s ) = P( E1 ) + P ( E 2 ) + P ( E3 ) + ... + P( E s )
estensione dell’assioma 3 , se più eventi sono a due a due incompatibili la probabilità
dell’unione degli eventi è uguale alla somma delle singole probabilità degli eventi.
e) Se gli eventi oltre che incompatibili sono anche necessari, E1 U E2 U E3 U ... U E s = Ω
allora
la
somma
delle
probabilità
sarà
uguale
a
1,
P ( E1 U E 2 U E3 U ... U E s = P( E1 ) + P ( E 2 ) + P( E3 ) + ... + P ( E s ) = 1 .
COMMENTO.
L’impostazione assiomatica non indica le procedure per il calcolo della probabilità
degli eventi ma i valori che vengono attribuiti devono essere coerenti con gli assiomi .
LEGGE DELLE PROBABILITA’ TOTALI
Se due eventi sono compatibili vale la seguente relazione :
P( E1 U E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) − P( E1 I E2 ) , la probabilità dell’unione di due eventi compatibili
è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi diminuita della probabilità
congiunta.
E1
E2
La relazione si estende all’unione di tre eventi compatibili :
P( E1 U E2 U E3 ) = P ( E1 ) + P( E2 ) + P( E3 ) − P( E1 I E2 ) − P( E1 I E3 ) − P ( E2 I E3 ) + P ( E1 I E2 I E3 ) .
E1
E2
E3
Esempi:
-
Da un mazzo di 40 carte viene estratta una carta ; calcolare la probabilità che sia una
carta di denari o un asso.
Sia E1=”la carta sia di denari” , E2=”la carta sia un asso” ; gli eventi sono compatibili in
quanto l’asso di denari è pure una carta di denari, l’uscita dell’asso non esclude l’uscita
di una carta di denari , pertanto
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P( E1 U E2 ) = P( E1 ) + P( E2 ) − P( E1 I E2 ) dove P ( E1 ) =
10
4
1
, P ( E2 ) =
, P ( E1 I E2 ) =
in
40
40
40
quanto solo l’asso di denari è comune ai due eventi,
P ( E1 U E2 ) = P ( E1 ) + P ( E2 ) − P ( E1 I E2 ) =
10 4
1 13
+
−
=
.
40 40 40 40
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Si definisce probabilità di un evento E1 condizionata all’evento E2 e si indica con
P( E1 | E2 ) ( probabilità di E1 dato E2 ) la probabilità che si verifichi E1 condizionata al
verificarsi di E2 : P ( E1 | E2 ) =
P ( E1 I E2 )
con P( E2 ) ≠ 0 .
P ( E2 )
Praticamente si valuta la probabilità dell’evento E1 subordinata al verificarsi dell’evento
E2 , verificatesi E2 si calcola la probabilità di E1 come sottoinsieme di E2 .
Esempi:
-
Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari sapendo che è
uscita una faccia inferiore a 4 ; pertanto E1= “numero pari” , E2= “faccia minore di 4” ,
se non sapessimo alcuna informazione sul dado l’evento E1 avrebbe una probabilità di
½ mentre l’informazione suppletiva permette di restringere lo spazio degli eventi non a
6 possibili ma solo a 3 , con uno soltanto favorevole; la probabilità dell’evento sarà pari
quindi a 1/3 .
Nell’impostazione classica la probabilità condizionata si traduce nel considerare
possibili solo i casi favorevoli all’evento E2 condizionante e come casi possibili non più
N ma N E 2 ( casi favorevoli a E2 ) e come casi favorevoli solo quelli favorevoli ad
entrambi gli eventi E1 e E2 ,
P ( E1 | E2 ) =
N E1 I E 2
N E2
, dividendo entrambi i membri per N
si ottiene
P( E1 | E2 ) =
N E1 I E 2
N E2
N E1 I E 2
=
N
N E2
N
1
P( E1 I E2 ) 6 1
=
= =
3 3
P ( E2 )
6
Ω
E1 E1 I E2
E2
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-
Un’urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. calcolare la probabilità che in una
estrazione compaia un numero pari , sapendo che è uscito un numero maggiore di 7 .
E1= “numero pari” , E1 = {2;4;6;8;10} , E2= “numero maggiore di 7” , E2 = {8;9;10} .
Lo spazio degli eventi si è ridotto da 10 casi possibili a 3 casi possibili , i casi favorevoli
a E1 da 5 passano a due {8;10} e quindi la probabilità sarà :
N E1 I E 2
N E1 I E 2
2
P( E1 I E2 )
P( E1 | E2 ) = oppure P( E1 | E2 ) =
=
3
P ( E2 )
N E2
=
2
2
10
=
= .
3 3
10
N
N E2
N
-
Calcolare la probabilità che lanciando un dado esca un numero pari sapendo che è
uscita una faccia superiore a 4 ; pertanto E1= “numero pari” , E2= “faccia superiore a 4”.
