Esercizi di geometria risolti - Liceo Classico Psicopedagogico

1.
VERO O FALSO?
a. Due triangoli rettangoli con entrambi i cateti congruenti sono congruenti.
b. Due triangoli isosceli con la base e un angolo adiacente alla base congruenti
sono congruenti.
V
F
V F
[a. V; b. V;]
a. L’affermazione è vera. Infatti, ricordando che l’angolo compreso tra i due cateti di un
triangolo rettangolo è retto, possiamo applicare il primo criterio di congruenza.
b. L’affermazione è vera. Infatti, ricordando che gli angoli adiacenti alla base di un triangolo
isoscele sono congruenti tra loro, possiamo applicare il secondo criterio di congruenza.
2.
Dato un triangolo scaleno ABC di base AB, prolunga il lato CA dalla parte di A di un segmento
AD congruente a AB e prolunga AB dalla parte di A di un segmento AE congruente a CA. Detto
F il punto di intersezione delle rette BC e DE, dimostra che il triangolo FDB è isoscele.
Ipotesi:
AE ≅ CA
AD ≅ AB
Tesi:
FDB isoscele
Dimostrazione
I triangoli ABC e AED hanno:
• AB ≅ AD per ipotesi;
• CA ≅ AE per ipotesi;
• CAˆ B ≅ EAˆ D perché angoli opposti al vertice A.
Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare ABˆ C ≅ ADˆ E .
Inoltre il triangolo ABD è isoscele per costruzione, poiché AB ≅ AD : di conseguenza
DBˆ A ≅ ADˆ B .
Ora nel triangolo FDB gli angoli FDˆ B e DBˆ F sono congruenti, perché somme di angoli
congruenti:
FDˆ B = FDˆ A + ADˆ B ≅ ABˆ F + DBˆ A = DBˆ F .
Quindi il triangolo FDB è isoscele.
1
3.
Sui lati a e b di un angolo di vertice O considera i punti A e B su a e i punti C e D su b, con
OA < OB, OA ≅ OC e OB ≅ OD . Traccia la bisettrice dell’angolo aOˆ b e considera su di essa
il punto P. Dimostra che i triangoli ABP e CDP sono congruenti.
Ipotesi: OA < OB
OA ≅ OC
OB ≅ OD
AOˆ P ≅ POˆ C
Tesi: ABP ≅ CDP
Dimostrazione
I triangoli OAP e OCP hanno:
• OA ≅ OC per ipotesi;
• OP in comune;
• AOˆ P ≅ POˆ C per ipotesi.
Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare PA ≅ PC .
Allo stesso modo i triangoli OBP e ODP hanno:
• OB ≅ OD per ipotesi;
• OP in comune;
• BOˆ P ≅ POˆ D per ipotesi.
Quindi sono congruenti per il primo criterio. In particolare PB ≅ PD .
Ora, i segmenti AB e CD sono congruenti perché differenze di segmenti congruenti:
AB = OB − OA ≅ OD − OC = CD .
Quindi i triangoli OAP e OCD sono congruenti per il terzo criterio, perché hanno i lati
ordinatamente congruenti:
• PA ≅ PC ;
• PB ≅ PD ;
• AB ≅ CD .
4.
Stabilisci se le seguenti terne di lunghezze possono costruire le misure dei lati di un triangolo:
a. 12 mm; 16 mm; 17 mm;
b. 2 m; 15 dm; 90 cm;
c. 23 mm; 2 cm; 0,02 dm.
Effettuiamo i controlli utilizzando le diseguaglianze triangolari.
a. 12 mm; 16 mm; 17 mm.
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?
?
?
sì;
sì;
?
sì.
?
?
sì;
sì;
sì.
Poiché tutte le condizioni sono verificate, 12 mm, 16 mm, 17 mm possono essere le lunghezze
dei lati di un triangolo.
b. 2 m; 15 dm; 60 cm.
Dato che le lunghezze non sono espresse tutte nella stessa unità di misura, le trasformiamo
tutte nella stessa: 20 dm, 15 dm, 6 dm. Passiamo ora alle disuguaglianze:
?
?
?
sì;
?
sì;
sì.
?
?
sì;
sì;
sì.
Poiché tutte le condizioni sono verificate, 2 m, 15 dm, 60 cm possono essere le lunghezze dei
lati di un triangolo.
c. 23 mm; 2 cm; 0,02 dm.
Dato che le lunghezze non sono espresse tutte nella stessa unità di misura, le trasformiamo
tutte nella stessa: 23 mm, 20 mm, 2 mm. Passiamo ora alle disuguaglianze:
?
?
?
no;
sì;
sì.
Non è necessario proseguire: 23 mm, 2 cm e 0,02 dm non possono essere i lati di un triangolo.
5.
Due triangoli isosceli ABC di base BC e ACD di base CD hanno il vertice A e il lato AC in
comune, mentre i lati AB e DA sono adiacenti. Considera il triangolo BCD e dimostra che
BD > BC e BD > CD.
Ipotesi:
AB ≅ AC
AD ≅ AC
Tesi: BD > BC
BD > CD
Dimostrazione
I due triangoli ABC e ACD sono entrambi isosceli e hanno in comune il lato AC:
→
AB ≅ AC , AC ≅ AD
AB ≅ AD .
Consideriamo il triangolo ABC: per le disuguaglianze triangolari abbiamo
BC < AB + AC .
Inoltre, dato che AC ≅ AD , abbiamo:
BC < AB + AC
→
BC < AB + AD ≅ BD
→
BD > BC .
Quindi la prima tesi è dimostrata; analogamente:
CD < AD + AC ≅ AD + AB ≅ BD
→
BD > CD .
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6.
Dimostra che in un triangolo acutangolo l’altezza relativa a un lato è sempre minore della
semisomma degli altri due lati
Ipotesi:
Tesi: CH <
AB ⊥ CH
BC + CA
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Dimostrazione
Consideriamo il triangolo BCH. Poiché CHˆ B è retto e HBˆ C è acuto per ipotesi,
HBˆ C < CHˆ B . Per le relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo: CH < BC.
Analogamente se consideriamo il triangolo AHC:
CAˆ H < AHˆ C
→
CH < CA .
Ora consideriamo le due disequazioni ottenute insieme, sommandole membro a membro:
CH + CH < BC + CA
→
2CH < BC + CA
→
CH <
BC + CA
.
2
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