Esercitazione di Matematica
sulle equazioni di secondo grado (o ad esse riconducibili) nel
campo reale
1. Risolvere, nel campo reale, le seguenti equazioni di secondo grado:
(a) 81x2 − 49 = 0;
(b) 5(x2 − 1) = 7x − 5;
(c) 7x2 − 5x − 2 = 0;
(d) x2 − 5x + 2 = 0;
(e) (x + 4)(x − 4) − 6x = x − 9;
(f) (x − 1)3 = x(x2 − 5) − 2;
(x + 2)2 2 − x
(x + 2)(x − 2)
(g)
−
−1=
− x;
10
5
4
5 x2 + x
(h) +
= 1 − x2 ;
3
9
√
(i) 2x2 − 2 2x − 7 = 0;
√
√
(j) 5x2 − 2x − 168 5 = 0.
2. (a) Determinare due numeri reali aventi come somma 4 e come prodotto −10;
(b) Risolvere il sistema seguente nelle incognite u, v :
{
u+v =2
1
uv = −
2
3. Risolvere, nel campo reale, le seguenti equazioni riconducibili ad equazioni
di secondo grado (fratte o biquadratiche):
1
1
− 2 = 1;
x x
x2 + 1
1
x
(b) 2
−
+
= 0;
x −4 x−2 x+2
(c) 2x4 − 5x2 + 4 = 0;
√
(d) x4 + 2 3x2 − 4 = 0.
(a)
4. Determinare per quali k ∈ R (k ̸= −1) l'equazione
(k + 1)x2 − 2kx + k + 2 = 0
(a) ammette una soluzione nulla ovvero è un'equazione spuria;
(b) è un'equazione pura;
(c) ammette soluzioni reali;
(d) ammette una soluzione x = 2;
(e) ha una radice uguale a 4 diminuito dell'altra radice;
(f) ha una radice che è l'antireciproco dell'altra.
1
Prof. Domenico Ruggiero
Equazioni di secondo grado (esercizi)
Risoluzione esercizi
1. (a) L'equazione 81x2 − 49 = 0 è un'equazione di secondo grado pura.
Trasportando il termine noto al secondo membro e dividendo ambo i membri per 81, si ha:
√
√
49
49
7
x =
=⇒ x = ±
=⇒ x = ±
81
81
9
2
(b) Eliminando la parentesi al primo membro e trasportando i termini
dal secondo al primo membro, si ha:
5x2 − 5 − 7x + 5 = 0
da cui, sommando i termini simili al primo membro si otttiene la
forma normale dell'equazione data da
5x2 − 7x = 0
che rapprersenta un'equazione spuria le cui soluzioni sono x1 = 0
ed x2 = 7/5.
(c) Ricordiamo che, un'equazione di secondo grado completa in forma
√
−b ±
∆
normale ax2 + bx + c = 0, ammette le soluzioni x1,2 =
2a
con ∆ = b2 − 4ac e che tali soluzioni sono reali se ∆ ≥ 0 eventualmente coincidenti se vale l'uguale.
Nel caso in esame abbiamo a = 2, b = −5, c = −2 sicché il
discriminante ∆ = (−5)2 − 4 · 7 · (−2) = 25 + 56 = 81 > 0 per cui
si hanno due soluzioni reali e distinte date da
x1,2
e, quindi, x1 =
−(−5) ±
=
2·7
√
81
=
5±9
14
5−9
−4
2
5+9
14
=
= − , x2 =
=
= 1.
14
14
7
14
14
(d) Procedendo come nel caso precedente (tenendo conto che a = 1,
b = −5, c = 2), si ha:
∆ = 25−8 = 17 > 0 =⇒ l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte
Applicando la formula risolutiva, si ha:
x1,2 =
5±
√
17
2
(e) L'equazione (x + 4)(x − 4) − 6x = x − 9 va dapprima portata in
forma normale per poi procedere come nei casi precedenti.
Così facendo si ha:
(x+4)(x−4)−6x = x−9 =⇒ x2 −4−6x−x+9 = 0 =⇒ x2 −7x−13 = 0
Risulta ∆ = 72 −4·1·(−13) = 49+52 > 101 > 0 per cui l'equazione
√
ammette due soluzioni reali distinte date da x1,2 =
2
7±
101
2
.
Prof. Domenico Ruggiero
Equazioni di secondo grado (esercizi)
(f) Procedendo in modo analogo al caso precedente, si ha:
(x − 1)3 = x(x2 − 5) − 2 =⇒ x3 − 3x2 + 3x − 1 = x3 − 5x − 2
=⇒ x3 − 3x2 + 3x − 1 − x3 + 5x + 2 = 0 =⇒ −3x2 + 8x + 1 = 0
Poichè il coeciente b della x ha la forma
2k , è applicabile la
√
b
− ±
2
=
a
∆
4
( )2
b
formula risolutiva ridotta x1,2
− ac.
