LA TRIGONOMETRIA
1. I TRIANGOLI RETTANGOLI
Misura la lunghezza dei lati con un righello. Partendo da questi dati, determina il seno e il coseno degli
angoli acuti del triangolo rettangolo in figura.
1.
sen cos 0,64; cos sen 0,77
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due angoli
acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
2.
20,5 cm; 77 19 10,6; 12° 40 49,3
AB 20 cm; AC 4,5 cm.
Nella semicirconferenza di centro O e diametro AB 2 è inscritto il trapezio isoscele ABCD;
indica con M e N le proiezioni di C e di D sul diametro. Sul prolungamento di MC, dalla parte di C,
prendi il punto P in modo che
ˆ x:
CP DC . Posto MOC
a) esprimi l’area s x del trapezio MPDN e rappresenta la funzione s x verificando che vale
3.
s x 1 2 sen 2 x ;
4
b) determina per quali valori di x risulta 0 s x 2 .
5
a) s x 1 2 sen 2 x 4 , x 0; 2 ; max 8 ; 2 1 , min 8 ;1 2 ; b) 4 x 2
2. APPLICAZIONI DEI TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
4.
sen 0,8; AB 12 cm ; determina perimetro e area.
36 cm; 54 cm 2
Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa,
5.
6.
7.
sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
1
2 3
.
3
In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il
69,5 cm
perimetro del rettangolo.
In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di 15°.
Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4
6 2 cm
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
8.
a 20; b 22; 40; determina sen .
9.
b 12; c 16; 100; determina a .
sen 0,707
a 21,60
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.
LA TRIGONOMETRIA
38
10. 80
BC 30 cm
ESERCIZI
43,02 cm; 47,98 cm; 62
Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i seguenti
elementi.
11.
b 10; c 33; 84 .
33, 46; 17°17 28; 78° 42 32
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati a, b e c.
12.
13.
a 30; b 26; c 33 .
59 43 47; 48° 27 39; 71° 48 34
Sia ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza rispetto alla base AB. Calcola le misure degli
angoli e dei lati basandoti sui seguenti dati.
31
14. 73
AH 15 cm
15.
17, 49 cm; 9, 42 cm; 17,75 cm;
76
In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 30 cm e il lato obliquo è di 18 cm. Sapendo che
gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 80°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
89, 76 cm; 476,31 cm 2
Sia T un punto appartenente all’arco AB, congruente a un quarto della circonferenza di centro O
e raggio OA.
a) Posto
ˆ x , costruisci la funzione f x AT TB nel dominio imposto dal problema e
OAT
OA
verifica che può essere espressa in forma irrazionale e in forma razionale.
b) Scelta la forma razionale disegna il grafico relativo a un periodo e determina per quale valore
di x la f è massima.
16.
c) Discuti le intersezioni della retta
7
y k al variare di k in R, per x 0; .
8
3
a) f x 2 2 cos 2 x 2 2 cos 2 x 2 2 2 cos x
, x ; ;
2
8
4 2
3
b) periodo: 2 , ;c) 1 sol. per 0 k 2 2 k 2 2 2 , 2 sol. per 2 2 k 2 2 2
8
LA TRIGONOMETRIA
ESERCIZI
È dato il triangolo PQR di cui sono noti il lato
ˆ .
PR l e l’angolo QPR
6
ˆ x in modo che l’area del triangolo sia k volte quella del triangolo
a) Determina l’angolo PQR
rettangolo isoscele di ipotenusa l. Discussione.
17. b) Costruito il prisma triangolare retto di base PQR e altezza h PR sen x , trova l’area laterale
in funzione di x; traccia il grafico della funzione in relazione ai limiti del problema e
determina per quale valore di x l’area risulta massima.
l2
5
a)
x
0;
,
1
sol.
per
k
0;
b)
f
x
6
2
5
6 2 sen x 1 , max per x
12
12
LE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
Determina la tangente dell’angolo formato dalla retta r di equazione
18.
y 3x 4 e dalla retta
3 1
3 1
per l’origine, s, che passa per il punto (1; 1).
Calcola l’altezza di un campanile la cui ombra sul terreno è 20 m più lunga quando l’inclinazione
19.
dei raggi solari è di 30° invece che di 45°.
10
3 1 m
AB 2r e P′ la sua proiezione su AB;
ˆ
condotta la corda AP e posto BAP x , determina, in funzione di x:
Sia P un punto della semicirconferenza di diametro
a) il volume V del cono generato in una rotazione completa attorno ad AB dal triangolo BPP′;
b) l’area S della calotta sferica generata, nella medesima rotazione, dall’arco BP;
c) il rapporto
f x
V
.
S
d) Rappresenta la funzione f in un riferimento cartesiano, evidenzia la parte relativa al problema
e trova per quale valore di x assume il valore massimo.
r
1 cos 4 x e, utilizzando il grafico relativo al problema,
12
V
2 2
2 3
determina per quali valori di x il rapporto
è compreso fra
r e
r , estremi
S
24
24
20. e) Verifica che vale
f x
inclusi.
8 r 3
r
a)
V
cos 2 x sen 4 x; b) S 4 r 2 sen 2 x; c) f x 1 cos 4 x ;
3
12
3
5 7
5
d) ; e)
x
x
4
16
24 24
16
