Il principio di induzione

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Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l’economia e l’azienda, EGEA 2004
Il principio di induzione
Accenniamo brevemente alla costruzione assiomatica di Peano dei numeri naturali. Egli pose
alla base della sua teoria cinque assiomi dove “numero”, “zero” e “successore” sono da considerarsi
nozioni primitive (le quali, pertanto, non richiedono una definizione)1 . I primi quattro sono:
1. Zero (in simboli: 0) è un numero.
2. Per ogni numero n esiste un numero univocamente determinato, detto successore di n.
3. 0 non è successore di alcun numero.
4. Numeri diversi hanno successori diversi.
Da questi quattro assiomi si possono definire l’ordinamento, le operazioni aritmetiche e verificare la
validità delle solite regole di calcolo. In particolare, e la cosa non dovrebbe sorprendere, il successore
di n è n + 1.
Ma è il quinto l’assioma più importante, sia a livello concettuale sia a livello operativo, chiamato
postulato o principio di induzione matematica. Lo introduciamo con un esempio “da collezione”.
• I soldatini. Supponiamo che un migliaio di soldatini identici tra loro siano allineati a identica
distanza. Decidiamo di buttarli giù tutti. Occorre buttarli giù ad uno ad uno? Certamente sì, se
la distanza tra due soldatini consecutivi è maggiore della loro altezza. Supponiamo, però, che la
distanza tra due consecutivi sia minore della loro altezza. In tal caso
se cade il soldatino di posto n, allora cade anche il successivo.
È sufficiente, allora, che
cada il primo soldatino
affinché cadano tutti: il primo fa cadere il secondo, il secondo fa cadere il terzo, il terzo fa cadere
il quarto,... e così via. Formalizziamo.
Sia
P (n): “cade il soldatino di posto n”.
Possiamo dire: se
(i) P (1) è vera (cade il primo soldatino della fila)
e
(ii) per ogni2 n ≥ 1, P (n) ⇒ P (n + 1) (se cade il soldatino di posto n allora cade anche il
soldatino di posto n + 1),
allora P (n) è vera per ogni n ≥ 1 (cadono tutti i soldatini).
Questo è, sostanzialmente, il concetto espresso dal principio di induzione, che riformuliamo per
un generico predicato p(n). Si utilizza per dimostrare proprietà o formule che dipendono da un
numero naturale.
Principio di induzione. Sia p(n) una formula o una proprietà (predicato) dipendente dal
numero n ∈ N. Se valgono le seguenti due condizioni:
(i) p(n0 ) è vera,
(ii) per ogni n ≥ n0 , se p (n) è vera allora p (n + 1) è vera,
1 Concetto primitivo sta a indicare che non viene definito direttamente, bensì tramite gli assiomi. Un po’ come
nel gioco degli scacchi, dove i vari pezzi (concetti primitivi) sono definiti mediante le regole di movimento (assiomi).
2 Il simbolo “⇒” si legge “implica”.
2
allora p(n) è vera per ogni n ≥ n0 .
Nell’esempio dei soldatini n0 = 1.
Non è facile comprendere immediatamente la portata di questo principio. Intanto sembrerebbe
esserci un circolo vizioso: nella condizione (ii) compare se p (n) è vera ed alla fine riappare allora
p(n) è vera. Stiamo usando la tesi per... provare la tesi?
Un più accurato esame della (ii) mostra che stiamo assumendo non che p (n) sia vera bensì che
l’implicazione p (n) ⇒ p (n + 1) sia vera.
La differenza dovrebbe chiarirsi ricorrendo all’esempio dei soldatini.
Assicurarsi che se cade il soldatino di posto n, allora cade anche il successivo non significa affatto
che il soldatino di posto n cada effettivamente, ma solo che sia stata scelta bene la distanza tra i
soldatini, anche se i soldatini rimangono in piedi.
In generale, per mostrare che l’implicazione è vera, occorre assumere (momentaneamente!) p (n)
e dedurre p (n + 1). In questo frangente, p (n) prende il nome di ipotesi di ricorrenza. Mostriamo
come s’applica il principio di induzione con qualche esempio.
• Somma dei primi n numeri dispari. Proviamo a sommare i primi numeri dispari:
1+3
1+3+5
1+3+5+7
1+3+5+7+9
=
=
=
=
4
9
16
25.
