ANALISI SERIE STORICHE

ANALISI SERIE STORICHE
SERIE STORICA: insieme finito di osservazioni di uno stesso fenomeno, ordinate
secondo il tempo, con cadenza periodica costante (mensile, trimestrale, annuale
ecc.).
8000000
Presenze turistiche mensili - Rimini
6000000
4000000
2000000
ott-00
ago-99
lug-98
giu-97
mag-96
apr-95
mar-94
gen-93
dic-91
nov-90
ott-89
set-88
ago-87
lug-86
0
ANALISI CLASSICA: I valori osservati sono il risultato dell’aggregazione di
una componente deterministica e di una componente casuale (natura
descrittiva ed interpretativa).
ANALISI STOCASTICA (Box-Jenkins): Si considera la serie storica come
parte finita di un processo stocastico, cioè come successione di valori osservati
di un insieme di variabili casuali (natura probabilistica).
ANALISI FREQUENZIALE (o spettrale): La serie storica è vista come
risultante di infinite serie periodiche, con periodo, ampiezza e fasi diverse
(approccio fondato sulla trasformata di Fourier).
OBIETTIVO DELL’ANALISI
Comprensione del meccanismo generatore dell’andamento del fenomeno
osservato, per fare previsioni sui suoi livelli futuri.
1
PROBLEMATICHE GENERALI
L’analisi classica si basa su campioni casuali di osservazioni indipendenti: ogni
dato fornisce informazioni sulla variabile casuale che lo ha generato, ma non
aggiunge alcuna informazione sull’osservazione successiva.
L’analisi stocastica studia una serie storica fondandosi sulla connessione che
caratterizza una successione di dati temporali: la conoscenza di quanto è
avvenuto in passato condiziona ciò che avverrà in futuro.
La regolarità (stazionarietà) del fenomeno osservato condiziona notevolmente
l’analisi delle s.s., soprattutto nella fase previsiva.
1. ANALISI CLASSICA
Osservando serie storiche reali, ci si accorge della presenza di comportamenti
di lungo periodo a cui si sovrappongono comportamenti di durata inferiore,
connessi alla stagionalità, alla composizione e collocazione delle festività nel
calendario, a fatti eccezionali.
Si evidenziano perciò andamenti particolari, che possono essere ritenuti
prodotto dell’azione di FENOMENI NON RIPETITIVI (che generano movimenti di
lungo periodo) e di FENOMENI RIPETITIVI (responsabili dei movimenti
oscillatori).
L’approccio classico all’analisi delle serie storiche propone modelli nei quali i
valori osservati si considerano esprimibili, per ciascuno dei tempi considerati,
come risultanti di una componente sistematica (deterministica) e di una
componente aleatoria.
Si ipotizza inoltre che la parte sistematica del modello sia scindibile in una
componente tendenziale di lungo periodo (trend), in una componente
congiunturale (ciclo) e, se i dati sono rilevati con cadenza inferiore all’anno, in
una componente stagionale.
TREND (T): componente evolutiva, spiega l’andamento regolare di lungo
periodo; sintetizza la struttura e l’evoluzione sistematica di una serie, a
prescindere la fattori contingenti o irrilevanti.
CICLO (C): componente congiunturale, spiega le fluttuazioni pluriennali a
periodicità irregolare; spiega l’andamento di lungo periodo in termini di
alternanza tra fasi di espansione e contrazione.
2
STAGIONALITA’ (S): spiega l’influenza delle stagioni, in termini di effetti di
natura climatica o di calendario; osservabile se i dati sono rilevati con cadenza
inferiore all’anno.
ACCIDENTALITA’ (A): insieme di cause non esplicitate nelle precedenti
componenti, totalmente imprevedibili, casuali.
1.1 METODO DECOMPOSITIVO
Ogni valore osservato è esprimibile come risultato dell’azione combinata delle
componenti sistematica e accidentale.
MODELLO ADDITIVO: Yt = Tt + Ct + St + At
MODELLO MOLTIPLICATIVO: Yt = Tt x Ct x St x At
MODELLI MISTI: alcuni esempi
Yt = [Tt x Ct] + St + At
Yt = [Tt x Ct x St] + At
Yt = [Tt x St] + At
MODELLO ADDITIVO: Yt = Tt + Ct + St + At
l’ipotesi di base è che le componenti della serie storica corrispondenti alla
tendenza generale (T), alle variazioni stagionali (S), al ciclo (C) e alle
oscillazioni aleatorie (A) siano fra loro indipendenti.
