TEORIA DEI NUMERI SUCCESSIONI

Liceo Scientifico “G. Salvemini”
Corso di preparazione per la gara provinciale delle
OLIMPIADI DELLA MATEMATICA
INTRO
TEORIA DEI NUMERI
SUCCESSIONI
NUMERI INTERI
QUESITO
Un quesito (facile) sulle cifre:
Sulla lavagna c'e scritto un numero di 17 cifre composto
da soli 1 e 2. Paolo entra e riscrive il numero in sequenza
inversa, allineandolo sotto il precedente. Gianni entra e
scrive sotto ogni colonna la cifra massima che compare in
quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna
la cifra minima che compare in quella colonna, poi
cancella le prime due righe. Carla entra e trova scritti i
numeri 12212212221221221 e 11211111211111211 e le
viene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e
Alberto. Quanti sono i diversi numeri che potevano
essere scritti sulla lavagna come primo numero?
SUGGERIMENTO
Consideriamo le righe che legge Carla:
Cifra massima
Cifra minima
Possiamo prevedere facilmente molte
cifre dei numeri cancellati ..
SOLUZIONE
Dall’analisi delle ultime due righe ricaviamo:
1
2
2
1
** *
Cifra massima
Cifra minima
Nelle posizioni residue abbiamo sempre un 1 e un 2.
Ma scelta una cifra se ne determinano univocamente altre 3
Le posizioni sono 4 e il numero è dato dalle permutazioni di 2 cifre:
24 = 16
NOTAZIONE POSIZIONAE
Data una base x il numero ..bca in base x
vale:
..bcabase x = a⋅x0 + b⋅x1 + c⋅x2 + ... = a + b⋅x + c⋅x2 + ...
Esempi:
723 base10 = 3 + 2⋅10 + 7⋅100
10110 base2 = 0 + 1⋅2 + 1⋅4 + 0⋅8 + 1⋅16 = 22base10
41320 base5 = 0 + 2⋅5 + 3⋅52 + 1⋅53 + 4⋅54 =
= 5⋅(2 + 3⋅5 + 1⋅52 + 4⋅53)
Un numero in base x che termina con n zeri si può scrivere come xn⋅A
QUESITO
Sia x il numero di zeri con cui termina 2000! quando è
scritto in base 5, e y il numero di zeri con cui termina
2013! quando è scritto in base 10. Calcolare x-y.
(Ricordiamo che il numero n!, per n intero positivo, è il prodotto di tutti gli
interi positivi minori o uguali a n.)
(A) -2
(B) 0
(C) 2013
(D) 13!
(E) Nessuna delle precedenti.
SUGGERIMENTO
Il numero 2013! = 10y·p (con y = numero di zeri finali
del numero). Il fattore p non contiene ulteriori fattori 5
e quindi vale anche 2013! = 5y·2y·p = 5y·n.
Analogamente si ha che 2000! = 5x·m (con y = numero
di zeri finali del numero quando è scritto in base 5)
Adesso valutiamo
SOLUZIONE
Il numero 2013! = 10y·p (con y = numero di zeri finali
del numero). Il fattore p non contiene ulteriori fattori 5
e quindi vale anche 2013! = 5y·2y·p = 5y·n.
Analogamente si ha che 2000! = 5x·m (con y = numero
di zeri finali del numero quando è scritto in base 5)
Adesso valutiamo
Visto che
non contiene fattori 5 il rapporto
contiene un numero di fattori 5 contenuti nel prodotto
2001·2002·..·2013.
E' facile verificare che essi sono solo 2 (fattori di 2005 e
2010). Quindi y - x = 2. (Risposta A)
DIVISIONE
Dati due numeri interi a , b con a ≥ b è
sempre possibile trovare altri 2 numeri
interi q ed r tali che:
a = bq + r
Quoziente della divisione tra a e b
Resto della divisione tra a e b
a div b = q
a mod b = r
DIVISIBILITA’
Si dice che a divide b, o che a è divisore di b, o che
b è multiplo di a (in simboli a|b) se effettuando la
divisione con resto di b per a si ottiene che r = 0.