Oppure, alla maniera dei pitagorici:
• ∗
∗ ∗
1+3
•
∗
+
+
+
+ + + +
• ∗
∗ ∗
1+3+5
∗
∗
1+3+5+7
•
∗
∗
∗
+
+
+
+ + + +
¦ ¦ ¦ ¦
1+3+5+7+9
¦
¦
¦
¦
¦
I risultati ottenuti ci fanno pensare che la somma dei primi n dispari sia n2 . La formula che vogliamo
dimostrare è, quindi,
1 + 3 + · · · + (2n − 1) = n2 ,
ossia
n
X
k=1
(2k − 1) = n2 .
(1)
La (1) rappresenta p(n) e vogliamo dimostrarla per ogni n ≥ 1.
(i) La formula è vera per n = 1; infatti, sostituendo 1 a n, entrambi i membri sono uguali a 1.
(ii) Verifichiamo l’implicazione p(n) ⇒ p(n + 1), per ogni n ≥ 1.
Assumiamo la (1) e deduciamo la formula per n + 1, cioè
n+1
X
k=1
(2k − 1) = (n + 1)2 .
Per sfruttare l’ipotesi di ricorrenza, conviene mettere in evidenza la somma dei termini fino a n
(che supponiamo provvisoriamente uguale a n2 ) scrivendo
n+1
X
k=1
(2k − 1) =
n
X
k=1
(2k − 1) + 2n + 1.
3
Così, usando l’ipotesi di ricorrenza, si ha
n
X
k=1
|
(2k − 1) + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
{z
}
=n2
In base al principio di induzione, la (1) è dunque provata per ogni n ≥ 1.
• Fattoriale di n. “Per induzione” (o “per ricorrenza”) si possono anche dare definizioni. Tipico
esempio è la definizione del fattoriale di n, indicato col simbolo n!. Si pone
fattoriale di 0
fattoriale di n + 1
:= 1,
:= (n + 1) · (fattoriale di n)!.
Si noti come la definizione al passo (n + 1) richiami sé stessa al passo precedente. È un tipico
procedimento ricorsivo. È, allora, immediato verificare che
n! = fattoriale di n = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1.
• Dimostriamo ora una formula che si rivela utile nel calcolo finanziario (per esempio, nella
valutazione di flussi di cassa che variano con una certa regolarità).
n
X
kak = a
1 − (n + 1) an + nan+1
(1 − a)
k=1
a 6= 1.
2
(2)
1◦ modo (senza il principio di induzione). Poniamo
Sn =
n
X
k=1
kak = a + 2a2 + 3a3 + · · · + nan
(3)
e moltiplichiamo entrambi i membri della (3) per a:
aSn = a2 + 2a3 + 3a4 + · · · + nan+1 .
(4)
Sottraiamo (4) da (3) e otteniamo, usando la formula per le progressioni geometriche,
(1 − a) Sn = a + a2 + · · · + an − nan+1 = a
1 − an
− nan+1 .
1−a
Dividendo per (1 − a) s’arriva facilmente alla (2).
2◦ modo (col principio di induzione). Sia p (n) la formula (2), che vogliamo dimostrare per
n ≥ 1. Verifichiamo le proprietà (i) e (ii) previste dal principio di induzione.
(i) p (1) è vera. Infatti, sostituendo n = 1 si ottiene
a=a
1 − 2a + a2
2
(1 − a)
= a.
(ii) Sia ora n ≥ 1 e assumiamo (2) come ipotesi. Procediamo come nell’esempio dei numeri
dispari, scrivendo
n+1
n
X
X
kak =
kak + (n + 1) an+1 .
k=1
k=1
Usando prima l’ipotesi di ricorrenza e poi un po’ di calcoli, si trova
n
X
kak + (n + 1) an+1
= a
1 − (n + 1) an + nan+1
= a
1 − (n + 2) an+1 + (n + 1) an+2
k=1
2
(1 − a)
(1 − a)2
+ (n + 1) an+1 =
4
da cui
n+1
X
kak = a
1 − (n + 2) an+1 + (n + 1) an+2
2
(1 − a)
k=1
,
che è precisamente p (n + 1). La formula è pertanto vera per ogni n ≥ 1.
Esercizi
1. Dimostrare la formula
n
X
k=1
qk =
1 − q n+1
,
1−q
q 6= 1
applicando il principio di induzione.
2. Dimostrare la disuguaglianza (di Bernoulli)
(1 + x)n ≥ 1 + nx,
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°
n ∈ N, x > −1.