Homework n. 2

Teoria dei giochi
Esercizi per casa (n.1)
2007/2008
Name
Le risposte vanno consegnate mercoledi 29 maggio.
1. Considerate un’asta ove e’posto in vendita un oggetto a due potenziali acquirenti (che
valutano l’oggetto rispettivamente v1 = 2 e v2 = 3). Nell’asta, entrambi i potenziali
acquirenti hanno la possibilita’a turno di fare un’o¤erta.; un’o¤erta deve essere un numero intero maggiore dell’o¤erta precedente. Quando e’il suo turno, ciascun giocatore
puo’ quindi fare un’o¤erta, o passare la mano. Il gioco …nisce quando, in due turni
consecutivi, entrambi i giocatori hanno scelto di passare la mano. In tale caso il giocatore che ha fatto l’ultima o¤erta riceve l’oggetto, e ciascun giocatore paga l’ammontare
dell’ultima o¤erta da lui fatta (se ne ha fatta una); se non vi e’mai stata alcuna o¤erta,
l’oggetto non va a nessuno dei due giocatori. Ciascun giocatore ha ricchezza w = 3, e
nessun giocatore puo’fare o¤erte maggiori a w. Modellate quest’asta come un gioco
in forma estesa e trovate gli SPE del gioco.
2. L’output di un’impresa e’ y = l(100 l) quando l’input di lavoro e’ pari a l < 50
unita’, y = 2500 quando l 50. Il prezzo di vendita dell’output e’1. Il sindacato che
rappresenta i lavoratori presenta una richiesta salariale pari a w.per unita’ di lavoro
impiegata. L’impresa sceglie quindi se accettare o ri…utare tale richiesta. Se accetta,
sceglie quindi il numero l di unita’ di lavoro che intende assumere a tale livello di
salario; se invece ri…uta non assumera’alcun lavoratore (l = 0). Il payo¤ dell’impresa
e’dato dai suoi pro…tti, mentre per il sindacato e’pari al monte salari wl.
(a) Rappresentate questa situazione come un gioco in forma estesa e trovate gli SPE
del gioco.
(b) Esiste un possibile esito del gioco che entrambe le parti preferirebbero a ciascuno
degli SPE del gioco trovati in a.?
(c) Trovate un equilibrio di Nash del gioco che non e’uno SPE.
3. Considerate il seguente gioco a mosse simultanee:
L
C
R
T 3; 1 0; 0 5; 0
M 2; 1 1; 2 3; 1
B 1; 2 0; 1 4; 4
(a) Trovate gli equilibri di Nash (in strategie pure) del gioco.
(b) Supponete poi che il gioco venga ripetuto due volte, e che prima di giocare la
seconda volta entrambi i giocatori osservino l’esito della prima ripetizione del
gioco. I giocatori non scontano il futuro: = 1. E’possibile che le azioni (B; R)
siano scelte nella prima ripetizione del gioco in un SPE del gioco descritto? In
caso a¤ermativo descrivete le strategie dei giocatori che generano questo risultato;
in caso negativo, spiegate perche’.
(c) Spiegate in che modo e perche’la ripetizione modi…ca gli equilibri del gioco.
4. Due giocatori seguono la seguente procedura per dividere una torta. Il giocatore 1
divide la torta in due parti e quindi il giocatore 2 sceglie una delle due parti; 1 ottiene
la parte rimanente. La torta e’ perfettamente divisibile e perfettamente omogenea,
cosi’che a ciascun giocatore interessa soltanto le dimensioni della parte. che ottiene.
In che modo verra’divisa la torta in un subgame perfect equilibrium (SPE) del gioco?
5. L’esercito del paese Blu deve decidere se attaccare l’esercito del paese Rosso, che ha
occupato un’isola tra i due paesi. In caso di attacco, l’esercito del paese Rosso puo’
combattere o ritirarsi attraversando un ponte che porta al territorio del suo paese.
Ciascun esercito preferisce occupare l’isola piuttosto che non occuparla; una battaglia
e’l’evento peggiore per entrambi.
(a) Modellate questa situazione come un gioco in forma estesa. Descrivete le strategie
dei due eserciti (i due giocatori) e de…nite un SPE del gioco. Trovate poi un SPE
del gioco.
(b) Mostrate che l’esercito del paese Rosso puo’incrementare il suo payo¤ (e ridurre
il payo¤ del paese Blu) nel SPE del gioco bruciando il ponte (eliminando cioe’la
possibilita’di ritirarsi in caso di attacco].
(c) Trovate un equilibrio di Nash del gioco che non e’anche un SPE del gioco.
6. Considerate una variante del gioco dell’ultimatum in cui per ciascun giocatore conta
non solo quanti soldi riceve ma anche l’equita’della distribuzione. Piu’precisamente,
supponete che la quantita’ di moneta totale da suddividere tra 1 e 2 sia pari a 1 e
che la funzione di utilita’ di 1 sia descritta da u1 (x1 ; x2 ) = x1
x2 j, ove x1
1 jx1
e’la quantita’di moneta ricevuta da 1 e x2 quella ricevuta da 2, 1 > 0; e jj denota
il valore assoluto. Analogamente la funzione di utilita’ di 2 e’ data da u2 (x2 ; x1 ) =
x2
x1 j. Trovate gli SPE del gioco. Vi sono valori di 1 e 2 per cui un’o¤erta
2 jx2
da parte di 1 e’ri…utata da 2 in equilibrio?
7. Considerate il seguente gioco con due giocatori, Timmy e Anne. Ciascuno di essi ha a
disposizione due azioni possibili: Timmy puo’scegliere F(ight) o S(urrender), e Anne
C(ombattere) o A(rrendersi). Supponete inoltre che il valore dei payo¤ di Timmy
dipendano dal fatto se Timmy sia un tipo forte, un evento incerto con probabilita’1/2,
o un tipo debole, un evento con probabilita’ residua 1/2. In particolare, se Timmy
risulta essere un tipo forte, i payo¤ dei giocatori sono:
C
A
F 8; 1 10; 3
S 2; 6 3; 4
mentre se Timmy risulta essere un tipo debole i payo¤ sono:
C
A
F 0; 1 4; 3
S 4; 6 5; 4
2
Quando i due giocatori devono scegliere le proprie azioni Timmy conosce la realizzazione del suo tipo mentre Anne sa solo che puo’ essere forte o debole con equale
probabilita’pari a 1/2.
(a) Descrivete le possibili strategie dei due giocatori in questo gioco. De…nite quindi
un equilibrio di Nash di questo gioco Bayesiano.
(b) Trovate gli equilibri di Nash di questo gioco Bayesiano
3