2
Tornando all'equazione che si sta risolvendo (essendo a = −3,
∆
= 42 − (−3) · 1 = 16 + 3 = 19 > 0 per
b = 8, c = 1), si ha che
4
∆
con =
4
cui si hanno le due soluzioni reali e distinte
√
√
−4 ± 19
4 ∓ 19
x1,2 =
=
−3
3
√
√
4 − 19
4 + 19
ovvero x1 =
, x2 =
.
3
3
(g) Conviene dapprima eliminare i denominatori tenendo conto del
fatto che il mcm tra di essi è 20:
(x + 2)2 2 − x
(x + 2)(x − 2)
−
−1=
− x =⇒
10
5
4
2(x + 2)2 − 4(2 − x) − 20
5(x + 2)(x − 2) − 20x
=
=⇒
20
20
2(x2 + 4x + 4 − 8 + 4x − 20) = 5(x2 − 4) − 20x =⇒
2x2 + 8x + 8 − 8 − 20 = 5x2 − 20 − 20x =⇒ 3x2 − 28x = 0
Quest'ultima è un'equazione spuria avente le soluzioni x1 = 0
ed x2 = 28/3 che risolvono anche l'equazione di partenza data
l'equivalenza con l'ultima scitta.
(h) Procedendo analogamente al caso precedente, si ha:
5 x2 + x
15 + x2 + x
9(1 − x2 )
+
= 1−x2 =⇒
=
=⇒ 15+x2 +x =
3
9
9
9
= 9 − 9x2 =⇒ 15 + x2 + x − 9 + 9x2 = 0 =⇒ 10x2 + x + 4 = 0.
Risulta ∆ = 12 −4·10·4 = 1−160 = −159 < 0 per cui l'equazione
non ammette soluzioni reali.
2
(i) L'equazione
√ è nella forma canonica ax + bx + c = 0 con a = 2,
b = −2 2, c = −7 e, potendo applicaremula risolutiva ridotta, si
ha:
∆
=
4
( )2
√
b
− ac = ( 2)2 + 14 = 16 > 0
2
per cui l'equazione ammette le due soluzioni reali date da
x1,2
b
− ±
2
=
a
√
∆
4
3
√
=
√
√
2 ± 16
2±4
=
2
2
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Equazioni di secondo grado (esercizi)
(j) Procedendo come nel caso precedente applicando la formula risolutiva ridotta, si ha:
√
√ 2
∆
1 ± 841
1 ± 29
2
√
= 1 +168( 5) = 1+840 = 841 > 0 =⇒ x1,2 =
= √
4
5
5
√
(1 ± 29) 5
da cui, razionalizzando il rapporto, x1,2 =
e, in deni5
√
√
28 5
tiva, x1 = −
, x 2 = 6 5.
5
2. (a) I numeri cercati rappresentano le soluzioni x1 , x2 dell'equazione
x2 − sx + p = 0,
x1 + x2 = s, x1 · x2 = p
Nel caso in esame s = 4 e p − 10 sicché l'equazione da risolvere è
x2 − 4x − 10 = 0 =⇒ x1,2 = 2 ±
√
14
avendo applicato la formula risolutiva ridotta.
√
√
In denitiva, i numeri cercati sono 2 − 14 e 2 + 14.
(b) Il sistema simmetrico in questione è riconducibile ad una equazione
di secondo grado:
√
√
11
2± 4+2
2± 6
2
x −2x− = 0 =⇒ 2x −4x−1 = 0 =⇒ x1,2 =
=
2
2
2
2
avendo applicato ancora la formula risolutiva ridotta nel risolvere
l'equazione.
Ne consegue che le soluzioni del sistema sono, allora, date da
√
√
2
−
6
2
+
6
u=
u=
2√ ∨
2√
2
+
6
2
−
6
v=
v=
2
2
3. (a) Anché l'equazione non perda di signicato, deve aversi che i
denominatori siano non nulli e, cioè, deve risultare x ̸= 0.
Ciò premesso, si ha:
1
x−1
x2
1
− 2 = 1 =⇒
=
=⇒ x − 1 = x2 =⇒ x2 − x + 1 = 0
x x
x2
x2
Risulta ∆ = 1 − 4 = −3 < 0 per cui l'equazione non ammette
soluzioni reali.
(b) Anché l'equazione non perda di signicato deve aversi che i denominatori siano non nulli che è racchiudibile nella condizione
x2 − 4 ̸= 0 =⇒ x ̸= ±2 essendo x2 − 4 = (x + 2)(x − 2) il mcm tra
i denominatori.