Più esplicitamente a|b se esiste un intero q tale
che b = aq. Notare che tra i divisori di un numero
b sono sempre presenti 1 e b stesso e che tutti i
numeri dividono lo 0.
Com’è facile verificare, la caratteristica di “essere
multipli” si preserva con le combinazioni lineari:
in altre parole se a,b sono multipli di d allora
ha+kb è anche multiplo di d per qualsiasi scelta
di h,k interi.
NUMERI PRIMI
Si dice inoltre che p è un numero primo se
ogni qualvolta divide un prodotto divide
anche almeno uno dei fattori, cioè
Questa definizione è equivalente a quella
più nota, secondo cui un numero è primo se
non ha divisori all’infuori di 1 e se stesso.
Notare che 1 non è considerato un numero
primo.
QUESITO
Determinare il più grande numero di due cifre tale che:
a) sia un numero primo;
b) scambiando di posto le due cifre resti un numero
primo;
c) il prodotto delle due cifre sia un numero primo.
SUGGERIMENTO
Per la condizione c) il prodotto delle due cifre
deve essere un numero primo.
Perchè questo avvenga è necessario che una
delle due cifre sia 1, altrimenti il numero che ne
deriva moltiplicando è composto.
SOLUZIONE
Supponendo che 1 sia la cifra delle decine, la
condizione a) restringe le possibilità ai soli 11,
13, 17, 19, unici numeri primi tra 10 e 19
compresi. Scambiando l’ordine delle cifre 11,
31, 71 sono primi mentre 91 = 13×7. Di
conseguenza il più grande numero che
soddisfa le tre condizioni a), b), c) è 71.
NUMERI PRIMI
I numeri primi hanno un ruolo particolare nella
teoria dei numeri, soprattutto poiché ogni intero
è scrivibile in modo unico come prodotto di
potenze di numeri pi primi distinti:
Verificare se un numero a è primo o meno è un problema
complesso, tuttavia sono note alcune strategie per farlo. Una
prima strategia (utile anche per trovare la fattorizzazione di un
numero non primo) consiste nel dividere il numero a per tutti i
primi noti in ordine crescente, fino ad arrivare a a . A quel punto,
se nessuno dei primi che abbiamo provato era un divisore esatto di
a, allora a è certamente primo
FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO
In sintesi:
Sia n un numero naturale.
L'insieme degli eventuali fattori primi di n è
formato da tutti i numeri primi che dividono
n e che sono ≤ n .
Se n non possiede divisori primi < n è un
numero primo.
FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO
Per scomporre un numero provare a dividere
per i principali numeri primi (o suoi multipli).
Principali criteri di divisibilità:
per 2
un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari
per 3
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un
multiplo di 3
per 4
un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure
formano un numero multiplo di 4
FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO
per 5
un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
per 6
un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
per 7
un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero
ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o
un multiplo di 7.
» per es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è
divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 942*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.
per 8
un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il
numero formato dalle sue ultime 3 cifre
per 9
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9
per 10
un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
FATTORIZZAZIONE DI UN NUMERO
per 11
un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di
posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11
» per es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0
per 12
un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
per 13
un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità
con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13
» per es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto
75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)
per 17
un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il
numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un
multiplo di 17
» per es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il
numero 23-5*8=17
per 25
un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25,
50, 75
per 100
un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00
QUESITO
Un numero si dice “moderno” se, in base 10, può
essere espresso concatenando “un pò” di scritture
decimali di 2006: ad esempio 200620062006 è
moderno, mentre 20200606 e 2006200 non lo
sono.
Quante cifre ha il più piccolo quadrato perfetto
moderno positivo?
(A) 32 (B) 64 (C) 100 (D) 1000
(E) non esiste un tale numero.
SUGGERIMENTO
Un numero moderno è sempre divisibile per
2006, e quindi si può scrivere come
2006 (1000100010001…..10001) =
21003(1000100010001…..10001).
Il terzo fattore è dispari ..
