Indice - Istituto Romano Bruni

Indice
Matrici e sistemi lineari
1. Matrici
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
1
Trasposta di una matrice, 2
Matrice diagonale e matrice unità, 2
Matrici triangolari, 2
Operazioni con le matrici
Addizioni di matrici, 3
Moltiplicazione per un numero, 3
Prodotto tra matrici, 4
Prodotto matrice-vettore, 6
Determinante
Proprietà dei determinanti
Sistemi lineari
Sistemi lineari omogenei
Sistemi triangolari superiori. Metodo di Gauss
Trasformazioni di un sistema lineare, 18
Il metodo di Gauss, 19
Matrice inversa
Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa, 24
Formula di Laplace
Rango di una matrice
Teorema di Rouché-Capelli
Risoluzione di un sistema
Compatibilità, 29
Unicità, 31
Soluzioni, 31
3
8
10
12
15
17
21
25
26
27
29
Quesiti di verifica
Laboratorio di informatica
1. Le matrici su DERIVE, 33 – 2. Operazioni con le matrici, 33 – 3. Un esperimento, 34 –
4. Sistemi lineari, 34 – 5. Esercizi, 35 – 6. Programmi, 36
32
33
Esercizi
37
Matrici. Operazioni tra matrici, 37 – Determinanti e loro proprietà, 38 – Sistemi lineari, 40 –
Sistemi lineari omogenei, 42 – Metodo di Gauss, 44 – Matrice inversa, 46 – Risoluzione
di un sistema con il metodo della matrice inversa, 48 – Formula di Laplace, 49 – Rango di
una matrice, 50 – Teorema di Rouché-Capelli, 50 – Discussione di un sistema lineare parametrico, 52
Soluzioni
56
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Matrici
e sistemi lineari
1
Matrici
Una matrice è una tabella di numeri disposti su righe e colonne. Per esempio la tabella:
3 7⎞
⎛1
⎜⎝ 2 –5 1⎟⎠
costituisce una matrice formata da due righe e da tre colonne; essa viene anche detta matrice
rettangolare 2 ¥ 3. Se il numero delle righe è uguale a quello delle colonne la matrice si dice quadrata e il comune numero di righe e colonne si dice ordine della matrice quadrata.
Per esempio:
⎛ 1 7⎞
⎜⎝ –5 3⎟⎠
è una matrice quadrata 2 ¥ 2 o di ordine 2.
L’elemento di una matrice appartenente alla riga i e alla colonna j si indica con aij; così, nella matrice considerata sopra, si ha:
a11 = 1
a12 = 7
a21 = –5
a22 = 3
In una matrice quadrata la diagonale contenente gli elementi a11, a22, a33 … prende il nome
di diagonale principale. Nella matrice:
⎛ 3 −1 4 ⎞
⎜ 2 −4 0 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0
5 2 ⎟⎠
la diagonale principale è formata dagli elementi a11 = 3, a22 = – 4, a33 = 2.
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1
Matrici e sistemi lineari
Trasposta di una matrice
Si definisce trasposta della matrice quadrata A la matrice, indicata con AT, ottenuta da A
scambiando le righe con le colonne.
sempio
1
⎛ –1
A=⎜ 3
⎜⎝ 6
0 4⎞
7 –5 ⎟
2 9 ⎟⎠
⎛ –1 3
AT = ⎜ 0 7
⎜⎝ 4 –5
6⎞
2⎟
9 ⎟⎠
Una matrice si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta:
A = AT
cioè se sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.
sempio
2
⎛ 0 –2
A = ⎜ –2 3
⎜⎝ 1 1
1⎞
1⎟ = AT
7 ⎟⎠
Matrice diagonale e matrice unità
Una matrice quadrata si dice diagonale se sono nulli tutti gli elementi non appartenenti alla
diagonale principale.
La matrice diagonale con gli elementi della diagonale principale: a11, a22, a33 ... uguali a 1 si
dice matrice unità.