MODELLO MOLTIPLICATIVO: Yt = Tt x Ct x St x At
presuppone che le componenti ciclica, stagionale e aleatoria risultino legate al
trend da una relazione di proporzionalità.
Tale modello può essere espresso in forma additiva ricorrendo alla
trasformazione logaritmica:
log Yt = log Tt + log Ct + log St + log At
VANTAGGI DEL METODO DECOMPOSITIVO
Semplicità dei modelli utilizzati
Applicabile a serie storiche di lunghezza limitata
Utile come punto di partenza per analisi successive, con modelli stocastici
3
LIMITI DEL METODO DECOMPOSITIVO
Arbitrarietà delle scelte
Convenzionalità della scomposizione
Decomposizione non unica (ad es.: se il trend cresce o decresce lentamente, la
differenza tra modello additivo e moltiplicativo si vanifica)
1.2 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA
(TREND-CICLO): MEDIE MOBILI
Le MEDIE MOBILI non sono altro che medie aritmetiche di n osservazioni
successive della serie. Se il numero dei termini è dispari, le medie mobili sono
automaticamente centrate, nel senso che corrispondono al centro
dell’intervallo. Se il numero dei termini è pari, la media mobile si può centrare
calcolandola su n+1 termini ponderati con i pesi
½,1,1,1,...,1,1,1,½
Se una serie storica presenta forti fluttuazioni stagionali, per eliminare la
stagionalità si può ricorrere al calcolo di medie mobili centrate di 12 termini se i
dati sono mensili, e rispettivamente di 4, 7 o 24 termini se i dati hanno
periodicità trimestrale, giornaliera, oraria.
L’ipotesi implicita in questo procedimento è che le oscillazioni stagionali siano di
periodicità costante pari a 12 mesi (o a 4, 7, 24 periodi).
Il metodo consiste in una trasformazione lineare della serie, allo scopo di
preservare
una
delle
componenti
(trend-ciclo)
e
annullare
(approssimativamente) le altre due, stagionale e casuale.
Quando la media mobile è di termine pari (ad esempio 12, quando si
anno dati mensili) si calcola su n+1 termini:
TCt* = 1/12 [½Yt-6 + Yt-5 + Yt-4 + … + Yt + … + Yt+4 + Yt+5 + ½Yt+6]
= 1/24 Yt-6 + 1/12 Yt-5 + 1/12 Yt-4 + … + 1/12 Yt + …
… + 1/12 Yt+4 + 1/12 Yt+5 + 1/24 Yt+6
Quando la media mobile è di termine dispari (ad esempio 3, quando si
anno dati quadrimestrali) si calcola:
TCt* = 1/3 Yt-1 + 1/3 Yt + 1/3 Yt+1
4
EFFETTO: il calcolo delle medie mobili centrate riduce l’ampiezza delle
oscillazioni attribuibili agli effetti congiunti dei fattori stagionali e casuali, di
periodo esattamente pari a n (o a un suo sottomultiplo).
LIMITE (perdita di osservazioni): non si ottengono stime per gli n/2 dati
iniziali e finali.
LIMITE (effetto Slutzky-Yule): alterazione della componente accidentale con
la creazione di onde cicliche regolari nella serie generata con le medie mobili (il
metodo non elimina, infatti, fluttuazioni di periodo differente da n; tali
fluttuazioni vengono di conseguenza deformate generando onde non presenti
nella serie originale).
1.3 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE
(STAGIONALITA’): MEDIE MOBILI
SISTEMATICA
Una volta applicate le medie mobili alla serie originaria si ottiene la serie dei
TC*, che rappresenta una stima della componente trend-ciclo.
Se il modello ipotizzato era un modello additivo, allora la seguente differenza
rappresenta l’effetto congiunto dei fattori stagionalità e casualità:
St + At = Yt – TCt*
Se il modello ipotizzato era un modello moltiplicativo, allora il seguente
rapporto rappresenta l’effetto congiunto dei fattori stagionalità e casualità:
St At = Yt / TCt*
RAPPORTO LORDO DI STAGIONALITA’
Se non si ha motivo di ritenere che nel corso del tempo la stagionalità si
modifichi (stagionalità rigida o costante) allora si può procedere alla
ulteriore scomposizione dei valori individuati in componente accidentale e
stagionale.
