Esercizio 1 a) La condizione che massimizza il

Esercizio 1
a) La condizione che massimizza il pro…tto è C 0 = R0 ; ma stavolta, al contrario di quanto accade in concorrenza, il ricavo marginale non è più pari al
prezzo.
La funzione di ricavo totale è data da:
RT = pq
Per sostituire il valore di p, abbiamo bisogno della funzione di domanda
inversa:
q = 75
0; 5p ! p = 150
2q
Sostituendo nell’espressione del ricavo totale otteniamo:
RT = pq = (150
2q)q = 150q
2q 2
Da cui possiamo calcolare il ricavo marginale:
R0 = 150
4q
Il costo marginale si ottiene derivando la funzione di costo totale:
C 0 = 2q
Possiamo ora imporre la condizione C 0 = R0 :
2q = 150
4q
Da cui q = 25
Il prezzo di equilibrio si ottiene dalla funzione (inversa) di domanda:
p = 150
2q = 150
2(25) = 100
Il pro…tto è, come al solito, la di¤erenza tra ricavi totali e costi totali:
= RT
CT = pq
(10 + q 2 ) = 25 100
1
(10 + 252 ) = 2500
635 = 1865
175
p
150
C'
125
E
100
75
50
C'=R'
25
QD
R'
q
25
50
75
b) L’area del ricavo totale è semplicemente pq, quindi l’area 0-23-E-100.
Per l’area di costo totale abbiamo bisogno di aggiungere al gra…co i costi
medi totali, dati da:
CM T = CT =q = (10 + q 2 )=q = (10=q) + q
L’area di costo totale è quindi 0-25-A-25,4, dove 25,4 è stato ottenuto sostituendo q = 25 nella funzione di costo totale.
Il pro…tto è la di¤erenza tra le due aree, quindi 25,4-A-E-100
175
p
150
C'
125
E
100
75
CMT
50
25.4
25
C'=R'
A
QD
R'
q
25
50
2
75
c) In concorrenza, imponiamo la condizione C 0 = p :
2q = 150
2q ! q = 37; 5
Il prezzo di equilibrio è p = 150
2q = 75
In concorrenza viene applicato un prezzo minore (75 < 100) e scambiata una
quantità maggiore (37; 5 > 25).
Il pro…tto è:
= RT
1396; 25
CT = pq (10+q 2 ) = 37; 5 75 (10+37; 52 ) = 2812; 5 1416; 25 =
Il pro…tto è perciò minore (1396; 25 < 1865).
175
p
150
C'
125
Monopolio
100
Concorrenza
75
50
C'=R'
25
QD
R'
q
25
50
Ricordiamo anche che nel lungo periodo, in concorrenza, il pro…tto è zero.
E’possibile anche individuare le aree di surplus. In concorrenza:
3
75
175
p
150
C'
125
Monopolio
100
Surplus consumatore
Concorrenza
75
Surplus produttore
50
C'=R'
25
QD
R'
q
25
50
Il surplus del consumatore è il triangolo superiore che ha per vertici il prezzo
di equilibrio (75), il punto di equililibrio concorrenziale e l’intercetta 150. Il
surplus del produttore è il triangolo inferiore che ha per vertici l’intercetta della
0
curva C ; l0 equilibrio concorrenziale e il prezzo 75.
In monopolio, il surplus del consumatore si riduce al triangolo 100-equilibrio
in monopolio-150 (perde perciò l’area a e il rettangolo c), mentre quello del
0
0
produttore è l’area trapezoidale tra 0, il punto C = R ; l’equilibrio in monopolio
e il nuovo prezzo 100. Guadagna perciò l’area c ma perde l’area b. La perdita
di benessere sociale è quindi data da (a+c-c+b=a+b).
4
75
175
p
150
C'
125
Surplus consumatore
Monopolio
100
c
a
Surplus produttore
75
Concorrenza
b
50
C'=R'
25
QD
R'
q
37,5
25
50
Il calcolo dell’area a è: (37; 5 25) (100 75)=2 = 156; 25:
L’area b è: (37; 5 25)(75 50)=2 = 156; 25 (dove 50 è il valore sull’asse
0
0
delle ordinate in cui si incrociano C e R , basta sostituire 25 in una delle due
funzioni per ottenerlo)
La perdita di benessere sociale è quindi la somma delle are a e b: 156; 25 +
156; 25 = 312; 5:
Esercizio 2
Calcoliamo il ricavo totale:
RT = pq = (625
5q)q = 625q
5q 2
Il ricavo marginale è:
0
R = 625
10q
Il costo marginale è:
0
C = 100
20q + 3q 2
Dalla condizione C 0 = R0 si ottiene:
100
20q + 3q 2 = 625
Le cui soluzioni sono:
10q ! 3q 2
10
p
100+6300
6
10q
=
5
525
10 80
6 :
75
Ossia 90=6 = 15 e
70=6, dove scartiamo la seconda, in quanto negativa.
