Poliedri: formula di Eulero - Matematica e Informatica

POLIEDRI
Francesca Benanti
Dipartimento di Matematica ed Informatica
Università degli Studi di Palermo,
Via Archirafi 34, 90123 Palermo
Tel: 09123891105
Email: [email protected]
Poliedri: formula di Eulero
Si comincia da una pizza...
Cominciamo con un gioco:
al centro c'è una figura geometrica,
che due giocatori, affamati e muniti
di coltello e forchetta, dovranno
mangiare a triangolini come si fa con
una pizza.
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Poliedri: formula di Eulero
Uno degli obiettivi della geometria del piano è lo
studio delle proprietà delle figure piane racchiuse da
segmenti, quali i triangoli, i quadrilateri ed i poligoni
in genere.
Analogamente, nella geometria dello spazio, si
studiano in primo luogo le figure solide racchiuse da
facce poligonali. Tali oggetti geometrici, che
rappresentano l’equivalente tridimensionale dei
poligoni, sono i poliedri.
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Poliedri: formula di Eulero
Un poliedro convesso, o semplicemente poliedro, è una figura
solida con le seguenti caratteristiche:
• La sua superficie è costituita dall’unione di poligoni disposti su piani
diversi e tali che ogni loro lato sia comune soltanto a due di essi;
• Comunque presi due suoi punti il segmento che ha per estremi tali
punti è contenuto interamente nel poliedro stesso.
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Poliedri: formula di Eulero
In un poliedro si
elementi essenziali:
distinguono
i
seguenti
le facce, ovvero i poligoni che formano la
superficie poliedrica,
gli spigoli, ovvero i lati dei poligoni che
costituiscono le facce,
i vertici, ovvero i vertici dei poligoni che
costituiscono le facce.
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E’ interessante notare che la relazione che lega,
nel piano, il numero dei vertici v e il numero
dei lati l di un poligono è molto semplice:
v=l
ossia il numero dei vertici è uguale al numero
dei lati.
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Poliedri: formula di Eulero
Il triangolo ha 3 vertici e 3 lati
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Poliedri: formula di Eulero
Il quadrato ha 4 vertici e 4 lati
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Poliedri: formula di Eulero
Il pentagono ha 5 vertici e 5 lati
E così via….
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Poliedri: formula di Eulero
La relazione che lega facce, spigoli e vertici di
un poliedro non è facilmente intuibile.
Proviamo a determinarla….
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Poliedri: formula di Eulero
La relazione che lega facce, spigoli e vertici di
un poliedro non è facilmente intuibile.
Nel Cubo:
f=6,
v=8,
s=12,
dunque f+v-s=6+8-12=2.
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Poliedri: formula di Eulero
Nel Parallelepipedo rettangolo:
f=6,
v=8,
s=12,
dunque f+v-s=6+8-12=2.
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Poliedri: formula di Eulero
Nel Prisma retto a base esagonale:
f=8,
v=12,
s=18,
dunque f+v-s=8+12-18=2.
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Dunque
f+v-s=2.
Tale relazione, nota come relazione di Eulero, è in effetti
valida
in
generale
per
tutti
i
poliedri.
Fu
indipendentemente dimostrata da Cartesio (1596-1650) e
dal matematico svizzero Eulero (1707-1783) da cui prese
il nome.
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Poliedri: formula di Eulero
Relazione di Eulero:
In ogni poliedro, indicati con f il
numero delle facce, con s il numero
degli spigoli e con v il numero dei
vertici, si ha
f+v-s=2
Dimostrazione
Fatti Vedere Sabato alle 2
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Poliedri: formula di Eulero
La Relazione di Eulero
è valida per qualsiasi solido?
Esercizio
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Poliedri: formula di Eulero
TOPOLOGIA
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Poliedri: I Poliedri Regolari
Un poliedro regolare è un poliedro le cui
facce sono tutte poligoni regolari uguali fra
loro e i cui angoloidi sono pure regolari ed
uguali (ricordiamo che un angoloide è detto
regolare quando ha le facce uguali tra loro
e i diedri uguali tra loro).
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Poliedri: I Poliedri Regolari
Nel piano esistono infiniti poligoni regolari
per ogni n3 esiste sempre un poligono
regolare di n lati:
per n=3 è il triangolo equilatero,
per n=4 è il quadrato,
per n=5 è il pentagono regolare
e così via….
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Poliedri: I Poliedri Regolari
DOMANDA:
QUANTI POLIEDRI
REGOLARI ESISTONO?
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Poliedri: I Poliedri Regolari
I Solidi Platonici sono solo 5:
TETRAEDRO, ESAEDRO, OTTAEDRO, DODECAEDRO, ICOSAEDRO
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Poliedri: I Poliedri Regolari
PERCHE’ SOLO 5?
Attività 1
Attività 2
Risposta 1
Risposta 2
Video 1
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Poliedri: I Poliedri Regolari
Un po’ di storia
testo 1
Video 5
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Poliedri: I Poliedri Regolari
Sviluppi Piani:
Tetraedro, Esaedro, ottaedro,
dodecaedro, icosaedro
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Poliedri: I Poliedri Regolari
DUALITA’
spigoli
vertici
facce
NOME DEL POLIEDRO
6
4
4
Tetraedro
12
6
8
Ottaedro
30
12
20
Icosaedro
12
8
6
Cubo
30
20
12
Dodecaedro
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Poliedri: I Poliedri Regolari
Video 1
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