la forza di gravita

LA GRAVITAZIONE UNIVERSALE1
Le leggi di Keplero forniscono la descrizione del moto dei pianeti ma non
ne spiegano il motivo.
1)
2)
3)
I pianeti descrivono un’orbita ellittica di cui il sole occupa uno dei
fuochi.
Il vettore posizione d’ogni pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
i quadrati del periodo di rivoluzione sono proporzionali ai cubi delle
distanze medie dei pianeti dal sole.
L’analisi geometrica delle leggi di Keplero permette di intravedere una
soluzione.
Il contributo di Newton al progresso della scienza si estende oltre al suo
secolo e al suo millennio. Dopo la scoperta dei principi della dinamica, la
legge della gravitazione è la più grande scoperta del secondo millennio.
Newton, oltre a dimostrare di aver compreso profondamente la natura, è anche
inventore della moderna “fisica teorica”, un metodo basato sul calcolo
matematico per il quale il confronto con la realtà è essenziale per la verifica dei
risultati. Nasce il metodo sperimentale.
La legge della gravitazione soddisfa le osservazioni kepleriane ma è
pubblicata nei
“Principia Matematica Philosophiae Naturalis”
solo nel 1687, ben 21 anni dopo la sua scoperta avvenuta nel 1666.
LA FORZA DI GRAVITA’
Il fatto che i pianeti nel loro moto non fuggano allontanandosi dal Sole,
indica la presenza di una forza attrattiva che Newton, probabilmente, riesce a
determinare ispirandosi alle leggi di Keplero.
Fg  G
m1 m2
rˆ
r2
Il valore della costante gravitazionale è stato accuratamente calcolato in più
epoche mediante la bilancia di torsione di Cavendish e vale circa
G  6.67 10-11 N m2 /Kg2
Nella descrizione formale, si sono talvolta usati i formalismi differenziale e integrale dove il simbolo “d…” è
equivalente al simbolo “…” per una differenza infinitesima della variabile in oggetto e il simbolo di integrale finito
1
b
 ...d... indica la misura dell’area sottesa dalla funzione posta in argomento in un intervallino infinitesimo “d…”. Tali
a
formalismi sono propri dell’analisi matematica e sono stati sviluppati primitivamente da Newton proprio per descrivere
il modello gravitazionale. La conoscenza approfondita dei metodi è comunque rimandata al corso di analisi matematica.
1
D’altra parte, i pianeti non precipitano tuffandosi nel Sole, ciò indica la
presenza di una seconda forza che li costringe a muoversi lungo una traiettoria
ellittica.
Le caratteristiche geometriche dell’orbita sono determinate dalla condizione
di equilibrio tra le forze agenti e dal momento angolare. Sul corpo orbitante il
lavoro delle forze è nullo.
Il punto in cui il pianeta è più distante dal Sole è l’apogeo, il più vicino è il
perigeo.
IL CAMPO GRAVITAZIONALE
La forza gravitazionale per agire non ha bisogno di contatto, agisce per
effetto del campo.
Quando è presente un corpo di massa M, ad ogni punto dello spazio è
associato un vettore accelerazione di intensità
G
F
M
 G 2
m
r
il vettore è diretto verso il baricentro del corpo stesso, il centro di gravità.
La distribuzione vettoriale dei valori di accelerazione associati ad ogni
punto dello spazio è detto campo gravitazionale della massa M. L’intensità del
campo è la gravità.
IL POTENZIALE GRAVITAZIONALE
L’energia acquistata da un corpo in uno spostamento infinitesimo è un
valore scalare che dipende dal lavoro delle forze locali e dalla direzione di
moto:
dW  (F1  F2  ... Fn )  ds
Nel caso gravitazionale, si considerano gli spostamenti nella direzione delle
linee di campo
2
Γ  G1  G2  ... Gn
.
L’energia per unità di massa acquistata da un corpo in uno spostamento
infinitesimo è
d 
dW
 Γ  ds
m
L’energia per unità di massa acquistata nel passaggio dalla posizione
all’infinito alla posizione attuale è il potenziale gravitazionale  cambiato di
segno.
Valgono perciò le relazioni:
r
    d  G (

M1 M 2
M

 ...  n ) ,
r1
r2
rn
   grad 
.
L’ENERGIA POTENZIALE
Una forza agente su di un corpo compie un lavoro solo se non è perpendicolare
alla direzione di moto. Il lavoro svolto aumenta l’energia cinetica del corpo.
La gravità è una forza centrale che contribuisce alla variazione di energia del
sistema agendo sempre radialmente nella direzione dell’origine del campo:
r // Fg
.
Su di un corpo di massa m, il lavoro dW Fds prodotto dal campo di un grave di
massa M, è nullo solo all’infinito. Quando il corpo si trova a distanza r dall’origine,
l’energia di posizione riferita all’infinito è l’energia potenziale gravitazionale

r
r

E p  W.r    dE p   Fg ds   G
Mm
 m
r
.
Differenziando segue,
d

Fg   grad E p    E p rˆ  m
 dr 
3
La variazione di energia cinetica di un grave dipende solo dalla variazione di
energia potenziale nel passaggio tra due posizioni:
Ec  E p,1  E p,2
.
Il lavoro non dipende dal percorso seguito, la forza è conservativa.
ENERGIA E MOTO ORBITALE (come applicazione)
Un corpo in movimento in un campo gravitazionale segue traiettorie determinate
dalla condizione di bilanciamento delle forze agenti trasversalmente al moto.
Sul corpo agiscono simultaneamente la forza gravitazionale e la forza centrifuga
Mm
r2
mv 2
Fc 
r ,
Fg G
rappresentate da vettori di intensità e direzione uguale, ma verso opposto.
Per un moto naturalmente accelerato, dalla condizione
Fg  Fc
si ottiene la componente di velocità dovuta all’azione del campo gravitazionale
 M
v   G

r

12





Nel calcolo dell’energia cinetica complessiva si considera anche la velocità di
approccio, cioè la velocità all’infinito v del corpo
1
mM 1 2
Ec  m(v 2  v2 )  G
 mv
2
2r 2 
L’energia totale del corpo immerso nel campo è data dall’energia cinetica più la
potenziale
E  Ec  E p  G
mM 1 2
 mv
2r 2 
4
per energia totale E < 0
“
E=0
“
E>0
l’orbita è ellittica
“ parabolica
“ iperbolica
5