Triangoli sferici

Capitolo 3
Triangoli sferici
Che regione di piano riusciamo ad ottenere disegnando tre cerchi
massimi sulla sfera?
Prendiamo sulla sfera tre punti non
allineati, ossia non tutti sullo stesso cerchio massimo, e uniamoli con tre archi
di circonferenza massima, ciascuno di
lunghezza minore di metà circonferenza.
Otteniamo in tal modo un triangolo
sferico.
C
B
A
c
b
C
C
a
B
A
B
A
E’ chiaro che, note le misure degli angoli e dei lati del triangolo ABC,
quelle del corrispondente antipodale A′ B ′ C ′ sono determinate di conseguenza. I lati di tale triangolo, come abbiamo già osservato, sono più corti della
metà di un cerchio massimo e i suoi angoli misurano al più 180◦ .
Osserviamo inoltre che se prolunghiamo le rette su cui giacciono i lati
del triangolo ABC, S viene suddivisa in quattro coppie di triangoli sferici
antipodali che ricoprono l’intera superficie sferica: ABC, CB ′ A, AC ′ B,
BA′ C e i loro antipodali.
3.1 Il triangolo trirettangolo
3.1
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Il triangolo trirettangolo
Il triangolo mostrato in figura è un po’
speciale: è regolare (cioè equilatero ed
equiangolo), ha lati uguali a 1/4 di circonferenza massima e angoli di 90◦ . La somma degli angoli interni di questo triangolo trirettangolo è di 270◦ ! In generale,
la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo sferico è maggiore di 180◦ :
in questa nuova geometria viene quindi a
cadere un ben noto teorema euclideo.
C
<)ba= 90°
<)bc= 90°
<)ca= 90°
A
B
Questo fatto, forse sorprendente, è una delle conseguenze della particolare curvatura della superficie sferica. Possiamo trovarne una spiegazione
anche osservando che la proprietà euclidea della somma degli angoli di un
triangolo piano è logicamente equivalente al postulato di Euclide sull’esistenza delle parallele, tenendo presente che nella geometria sferica ogni coppia
di “rette” (ossia di cerchi massimi) ha intersezione non vuota.
Nei triangoli sferici regolari si nota che all’aumentare del lato aumenta anche l’angolo, e che questo s’avvicina sempre più a 180◦ . Al limite, i
vertici della figura cadono su un cerchio massimo e gli angoli raggiungono
i 180◦ : il triangolo coincide allora con una semisfera. Al contrario, più il
lato diminuisce e più l’angolo si avvicina a 60◦ : la figura si confonde con
un triangolo piano e al limite si restringe in un punto. S’intuisce che per
ogni valore compreso fra 60◦ e 180◦ c’è un triangolo equilatero con angoli di
quella misura (al solito, espressa in gradi).
3.1.1
Come possiamo costruire il triangolo trirettangolo?
B
A
Disegniamo due punti A e B generici sulla superficie sferica e tracciamo il cerchio
massimo per i due punti
3.1 Il triangolo trirettangolo
C
<)ab= 90°
<)ac= 90°
B
A
Disegniamo le perpendicolari al cerchio
massimo appena tracciato passanti per i
punti A e B. Individuiamo quindi il polo
C
C
B
Eliminiamo una delle due rette perpendicolari utilizzate per calcolare il polo C, nel
nostro esempio eliminiamo la retta AC
C
<)cb= 90°
<)ab= 90°
B
Tracciamo quindi dal polo C la perpendicolare alla retta CB. Per la proprietà delle
rette passanti per il polo otteniamo quindi
che la retta polare formerà con l’equatore
un angolo retto
C
<)cb= 90°
<)ac= 90°
D
<)ab= 90°
B
Chiamiamo il punto di intersezione tra la
retta polare appena costruita e l’equatore
D. Otteniamo quindi un triangolo regolare con angoli di 90◦ e lati lunghi 1/4 di
circonferenza massima: questo è appunto
il Triangolo Trirettangolo
17
3.2 Area di un triangolo sferico
3.2
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Area di un triangolo sferico
Come possiamo ora calcolare l’area di un triangolo sferico qualsiasi?