Per l’ordine 2 la matrice unità è:
Per l’ordine 3 è:
⎛ 1 0⎞
I =⎜
⎝ 0 1⎟⎠
⎛1
I = ⎜0
⎜⎝ 0
0 0⎞
1 0⎟
0 1⎟⎠
Matrici triangolari
Una matrice triangolare superiore è una matrice quadrata che ha nulli tutti gli elementi
che si trovano al di sotto della diagonale principale, come per esempio:
3⎞
⎛1
⎜⎝ 0 −2 ⎟⎠
⎛ 3 −1
⎜ 0 −4
⎜
⎜⎝ 0
0
4⎞
6⎟
⎟
5 ⎟⎠
Analogamente, una matrice triangolare inferiore è una matrice quadrata che ha nulli tutti
gli elementi che si trovano al di sopra della diagonale principale, come per esempio:
⎛ 1 0⎞
⎜⎝ 3 4 ⎟⎠
2
⎛1
⎜2
⎜
⎜⎝ 8
0 0⎞
3 0⎟
⎟
4 −1⎟⎠
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Matrici e sistemi lineari
2
Operazioni con le matrici
Sull’insieme delle matrici si possono definire numerose operazioni. Consideriamo in questo
paragrafo matrici quadrate di ordine 2 o 3.
Addizione di matrici
DEFINIZIONE Date due matrici A e B quadrate e dello stesso ordine, si definisce loro somma:
C=A+B
la matrice C i cui elementi sono le somme dei corrispondenti elementi di A e B:
cij = aij + bij
sempio
3
⎛ –1
A=⎜
⎝ 0
3⎞
1⎟⎠
⎛ –3
B=⎜
⎝ 5
4⎞
0 ⎟⎠
⎛ – 1 −3
C = A+ B=⎜
⎝ 0 +5
3 + 4⎞ ⎛ – 4
=
1 + 0 ⎟⎠ ⎜⎝ 5
7⎞
1⎟⎠
La somma di matrici gode della proprietà commutativa e della proprietà associativa.
La matrice nulla, cioè la matrice i cui elementi sono tutti zero, è l’elemento neutro per l’addizione, e si indica con N.
Si dice matrice opposta di A la matrice i cui elementi sono gli opposti dei corrispondenti elementi di A.
sempio
4
⎛2
A=⎜
⎝1
–1⎞
0 ⎟⎠
⎛ –2
−A=⎜
⎝ −1
1⎞
0 ⎟⎠
La matrice opposta di A si indica con – A e si ha:
A + (– A) = N
Moltiplicazione per un numero
DEFINIZIONE Si definisce prodotto di un numero reale l per una matrice A, la matrice l A
i cui elementi sono quelli di A moltiplicati per l.
sempi
5
⎛ –1
Dati A = ⎜
⎝ 3
0⎞
4 ⎟⎠
6
⎛ 6 −2 ⎞
Date le matrici A = ⎜
⎝ 4 0 ⎟⎠
e λ = 3, sarà:
⎛ –3 0 ⎞
3A = ⎜
⎝ 9 12 ⎟⎠
⎛ −2 0 ⎞
e B=⎜
, si ha:
⎝ 1 −3⎟⎠
1
⎛ 3 −1⎞ ⎛ 4
A − 2B = ⎜
+
⎝ 2 0 ⎟⎠ ⎜⎝ −2
2
0 ⎞ ⎛ 7 −1⎞
=
6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 6 ⎟⎠
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3
Matrici e sistemi lineari
Proprietà della somma tra matrici quadrate dello stesso ordine e del prodotto
di una matrice per un numero reale
Siano A, B, C tre qualsiasi matrici quadrate di ordine n e N la matrice nulla dello stesso ordine, l e m due qualsiasi numeri reali:
somma tra due matrici
1.
2.
3.
4.
prodotto di una matrice
per un numero reale
A + (B + C) = (A + B) + C
A+N=N+A=A
A + (– A) = (– A) + A = N
A+B=B+A
I.
II.
III.
IV.
l (A + B) = lA + lB
(l + m) A = lA + mA
l (m A) = (l m) A
1◊A = A
Prodotto tra matrici
DEFINIZIONE Siano A e B due matrici quadrate dello stesso ordine; si definisce loro prodotto righe per colonne:
C=A*B
la matrice i cui elementi chk si ottengono come somma dei prodotti degli elementi della riga
h-esima di A per gli elementi della colonna k-esima di B.
