Esercizi su Unif Continua e Binomiale

Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale
Corso di Statistica, AA 2013-14
materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013
ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA UNIFORME CONTINUA CON
SOLUZIONE
pagg.1-2
ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE CON SOLUZIONE
pag.
3
ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA UNIFORME CONTINUA
CON SOLUZIONE
ESESRCIZIO 1
(a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −2; 2 )
(b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a.
uniforme continua X U ( −2; 2 )
Soluzione.
(a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −2; 2 ) è
1
x ∈ [ −2, 2]

fX ( x) =  4
0 altrove
(b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −2; 2 ) è
E(X ) =
∫
x∈S X
2
1
1  x2 
1 4 4
x f X ( x ) dx = ∫ x dx =   =  −  = 0
4
4  2  −2 2  2 2 
−2
2
ESESRCIZIO 2
(a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −2; 0 )
(b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a.
uniforme continua X U ( −2; 0 )
Soluzione.
(a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −2; 0 ) è
1
x ∈ [ −2, 0]

fX ( x) =  2
0 altrove
(b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X
E(X ) =
∫
x∈S X
U ( −2; 0 ) è
0
1
1  x2 
1 0 4
x f X ( x ) dx = ∫ x dx =   =  −  = −1
2
2  2  −2 2  2 2 
−2
0
ESERCIZIO 3.
(a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( 0; 4 )
(b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a.
uniforme continua X U ( 0; 4 )
Soluzione.
(a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( 0; 4 ) è
1
Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale
Corso di Statistica, AA 2013-14
materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013
1
x ∈ [ 0, 4]

fX ( x) =  4
0 altrove
(b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X
E(X ) =
∫
x∈S X
U ( 0; 4 ) è
4
1
1  x2 
1 16 0 
x f X ( x ) dx = ∫ x dx =   =  −  = 2
4
4  2 0 4  2 2 
0
4
ESERCIZIO 4.
(a) Si specifichi la funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −3;3)
(b) Utilizzando la definizione generale per le v.a. continue si determini il valore medio della v.a.
uniforme continua X U ( −3;3)
Soluzione.
(a) La funzione di densità di probabilità della v.a. uniforme continua X
U ( −3;3) è
1
x ∈ [ −3,3]

fX ( x) = 6
0 altrove
(b) Il valore medio della v.a. uniforme continua X U ( −3;3) è
E(X ) =
∫
x∈S X
3
1
1  x2 
1 9 9
x f X ( x ) dx = ∫ x dx =   =  −  = 0
6
6  2  −3 6  2 2 
−3
3
2
Università C. Cattaneo Liuc, Laurea in Economia Aziendale
Corso di Statistica, AA 2013-14
materiale didattico redatto da prof. R. D’Angiò, 24 Ottobre 2013
ESERCIZI SULLA VARIABILE ALEATORIA BINOMIALE
CON SOLUZIONE
ESERCIZIO 1.
Un promotore finanziario intende fare visita a 8 clienti. In ogni visita può concludere un contratto o
no. Sapendo che la probabilità con cui il promotore può concludere un contratto in una visita è pari a
0.7, si determini il valore numerico (arrotondato a tre cifre decimali) della probabilità che il promotore
concluda almeno 7 contratti nelle 8 visite.
Soluzione. v.a. X = “numero di contratti conclusi in 8 visite”, con p = 0.7 probabilità di concludere
un contratto in una visita, X Be ( 0.7;8 ) , è richiesta P ( X ≥ 7 ) il cui valore si ottiene come segue

8 
8−7
p X (7) =   0.7 7 (1 − 0.7 ) = 8 ⋅ 0.7 7 ⋅ 0.3 = 0.1977 
7

 ⇒ P ( X ≥ 7) == p X ( 7 ) + p X ( 8 ) = 0.255
8
8 −8

p X (8) =   0.78 (1 − 0.7 ) = 0.78 = 0.0576

8
 

ESERCIZIO 2.
Si consideri la variabile aleatoria (v.a.) X
Bi ( 3;3 4 ) . Si determini il valore numerico (arrotondato
alla terza cifra decimale) della probabilità P ( X ≤ 1) .
Soluzione:
P (1 ≤ X ≤ 2) = p X (1) + p X (2) dove



 ⇒ P(1 ≤ X ≤ 2) = 0, 653
2
2
3  3   3 
3 1

3
p X (2) =    1 −  = 3   = 0, 75 = 0, 412
4 4
 2 4   4 

2
2
 3 3  3 
3  1  32
p X (1) =   1 −  =   = 3 = 0,141
4 4
4
1  4  4 
ESERCIZIO 3.
Si intende osservare il prezzo di un titolo quotato ogni mezz’ora per 7 volte. In particolare ogni volta
si intende osservare se tale prezzo è maggiore di 12 euro oppure no. In ogni osservazione la probabilità
che il prezzo del titolo sia maggiore di 12 euro è pari a 0.4. Si determini la probabilità il prezzo del
titolo sia maggiore di 12 euro al massimo una volta.
Soluzione. v.a. X = “numero di volte (su 7) che il prezzo del titolo supera 12 euro”, con p = 0.4
probabilità che il prezzo del titolo superi 12 euro in una qualsiasi delle 7 osservazioni,
X Be ( 0.4; 7 ) , è richiesta P ( X ≤ 1) il cui valore si ottiene come segue

7
7 −0
p X (0) =   0.40 (1 − 0.4 ) = 0.67 = 0.0280 
0

 ⇒ P ( X ≤ 1) == p X ( 0 ) + p X (1) = 0.047
7
7 −1
p X (1) =   0.4 (1 − 0.4 ) = 0.4 ⋅ 0.66 = 0.0187 

1 

3