SOLUZIONE
Un numero moderno è sempre divisibile
per 2006, e quindi si può scrivere come
2006 (1000100010001…..10001) =
21003(1000100010001…..10001).
Il terzo fattore è dispari e quindi un
numero moderno, che è sicuramente
pari, non può avere come divisore 4.
Pertanto un numero moderno non può
essere un quadrato perfetto (E).
QUESITO
Un folletto vive nel mondo delle fate. Un certo giorno sceglie 12
coppie di numeri positivi: quelli della prima sono dispari, quelli
della seconda danno resto 1 se divisi per 3, quelli della terza danno
resto 1 se divisi per 4, e così via fino alla dodicesima. Poi calcola la
differenza dei quadrati dei numeri di ciascuna coppia e scrive su
una lavagna il prodotto di tutte le differenze ottenute.
Dalla mattina successiva, divide per 12 il numero sulla lavagna e, se
il risultato è intero, scrive questo risultato al posto del numero che
era sulla lavagna; se non è intero, cancella tutto e si trasferisce nel
mondo degli umani a fare scherzetti. Per quanti giorni (escluso
quello iniziale in cui il folletto sceglie i numeri) siamo sicuri che non
avremo problemi nel nostro mondo?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8 (E) 12.
SUGGERIMENTO 1
I due numeri dispari danno resto 1 se divisi per 2
Se k-1 è la fila (per 2  k  13) la coppia si può scrivere:
(a , b) = (nk+1 , mk+1)
La differenza dei quadrati vale:
a2 – b2 = (a - b)(a + b) =
= (nk-mk)(nk+mk+2) = (n-m)k(nk+mk+2)
Di conseguenza il prodotto scritto dal folletto
sulla lavagna è sicuramente divisibile per ..
SUGGERIMENTO 2
Di conseguenza il prodotto scritto dal
folletto sulla lavagna è
sicuramente divisibile per 13!.
Scomponiamo 13! =
2345678910111213 =
210·35·52·7·11·13.
Quindi il prodotto è sicuramente divisibile
per ..
SOLUZIONE
Quindi il prodotto è sicuramente divisibile per 125.
Quindi sicuramente il folletto potrà dividere per 12 almeno
per 5 giorni di fila trovando sempre un risultato intero.
Ma se il folletto scegliesse ad esempio le coppie (2k+1,
k+1) per k = 4,7,10,13 e le coppie (k+1, 1) per i k restanti,
le differenze dei quadrati (rispettivamente 3k2 + 2k e k2 +
2k = k(k + 2)) conterrebbero in tutto esattamente 5 fattori
3, perciò il loro prodotto risulterebbe divisibile per 12 non
più di 5 volte. Ma allora in quel caso il sesto giorno la
divisione produrrebbe un numero non intero; quindi
possiamo contare su 5 giorni, ma non di più. (B)
QUESITO
Quattro interi positivi a1 < a2 < a3 < a4 sono tali che,
dati due qualunque di essi, il loro massimo comun
divisore è maggiore di 1, ma mcd(a1, a2, a3, a4) = 1.
Qual è il minimo valore che può assumere a4?
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 30 (E) 105.
SUGGERIMENTO
Ovviamente esiste almeno un valore ak dispari.
Infatti se fossero tutti pari non avrebbero MCD = 1
Prova che almeno uno dei 4 numeri ha 2 fattori primi
distinti. Se, per assurdo, tutti e quattro avessero un
solo fattore primo ..
SOLUZIONE
Ovviamente esiste almeno un valore ak dispari.
Infatti se fossero tutti pari non avrebbero MCD = 1
Proviamo che almeno uno dei 4 numeri ha 2 fattori
primi distinti. Se, per assurdo, tutti e quattro avessero
un solo fattore primo (ak = ps) l’ipotesi che il MCD di
due dei numeri è>1 non potrebbe essere soddisfatta
perché i due numeri dovrebbero avere un fattore in
comune.
Quindi c’è almeno un numero ak che ha almeno due fattori primi
diversi da due, e quindi vale almeno 35 = 15. D’altra parte, si
verifica che la quaterna 6, 10, 12, 15 soddisfa tutte le ipotesi del
problema, quindi 15 è veramente il minimo che cerchiamo.
