Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale Corso di Statistica, AA 2013-14 materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013 ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA UNIFORME CONTINUA CON SOLUZIONE pagg.1-2 ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE CON SOLUZIONE pag. 3 ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA UNIFORME CONTINUA CON SOLUZIONE ESESRCIZIO 1 (a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −2; 2 ) (b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −2; 2 ) Soluzione. (a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −2; 2 ) è 1 x ∈ [ −2, 2] fX ( x) = 4 0 altrove (b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −2; 2 ) è E(X ) = ∫ x∈S X 2 1 1 x2 1 4 4 x f X ( x ) dx = ∫ x dx = = − = 0 4 4 2 −2 2 2 2 −2 2 ESESRCIZIO 2 (a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −2; 0 ) (b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −2; 0 ) Soluzione. (a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −2; 0 ) è 1 x ∈ [ −2, 0] fX ( x) = 2 0 altrove (b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X E(X ) = ∫ x∈S X U ( −2; 0 ) è 0 1 1 x2 1 0 4 x f X ( x ) dx = ∫ x dx = = − = −1 2 2 2 −2 2 2 2 −2 0 ESERCIZIO 3. (a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( 0; 4 ) (b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( 0; 4 ) Soluzione. (a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( 0; 4 ) è 1 Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale Corso di Statistica, AA 2013-14 materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013 1 x ∈ [ 0, 4] fX ( x) = 4 0 altrove (b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X E(X ) = ∫ x∈S X U ( 0; 4 ) è 4 1 1 x2 1 16 0 x f X ( x ) dx = ∫ x dx = = − = 2 4 4 2 0 4 2 2 0 4 ESERCIZIO 4. (a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −3;3) (b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −3;3) Soluzione. (a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X U ( −3;3) è 1 x ∈ [ −3,3] fX ( x) = 6 0 altrove (b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −3;3) è E(X ) = ∫ x∈S X 3 1 1 x2 1 9 9 x f X ( x ) dx = ∫ x dx = = − = 0 6 6 2 −3 6 2 2 −3 3 2 Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale Corso di Statistica, AA 2013-14 materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013 ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE CON SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Un promotore finanziario intende fare visita a 8 clienti. In ogni visita può concludere un contratto o no. Sapendo che la probabilità con cui il promotore può concludere un contratto in una visita è pari a 0.7, si determini il valore numerico (arrotondato a tre cifre decimali) della probabilità che il promotore concluda almeno 7 contratti nelle 8 visite. Soluzione. v.a. X = “numero di contratti conclusi in 8 visite”, con p = 0.7 probabilità di concludere un contratto in una visita, X Be ( 0.7;8 ) , è richiesta P ( X ≥ 7 ) il cui valore si ottiene come segue 8 8−7 p X (7) = 0.7 7 (1 − 0.7 ) = 8 ⋅ 0.7 7 ⋅ 0.3 = 0.1977 7 ⇒ P ( X ≥ 7) == p X ( 7 ) + p X ( 8 ) = 0.255 8 8 −8 p X (8) = 0.78 (1 − 0.7 ) = 0.78 = 0.0576 8 ESERCIZIO 2. Si consideri la variabile aleatoria (v.a.) X Bi ( 3;3 4 ) . Si determini il valore numerico (arrotondato alla terza cifra decimale) della probabilità P ( X ≤ 1) . Soluzione: P (1 ≤ X ≤ 2) = p X (1) + p X (2) dove ⇒ P(1 ≤ X ≤ 2) = 0, 653 2 2 3 3 3 3 1 3 p X (2) = 1 − = 3 = 0, 75 = 0, 412 4 4 2 4 4 2 2 3 3 3 3 1 32 p X (1) = 1 − = = 3 = 0,141 4 4 4 1 4 4 ESERCIZIO 3. Si intende osservare il prezzo di un titolo quotato ogni mezz’ora per 7 volte. In particolare ogni volta si intende osservare se tale prezzo è maggiore di 12 euro oppure no. In ogni osservazione la probabilità che il prezzo del titolo sia maggiore di 12 euro è pari a 0.4. Si determini la probabilità il prezzo del titolo sia maggiore di 12 euro al massimo una volta. Soluzione. v.a. X = “numero di volte (su 7) che il prezzo del titolo supera 12 euro”, con p = 0.4 probabilità che il prezzo del titolo superi 12 euro in una qualsiasi delle 7 osservazioni, X Be ( 0.4; 7 ) , è richiesta P ( X ≤ 1) il cui valore si ottiene come segue 7 7 −0 p X (0) = 0.40 (1 − 0.4 ) = 0.67 = 0.0280 0 ⇒ P ( X ≤ 1) == p X ( 0 ) + p X (1) = 0.047 7 7 −1 p X (1) = 0.4 (1 − 0.4 ) = 0.4 ⋅ 0.66 = 0.0187 1 3