cap_17 - Dipartimento di Fisica e Astronomia and

Capitolo 17
Formulazione covariante
dell’equazione di Schroedinger
La meccanica quantistica si applica a sistemi che si muovono con velocità non piccole rispetto alla velocità
della luce, sicchè le correzioni relativistiche possono risultare non trascurabili. Pertanto le leggi della
meccanica quantistica devono essere riformulate su base relativistica, cioè nella forma covariante per
trasformazioni di Lorentz. In altri termini l’equazione di Schroedinger dev’essere riformulata in forma
covariante, e ciò porta a nuove proprietè dei sistemi quantici, come ad esempio l’introduzione dello spin
e l’interazione spin-orbita.
17.1
Equazione di Klein-Gordon
Il generatore delle trasformazioni di Lorentz, considerate come traslazioni nello spazio tempo, è il quadrivettore energia-impulso. In meccanica classica energia ed impulso sono legati dalla relazione E = p2 /2m.
∂
~ da cui si ottiene l’equazione di
Il principio di corrispondenza prescrive che E → i~ ∂t
e p~ → −i~∇
Schroedinger non relativistica. In relatività l’equazione equivalente alla precedente è la relazione di mass
shell , cioè E 2 /c2 = m2 c2 + p2 . Quest’ultima è covariante, in quanto modulo quadro di quadrivettore.
Dal principio di corrispondenza segue allora (poniamo ~ = c = 1)
−
∂2
ψ(x) = (−∇2 + m2 )ψ(x),
∂t2
(17.1)
dove x ≡ (~r, t) Questa prende il nome di equazione di Klein-Gordon (KG). Introducendo la forma
quadridimensionale di ∇2 , l’eq.(1) si scrive:
(¤ + m2 )ψ(x) = 0
(17.2)
Soluzioni dell’equazione di KG sono le onde piane ψ(x) = Ce−ipx , dove px = Et − p~ · ~r con E =
p
± p2 + m2 . Il doppio segno è conseguenza del fatto che E e p non sono invarianti separatamentema,
p
ma solo la loro combinazione E 2 − p2 . Stati di particella libera a energia negativa dovrebbero essere
rigettati come non fisici ed in effetti potrebbero essere esclusi fino a quando non vengono introdotte le
interazioni, perchè in assenza di interazioni una particella libera ad energia positiva resterà sempre ad
energia positiva. Ma in presenza di interazione la transizione a stati ad energia negativa è possibile e
quindi questi ultimi non possono essere esclusi. Una seconda difficoltà che viene dalla interpretazione
probabilistica della funzione d’onda. Moltiplicando l’equazione di KG a sinistra per -iψ ∗ e la sua complessa
100
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER101
coniugata per -iψ e sottraendo membro a membro si ottiene l’analogo relativistico dell’equazione di
continuità
∂ i
~ · [ i (ψ ∗ ∇ψ
~ − ψ ∇ψ
~ ∗ )] = 0
[
(ψ ∗ ∂t ψ − ψ∂t ψ ∗ )] + ∇
(17.3)
∂t 2m
2m
se definiamo densità e corrente di probabilità come segue
i
(ψ ∗ ∂t ψ − ψ∂t ψ ∗ )
(17.4)
2m
~ − ψ ∇ψ
~ ∗ ).
~j = 1 (ψ ∗ ∇ψ
(17.5)
2mi
La densità di probabilità non è definita positiva e dipende dalla derivata rispetto al tempo della funzione
d’onda, il che rende problematica la sua interpretazione come probabilità. In particolare per un’onda piana
risulta ρ = E/m|ψ|2 per cui soluzioni con E < 0 hanno probabilità negativa. La difficoltà potrebbe essere
superata se consideriamo particelle cariche ed introduciamo la densità di carica e corrente moltiplicando
semplicemente le eq.(4) e (5) per la carica -q. In tal caso la densità di carica risulta sempre positiva se
associamo E > 0 a cariche negative (q < 0) e E < 0 a cariche positive (q > 0). Nel caso dell’elettrone
q < 0 questa considerazione richiede che esista anche l’elettrone con q > 0, cioè il positrone, che non era
stato ancora scoperto al tempo in cui fu avanzata questa ipotesi. A parte le particelle cariche, c’è un caso
in cui l’equazione di KG può matenere un significato fisico, cioè il caso in cui la massa della particella
è nulla e questo accade con i fotoni, e la funzione d’onda ψ viene interpretata come il quadripotenziale
Ai (x)del campo e.m. In questo caso l’equazione di KG si identifca con l’equazione di Maxwell per il
campo e.m. in assenza di cariche e correnti, cioè Ai (x) = 0.
ρ=
17.2
Equazione di Dirac
17.2.1
Equazione di Dirac
Per superare le difficoltà discusse sopra si deve trovare una alternativa all’equazione di KG. Osserviamo,
prima di tutto, che vogliamo che la definizione relativistica di densità di probabilità sia ancora definita
positiva ed indipendente dalla derivata temporale. Ciò richiede che la nuova equazione sia alla derivata
prima nel tempo, quindi della forma i∂t ψ = Ĥψ, dove Ĥ ha il ruolo di Hamiltoniana relativistica
della particella libera. Di conseguenza, per la covarianza, anche la derivata spaziale deve apparire al
primo ordine, e quindi la Hamiltoniana dev’essere lineare nell’operatore impulso. Inoltre i coefficienti
non possono dipendere dalla posizione e dal tempo, per le simmetrie dello spazio-tempo . Allora la
Hamiltoniana assumerà la forma Ĥ = α
~ · p~ + mβ. Si ottiene la cosiddetta equazione di Dirac
i∂t ψ(x) = (~
α · p~ + mβ)ψ(x)·
(17.6)
L’equazione di Dirac deve obbedire la relazione di mass shell . Applicando i∂t all’equazione di Dirac si
ha identicamente
−
∂
∂2
ψ(x) = (~
α · p~ + β)i ψ(x) = (~
α · p~ + β)2 ψ(x) = (p2 + m2 )ψ(x)
∂t2
∂t
(17.7)
Questa identità permette di determinare i coefficienti α e β. Intanto segue subito che β 2 = m2 e
α
~ β + β~
α = 0, da cui segue che i coefficienti non possono essere numeri, matrici NxN. Ne deriva
αk2 = 1
β2 = 1
(17.8)
αk αl + αl αk = 0 (k 6= l)
(17.9)
αk β + βαk = 0
(17.10)
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER102
17.2.2
Dimensionalitá dello spazio degli spinori di Dirac
Le soluzioni dell’equazione di Dirac ψσ (x) sono vettori aventi un numero di componeti N da determinare.
Definiamo le matrici σk e τk come segue:
αk = τ1 · σk , β = τ3 , τ2 = iτ1 · τ3
(17.11)
Si dimostra facilmente che
• 1, le τ sono matrici autoaggiunte anticommutanti, ciascuna di quadrato 1
• 2, le σ sono matrici autoaggiunte anticommutanti, ciascuna di quadrato 1
• 3, τ e σ commutano tra loro
Dalla proprietà 1 segue che τ32 = 1 quindi ha due autovalori ±1 e autovettori | ± 1 >. Le matrici τ1 o
τ2 trasformano uno dei due autovettori nell’altro. Quindi lo spazio bidimensionale descritto da | ± 1 >
è chiuso rispetto alle matrici τk , e le matrici τk sono a due dimensioni. Analogamente dicasi per le
matrici σk , che sono anche a due dimensioni. Infine, dato che le matrici τk e σk commutono (proprietà
3), lo spazio degli stati è il prodotto tensoriale dei due, e quindi è uno spazio a quattro dimensioni.
Trattandosi di matrici, α e β devono essere autoaggiunte, affinchè anche la Hamiltoniana lo sia.
Esisono diverse rappresentazioni delle matrici α
~ , β. La più popolare è la rappresentazione di DiracPauli




