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LA TRIGONOMETRIA
1. I TRIANGOLI RETTANGOLI
Misura la lunghezza dei lati con un righello. Partendo da questi dati, determina il seno e il coseno degli
angoli acuti del triangolo rettangolo in figura.
1.
sen   cos   0,64; cos   sen   0,77
In un triangolo rettangolo ABC retto in A, calcola la lunghezza dell’ipotenusa e l’ampiezza dei due angoli
acuti utilizzando una calcolatrice scientifica. Sono noti i seguenti elementi.
2.
 20,5 cm; 77 19 10,6; 12° 40 49,3
AB  20 cm; AC  4,5 cm.
Nella semicirconferenza di centro O e diametro AB  2 è inscritto il trapezio isoscele ABCD;
indica con M e N le proiezioni di C e di D sul diametro. Sul prolungamento di MC, dalla parte di C,
prendi il punto P in modo che
ˆ  x:
CP  DC . Posto MOC
a) esprimi l’area s  x  del trapezio MPDN e rappresenta la funzione s  x  verificando che vale
3.


s  x   1  2 sen  2 x   ;
4

b) determina per quali valori di x risulta 0  s  x   2 .





 


 5

a) s  x   1  2 sen  2 x  4  , x  0; 2  ; max  8 ; 2  1 , min  8 ;1  2  ; b) 4  x  2 










2. APPLICAZIONI DEI TEOREMI SUI TRIANGOLI RETTANGOLI
Di un triangolo rettangolo ABC sono noti i seguenti elementi (espressi usando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
4.
sen   0,8; AB  12 cm ; determina perimetro e area.
36 cm; 54 cm 2 
Calcola la misura dell’angolo che un cateto di un triangolo rettangolo forma con l’ipotenusa,
5.
6.
7.
sapendo che il rapporto tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’altro cateto vale
1
2 3
.
 
 3 
In un rettangolo la diagonale è di 30 cm e forma con un lato un angolo di 80°. Calcola il
69,5 cm
perimetro del rettangolo.
In un triangolo rettangolo, un cateto è lungo 4 cm e forma con l’ipotenusa un angolo di 15°.
Determina la lunghezza dell’ipotenusa.
4
 
6  2 cm
3. I TRIANGOLI QUALUNQUE
Di un triangolo qualunque sono noti i seguenti elementi (espressi rispettando le convenzioni). Determina
quanto richiesto.
8.
a  20; b  22;   40; determina sen  .
9.
b  12; c  16;   100; determina a .
sen   0,707
 a  21,60
Relativamente al triangolo in figura, determina i lati e gli angoli, conoscendo gli elementi indicati.
LA TRIGONOMETRIA
  38

10.    80
 BC  30 cm

ESERCIZI
43,02 cm; 47,98 cm; 62
Determina la lunghezza del terzo lato e l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci i seguenti
elementi.
11.
b  10; c  33;   84 .
33, 46; 17°17 28; 78° 42 32
Determina l’ampiezza degli angoli di un triangolo di cui conosci le misure dei lati a, b e c.
12.
13.
a  30; b  26; c  33 .
59 43 47; 48° 27 39; 71° 48 34
Sia ABC un triangolo acutangolo e H il piede dell’altezza rispetto alla base AB. Calcola le misure degli
angoli e dei lati basandoti sui seguenti dati.
  31

14.    73
 AH  15 cm

15.
17, 49 cm; 9, 42 cm; 17,75 cm;
76
In un trapezio isoscele la base maggiore è lunga 30 cm e il lato obliquo è di 18 cm. Sapendo che
gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di 80°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
89, 76 cm; 476,31 cm 2 
Sia T un punto appartenente all’arco AB, congruente a un quarto della circonferenza di centro O
e raggio OA.
a) Posto
ˆ  x , costruisci la funzione f  x   AT  TB nel dominio imposto dal problema e
OAT
OA
verifica che può essere espressa in forma irrazionale e in forma razionale.
b) Scelta la forma razionale disegna il grafico relativo a un periodo e determina per quale valore
di x la f è massima.
16.
c) Discuti le intersezioni della retta
 7 
y  k al variare di k in R, per x  0;  .
 8 


3 


  
a) f  x   2  2 cos 2 x  2  2 cos  2 x    2 2  2 cos  x 
, x   ; ;
2
8 


4 2

3

b) periodo: 2 , ;c) 1 sol. per 0  k  2  2  k  2 2  2 , 2 sol. per 2  2  k  2 2  2 
8

LA TRIGONOMETRIA
ESERCIZI
È dato il triangolo PQR di cui sono noti il lato
ˆ  .
PR  l e l’angolo QPR
6
ˆ  x in modo che l’area del triangolo sia k volte quella del triangolo
a) Determina l’angolo PQR
rettangolo isoscele di ipotenusa l. Discussione.
17. b) Costruito il prisma triangolare retto di base PQR e altezza h  PR sen x , trova l’area laterale
in funzione di x; traccia il grafico della funzione in relazione ai limiti del problema e
determina per quale valore di x l’area risulta massima.

l2 
 5 
a)
x

0;
,
1
sol.
per
k

0;
b)
f
x




 6 
2 


  
5 

6  2 sen  x    1 , max per x 

12  
12 


LE APPLICAZIONI DELLA TRIGONOMETRIA
Determina la tangente dell’angolo formato dalla retta r di equazione
18.
y   3x  4 e dalla retta
 3  1


 3  1
per l’origine, s, che passa per il punto (1; 1).
Calcola l’altezza di un campanile la cui ombra sul terreno è 20 m più lunga quando l’inclinazione
19.
dei raggi solari è di 30° invece che di 45°.
10



3  1 m

AB  2r e P′ la sua proiezione su AB;
ˆ
condotta la corda AP e posto BAP  x , determina, in funzione di x:
Sia P un punto della semicirconferenza di diametro
a) il volume V del cono generato in una rotazione completa attorno ad AB dal triangolo BPP′;
b) l’area S della calotta sferica generata, nella medesima rotazione, dall’arco BP;
c) il rapporto
f  x 
V
.
S
d) Rappresenta la funzione f in un riferimento cartesiano, evidenzia la parte relativa al problema
e trova per quale valore di x assume il valore massimo.
r
1  cos 4 x  e, utilizzando il grafico relativo al problema,
12
V
2 2
2 3
determina per quali valori di x il rapporto
è compreso fra
r e
r , estremi
S
24
24
20. e) Verifica che vale
f  x 
inclusi.

8 r 3
r
a)
V

cos 2 x sen 4 x; b) S  4 r 2 sen 2 x; c) f  x   1  cos 4 x  ;

3
12


3
5 7
5 
d) ; e)
x

x
4
16
24 24
16 