Se il modello ipotizzato era un modello additivo, allora una stima della
componente stagionale si ottiene calcolando medie aritmetiche dei valori [S(t)
+ A(t)] relativi allo stesso periodo (medie nei diversi anni del valore relativo
allo stesso mese o allo stesso quadrimestre, ecc.):
St* = MEDIA dei valori di [St + At]
5
Se il modello ipotizzato era un modello moltiplicativo, allora una stima della
componente stagionale si ottiene calcolando medie aritmetiche dei rapporti di
stag. lorda (relativi ad uno stesso mese, o quadrim., ecc.):
St* = MEDIA dei valori di [St At]
RAPPORTO NETTO DI STAGIONALITA’
1.4 ESEMPIO MEDIE MOBILI
1 TRIMESTRE
2 TRIMESTRE
3 TRIMESTRE
4 TRIMESTRE
1 TRIMESTRE
2 TRIMESTRE
3 TRIMESTRE
4 TRIMESTRE
1 TRIMESTRE
2 TRIMESTRE
3 TRIMESTRE
4 TRIMESTRE
1 TRIMESTRE
2 TRIMESTRE
3 TRIMESTRE
4 TRIMESTRE
2003
2003
2003
2003
2004
2004
2004
2004
2003
2003
2003
2003
2004
2004
2004
2004
Y(t)
TC*(t)
300
200
100
200
350
300
100
150
206,25
225,00
237,50
231,25
-
Y(t)
SA*(t)
300
200
100
200
350
300
100
150
0,48
0,89
1,47
1,30
-
=
=
=
=
1/4 [(1/2)300 +
1/4 [(1/2)200 +
1/4 [(1/2)100 +
1/4 [(1/2)200 +
=
=
=
=
100 /
200 /
350 /
300 /
200 +
100 +
200 +
350 +
100 +
200 +
350 +
300 +
200 +
350 +
300 +
100 +
(1/2)350]
(1/2)300]
(1/2)100]
(1/2)150]
206,25
225,00
237,50
231,25
6
400
350
300
Y(t)
250
200
150
100
50
0
0
2
4
6
8
10
6
8
10
tempo
400
350
TC*(t)
300
250
200
150
100
50
0
0
2
4
tempo
1.5 DESTAGIONALIZZAZIONE
In primo luogo va specificato il modello di stagionalità
Rigido (o costante): gli indici di stagionalità lorda sono stabili nel tempo
Variabile: gli indici di stagionalità lorda sono diversi nel tempo per forma e
intensità
Semi-rigido: gli indici di stagionalità lorda sono diversi nel tempo per forma
o intensità
Se il modello di stagionalità è rigido:
si calcolano gli indici netti di stagionalità e quindi si DESTAGIONALIZZA la
serie sottraendo o rapportano i dati osservati agli indici netti di stagionalità.
Ad esempio, se il modello ipotizzato è moltiplicativo, la serie destagionalizzata
si ottiene dal rapporto
Ytd / S*t
7
Se il modello di stagionalità è variabile:
si calcolano indici di stagionalità variabile (SV*), diversi per le diverse
osservazioni.
Ad esempio:
Si
considerano i rapporti di stagionalità lorda, di uno stesso mese (o
periodo), per 5 anni consecutivi (SAt-2, SAt-1, SAt, SAt+1, SAt+2)
Si ordinano i 5 termini in modo crescente
Si calcola la media aritmetica sui 3 valori centrali e si sostituisce il valore
ottenuto all’indice di stagionalità del periodo centrale t
Si applica il metodo in modo ricorsivo, come nel caso delle medie mobili
Quindi si DESTAGIONALIZZA la serie sottraendo o rapportano i dati osservati
agli indici netti di stagionalità.
Ad esempio, se il modello ipotizzato è moltiplicativo, la serie destagionalizzata
si ottiene dal rapporto
Ytd / SVt*
2. MODELLO DI REGRESSIONE
2.1 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE
(TREND-CICLO): METODO ANALITICO
SISTEMATICA
Si utilizza l’analisi della regressione per trovare una curva che descriva il
modello matematico con il miglior adattamento ai dati della serie; si cerca
quindi la miglior curva interpolatrice.