 0
α
~ =
~σ
~σ 
 1
 , β=
0
0
0 
 ,
−1
dove 0, 1, ~σ sono sottomatrici 2x2. ~σ ≡ (σx , σy , σz ) sono le matrici di Pauli (vedi Appendice I).
17.2.3
Diagonalizzazione della hamiltoniana
Una volta determinate le due matrici α e β, l’equazione di Dirac stazionanaria si scrive





m
p
~
·
~
σ
u
u







 = E
,
p~ · ~σ −m
v
v
dove u e v sono sottovettori colonna a due componenti. L’equazione di Dirac si decompone allora in due
equazioni bidimensionali accoppiate
(m − E)u + p~ · ~σ v = 0
(17.12)
(−m − E)v + p~ · ~σ u = 0 ·
(17.13)
In generale esistono quattro soluzioni indipendenti per ogni fissato impulso p~. Per p~ = 0 l’hamiltoniana
è già diagonale con autovalori E=m,m,-m,-m ed autovettori rispettivamente
  
   

1
0
0
0
  
   

  
   

  
   

 0   1   0   0 
  ,
 ,  ,
·
  
   

 0   0   1   0 
  
   

  
   

0
0
0
1
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER103
Per p~ 6= 0 l’equazione secolare da ancora quattro autovalori di energia a due a due uguali, E =
p
± p2 + m2 ; i rispettivi autostati si derivano facilmente dalle precedenti equazioni accoppiate
 
 


 
σ·~
p
 1   0   E−m   0 

 
 
 

 
  σ·~p 

 
 0   1   0   E−m

 ,
 ,
,

 
 
 

 σ·~p  , 

  0   1   0 
 
 

 E+m  
 
 


 
σ·~
p
0
1
0
E+m
p
p
dove i primi due autostati hanno autovalori E = + p2 + m2 ed i secondi due E = − p2 + m2 . Nella
forma precedente gli autostati non sono normalizzati ad uno, ma si verifica facilmente che sono ortogonali.
Concludiamo pertanto che l’equazione di Dirac ammette, per ogni impulso p~, quattro stati di particella
libera: due di energia E > 0 e due di energia E < 0. A parte il problema degli autovalori di energia
negativa, che ci si aspetta dalla discussione a proposito dell’equazione di KG si risolva con l’introduzione
delle antiparticelle, è il problema della degenerazione. Ci dev’essere un’altra osservabile che distingua i
~
due stati della stessa energia. Consideriamo l’osservabile Σ