Così, se l’ordine è 2, si ha:
chk = ah1 ◊ b1k + ah2 ◊ b2k
mentre, se l’ordine è 3, si ha un altro addendo:
chk = ah1 ◊ b1k + ah2 ◊ b2k + ah3 ◊ b3k
sempi
7
⎛ –1
A=⎜
⎝ 4
Date le matrici:
si ha:
c11 = (–1) ◊ 3 + 0 ◊ 0 = –3
c12 = (–1) ◊ (– 4) + 0 ◊ 5 = 4
c21 = 4 ◊ 3 + 3 ◊ 0 = 12
c22 = 4 ◊ (– 4) + 3 ◊ 5 = –1
e quindi:
8
Date le matrici:
⎛ −1
A*B = ⎜
⎝ 4
⎛ 1
A = ⎜ −2
⎜⎝ 4
0⎞
3⎟⎠
⎛3
B=⎜
⎝0
–4 ⎞
5 ⎟⎠
0 ⎞ ⎛ 3 – 4 ⎞ ⎛ −3 4 ⎞
=
3⎟⎠ * ⎜⎝ 0
5 ⎟⎠ ⎜⎝ 12 − 1 ⎟⎠
3 5⎞
1 6⎟
0 −3⎟⎠
⎛4
B = ⎜3
⎜⎝ 1
−1
0
6
8⎞
2⎟
7 ⎟⎠
risulta:
1 ⋅ (−1) + 3 ⋅ 0 + 5 ⋅ 6
1 ⋅ 8 + 3 ⋅ 2 + 5 ⋅ 7 ⎞ ⎛ 18
29 49 ⎞
⎛ 1 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 + 5 ⋅1
⎜
⎟
⎜
A*B =
−2 ⋅ 4 + 1 ⋅ 3 + 6 ⋅ 1
−2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 0 + 6 ⋅ 6
−2 ⋅ 8 + 1 ⋅ 2 + 6 ⋅ 7 = 1 38 28 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 4 ⋅ 4 + 0 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 1 4 ⋅ (−1) + 0 ⋅ 0 + (−3) ⋅ 6 4 ⋅ 8 + 0 ⋅ 2 + (−3) ⋅ 7 ⎠ ⎝ 13 −22 11⎠
4
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Matrici e sistemi lineari
9
Il consumo annuale medio di pane, carne, pesce (in kg) di 4 famiglie a1, a2, a3, a4, viene rappresentato dalla matrice:
pane carnepesce
a1 ⎛ 150
a ⎜ 240
A4 ,3 = 2 ⎜
a3 ⎜ 92
⎜
a4 ⎝ 101
82⎞
105⎟⎟
85⎟
⎟
98⎠
125
321
54
95
I prezzi (in euro al kg) degli stessi prodotti negli anni 2004, 2005 vengono rappresentati dalla matrice B
2004
2005
pane ⎛ 2,30
B3,2 = carne ⎜⎜ 12, 40
pesce ⎜⎝ 16,60
2,50 ⎞
12,50 ⎟⎟
18,50 ⎟⎠
Gli elementi della matrice prodotto C = A * B, composta da 4 righe e 2 colonne, forniscono la spesa totale di ciascuna famiglia per ciascun anno.
Per esempio, l’ elemento c11 del prodotto è la spesa totale in euro della famiglia a1 nell’anno 2004:
c11 = 150 ¥ 2,30 + 125 ¥ 12,40 + 82 ¥ 16,60 = 3256,20 euro
l’elemento c12 è la spesa totale in euro della famiglia a1 nell’anno 2005:
c12= 150 ¥ 2,50 + 125 ¥ 12,50 + 82 ¥ 18,50 = 3454,50 euro
Analogamente, la seconda riga è formata dalla spesa totale della famiglia a2 in ciascun anno, la terza e
la quarta riportano rispettivamente le spese delle famiglie a3 e a4 per ciascun anno:
2004
2005
a1 ⎛ 3256, 20
a2 ⎜⎜ 6275, 40
a3 ⎜ 2292, 20
⎜
a4 ⎝ 3037,10
3454,50 ⎞
6555, 00 ⎟⎟
2477,50 ⎟
⎟
3253, 00 ⎠
In generale, il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa, cioè i due prodotti:
A*B
possono essere diversi.
