IL CALCOLO DELLE AREE

IL CALCOLO DELLE AREE
AREA DI UNA SUPERFICIE PIANA
L'area dei una regione piana è un numero positivo che misura l'estensione della regione.
Due regioni piane si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione e quindi la stessa area.
E' da non confondere il concetto di estensione con quello di area. L'estensione è un concetto
primitivo, cioè non definibile (come il concetto di retta). L'area è un numero positivo.
AREA DI SEMPLICI REGIONI PIANE CON CONTORNI POLIGONALI
Per alcune regioni piane poligonali l'area viene calcolata utilizzando le formule imparate nel corso
degli studi di base
1
⋅Base⋅Altezza
1. Area del triangolo
2
2. Area di un rettangolo e parallelogramma Base⋅Altezza
1
⋅(base maggiore + base minore )⋅altezza
3. Area di un trapezio
2
1
⋅diagonale maggiore⋅diagonale minore
4. Area di un rombo
2
1
5. Area di un poligono regolare ⋅Perimetro⋅Apotema (Ricordo che un poligono è regolare
2
se ha lati e angoli congruenti)
AREA DI SEMPLICI REGIONI PIANE CON CONTORNO CURVILINEO
1. Area del cerchio π⋅(Raggio)2
1
2
⋅(Raggio) ⋅θ dove θ è l'angolo del settore misurato in
2. Area del settore circolare
2
radianti
AREA DI UN TRIANGOLO
Durante il corso di trigonometria avete imparato un'altra formula per il calcolo dell'area di un
triangolo. Se si conoscono le misure di due lati L1 e L2 e dell'angolo compreso θ si ha
1
A= ⋅L1⋅L2⋅sin (θ)
2
Se si conoscono le misure dei tre lati, l'area del triangolo si può calcolare utilizzando la formula di
Erone. Detto p il semiperimetro e L1 , L2 , L3 le misure dei 3 lati si ha
A=√ p⋅(p−L1)⋅(p−L2 )⋅(p−L3 )
AREA DI UN POLIGONO QUALSIASI
Per un poligono qualsiasi la regola generale è quella di scomporre il poligono in poligoni di cui si
sa calcolare l'area e poi sommare le aree di tali poligoni.
AREA DI UN TRAPEZOIDE
Alcune regioni piane non sono comprese nella casistica sopra descritta.
Per esempio la regione piana chiamata TRAPEZOIDE.
Intanto definiamo il trapezoide. Consideriamo una funzione continua f (x)≥0 definita in un
intervallo [a,b].
Chiamiamo trapezoide la regione piana compresa tra il grafico di f e l'asse delle x.
Come si calcola l'area di un trapezoide?
Il calcolo non è semplice perché comporta la conoscenza di strumenti matematici avanzati come i
limiti ed il calcolo integrale.
Si deve procedere così:
1. Si suddivide l'intervallo [a,b] in n sottointervalli di ampiezza uguale h=
b−a
n
2. Si costruisce una serie di rettangoli (la serie viene chiamata plurirettangolo) che hanno
come base i sottointervalli e come altezza il minimo m i della funzione nel sottointervallo.
3. Si costruisce una serie di rettangoli che hanno come base i sottointervalli e come altezza il
massimo M i della funzione nel sottointervallo.
4. Si costruisce la somma s n delle aree dei rettagoli di base h ed altezza m i he hanno
come altezza
s n=a 1 +a 2+… …… .+a n (Questo somma è chiamata Somma Inferiore)
5. Si costruisce la somma Sn delle aree dei rettangoli di base ed altezza M i
Sn=A1 + A2+ …… ...+ A n (Questa somma è chiamata Somma Superiore)
6. Chiaramente l'area A è compresa tra la Somma Inferiore e la Somma Superiore cioè
s n≤A≤Sn
7. Quindi si calcola
s= lim s n e
n→+∞
S=lim S n .
→+∞
8. Se s=S allora questo numero è l'area A del trapezoide
L'area del trapezoide è quindi il limite per n che tende ad infinito della somma superiore e
della somma inferiore quando coincidono.
Se non coincidono allora non è possibile assegnare un'area al trapezoide
IMPORTANTE: se f(x) è continua allora sicuramente i due limiti coincidono e quindi è
possibile assegnare un'area al trapezoide
b
L'area del trapezoide si indica con il simbolo
∫ f (x)dx
e si chiama integrale definito. Più
a
precisamente il simbolo si legge integrale definito da a a b di f(x) in dx.
OSSERVAZIONE
La variabile di integrazione x è detta variabile muta, in altre parole può essere sostituita da qualsiasi
b
altra lettera. In altre parole
b
∫ f ( x)dx=∫ f ( t)dt
a
a
AREA DEL TRAPEZOIDE 2
Il procedimento sopra descritto è particolarmente tedioso.
Ci viene in aiuto la FORMULA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE che ci
permette di calcolare l'area (cioè l'integrale definito) con una semplice differenza. In pratica se F(x)
è una primitiva qualsiasi della funzione f(x) allora
b
∫ f ( x)=F(b)−F(a)
a
Questa formula è chiamata anche formula di Newton-Leibnitz
La formula di Newton-Leibnitz può essere anche applicata se la f (x)≤0
In particolare.
• Se f (x)≤0 in [a,b] allora la formula ci fornisce l'area con segno negativo
• Se f(x) è sia positiva che negativa, la formula ci fornisce la differenza delle aree tra il
trapezoide che sta sopra l'asse delle x e quello che sta sotto l'asse delle x
AREA DI UNA REGIONE PIANA QUALSIASI
Si suddivide la regione piana in parti ciascuna delle quali rientri in uno dei casi sopraelencati.
Si calcolare l'area di ciascuna parte e poi si sommano le aree