 ~σ 0 

·
0 ~σ
La sua proiezione lungo p~ commuta con la Hamiltoniana, quindi è una costante del moto; inoltre commuta
~ · p̂ formano un insieme completo di osservabili per la particella
con l’impulso della particella, quindi p~ e Σ
~ · p̂ è parallelo a p~,λ = −1 se Σ
~ · p̂ è antiparallelo a p~.
libera. Gli autovalori di~· p̂ sono: λ = +1 se Σ
L’interpretazione di Σ è che questo sia il momentpo angolare intrinseco della particella (o spin). Questa
interpretazione trova una giustificazione nel fatto che il momento angolare orbitale ~l non commuta con
la Hamiltoniana. Si dimostra subito che
[H, ~l] = −i~
α × p~
(17.14)
~ = 2i~
[H, Σ]
α × p~
(17.15)
Inoltre
~ come momento angolare totale della particella, si deduce che
Pertanto, definendo J~ = ~l + 12 Σ,
~ = 0
[H, J]
(17.16)
quindi J~ si conserva. Ne viene quindi l’interpretazione dello spin come momento angolare intrinseco ed
il suo valore ~/2.
17.2.4
Equazione di continuità
L’equazione di Dirac allo stesso tempo soddisfa la condizione di covarianza, come è dimostrato in Appendice II, e l’equazione di continuità. Quest’ultima, in forma non covariante, si dimostra come segue.
˜ moltiplicando a destra l’equazione di Dirac per ψ † e la sua aggiunta a sinistra
Ricordando che p̃ = −i∇
per ψ
~
ψ † i∂t ψ = −iψ † α
~ · (∇ψ)
+ ψ † mβψ
~ · ψ † )~
(−i∂t ψ † )ψ = i(∇
αψ + mψ † βψ
(17.17)
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER104
e sottraendo membro a membro si ottiene
~ · (ψ † α
∂t (ψ † ψ) + ∇
~ ψ)·
(17.18)
Definendo
ρ = ψ† ψ
J~ = (ψ † α
~ ψ)
(17.19)
(17.20)
ritroviamo l’equazione di continuità nella forma usuale, dove la densità ρ è definita positiva e quindi
esente dalle difficoltà della densità di Klein-Gordon. Tuttavia resta il problema delle soluzioni di energia
negativa che viene affrontato nella prossima sezione.
17.2.5
Interpretazione degli stati di energia negativa
Nonostante l’equazione di Dirac risolva la difficoltà della interpretazione probabilistica della funzione
d’onda di KG, resta il problema degli stati di energia negativa. Dirac ipotizza che gli stati di energia
negativa siano tutti occupati da elettroni (mare di Dirac)(vedi figura a fine capitolo). L’aggiunta di un
elettrone non può portarlo che in uno stato di energia positiva (livelli di sinistra), poichè tutti gli stati di
energia negativa sono occupati e gli elettroni sono fermioni. La sottrazione di un elettrone di energia -E
dal mare di Dirac(livelli di centro), crea una buca che di un elettrone che può essere reinterpretata come
una particella di carica opposta di energia +E, che chiamiamo positrone. Un processo possibile è che un
fotone di energia maggiore di 2mc2 eccita un elettrone da uno stato con E < 0 ad uno stato con E > 0,
lasciando una buca nel mare di Dirac (livelli di destra). Lo stato finale è quello di una particella ed una
buca, che si può quindi reinterpretare come la formazione di una coppia e + e − . La previsione di questo
tipo di processo è il maggiore successo del modello del mare di Dirac, che tuttavia va abbandonato per
le grosse contraddizioni cui va incontro.
17.3
Interazione spin-orbita
L’interazione spin-orbita è di natura relativistica e si deriva dall’equazione di Dirac; tuttavia si può
spiegare qualitativamente nel modo seguente. L’elettrone orbita attorno al nucleo e apparentemente
