[SeLP] Cenni di geometria algebrica degli

[SeLP]
Cenni di geometria algebrica degli `-gruppi
Vitale Gaetano
Dipartimento di Matematica
Università degli studi di Salerno
Fisciano, SA
06/06/2014
Vitale Gaetano
[SeLP] Cenni di geometria algebrica degli `-gruppi
Algebra Universale
Componenti di base
(A, τ ) - Struttura algebrica
T (α) - Polinomi (o termini) su τ con α variabili
V - Varietà (classe equazionale di algebre)
W (α) = T (α)/IV - Algebra libera
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[SeLP] Cenni di geometria algebrica degli `-gruppi
Geometria Algebrica Classica
Concetti fondamentali
Campo K algebricamente chiuso
Spazio affine K n
Anello dei polinomi su K con n indeterminate
Ideali di K [x1 , ..., xn ]
Vengono poi studiati:
Insiemi algebrici Z (U) ⊆ K n con U ⊆ K [x1 , ..., xn ]
Algebre coordinate K [x1 , ..., xn ]/I (A) con I (A) ideale
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Geometria Algebrica Universale (Plotkin)
Nuovi concetti fondamentali
Campo K
Spazio affine K n
Polinomi su K
Ideali di K [x1 , ..., xn ]
Algebra H
Hom(W (n), H)
Algebra libera W (n)
(con costanti in H)
Congruenze su W (n)
Prendiamo H in una varietà cosi da poter considerare gli
omomorfismi e l’algebra libera (teorema HSP di Birkhoff).
Nota
Consideriamo Hom(W (n), H) come punti di H n .
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Geometria Algebrica Universale (Plotkin)
Algebre coordinate
Sistemi di equazioni
Insiemi Algebrici
Soluzioni di sistemi di equazioni
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Geometria Algebrica Universale (Plotkin)
Algebre coordinate (Punti → Polinomi)
Consideriamo A ⊆ Hom(W (n), H) e definiamo:
\
U = ϕ(A) =
Ker µ
µ∈A
dove U è la congruenza generata da A. Mentre
W (n)/U
è la nostra algebra coordinata.
Intuitivamente vedremo A ⊆ H n e
U = ϕ(A) = {p ∈ W (n) | p(a) = 0 ∀a ∈ A}
come sistema ”massimale” che ha per soluzione tutti i punti di A.
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Geometria Algebrica Universale (Plotkin)
Insiemi Algebrici (Polinomi → Punti)
Consideriamo U ⊆ W (n) e definiamo:
A = ψ(U) = {µ : W (n) → H | U ⊆ Ker µ}
e chiameremo A insieme algebrico H-chiuso.
Intuitivamente avremo
A = ψ(U) = {a ∈ H n | p(a) = 0 ∀p ∈ U}
visto come insieme delle soluzioni del sistema U.
Nota
La coppia (ψ, ϕ) formano una corrispondenza di Galois.
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Varietà algebrica degli `-gruppi
Diremo che G è un `-gruppo se (G , +, −, 0, ∧, ∨) è un gruppo
abeliano strutturato come un reticolo, cioè soddisfacente i seguenti
assiomi:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∀a, b, c ∈ G a + (b + c) = (a + b) + c ;
∀a ∈ G a + 0 = a = 0 + a ;
∀a ∈ G a + (−a) = 0 = −a + a ;
∀a, b ∈ G a + b = b + a ;
∀a, b ∈ G a ∧ b = b ∧ a ;
∀a, b ∈ G a ∨ b = b ∨ a ;
∀a, b, c ∈ G a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c ;
∀a, b, c ∈ G a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c ;
∀a, b ∈ G a ∨ (a ∧ b) = a ;
∀a, b ∈ G a ∧ (a ∨ b) = a ;
∀a, b, c ∈ G c + (a ∧ b) = (c + a) ∧ (c + b) ;
∀a, b, c ∈ G c + (a ∨ b) = (c + a) ∨ (c + b) .