Lo spazio degli eventi si è ridotto da 6 casi possibili a 2 casi possibili , i casi favorevoli
a E1 da 3 passano a uno {6} e quindi la probabilità sarà :
N E IE
1
1
P( E1 I E2 ) N E I E
1
P( E1 | E2 ) = oppure P( E1 | E2 ) =
=
= N = 6 = .
NE
2 2
2
P ( E2 )
NE
6
N
Nell’esempio l’informazione suppletiva non porta a modifiche delle probabilità .
1
1
2
2
2
2
LEGGE DELLE PROBABILITA’ COMPOSTE
Dalla formula P ( E1 | E2 ) =
P ( E1 I E2 )
, isolando il numeratore del 2° membro si ricava
P ( E2 )
P ( E1 I E2 ) = P ( E2 ) ⋅ P ( E1 | E2 )
oppure
P ( E 2 I E1 ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E 2 | E1 )
La probabilità dell’intersezione tra gli eventi E1 e
E2 o del prodotto logico è uguale al
prodotto della probabilità del primo evento E1 moltiplicata la probabilità del secondo
evento E2 nell’ipotesi che si sia verificato E1 .
La legge si può estendere a più eventi :
P ( E1 I E 2 I E3 ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E 2 | E1 ) ⋅ P ( E3 | E1 I E 2 )
e generalizzando
P ( E1 I E2 I E3 I ... I E s ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E2 | E1 ) ⋅ P ( E3 | E1 I E2 ) ⋅ ... ⋅ P ( Es | E1 I E2 I E3 I ... I Es −1 )
EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI
Due eventi si dicono indipendenti ( stocasticamente o probabilisticamente ) se il verificarsi
dell’uno non influisce sulla probabilità dell’altro, gli eventi non si condizionano, pertanto
sarà P( E1 | E2 ) = P( E1 ) e P( E2 | E1 ) = P( E2 ) .
Dalla formula delle probabilità composta segue la legge delle probabilità composte per
eventi indipendenti :
P ( E1 I E 2 ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E 2 )
e
P ( E 2 I E1 ) = P ( E 2 ) ⋅ P ( E1 )
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Il principio può essere esteso al caso di più eventi indipendenti tra loro :
P ( E1 I E 2 I E3 I ... I E s ) = P ( E1 ) ⋅ P ( E2 ) ⋅ P ( E3 ) ⋅ ... ⋅ P ( E s ) .
Esempio:
- Si estraggono successivamente due carte da un mazzo di 40 carte, rimettendo la prima
estratta nel mazzo. Calcolare la probabilità di ottenere un “doppio re” .
E1 = “prima carta un re” ; E2 = “seconda carta un re” , E = “entrambe le carte siano dei
re”, E = E1 I E2 ; si tratta del prodotto di due eventi indipendenti in quanto la carta
viene rimessa nel mazzo e l’estrazione della prima non ha alcuna influenza
4
sull’estrazione della seconda , pertanto P( E ) = P( E1 I E2 ) = P( E1 ) ⋅ P( E2 ) ; P ( E1 ) =
,
40
4
4 4
1
P ( E2 ) =
, P( E ) =
.
⋅
=
40
40 40 100
D ' 4,2
16
1
Con la probabilità classica avremmo la formula '
=
=
.
D 40, 2 1600 100
INDIPENDENZA LOGICA E INDIPENDENZA STOCASTICA O PROBABILISTICA
L’indipendenza logica riguarda le prove e in particolare due prove sono indipendenti se
l’esito dell’una non influisce sull’altra ; due o più eventi che derivano da prove indipendenti
sono essi stessi eventi indipendenti.
L’indipendenza stocastica o probabilistica riguarda esclusivamente gli eventi che
nell’ambito della prova possono essere indipendenti o dipendenti e questa fattispecie può
far variare le probabilità degli eventi.
Esempi di prove indipendenti: lancio di dadi o di monete; estrazione di palline da più urne;
estrazione di carte da più mazzi.
SINTESI DEI PRINCIPI DI PROBABILITA’ TOTALE E COMPOSTA
Principio probabilità totali
Principio probabilità composte
A e B incompatibili
A e B compatibili
P ( AUB ) = P ( A) + P ( B )
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A I B )
P( A I B ) = 0
P ( A) ⋅ P ( B | A)
eventi dipendenti
P( A I B )
P ( A) ⋅ P ( B )
eventi indipendenti
Bibliografia : Calcolo delle probabilità , G. DALL’AGLIO, Zanichelli; Matematica con applicazioni informatiche 1, Gambotto, Manzone ,
Tramontana; Probabilità e statistica descrittiva Bergamini,Trifone,Barozzi, Zanichelli; La Matematica nell’economia e nella finanza 2
Coeli, Falamischia, Minerva.
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