C
b
a
A
c
B
Disegniamo sulla sfera un triangolo ABC
qualsiasi con angoli interni Â, B̂, Ĉ
C
b
a
A
c
B
Costruiamo i tre cerchi massimi completi su cui giacciono i tre lati, si trova
cosı̀ anche il triangolo antipodale A′ B ′ C ′
congruente ad ABC
Dalla costruzione appena eseguita osserviamo quindi che possiamo pensare il triangolo come intersezioni di biangoli, i cui
angoli sono Â, B̂, Ĉ e i rispettivi antipodali Â′ , B̂ ′ , Ĉ ′ .Una di queste coppie di
biangoli ha angolo Â, e dunque l’area sarà:
Area(LÂ ) = Area(LÂ′ ) =
Â
Area(S)
360
3.2 Area di un triangolo sferico
19
Analogamente considerando la coppia di
biangoli B̂ e B̂ ′ abbiamo:
Area(LB̂ ) = Area(LB̂ ′ ) =
B̂
Area(S)
360
Analogamente:
Area(LĈ ) = Area(LĈ ′ ) =
Ĉ
Area(S)
360
Inglobando le costruzioni fatte otteniamo:
Area(LÂ ) + Area(LÂ′ )+
+Area(LB̂ ) + Area(LB̂ ′ )+
+Area(LĈ ) + Area(LĈ ′ ) =
= Area(S)+2Area(ABC)+2Area(A′ B ′ C ′ )
Per ottenere tale risultato basta contare le sovrapposizioni delle lune:
ABC è comune a tre lune (L(A), L(B) ed L(C)) ma solo una è necessaria
per coprire S, le altre due sono in eccesso; analogamente per A′ B ′ C ′ .
3.2 Area di un triangolo sferico
A
B
C
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Ricordando inoltre che i triangoli antipodali e le lune antipodali hanno la stessa
area
Area(ABC) = Area(A′ B ′ C ′ )
Area(LÂ ) = Area(LÂ′ )
Area(LB̂ ) = Area(LB̂ ′ )
Area(LĈ ) = Area(LĈ ′ )
otteniamo:
2Area(LÂ ) + 2Area(LB̂ ) + 2Area(LĈ ) = Area(S) + 4Area(ABC)
4Area(ABC) = 2Area(LÂ ) + 2Area(LB̂ ) + 2Area(LĈ ) − Area(S)
2Area(LÂ ) + 2Area(LB̂ ) + 2Area(LĈ ) − Area(S)
4
sostituendo da quanto visto prima:
Area(ABC) =
Area(ABC) =
Â
B̂
Ĉ
2 360
Area(S) + 2 360
Area(S) + 2 360
Area(S) − Area(S)
4
Area(ABC) =
(Â + B̂ + Ĉ − 180) ·
4
Area(S)
180
e sapendo che Area(S) = 4πR2
Area(ABC) =
(Â + B̂ + Ĉ − 180) · Area(S)
(Â + B̂ + Ĉ − 180) · πR2
=
720
180
dove Â, B̂, Ĉ sono gli angoli del triangolo ABC dato (misurati in gradi), ed
S è l’intera superficie sferica.
Eseguendo lo stesso ragionamento in radianti otteniamo:
Area(ABC) =
(Â + B̂ + Ĉ − π) · Area(S)
= (Â + B̂ + Ĉ − π)R2
4π
Osservazione: I risultati ottenuti confermano che la somma degli angoli interni di ogni triangolo sferico è maggiore di 180◦ ed inoltre l’area del
triangolo ABC dipende proprio da questa addizione! Possiamo concludere
quindi che l’area di un triangolo sferico dipende dalla somma degli angoli
interni.
3.2 Area di un triangolo sferico
3.2.1
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Area del triangolo trirettangolo
Abbiamo visto precedentemente la costruzione del triangolo trirettangolo.
Da una semplice osservazione sul poligono sferico costruito possiamo osservare che otto triangoli trirettangoli coprono l’intera superficie sferica, senza
sovrapposizioni. Ricordando che S = 4πR2 otteniamo
E
<)fe= 90°
<)eb= 90°
<)fb= 90°
C
D
Area(C90 D90 E90 ) =
=
Area(S)
8
4πR2
πR2
=
8
2
Utilizzando la formula per l’area appena trovata otteniamo il medesimo
risultato:
C
<)ba= 90°
Area(A90 B90 C90 ) =
<)bc= 90°
A
<)ca= 90°
B
=
(90 + 90 + 90 − 180) · 4πR2
=
720
=
90 · 4πR2
πR2
=
720
2