subisce solo l’azione del campo coulombiano. Ma nel riferimento solidale con l’elettrone è il nucleo carico
~ come una spira percorsa da corrente.
che orbita attorno all’elettrone, generando un campo magnetico B
Il campo magnetico è quindi proporzionale alla corrente i = e/T , essendo T il periodo di rotazione
dell’elettrone nella sua orbita. Quest’ultimo è inversamenet proporzionale al momento angolare orbitale
~ è proporzionale a L.
~ D’altra parte l’elettrone
L dell’elettrone, in quanto L = mvr = 22 /T . Quindi B
ha un momento magnetico µ
~ proporzionale allo spin ~σ . Pertanto la hamiltoniana dell’elettrone avrà un
~
~ · L.
~ La sua forma completa si deduce dall’equazione di Dirac.
termine Hso = −~
µ · B proporzionale a S
L’equazione di Dirac al limite semiclassico (v/c << 1) si può mettere sotto la forma di equazione
di Schroedinger Hψ = Eψ. Riscriviamo l’equazione di Dirac stazionaria nella forma di due equazioni
accoppiate bidimensionali ed in presenza di un campo esterno (il campo coulombiano) eΦ
(ε − eΦ)u = (~
p · ~σ )v
(ε − eΦ + 2m)v = (~
p · ~σ )u
(17.22)
(17.21)
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER105
con ε = E − m. Imponiamo la condizione che
Z
Z
dV |ψ|2 ≡
dV (|u|2 + |v|2 )
Z
1
=
dV (|u|2 +
|~σ · p~u|2 )
(ε − eΦ + 2m)2
Z
1
≈
dV (|u|2 +
|~σ · p~u|2 )
4m2
avendo applicato l’equazione per v nella seconda linea e trascurato il termineε − eΦ piccolo rispetto alla
energia a riposo dell’elettrone m (ricordiamo che abbiamo posto c=1).Integrando per parti il secondo
termine (~
pu = −i∇u) si ottiene infine
Z
Z
1
(u∗ p2 u + up2 u∗ ))
(17.23)
dV |ψ|2 ≡
dV (u∗ u +
8m2
e quindi all’ordine 1/mc2
ψ = (1 +
p2
)u·
8m2
(17.24)
Riprendendo l’espressione esatta di v e sostituendola nell’equazione per u si ottiene
(ε − eΦ)u = (~σ · p~)
1
(~σ · p~)u ,
ε − eΦ + 2m
(17.25)
quindi, esprimendo u in termini di ψ, dopo facili calcoli (vedi Appendice III), si ottiene l’equazione di
Schroedinger nella forma Hψ = εψ, dove la Hamiltoniana è data da
H =
p2
p4
e
~ ·E
~
~ × p~) − e ∇
+ eΦ −
−
~σ · (E
2m
8m3
4m2
8m2
(17.26)
~ = −∇Φ.
~
dove E
Il termine in p4 è la correzione relativistica all’energia cinetica, l’ultimo termine è diverso
da zero solo nei punti ove sono localizzate le cariche (termine di Darwin). Il secondo termine è chiamato
~ = (~r/r) dΦ , e quindi
interazione spin-orbita.Per un campo a simmetria sferica E
dr
Hso = −
e dΦ ~ ~
S · L,
4m2 r dr
(17.27)
~ = ~σ .
dove si è introdotto lo spin 2S
Introducendo il termine spin-orbita nell’equazione di Schroedinger per l’atomo di idrogeno, il momento
~ non è più un buon numero quantico e neanche S,
~ ma L2 ed S 2 lo sono.Invece il mmento
angolare orbitale L
~ +S
~ è un buon numero quantico. Quindi i livelli dell’atomo di idrogeno si possono
angolare totale J~ = L
classificare in termini di L2 , S 2 , J 2 e Jz . Il termine spin-orbita genera lo splitting dei livelli con lo stesso
l (in assenza di campo magnetico). Infatti, essendo
~ ·S
~ = J 2 − L2 − S 2 ,
Hso ≈ 2L
(17.28)
i suoi autovalori sono proporzionali a j(j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1), quindi fissato l gli autovalori di energia
dipendono da n e j (|l − 1/2| ≤ j ≤ l + 1/2).
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER106
17.4
Appendici
I. Matrici di Pauli
Le matrici di Pauli sono definite

