risoluzione di un triangolo rettangolo

RISOLUZIONE DI UN TRIANGOLO RETTANGOLO
Triangolo rettangolo
B
β
a
c
γ
C
A
b
Elementi di un triangolo rettangolo
Lati
•
•
Angoli
• angolo retto: 90°
• angoli acuti: β, γ
ipotenusa: a
cateti:
b,c
Relazione tra i lati:
b 2c 2=a 2 ( Teorema di Pitagora)
Relazione tra gli angoli:
β + γ = 90° (angoli complementari)
Relazione tra i lati e gli angoli:
cateto opposto all ' angolo
seno di un angolo=
•
ipotenusa
formule inverse: b=a⋅sen 
b
a=
sen 
•
coseno di un angolo=
b
c
oppure sen =
a
a
cateto=ipotenusa x il seno dell ' angolo opposto ,
cateto adiacente all ' angolo
ipotenusa
formule inverse: c=a⋅cos 
c
a=
cos 
•
 sen =
 cos =
c
b
oppure cos =
a
a
cateto=ipotenusa x il coseno dell ' angolo adiacente ,
cateto opposto all ' angolo
cateto adiacente all ' angolo
b
formule inverse: b=c⋅tg  , c=
tg 
tangente di un angolo=
tg =
b
c
oppure tg =
c
b
Risoluzione di un triangolo rettangolo
I caso: noti due lati , calcola l'altro lato e gli angoli acuti.
• esempio: noti a,b calcola c, β e γ.
b
b
sen = =arcsen
soluzione: c= a2 −b2 ,
a
a
•
,
=90 °−
esempio: noti b,c calcola a, β e γ.
b
b
soluzione: a=  b 2c2 , tg =  =arctg
c
c
,
=90 °−
II caso: noti l'ipotenusa e un angolo acuto, calcola l'altro angolo acuto e gli altri lati.
• esempio: noti a, β
calcola γ, b, c.
soluzione: =90 °− , b=a⋅sen  , c=a⋅cos 
III caso: noti un cateto e un angolo acuto, calcola l'altro angolo acuto e gli altri lati.
• esempio: noti c, β
calcola γ, a, b.
c
soluzione: =90 °− , a=
, b=c⋅tg  .
cos 
ESERCIZI
1. Completa la tabella riferita ad un triangolo rettangolo
a
b
c
26
10
8
15
35
12
15
11
β
γ
36°
25°
54°
50°
2. Risolvere un triangolo rettangolo significa calcolare tutti gli elementi del triangolo, lati e
angoli, a partire da quelli dati.
a) Risolvi il triangolo rettangolo ABC sapendo che a = 25 e γ = 30° .
b) Risolvi il triangolo rettangolo ABC sapendo che a = 20 e β = 35°
c) Risolvi il triangolo rettangolo ABC sapendo che b=12 e =60 ° .
3. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa é di cm 20 e
4
il coseno di un angolo acuto è .
R. P = 48 cm ; A = 96 cm2
5
4. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che un cateto é di cm 20 e la
5
tangente dell’angolo opposto è
.
R. P = 120 cm ; A = 480 cm2
12
5. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa é di cm 30 e
3
il seno di un angolo acuto è
.
R. P = 72 cm ; A = 216 cm2
5
6. Calcola l’area e il perimetro di un triangolo rettangolo sapendo che un cateto é di cm 36 e la
5
tangente dell’angolo adiacente è
.
R. P = 90 cm ; A = 270 cm2
12
7. Con i dati indicati in figura calcola l’altezza dell’albero.
γ = 40°
Distanza m 30