Le forme funzionali più utilizzate sono le seguenti:
lineare
Yt = f(t) = b0 + b1t
2
Yt = f(t) = b0 + b1t + b2t
parabolico
Yt = f(t) = b0 eb1t
esponenziale
Yt = f(t) = b0 + b1 log t
semi-logartmico
log Yt = f(t) = b0 + b1 log t
log-logartmico
Yt = f(t) = b0 + b1 / t
iperbolico
Yt = f(t) = 1 / (b0 + b1 b2t)
logistico
Il metodo è consigliato quando l’esame (grafico) dei dati della serie evidenzia la
presenza di una relazione funzionale.
È applicabile quando non compare la componente stagionale.
8
In tal caso:
selezionare la forma o l’espressione generale per rappresentare il trend
(specificazione del modello);
effettuare l’analisi della regressione, per stimare i parametri, controllare e
validare il modello (stima e verifica del modello);
fare previsioni attraverso l’estrapolazione dell’equazione del trend.
2.2 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE
(TREND-CICLO): ESEMPIO REGRESSIONE
SISTEMATICA
In generale, si attribuisce una forma funzionale a ciascuna delle componenti
Per TCt la forma funzionale più frequente è un polinomiale di grado p nel
tempo:
i = 0, …, p
TCt* = Σ biti
Per descrivere la componente stagionale St si possono utilizzare variabili
dummy (0, 1) che valgono 1 in corrispondenza del periodo di riferimento, 0
altrimenti.
2.3 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA
(TREND-CICLO): ESEMPIO REGRESSIONE SEMPLICE
Con un trend di tipo lineare, se il modello non presenta stagionalità, si
pone:
Yt = TCt + At = b0 + b1t + et
Ricordando le condizioni sulla componente aleatoria (media nulla, varianza
costante, normalità distributiva, covarianza nulla), con il metodo dei minimi
quadrati si stimano i parametri del modello, si effettuano le opponune verifiche,
e quindi lo si utilizza a fini previsivi, per estrapolazione.
Con un trend di tipo lineare, con dati trimestrali e presenza di stagionalità
(uso di variabili dummy):
Yt = TCt + St + At = b0 + b1t + c1S1t + c2S2t + c3S3t + c4S4t + et
Anche in questo caso devono valere le condizioni ricordate sulla componente
aleatoria.
Con il metodo dei minimi quadrati si stimano quindi tutti i parametri del
modello, compresi quelli relativi alle variabili dummy, ponendo su di questi
almeno un vincolo. Il più usuale è (gli effetti stagionali si compensano
nell’anno):
Σ cj = c1 + c2 + c3 + c4 = 0
9
2.4 DETERMINAZIONE DELLA COMPONENTE SISTEMATICA
(TREND-CICLO): ESEMPIO DESTAGIONALIZZAZIONE
Le ipotesi più restrittive di tale modello sono:
il polinomio che descrive il ciclo-trend è lo stesso per tutto il periodo e quindi
non è previsto vi possano essere variazioni strutturali nell’andamento di
fondo della serie
i coefficienti stagionali cj sono costanti per tutto il periodo e quindi non si
prevedono effetti stagionali variabili.
Una volta ottenute le
DESTAGIONALIZZATA:
stime
dei
parametri
si
può
ricavare
la
serie
Ytd = Yt – St = Yt – Σ cjSjt
3. METODO DI BOX-JENKINS
3.1 INTRODUZIONE
Per utilizzare il modello di regressione su serie temporali, gli errori in
corrispondenza di valori differenti delle variabili esplicative devono
essere indipendenti.
Ciò in generale non è vero: le osservazioni prese in tempi successivi tendono
ad essere in relazione le une alle altre.
Pertanto, i modelli di regressione con dati che derivano da serie storiche
devono essere modificati per tener conto della correlazione tra i valori della Y.
Da qui deriva l’impostazione dell’analisi tramite modelli stocastici.
3.2 I MODELLI STOCASTICI ARIMA
L’analisi stocastica delle serie temporali consiste in una procedura messa a
punto da G.E.P. Box e G.M. Jenkins, che utilizza modelli di tipo ARIMA (Auto
Regressive Integrated Moving Avarage).
È fondata sul presupposto che le osservazioni di un fenomeno nel corso del
tempo siano generate da una struttura probabilistica sconosciuta al
ricercatore, ma alla quale si può giungere stimando i parametri,
cercando di riconoscere se e che tipo di legami temporali sussistano tra i dati
osservati.