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Geometria algebrica degli `-gruppi
`-gruppo libero
FA`(n) = {f =
^_
i
fij : Rn → R | fij ∈ homZ (Rn , R)}
j
dove homZ (Rn , R) sono le funzioni lineari omogenee a coefficienti
interi
z1 x1 + z2 x2 + ... + zn xn
con zi ∈ Z.
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Geometria algebrica degli `-gruppi
Congruenze
Nella varietà degli `-gruppi le congruenze si identificano con gli
`-ideali.
Un `-ideale di un `-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se
x ∈ J e |y | ≤ |x| allora y ∈ J.
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Geometria algebrica degli `-gruppi
Congruenze
Nella varietà degli `-gruppi le congruenze si identificano con gli
`-ideali.
Un `-ideale di un `-gruppo è un sottogruppo J di G tale che se
x ∈ J e |y | ≤ |x| allora y ∈ J.
`-omomorfismi
f : G −→ H è un omomorfismo di `-gruppi se e solo se per
definizione:
f è un omomorfismo di gruppi;
f è un omomorfismo di reticoli.
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Geometria algebrica degli `-gruppi
Categoria K`
Insiemi algebrici
Categoria C`
Algebre coordinate
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Categoria degli Insiemi Algebrici
Oggetti
(X , A, H)
X insieme finito di variabili (|X | = nX )
A insieme algebrico in Hom(FA`(nX ),H)
H `-Gruppo
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Categoria degli Insiemi Algebrici
Morfismi
([s]δ , δ) : (X , A, H1 ) → (Y , B, H2 )
1
Siano δ : H1 → H2 e s : FA`(nY ) → FA`(nX )
2
consideriamo il diagramma commutativo
FA`(nY ) −→s FA`(nX )
ν0 ↓
]
↓ν
H2
←−δ
H1
3
(s, δ)(ν) = ν 0 ammissibile (insiemi algebrici in insiemi
algebrici)
(s, δ) si dirà ammissibile rispetto A e B se ν 0 ∈B per ogni ν ∈A
4
La coppia ([s]δ , δ) sarà il morfismo (X , A, H1 ) → (Y , B, H2 ) e
definiamo la composizione di due morfismi nel seguente modo
([s 0 ]δ0 , δ 0 )([s]δ , δ) = ([ss 0 ]δ0 δ , δ 0 δ) : (X , A, H1 ) → (Z , C , H3 )
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Categoria delle algebre coordinate
Oggetti
(FA`(nX )/U, H)
X insieme finito di variabili
U ideale H-chiuso
H `-Gruppo
Morfismi
σ : FA`(Y )/U2 → FA`(X )/U1
σ(p(x)/U2 ) = s(p(x))/U1 con s ammissibile rispetto ad U1 e
U2 .
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Dualità
Proposizione 1
La mappa F : K`−Gr → C`−Gr tale che:
(i) F ((X , A, H)) = (FA`(nX )/ϕ(A), H);
(ii) F (([s]δ , δ)) = (σs , δ);
è un funtore controvariante.
Proposizione 2
La mappa G : C`−Gr → K`−Gr tale che:
(i) G ((FA`(n)/U, H)) = (Xn , ψ(U), H);
(ii) G ((σ, δ)) = ([sσ ], δ);
è un funtore controvariante.
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Dualità
Lemma 1
Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli
Insiemi Algebrici.
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Dualità
Lemma 1
Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli
Insiemi Algebrici.
Lemma 2
Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle
Algebre Coordinate.
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Dualità
Lemma 1
Il funtore composto GF è il funtore identità della categoria degli
Insiemi Algebrici.
Lemma 2
Il funtore composto FG è il funtore identità della categoria delle
Algebre Coordinate.
Teorema
La categoria degli Insiemi Algebrici è dualmente isomorfa alla
categoria delle Algebre Coordinate.
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Applicazioni
Attraverso il funtore di Mundici
`u Gruppi ←→ MValgebre ←→ Logica di Lukasiewicz
Si possono ottenere informazioni sulla logica definita sui modelli
algebrici della logica di Lukasiewicz.
Principali Applicazioni Logiche della Geometria Algebrica
Decidibilità delle teorie
Equivalenza elementare
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