Il prezzo di equilibrio si ottiene dalla funzione di domanda:
p = 625
5q = 625
5(15) = 550
Quindi, ricapitolando:
q = 15 e p = 550
Il pro…tto è:
= RT CT = pq (100q 10q 2 +q 3 ) = 15 550 (100 15 10 225+3375) =
8250 2625 = 5625
Esercizio 3
In concorrenza monopolistica, nel breve periodo l’impresa si comporta come
un monopolista. La condizione è quindi sempre C 0 = R0 : Calcoliamo ricavo
totale e marginale e costo marginale:
RT = pq = (48
R0 = 48 6q
0
C = 2q
3q)q = 48q
3q 2
Applichiamo la condizione:
2q = 48
6q ! q = 6
Il prezzo si ottiene dalla funzione di domanda:
p = 48
3q = 48
3(6) = 30
Il pro…tto è:
= RT
CT = pq
(100 + q 2 ) = 6 30
6
(100 + 36) = 44
p
50
CMT
45
40
35
E
30
C'
PROFITTO
25
20
15
10
QD
5
R'
q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Nel gra…co è stata tracciata anche la curva di costo medio totale così da
individuare l’area del pro…tto.
Nel lungo periodo, l’ingresso di nuove imprese riduce la quota di mercato
della singola impresa, provocando una traslazione verso il basso della curva di
domanda individuale sino al punto in cui i pro…tti si annullano e cioè il punto
dove la domanda è tangente alla funzione di costo medio totale. In tale punto,
la pendenza della nuova domanda individuale (che è uguale a quella iniziale,
essendosi spostata parallelamente) è uguale alla pendenza della curva di costo
medio. Iniziamo col calcolare proprio quest’ultima:
CM edioT = CT =q = (100 + q 2 )=q = (100=q) + q
La cui pendenza è la derivata rispetto a q:
dCM edioT
dq
=
100=q 2 + 1
La pendenza della curva di domanda è invece pari a -3 (è il coe¢ ciente
angolare).
La condizione è dunque:
100=q 2 + 1 =
3
Da cui otteniamo:
7
12
13
14
15
16
100 + q 2 =
3q 2 ! 4q 2 = 100 ! q 2 = 25 ! q =
5
Cioè q = 5
Il prezzo si ottiene sostituendo tale valore nella curva di costo medio:
CM edioT = (100=q) + q = (100=5) + 5 = 25
Ossia p = 25
Si noti che il pro…tto ottenuto è pari a 0:
= RT
CT = pq
(100 + q 2 ) = 5 25
(100 + 25) = 0
p
50
CMT
45
40
35
EB
30
C'
EL
25
20
15
Area RT=Area CT
10
5
QD
Nuova curva di domanda
R'
q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Gra…camente, si noti l’incrocio R’=C’in basso, che determina l’equilibrio di
breve sulla curva di domanda iniziale (punto EB), e l’incrocio CMT=domanda
…nale, che determina l’equilibrio di lungo periodo (punto EL). L’area 0-5-EL-25
rappresenta sia il ricavo totale (p q) che il costo totale (CM edio q). Quindi il
pro…tto nel lungo periodo è nullo.
Esercizio 4
Nel modello di Cournot, le imprese scelgono simultaneamente la quantità.
La decisione della singola impresa su quanto produrre dipende da quanto decide
d produrre l’altra impresa.
Iniziamo con lo scrivere la funzione di domanda rispetto alle quantità prodotte
da entrambe le imprese:
8
14
15
16
p = 100
0; 5(q1 + q2 )
Il ricavo totale per le due imprese è:
RT1 = pq1 = [100
0; 5(q1 + q2 )] q1 = 100q1
0; 5q12
RT2 = pq2 = [100
0; 5(q1 + q2 )] q2 = 100q2
0; 5q1 q2
0; 5q1 q2
0; 5q22
I ricavi marginali sono:
0
R1 = 100
q1
0
R1 = 100
0; 5q2
0; 5q1
2q2
I costi marginali sono:
0
0
C1 = 5 e C2 = q2
0
0
0
0
Imponiamo le condizioni R1 = C1 e R2 = C2 :
100
100
q1 0; 5q2 = 5 ! q1 = 95 0; 5q2
0; 5q1 2q2 = q2 ! q2 = 50 0; 25q1
Le due equazioni ottenute rappresentano le funzioni di reazione delle due imprese, che ci dicono quanto un’impresa produce per una data quantità prodotta
dall’altra impresa.