10
Punti centrali della teoria sono:
- il ricorso ad una classe di processi stocastici a parametro discreto che
godono di particolari proprietà,
- le nozioni di funzione di autocorrelazione e di funzione di
autocorrelazione parziale.
Il PROCESSO STOCASTICO identifica una famiglia di variabili casuali Zt
ordinate secondo il tempo.
Le variabili casuali sono descritte sostanzialmente dal parametro t (in questo
caso discreto) appartenente a un determinato insieme T, che è appunto
l’insieme dei suoi possibili valori (se T è finito, si tratta di una n-pla di variabili
casuali).
Si può dunque definire una serie temporale come una particolare
realizzazione finita di un processo stocastico assunto come meccanismo
generatore: ogni valore zt della serie è interpretato come una osservazione
della corrispondente variabile casuale Zt.
Del processo stocastico che rappresenta il meccanismo generatore della serie
esaminata, si può cercare di stimare alcune caratteristiche, a partire dalla serie
stessa.
Più precisamente: si punta all’individuazione di un modello con caratteristiche e
proprietà simili a quelle del meccanismo generatore del processo.
Tale modello potrà essere poi utilizzato per fare previsioni.
La conoscenza del processo stocastico generatore equivale alla conoscenza di
tutte le distribuzioni di probabilità congiunte delle variabili aleatorie Zt.
Poiché tale obiettivo è molto difficile da raggiungere, ci si limita a prendere in
esame i momenti primo e secondo del processo.
I momenti di interesse di un processo stocastico sono:
la media
la varianza
la funzione di autocovarianza
la funzione di autocorrelazione
11
MEDIA:
µt = E[Zt]
VARIANZA:
σ2t = VAR[Zt] = E[(Zt - µt)2]
FUNZIONE DI AUTOCOVARIANZA:
γ(t, t-k) = COV[Zt , Zt-k] = E[(Zt - µt)(Zt-k – µt-k)]
FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE:
ρ(t, t-k)
COV[Zt , Zt-k]
γ(t, t-k)
= CORR[Zt , Zt-k] = ---------------------------- = ------( VAR[Zt] VAR[Zt-k] )1/2
σt σt-k
La funzione di autocovarianza ha un ruolo fondamentale nella misura delle
relazioni lineari esistenti tra variabili casuali con sfasamento temporale uguale a
k.
A loro volta, le funzioni di autocorrelazione globale e parziale vengono
utilizzate per la specificazione di particolari modelli statistici, sulla base di
osservazioni empiriche.
La funzione di autocorrelazione ha le seguenti proprietà:
-1 < ρ(t, t-k) < +1
ρ(t, t) = 1
ρ(t, t-k) = ρ(t-k, t)
Vi è autocorrelazione globale quando i valori di zt sono positivamente o
negativamente correlati con i valori di zt+k.
Per k=1, vi è autocorrelazione di primo ordine,
per k=2, vi è autocorrelazione di secondo ordine, e così via.
La funzione di autocorrelazione parziale di ordine k definisce la
correlazione tra zt e zt+k, al netto degli effetti dei valori assunti da z nei tempi
intermedi.
Il procedimento inferenziale nell’analisi delle serie temporale è particolarmente
complesso perché si dispone di una sola osservazione per ogni indice temporale
corrispondente al processo stocastico.
Il problema si semplifica restringendo la classe dei processi stocastici a cui fare
riferimento introducendo alcuni vincoli, ovvero limitandosi a quei processi che
godono di particolari proprietà:
12
stazionarietà
normalità
invertibilità
ergodicità
STAZIONARIETA’: per essere stazionario (in senso debole) un processo deve
avere media e varianza costanti nel tempo e autocovarianza indipendente dal
tempo (cioè funzione del lag k ma non di t).
NORMALITA’:
il processo deve essere gaussiano; devono cioè risultare
normali le distribuzioni di probabilità delle variabili casuali che costituiscono il
processo.
INVERTIBILITA’: devono essere rispettate condizioni che consentono di
evitare la molteplicità di modelli corrispondenti a date strutture statistiche.
ERGODICITA’: osservazioni convenientemente lontane devono risultare
incorrelate; consente di ottenere stime consistenti dei parametri che
caratterizzano il processo.
