Formule trigonometriche

Energia cinetica e potenziale
C. Enrico – F. Bonaldi
1
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ENERGIA POTENZIALE ED ENERGIA CINETICA
Consideriamo un corpo di massa m lanciato verticalmente verso l'alto con
velocità iniziale V0. Quando il corpo raggiunge l'altezza h rispetto al
piano di riferimento (ad es. consideriamo che il pavimento abbia altezza = 0) avrà una velocità V
che si ottiene dalla formula : V2 = V02 -2 g h (che si ottiene dalle equazioni del moto
uniformemente accelerato).
Se moltiplichiamo ambo i membri dell'equazione per
m
e poi ordiniamo si ottiene:
2
1
1
m V2 + m g h =
m V02
2
2
[1]
Mentre il corpo si alza, V diminuisce e h aumenta.
Perciò entrambi i termini del primo membro variano, ma la loro somma
1
resta costante e uguale a m V02. Quando una quantità resta costante
2
si dice che si conserva.
1
Il prodotto m V2 si chiama energia cinetica del corpo ; il prodotto
2
m g h si chiama energia potenziale gravitazionale del
corpo (peso × altezza).
1
mV2 + m g h è l'energia totale meccanica del corpo: il
2
1
mV02 è la sua energia cinetica iniziale. Quindi la
termine
2
formula [1] si può enunciare così: L'energia meccanica totale del
corpo, in tutti i punti della sua traiettoria è costante ed uguale alla
sua energia cinetica iniziale (che è un valore fissato e non cambia).
La somma
Quindi se consideriamo 2 punti A, B della traiettoria in cui si muove il
corpo si ha :
1
1
mV2A + m g hA =
mV02
2
2
1
1
mV2B + m g hB =
mV02
2
2
da cui allora si ottiene:
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Energia cinetica e potenziale
C. Enrico – F. Bonaldi
2
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1
1
mV2A+ m g hA =
mV2B + m g hB
2
2
Si è così ottenuta la dimostrazione della conservazione dell’energia meccanica totale (cinetica +
gravitazionale).
La conservazione dell'energia totale non vale solo nel caso di movimento verticale, ma più in
generale, ad es. nel movimento di un proiettile.
Se poi una forza F compie del lavoro L sul sistema, cioè sulla massa m
(cioè dà energia alla massa m), allora vale questa relazione:
L = (EcB+EpB)-(EcA+EpA), cioè il lavoro compiuto dalla forza F è
uguale all'aumento di energia del corpo sul quale agisce la forza, essendo Ec l’energia cinetica ed
Ep l’energia potenziale (con A e B si intendono i punti della traiettoria).
Caso semplice: il corpo si muove su un piano orizzontale, quindi
hA=hB; quindi non vi è incremento di energia potenziale e tutto il
lavoro compiuto dalla forza F sul corpo va ad aumentare la sua energia
cinetica.
Se la forza F agisce orizzontalmente allora il lavoro è:
F ⋅ (XB-XA) (forza × spostamento) e quindi:
1
1
mV2B –
mV2A = F ⋅ (XB-XA),
2
2
dove XB e XA sono le ascisse finali e iniziali del corpo in
un sistema di riferimento opportuno.
Se ad es. si conosce VA (velocità iniziale) e il lavoro compiuto L, si può
trovare facilmente la velocità finale VB.
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