 0

1


 
1   0
 , 
0
i
−i   1
 ,
0
0

0 

−1
E’ facile dimostrare le seguenti proprietá delle matrici di Pauli utilizzate in questo capitolo:
• A
(~σ · p~)(~σ · ~q) = p~ · ~q + i ~σ · (~
px~q) ,
(17.29)
(~σ · p~)(~σ · p~) = p2
(17.30)
da cui segue per p~ = ~q
• B
σj σi − σi σj = 2i
X
²jik σk ,
(17.31)
k
II. Forma covariante dell’equazione di Dirac
L’equazione di Dirac risponde ai requisiti di covarianza e pertanto può essere posta in forma covariante.
A tale scopo definiamo
γ 0 = β, γ k = βαk
(17.32)
ν µ
(17.33)
µ ν
γ γ + γ γ = 2g
νµ
e, moltiplicando l’eq.(6) per β, arriviamo alla forma ovariante dell’equazione di Dirac:
[iγ µ ∂µ − m]ψ = 0.
(17.34)
Per stabilire l’equazione di continuitá consideriamo l’equazione aggiunta
−iγ µ ∂µψ † γ µ† − mψ † = 0
(17.35)
ricordando che ψ † è il vettore riga con le componenti complesse coniugate di quelle di ψ. Applicando la
proprietà γ µ† = γ 0 γ µ γ 0 e definendo ψ̄ = ψ † γ 0 , otteniamo l’equazione coniugata
−i∂µ ψ̄γ µ = mψ̄
(17.36)
Moltiplicando l’eq.(17) per ψ̄ a sinistra e l’eq.(19) per ψ a destra e sottraendo membro a membro si
ottiene l’equazione di conitinuità:
i∂µ (ψ̄γ µ ψ) = 0
(17.37)
dove il quadrivettore dentro parentesi va identificato con il quadrivettore densità di carica-corrente j µ =
ψ̄γ µ ψ.Infatti j 0 = ψ̄γ 0 ψ = ψ † ψ = |ψ|2 è la densitá di probabilitá,esente dalle difficoltá incontrate
con l’equazione di KG, mentre j k = ψ̄γ k ψ = ψ † γ 0 γ k ψ = ψ † αk ψ. Quest’ultimo é il vettore corrente,
osservando che αk é nient’altro che la velocitá. Infatti dalle equazioni del moto si ha
d~r
= −i[~r, H] = α
~
dt
(17.38)
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER107
III. Hamiltoniana semiclassica
Consideriamo le Eq.(24),(25) e (27). Sostituiamo nella Eq.(24), l’espressione di v dedotta dalla Eq.(25),
per avere una equazione nella sola incognita u:
(ε − eΦ)u
= (~
p · ~σ )
=
1
(~
p · ~σ )u
ε − eΦ + 2m
1
(~
p · ~σ )(1 − (ε − eΦ)/2m)(~
p · ~σ )u
2m
(17.39)
(17.40)
avendo sviluppato in serie il denominatore all’ordine 1/mc2 .Invertendo l’eq.(27) e tenendo termini all’ordine 1/(mc2 , si esprime u in termini di ψ, e si sostituisce nell’equazione precedente, per arrivare ad una
equazione omogenea in ψ
(ε − eΦ)(1 −
p2
1
p2
)ψ
=
(~
p
·
~
σ
)(1
−
(ε
−
eΦ)/2m)(~
p
·
~
σ
)u(ε
−
eΦ)(1
−
)ψ
8m2
2m
8m2
(17.41)
Raccogliamo i termini in ε al primo membro e trascuriamo i termini di ordine superione a mc2
ε(1 + p2 /8m2 )ψ =
p4
p2
p2
1
ψ−
ψ + eΦ(1 −
)ψ +
(~
p · ~σ )eΦ(~
p · ~σ )ψ
3
2m
16m
8m2
4m2
(17.42)
Spostando il fattore di ε,approssimato al primo ordine in 1/mc2 e trascurando ordini successivi si ottiene
εψ =
p2
p4
1
1
ψ−
ψ + eΦψ −
(p2 eΦ + e2 )ψ +
(~
p · ~σ )eΦ(~
p · ~σ )ψ
3
2
2m
8m
8m
4m2
(17.43)
CAPITOLO 17. FORMULAZIONE COVARIANTE DELL’EQUAZIONE DI SCHROEDINGER108
Mare di Dirac
hν
ν
2mc2
elettrone
positrone
creazione di coppia
Figura 17.1: Mare di Dirac