Sotto le precedenti ipotesi (in pratica, valide le precedenti condizioni), le
espressioni degli stimatori dei momenti del processo stocastico sono:
m = Σ zt / n
per la MEDIA:
per la VARIANZA: s2t = Σ (zt – m)2 / n
per l’AUTOCOVARIANZA:
γk = Σ (zt – m) (zt+k – m) / n
Nel contesto delineato assumono un rilievo particolare i seguenti processi
puramente aleatori, appartenenti alla classe dei processi lineari:
AUTOREGRESSIVI (auto-regressive)
AR(p)
MEDIA MOBILE (moving average)
MA(q)
AUTOREGRESSIVI-MEDIA MOBILE
ARMA(p,q)
AUTOREGRESSIVI-INTEGRATI-MEDIA MOBILE
ARIMA(p,d,q)
13
Tali processi sono identificabili tramite l’esame delle funzioni di autocorrelazione
globale e parziale, a condizione che rispettino le proprietà già citate.
Tra i processi stocastici utilizzati in questo ambito, si definisce:
PROCESSO PURAMENTE ALEATORIO, o RUMORE BIANCO o WHITE
NOISE, una sequenza di prove indipendenti, effettuate sulla stessa
variabile casuale et, con
Media = 0
Varianza = costante
Autocovarianze = 0
3.2.1 IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI ORDINE p: AR(p)
Vi sono serie temporali rispetto alle quali si può assumere che il valore
osservato al tempo t, ovvero zt, sia esprimibile mediante la combinazione
lineare di p termini immediatamente precedenti e di una componente
casuale white noise.
zt = φ1 zt-1 + φ2 zt-2 + … + φp zt-p + φ1 zt-1 + et
I coefficienti φi caratterizzano la dinamica del processo.
3.2.2 IL PROCESSO MEDIA MOBILE DI ORDINE q: MA(q)
Il modello assume che il valore osservato al tempo t, ovvero zt, sia esprimibile
come combinazione lineare di una variabile aleatoria white noise al
tempo t e in q tempi precedenti.
zt = et + θ1 et-1 + θ2 et-2 + … + θq et-q
Il processo MA consente una adeguata rappresentazione di alcune categorie di
fenomeni economici, in particolare quando è ragionevole assumere che esista
una situazione di equilibrio verso il quale il fenomeno tende a tornare una volta
che se ne è allontanato dopo uno shock di natura casuale.
3.2.3 IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO-MEDIA
ORDINE p,q: ARMA(p,q)
MOBILE DI
Rappresenta una generalizzazione dei due precedenti.
14
Si assume che zt dipenda sia da p valori precedenti sia dalla componente
aleatoria al tempo t e in q tempi precedenti.
zt = Σ θi zt-i + Σ θj et-j
3.2.4 IL PROCESSO AUTOREGRESSIVO-INTEGRATO-MEDIA
MOBILE DI ORDINE p,q integrato d volte: ARIMA(p,d,q)
Quando una serie non è stazionaria in media, può essere ricondotta alla
stazionarietà attraverso l’operatore differenza, che in simboli è:
Dd zt = Dd-1 zt – Dd-1 zt-1
con
D0 zt = zt , D1 zt = zt – zt-1
Un processo ARMA riferito alle differenze d-esime anziché ai dati originari della
serie è denominato processo autoregressivo di ordine p, integrato d volte e a
media mobile di ordine q (Auto-Regressive Integrated Moving Average).
3.2.5 I MODELLI STOCASTICI ARIMA: FASI DELL’ANALISI
Se di dispone di una serie stazionaria e convenientemente lunga, per stabilire
da quale modello possa derivare occorre precedere per fasi:
a) identificazione del modello
attraverso l’esame delle funzioni di autocorrelazione globale e parziale
b) stima dei parametri
attraverso varie procedure:
minimi quadrati per modelli AR, metodo della massima verosimiglianza o
dei minimi quadrati non lineari per MA
c) verifica della idoneità del modello a descrivere le caratteristiche
della serie
attraverso l’analisi dei residui per controllarne indipendenza e normalità
Se il modello identificato e stimato è accettato, può essere utilizzato per scopi
previsivi o di simulazione.
Se il modello non è accettato, si procede alla iterazione delle tre fasi descritte,
fino a quando non si ottiene un modello soddisfacente.