INSIEME DELLE PARTI
QUESITO
Caboyara, famoso circense australiano, si esibisce anche
quest'anno in un gran trucco. Predispone una scala spettacolare
con N = p1·p2·...·p2015 gradini, dove p1,p2,....,p2015 sono numeri
primi distinti; i gradini che corrispondono a divisori di N (compresi
il primo e l'N-esimo gradino) sono speciali e sono inizialmente
illuminati di verde.
Durante lo spettacolo, 2015 canguri ammaestrati salgono uno
dopo l'altro la scala; per i = 1,2,......,2015, l'i-esimo canguro salta pi
gradini alla volta, partendo ai piedi della scala (salta sul gradino pi,
poi sul 2pi, e così via finché non raggiunge il gradino N). Ogni volta
che un canguro salta su un gradino speciale, questo cambia
colore: da verde diventa rosso, da rosso verde.
Quanti saranno i gradini speciali illuminati di verde alla fine
dell'esibizione?
(A) 22015 - 21008 (B) 22014 (C) 22014 - 21007 (D) 22013 (E) 2015·21008
SUGGERIMENTO 1
Se d è un divisore di N esso è il prodotto di k tra i
divisori primi di N: { p1,p2,....,p2015 }.
L'i-esimo canguro passerà sul gradino speciale posto
nella posizione d se pi è uno dei k divisori.
Se k è pari segue che .. ,
se k è dispari segue che ..
SOLUZIONE 1
Se d è un divisore di N esso è il prodotto di k tra i
divisori primi di N: { p1,p2,....,p2015 }.
L'i-esimo canguro passerà sul gradino speciale posto
nella posizione d se pi è uno dei k divisori.
La luce cambierà quindi colore tante volte quanti
sono i fattori primi di d:
se k è pari sarà verde ,
se k è dispari sarà rossa.
SUGGERIMENTO 2
Supponiamo che k sia pari, essendo 2015 dispari, esiste
un divisore d' formato da 2015-k fattori (dispari) ..
Analogamente se k è dispari ..
Quindi il numero dei k pari è ..
SOLUZIONE 2
Supponiamo che k sia pari, essendo 2015 dispari, esiste
un divisore d' formato da 2015-k fattori (dispari).
Analogamente se k è dispari siste un divisore d' formato
da 2015-k fattori (pari).
Quindi per ogni possibile combinazione pari di fattori ne
corrisponde una dispari e viceversa. Segue che il
numero delle combinazioni pari (che ricordiamo lascia il
gradino speciale di colore verde) è uguale a quello delle
combinazioni dispari ed entrambi sono uguali alla metà
del numero dei sottoinsiemi di {p1,p2,....,p2015} =
(Risposta B)
SUCCESSIONI
SUCCESSIONI
Una successione è una sequenza ordinata di
numeri appartenenti ad un insieme
assegnato:
ad esempio, si possono avere successioni di
numeri interi, razionali, reali, complessi.
Il primo elemento della sequenza viene,
convenzionalmente, chiamato a0 , il secondo
a1 e così via discorrendo:
a0 , a1 , …. , an , …
SUCCESSIONI
I modi in cui vengono di norma descritte le successioni sono due:
1. con una legge: ciascun termine an è assegnato
mediante una funzione che, in generale, dipende
da n. Ad esempio, an= 2n+1, n N è la
successione dei numeri dispari;
2. ricorsivamente: ciascun termine an è assegnato
mediante una funzione ricorsiva che, in generale,
dipende dai termini precedenti an-1,an-2,..,a1,a0.
Ad esempio, la successione definita da
è la celeberrima successione di Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
SUCCESSIONI
I modi in cui vengono di norma descritte le successioni sono due:
1. con una legge: ciascun termine an è assegnato
mediante una funzione che, in generale, dipende
da n. Ad esempio, an= 2n+1, n N è la
successione dei numeri dispari;
2. ricorsivamente: ciascun termine an è assegnato
mediante una funzione ricorsiva che, in generale,
dipende dai termini precedenti an-1,an-2,..,a1,a0.
