Geometria Algebrica
Informazioni generali
Anno di corso: secondo (primo semestre);
Tipo di insegnamento: caratterizzante (curriculum A);
CFU: 9;
Ore: 72 (lezioni ed esercitazioni);
Propedeuticità: nessuna.
Obiettivi
Lo studente che completerà con successo questo insegnamento conoscerà gli elementi basilari della
geometria algebrica affine e proiettiva, incluse le nozioni di singolarità, dimensione ed equivalenza
birazionale; avrà familiarità con esempi espliciti che includono curve piane, superfici quadriche e
cubiche, la grassmanniana delle rette in P3, le varietà di Veronese e le varietà di Segre; avrà
lavorato esplicitamente con anelli commutativi finitamente generati, con i loro campi dei quozienti
e con il polinomio di Hilbert di moduli graduati finitamente generati su anelli di polinomi; sarà in
grado di formulare e dimostrare risultati di base sulle varietà algebriche espressi in un linguaggio
matematico rigoroso. Con questa preparazione lo studente potrà essere naturalmente avviato
all’ approfondimento della Geometria Algebrica in corsi di livello più elevato, come, ad esempio,
quelli di dottorato.
Risorse e testi consigliati
La principale risorsa del corso sono le lezioni frontali, un quarto delle quali dedicate ad
esercitazioni. La frequenza alle lezioni è fortemente consigliata. Le lezioni si svolgeranno in lingua
italiana o in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Agli studenti vengono forniti degli appunti sintetici delle lezioni del corso (disponibili on-line alla
pagina internet del corso). Le referenze bibliografiche sono indicate alla fine del programma
riportato più sotto.
Pagina internet del Corso: www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria_Algebrica.html
Verifiche ed esami
Durante il corso vengono assegnati esercizi risolti successivamente dagli studenti alla lavagna in
apposite lezioni.
Al termine del corso è prevista una prova orale che terrà anche conto degli esercizi svolti durante
l'anno dal singolo studente.
Orario
Da definire
Programma del corso
L'insegnamento si prefigge di fornire un'introduzione alla geometria algebrica tramite lo studio
delle varietà quasi-proiettive su un campo k (essenzialmente nel caso in cui k è algebricamente
chiuso). A tale scopo verranno introdotte prima le varietà affini, poi quelle proiettive e quasiproiettive, e le mappe regolari e razionali. Verranno poi studiate le prime proprietà delle varietà
algebriche, sia globali (irriducibilità, dimensione, equivalenza birazionale) che locali (spazio
tangente e singolarità). Per aiutare gli studenti a familiarizzarsi con l'argomento, verranno
presentati numerosi esempi ed esercizi, in parte svolti in classe, in parte lasciati da svolgere agli
studenti in apposite lezioni. L'argomento ha legami importanti con l'algebra commutativa e la
geometria complessa e differenziale (nel caso in cui k e' il campo dei numeri complessi), che
saranno evidenziati nell’insegnamento, e si può considerare la naturale prosecuzione degli studi
geometrici del triennio specialistico basati sull’ algebra lineare e la geometria analitica (proiettiva e
affine).
Per il programma dettagliato consultare la pagine web del corso:
www.dmi.unict.it/~frusso/DMI/Geometria_Algebrica_files/Programma_GEOM_ALG.pdf