15
3.2.6 IL MODELLO AR(1)
La formula del MODELLO AUTOREGRESSIVO DEL PRIMO ORDINE è data
da:
zt = φ1 zt-1 + et
Per analizzare una serie rispetto a questo particolare modello, seguendo le fasi
sopra citate occorre procedere nel modo seguente:
a) identificazione del modello: zt = φ1 zt-1 + et
NB: nel modello AR(1)
-
la condizione di stazionarietà è soddisfatta se |φ1| < 1
-
la funzione di autocorrelazione globale tende a zero in modo
monotono per φ1 > 0
-
la funzione di autocorrelazione globale varia tra -1 e +1 a segni
alterni
per φ1 < 0
b) stima dei parametri
-
attraverso il metodo dei minimi quadrati
c) verifica del modello
-
analisi grafica dei residui + test d’ipotesi
Si supponga di avere a disposizione una serie storica relativa ad una variabile
Y.
Per decidere se il modello AR(1) è adeguato, si può procedere calcolando il
coefficiente di autocorrelazione del primo ordine r1, oppure osservando il
diagramma di dispersione delle coppie (yt , yt-1).
Se si osserva una correlazione o una relazione lineare tra le coppie di valori (yt
, yt-1), la formula del modello autoregressivo utilizzabile per questa serie sarà:
yt = β 0 + β1 yt-1 + et
Le inferenze su questo modello possono essere effettuate utilizzando gli stessi
strumenti utilizzati nel caso generale del modello di regressione semplice, con
yt-1 che svolge il ruolo della varabile esplicativa x.
16
Quando i dati sono raccolti con cadenza infrannuale, è verosimile che vi sia un
legame tra osservazioni sfasate di un anno.
Se i dati sono raccolti con cadenza mensile, il legame rilevante è tra yt e yt-12,
se la cadenza è trimestrale tra yt e yt-4, e così via.
Pertanto, per dati mensili, il modello diventa:
yt = β 0 + β1yt-12 + εt
Per la valutazione del modello si procede quindi con gli strumenti tipici
dell’analisi di regressione.
Se il test t su β0 porta a NON rifiutare l’ipotesi nulla H0: β0 = 0, e se non
possiamo rifiutare l’ipotesi nulla H0: β1 = 1, allora il modello autoregressivo
assume la forma del cosiddetto “random walk”:
yt = yt-1 + εt
oppure
yt = yt-12 + εt
Si è detto che un elemento chiave per accertare la presenza di legami lineari
tra osservazioni sfasate di una serie temporale è il coefficiente di
autocorrelazione campionario, allo sfasamento (lag) k. Il suo stimatore è:
Σn-kt=1 [yt – media(y)] [yt+k – media(y)]
rk = −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Σnt=1 [yt – media(y)]2
Per accertare la significatività dei coefficienti di autocorrelazione occorre
procedere alla verifica dell’ipotesi
H0: ρk = 0
contro l’ipotesi alternativa H1: ρk ≠ 0.
Si procede con l’usuale test t di student, stimando l’errore standard di rk con la
formula:
srk
1 + 2 Σk-1j=1 (rj)2
=[−−−−−−−−−−−−−−−− ]1/2
n
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Un altro criterio per accertare la presenza di autocorrelazione di primo ordine è
il test d di DURBIN-WATSON.
Una ulteriore verifica dell’assenza di autocorrelazione nella serie può essere
compiuta sottoponendo a verifica l’ipotesi nulla
H0: ρ1 = ρ2 = … = ρk = 0
contro l’ipotesi alternativa che almeno un coefficiente di autocorrelazione sia
diverso da zero.
Per saggiare tale ipotesi si procede con una statistica test nota come Q di Liung
e Box, che la seguente formula:
Q = n (n+2) ΣKk=1 (n-k)-1(rk)2
La statistica segue una distribuzione del chi-quadrato con k gradi di libertà.
4. Analisi dell’errore di previsione
ERRORE di previsione:
è definito come differenza tra valore osservato Yt e valore previsto (o stimato)
Yt*
et = Yt – Yt*
L’analisi degli errori di previsione serve a:
Verificare se un modello è accurato
Suggerire come correggere un modello
Confrontare modelli diversi
4.1 DEFINIZIONI
Media quadratica degli errori di previsione:
D2 = 1/k (Σ e2t+i) i=1,…,k
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Saggio effettivo di variazione:
Yt+1 – Yt
------------Yt
Saggio previsto di variazione:
Y*t+1 – Yt
-------------Yt
4.1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA
saggi previsti
Sovrastima
dell’aumento
Sottostima
dell’aumento
Sottostima
diminuzione
della
Sovrastima
diminuzione
saggi effettivi
della
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