Ad esempio, la successione definita da
è la celeberrima successione di Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
PROGRESSIONI ARITMETICHE
Una successione di numeri a0 , a1 , …. , an , …
si dice progressione aritmetica se è definita ricorsivamente nel
seguente modo:
Cioè se la differenza tra due termini consecutivi è costante ed
uguale alla ragione d della progressione. Sulle progressioni
aritmetiche si possono dimostrare facilmente le seguenti formule:
Il generico termine ar si può esprimere come
La somma dei termini da ar a as è:
PROGRESSIONI GEOMETRICHE
Una successione di numeri a0 , a1 , …. , an , …
si dice progressione geometrica se è definita ricorsivamente nel seguente
modo:
Cioè se il rapporto tra due termini consecutivi è costante ed
uguale alla ragione k della progressione.
Il generico termine ar si può esprimere come
La somma dei termini da ar a as è:
Il prodotto dei termini da ar a as è:
QUESITO
Una sequenza a1 .... a100 di numeri reali è tale che la
media aritmetica fra due termini consecutivi sia
sempre uguale all'indice del secondo termine (ad
esempio, si ha
).
Quanto vale la somma dei 100 numeri della
sequenza?
(A) 2550
(B) 5050
(C) 5100
(D) 10100
(E) Non si può determinare: dipende da a1
SUGGERIMENTO
La somma richiesta è
SOLUZIONE
La somma richiesta è
= 2·(2 + 4 + 6 + .. + 98 + 100) = 4·(1 + 2 + .. + 49 + 50).
La somma dei primi n numeri naturali è:
segue che
= 5100 (Risposta C)
QUESITO DIMOSTRATIVO
Determinare tutte le terne di interi strettamente positivi
(a,b,c) tali che
-abc;
- MCD(a , b , c) = 1;
- a è divisore di b+c, b è divisore di c+a e
c è divisore di a+b.
SOLUZIONE
Cominciamo a dimostrare che i 3 numeri sono a
due a due coprimi:
Infatti sia d = MCD(a,b)  d/a  d/b+c
Ma d/b quindi d/b+c-b  d/c
Dunque d è il MCD di tutti e tre che per ipotesi è 1
Analogamente si dimostra per le altre coppie
Adesso dimostra che ogni numero divide a+b+c ..
Infatti a/b+c  a/(b+c)+a e così via per gli altri.
SOLUZIONE
Ma i numeri sono a due a due coprimi quindi il
prodotto abc ..
è un divisore di a+b+c
Visto che abc/(a+b+c)  abc  a+b+c
Ma essendo a  b  c  abc  a+b+c  3c
 ab  3
SOLUZIONE
Abbiamo ottenuto la condizione ab  3, ma sappiamo
anche che c  a + b quindi le terne non saranno
molte:
CASO 1
a=1eb=1
Abbiamo due terne possibili:
(1,1,1)
(1,1,2)
Entrambe soddisfano le condizioni richieste
SOLUZIONE
CASO 2
a=1eb=2
L’unica terna possibile è:
(1,2,3)
che soddisfa le condizioni richieste
CASO 3
a=1eb=3
L’unica terna possibile è:
(1,3,4)
che NON soddisfa le condizioni richieste
GRIGLIA DI VALUTAZIONE
Elencare le soluzioni: 1 punto.
Affermare che i numeri sono a due a due coprimi: 2 punti.
Dimostrare la precedente asserzione: 2 punti.
Dedurre che allora abc divide a + b + c: 4 punti.
A chi deduce (erroneamente) la divisibilità dalla sola
informazione MCD(a,b,c) = 1 assegnare comunque 2
punti.
Passare dall'informazione di divisibilità (abc divide a+b+c)
alla disuguaglianza abc  a+b+c: 2 punti.
Dedurne la disuguaglianza abc  3c: 2 punti.
Elencare correttamente i casi possibili e trattarli: 2 punti.
TOT = 15 PUNTI
2016
=
5
2
2 ·3 ·7
= 1+2+..+63