Sotto la condizione imposta possiamo procedere come segue:
4
Prof. Domenico Ruggiero
Equazioni di secondo grado (esercizi)
x2 + 1
1
x
x2 + 1 − (x + 2) + x(x − 2)
−
+
=
0
=⇒
=
x2 − 4
x−2
x+2
(x + 2)(x − 2)
0
=
=⇒ x2 +1−x−2+x2 −2x = 0 =⇒ 2x2 −3x−1 =
(x + 2)(x − 2)
0
da cui, applicando la formula risolutiva essendo ∆ = 17 > 0,
x1,2 =
3±
√
17
4
entrambe accettabili poiché diverse da ±2.
(c) Posto t = x2 , l'equazione si scive come
2t − 5t + 4 = 0 =⇒ t
2
1,2
=
5±
√
√
25 − 32
5 ± −7
=
∈
/R
4
4
per cui l'equazione di quarto grado data non ammette alcuna
soluzione reale.
(d) Posto t = x2 , l'equazione si scive come
√
√
√
t2 + 2 3t − 4 = 0 =⇒ t1,2 = 3 ± 7
avendo applicato la formula risolutiva ridotta.
√
Dalla sostituzione fatta, si ricava x = ± t1,2 sicché
√√
√
√
√
√
x
=
±
t
=
3
−
7
∈
/
R
in
quanto
3
−
7 < 0 essendo
1
√
√
3 < 7;
√√
√
√
x = ± t2 =
3 + 7.
le √
soluzioni
reali dell'equazione
di quarto grado sono, allora, x1 =
√√
√
√
√
−
3 + 7 e x2 =
3 + 7.
4. In tutta la trattzione seguente ci riferiamo ad un'equazione della forma
ax2 + bx + c = 0 con a = k + 1, b = −2k , c = k + 2.
Ciò premesso, passiamo alle risposte ai quesiti posti.
(a) L'equazione è spuria se c = 0 che, nel nosto caso, conduce alla
condizione k + 2 = 0 da cui k = −2.
(b) Ricordando che un'equazione di secondo grado è pura se b = 0, si
ottiene la condizione −2k = 0 da cui k = 0.
(c) Un'equazione di secondo grado ammette soluzioni reali se ∆ ≥ 0.
Nel nostro caso, tenendo presente che b è della forma 2α, si ha:
( 2 )2
(
)2
∆
b
∆
−2k
= (k) =
− (k + 1)(k + 2) =
− ac =
4
4
2
2
= k 2 − (k 2 + 2k + k + 2) = k 2 − (k 2 + 3k + 2) = k 2 − k 2 − 3k − 2 =
= −3k − 2.
∆
≥ 0, si perviene alla disequazione
Imponendo0 la condizione
4
2
−3k − 2 ≥ 0 da cui k ≤ − .
3
5
Prof. Domenico Ruggiero
Equazioni di secondo grado (esercizi)
(d) Sostituendo x = 4 nell'equazione, si ha:
(k + 1) · 22 − 2k · 2 + k + 2 = 0 =⇒ 4(k + 1) − 4k + k + 2 = 0
=⇒ 4k + 4 − 4k + k + 2 = 0 =⇒ k + 6 = 0 =⇒ k = −6
(e) Indicate, al solito, con x1 e x2 le soluzioni (radici) dell'equazione,
dire che una radice è uguale a 4 diminuito dell'altra radice, conduce all'uguaglianza
x1 = 4 − x2 =⇒ x1 + x2 = 4
b
da cui, tenendo presente che x1 + x2 = − , per confronto tra le
a
ultime due relazioni scritte, si ha:
b
b
− = 4 =⇒ = −4
a
a
Tenendo presente che a = k + 1, b = −2k , si ottiene:
−2k
2k
= −4 =⇒
= 4 =⇒ 2k = 4(k + 1) =⇒ k = 2(k + 1)
k+1
k+1
=⇒ k = 2k + 2 =⇒ k − 2k = 2 =⇒ −k = 2 =⇒ k = −2
(f) Indicate ancora con x1,2 le radici, una soluzione è l'antireciproco
dell'altra se risulta
x1 = −
1
=⇒ x1 · x2 = −1
x2
c
Ricordando che x1 ·x2 = per confronto tra le due ultime relazioni
a
scritte, si ha:
c
k+2
= −1 =⇒
= −1 esssendo a = k + 1, c = k + 2
a
k+1
da cui
k+2 = −(k+1) =⇒ k+2 = −k−1 =⇒ k+k = −1−2 =⇒ 2k = −3
e, dividendo per 2 ambo i membri dell'ultima equazione scritta, si
3
determina k = − .
2
6