e
B*A
sempi
10
Riferendosi all’esempio 7 si ottiene infatti, scambiando l’ordine, un prodotto diverso da quello precedente:
⎛3
B*A = ⎜
⎝0
11
− 4 ⎞ ⎛ −1
5 ⎟⎠ * ⎜⎝ 4
0 ⎞ ⎛ −19 −12 ⎞
=
3⎟⎠ ⎜⎝ 20
15 ⎟⎠
Vale, invece, la proprietà commutativa nel caso seguente:
⎛ 1
1⎞ ⎛ 1
1⎞ ⎛
1⎞
1⎞
⎜
⎟
− ⎟ ⎜ 4
8 = 4
8 ⎟ * ⎜ 3 − ⎟ = ⎛ 1 0⎞
2⎟ * ⎜ 1
2 ⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
⎜
⎟
⎟
3
1
3
⎜⎝ 2
1⎠ ⎜ −
1⎠
−
⎜
⎟
⎟
⎝ 2 4⎠ ⎝ 2
4⎠
Il prodotto delle due matrici, indipendentemente dall’ordine, è uguale alla matrice unità. Vedremo nel
paragrafo 8 che ciascuna delle matrici scritte è l’inversa dell’altra.
⎛
⎜3
⎜⎝ 2
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5
Matrici e sistemi lineari
Il prodotto di una matrice quadrata A per la matrice unità I dello stesso ordine coincide con A:
A*I=I*A=A
Osservazione 1
Il prodotto tra due matrici quadrate non nulle può essere uguale alla matrice nulla, come per esempio nel caso del prodotto:
⎛ 1 0⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎛ 0 0⎞
⎜⎝ 5 0 ⎟⎠ * ⎜⎝ −3 7 ⎟⎠ = ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
Pertanto nel prodotto tra matrici non vale la legge di annullamento del prodotto.
Prodotto matrice-vettore
Sia A una matrice quadrata di ordine 2 e sia v (v1; v2 ) un vettore di ⺢2, cioè una coppia ordinata di numeri reali.
DEFINIZIONE
Si definisce prodotto di A per v il vettore:
w =Av
che ha come elementi le somme dei prodotti degli elementi delle righe di A per i corrispondenti elementi di v.
Si osservi che se l’ordine è 2, indicate con (w1; w2) le componenti del vettore w, il prodotto
⎛v ⎞
w = Av è il prodotto tra la matrice A e il vettore colonna ⎜ 1 ⎟ , cioè:
⎝ v2 ⎠
⎛a
a ⎞ ⎛v ⎞ ⎛w ⎞
Av = ⎜ 11 12 ⎟ ∗ ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 ⎟
⎝ a21 a22 ⎠ ⎝ v2 ⎠ ⎝ w2 ⎠
dove:
w1 = a11v1 + a12v2
w2 = a21v1 + a22v2
sempio
12
⎛1
Il prodotto della matrice A = ⎜ 4
⎝
è il vettore:
−3⎞
5 ⎟⎠ per il vettore v = (–2; 3)
⎛w ⎞ ⎛
⎞ ⎛ ⎞
w = ⎜ 1 ⎟ = ⎜ 1 −3⎟ * ⎜ −2⎟
w
4
5
⎝
⎠ ⎝ 3⎠
⎝ 2⎠
tale che:
quindi:
6
w1 = 1 ◊ (–2) + (–3) ◊ 3 = –11
w2 = 4 ◊ (–2) + 5 ◊ 3 = 7
w = (–11; 7)
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Matrici e sistemi lineari
Se l’ordine è 3 si avrà un addendo in più:
w1 = a11v1 + a12v2 + a13v3
w2 = a21v1 + a22v2 + a23v3
w1 = a31v1 + a32v2 + a33v3
sempio
13
3 7⎞
⎛ 0
Il prodotto della matrice A = ⎜ 3
5 1⎟ per il vettore v = (4; –2; 1) è il vettore:
⎜⎝ −1 − 4 2 ⎟⎠
⎛w ⎞ ⎛ 0
3
7⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 ⎞
1
w = ⎜⎜ w2 ⎟⎟ = ⎜ 3 5 1⎟ * ⎜ −2⎟ = ⎜ 3⎟
⎜⎝ w ⎟⎠ ⎜⎝ −1 − 4 2⎟⎠ ⎜⎝ 1⎟⎠ ⎜⎝ 6⎟⎠
3
Struttura di gruppo dell’insieme delle matrici quadrate (ᏹn; +)
Indichiamo con (ᏹn; +) l’insieme delle matrici quadrate di ordine n in cui sia stata introdotta l’operazione di
addizione tra matrici.
