Energia cinetica e potenziale C. Enrico – F. Bonaldi 1 ________________________________________________________________________________ ENERGIA POTENZIALE ED ENERGIA CINETICA Consideriamo un corpo di massa m lanciato verticalmente verso l'alto con velocità iniziale V0. Quando il corpo raggiunge l'altezza h rispetto al piano di riferimento (ad es. consideriamo che il pavimento abbia altezza = 0) avrà una velocità V che si ottiene dalla formula : V2 = V02 -2 g h (che si ottiene dalle equazioni del moto uniformemente accelerato). Se moltiplichiamo ambo i membri dell'equazione per m e poi ordiniamo si ottiene: 2 1 1 m V2 + m g h = m V02 2 2 [1] Mentre il corpo si alza, V diminuisce e h aumenta. Perciò entrambi i termini del primo membro variano, ma la loro somma 1 resta costante e uguale a m V02. Quando una quantità resta costante 2 si dice che si conserva. 1 Il prodotto m V2 si chiama energia cinetica del corpo ; il prodotto 2 m g h si chiama energia potenziale gravitazionale del corpo (peso × altezza). 1 mV2 + m g h è l'energia totale meccanica del corpo: il 2 1 mV02 è la sua energia cinetica iniziale. Quindi la termine 2 formula [1] si può enunciare così: L'energia meccanica totale del corpo, in tutti i punti della sua traiettoria è costante ed uguale alla sua energia cinetica iniziale (che è un valore fissato e non cambia). La somma Quindi se consideriamo 2 punti A, B della traiettoria in cui si muove il corpo si ha : 1 1 mV2A + m g hA = mV02 2 2 1 1 mV2B + m g hB = mV02 2 2 da cui allora si ottiene: www.matematicamente.it Energia cinetica e potenziale C. Enrico – F. Bonaldi 2 ________________________________________________________________________________ 1 1 mV2A+ m g hA = mV2B + m g hB 2 2 Si è così ottenuta la dimostrazione della conservazione dell’energia meccanica totale (cinetica + gravitazionale). La conservazione dell'energia totale non vale solo nel caso di movimento verticale, ma più in generale, ad es. nel movimento di un proiettile. Se poi una forza F compie del lavoro L sul sistema, cioè sulla massa m (cioè dà energia alla massa m), allora vale questa relazione: L = (EcB+EpB)-(EcA+EpA), cioè il lavoro compiuto dalla forza F è uguale all'aumento di energia del corpo sul quale agisce la forza, essendo Ec l’energia cinetica ed Ep l’energia potenziale (con A e B si intendono i punti della traiettoria). Caso semplice: il corpo si muove su un piano orizzontale, quindi hA=hB; quindi non vi è incremento di energia potenziale e tutto il lavoro compiuto dalla forza F sul corpo va ad aumentare la sua energia cinetica. Se la forza F agisce orizzontalmente allora il lavoro è: F ⋅ (XB-XA) (forza × spostamento) e quindi: 1 1 mV2B – mV2A = F ⋅ (XB-XA), 2 2 dove XB e XA sono le ascisse finali e iniziali del corpo in un sistema di riferimento opportuno. Se ad es. si conosce VA (velocità iniziale) e il lavoro compiuto L, si può trovare facilmente la velocità finale VB. www.matematicamente.it