L’equilibrio è dato dall’intersezione tra le due curve. Dobbiamo perciò metterle a sistema:
q1 = 95 0; 5q2
q2 = 50 0; 25q1
Da cui:
q1 = 95 0; 5(50 0; 25q1 ) q1 = 95 25 + 0; 125q1
0; 875q1 = 70
q1 = 80
q1 = 80
q2 = 50 0; 25q1
q2 = 50 0; 25q1
q2 = 50 0; 25q1 q2 = 50 0; 25(80) q2 = 30
Il prezzo si ottiene dalla funzione di domanda:
p = 100
0; 5(q1 + q2 ) = 100
0; 5(80 + 30) = 45
Il pro…tto delle due imprese è:
1
= RT1
CT1 = pq1
(5q1 ) = 45 80
2
= RT2
CT2 = pq2
(0; 5q22 ) = 45 30
9
(5 80) = 3600
400 = 3200
(0; 5 302 ) = 1350
450 = 900
b) Nel modello di Stackelberg
La funzione dei pro…tti dell’impresa 2 (leader ) è:
2
= RT2
CT2 = pq2
(0; 5q22 ) = [100
0; 5(q1 + q2 )] q2
(0; 5q22 )
Sostituiamo la funzione di reazione di q1 :
= [100 0; 5(95 0; 5q2 + q2 )] q2 (0; 5q22 ) = (100
0; 5q2 )q2 (0; 5q22 ) = (52; 5 0; 25q2 )q2 (0; 5q22 ) = 52; 5q2
52; 5q2 0; 75q22
2
47; 5 + 0; 25q2
0; 25q22 0; 5q22 =
Calcoliamo la derivata prima del pro…tto rispetto a q2 :
d 2
dq2
= 52; 5 1; 5q2
e imponiamola ugualea zero per massimizzare il pro…tto:
d 2
dq2
= 52; 5
1; 5q2 = 0
Otteniamo:
q2 = 35
2
Si noti inoltre che la derivata seconda è negativa ( dd2 q22 = 1; 5 < 0), il che
garantisce che si tratti di un punto di massimo.
Perciò, l’impresa 2 sceglie per prima e sceglie una quantità pari a 35. Data
tale quantità, l’impresa 1 (follower ) risponde in base alla propria funzione di
reazione:
q1 = 95
0; 5q2 = 95
0; 5(35) = 77; 5
Il prezzo è p = 100 0; 5(q1 + q2 ) = 100 0; 5(35 + 77; 5) = 43; 75, mentre i
pro…tti sono 3003; 125 e 918; 75:
Si noti che il prezzo di equilibrio è più bassorispetto a quello nel modello
di Cournot (43; 75 < 45) e che il follower produce meno (77; 5 < 80, e ha un
pro…tto minore), mentre il leader produce di più (35 > 30, e ha un pro…tto
maggiore)
Esercizio 5
a) Nel modello di Bertrand le imprese si fanno competizione sui prezzi.
Quando i costi marginali delle due imprese sono uguali, le imprese …ssano il
prezzo pari al costo marginale e si dividono il mercato in parti uguali.
Nel nostro caso:
10
0
0
C1 = C2 = 50
Quindi le imprese …ssano un prezzo pari a 50. Le quantità si ottengono dalla
funzione di domanda:
p = 100
y ! y = 100
p ! y = 100
50 = 50
Le imprese si spartiscono il mercato in parti uguali, quindi:
y1 = y2 = 50=2 = 25
b) Con costi marginali di¤erenti, l’unica imprese che produce è quella con
costo marginale minore, che …ssa un prezzo di poco inferiore al costo marginale
della rivale. Essendo il prezzo inferiore al suo costo marginale, l’impresa rivale
è costretta ad uscire dal mercato.
Nel nostro caso, l’impresa 1 …ssa un prezzo di poco inferiore a 60. La quantità
di equilibrio si determina dalla funzione di domanda:
y = 100
p = 100
60 = 40
E sarà perciò un valore di poco superiore a 40.
Ad esempio, se, per semplicità, ipotizziamo che …ssi un prezzo pari a 59 (ma
potrebbe scegliere anche un prezzo maggiore, purchè inferiore a 60) si ottiene:
y1 = 100 p = 100 59 = 41
e un pro…tto pari a: 1 = 41 59
Naturalmente, y2 =
2
50 41 = 2419
=0
11
2050 = 369