L’addizione in ᏹn è un’operazione interna, cioè la somma di due matrici qualsiasi A e B di ordine n è ancora una matrice di ordine n: " A, B Œ ᏹn, risulta:
A + B Œ ᏹn
Questa proprietà si esprime dicendo che l’insieme ᏹn è chiuso rispetto all’addizione.
Inoltre, l’addizione gode delle seguenti proprietà:
1a associativa
(A + B) + C = A + (B + C)
"A, B, C Œᏹn
1b esiste l’elemento neutro (la matrice nulla N)
A+N=N+A
"A Œᏹn
1c ogni elemento A Œᏹn ha l’elemento opposto (o reciproco) – A Œᏹn, tale che:
A + (– A) = – A + A = N
A+B=B+A
1d commutativa
"A Œᏹn
"A, B Œ ᏹn
Un insieme in cui è definita un’operazione interna che gode delle proprietà 1a, 1b, 1c si dice che è un gruppo rispetto all’operazione considerata.
Se vale anche la proprietà commutativa 1d, si dice che è un gruppo commutativo o abeliano.
L’insieme ᏹn rispetto all’addizione, indicato con (ᏹn; +), è pertanto un gruppo commutativo o abeliano.
Struttura di spazio vettoriale dell’insieme ᏹn sull’insieme ⺢
Nell’insieme ᏹn, delle matrici quadrate di ordine n, consideriamo le due operazioni:
•
•
una legge di composizione interna: l’addizione tra due matrici;
una legge di composizione esterna: la moltiplicazione di un numero reale per una matrice.
L’insieme ᏹn è un gruppo commutativo rispetto all’addizione tra matrici.
Inoltre il prodotto per un numero reale gode delle seguenti proprietà:
I
distributiva rispetto all’addizione in ᏹn:
l(A + B) = l A + lB
"A, B Œᏹn, " l Œ⺢
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7
Matrici e sistemi lineari
II
distributiva rispetto all’addizione in ⺢:
III associativa
(l + m) A = l A + m A
"A Œᏹn, "l, mŒ⺢
l(m A) = (lm) A
"A Œᏹn, "l, mŒ⺢
IV neutralità rispetto a 1, elemento neutro della moltiplicazione in ⺢
1◊A=A
"A Œᏹn
Un insieme in cui siano definite due operazioni, una interna, indicata con +, rispetto alla quale l’insieme sia
un gruppo commutativo e una esterna, indicata con ◊, che operi su ⺢ e che goda delle proprietà sopra elencate, si dice che è uno spazio vettoriale.
Pertanto l’insieme (ᏹn; +; ◊ ) è uno spazio vettoriale sull’insieme ⺢ dei numeri reali.
3
Determinante
DEFINIZIONE
Data una matrice quadrata di ordine 2:
⎛a a ⎞
A = ⎜ 11 12 ⎟
⎝ a21 a22 ⎠
si definisce determinante di A, e si indica con det A, il numero reale:
det A = a11 ◊ a22 – a12 ◊ a21
ottenuto come differenza tra il prodotto degli elementi della diagonale principale e quello degli elementi dell’altra diagonale.
sempio
14
⎛ 4
Data la matrice A = ⎜ −2
⎝
3⎞
5 ⎟⎠ , si ha: det A = 4 ◊ 5 – 3 ◊ (–2) = 26
In particolare, il determinante det I della matrice unità vale 1; il determinante di una matri⎛ p 0⎞
ce diagonale D = ⎜ 0 q ⎟ vale p ◊ q, ovvero il prodotto degli elementi della diagonale.
⎝
⎠
DEFINIZIONE
Sia, invece, A una matrice quadrata di ordine 3:
⎛ a11 a12 a13⎞
A = ⎜ a21 a22 a23⎟
⎜a a
⎟
⎝ 31 32 a33⎠
Si definisce determinante di A il numero reale:
det A = a11 ◊ a22 ◊ a33 + a12 ◊ a23 ◊ a31 + a13 ◊ a21 ◊ a32 – a31 ◊ a22 ◊ a13 +
– a32 ◊ a23 ◊ a11 – a33 ◊ a21 ◊ a12
8
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Matrici e sistemi lineari
Prepariamo la tabella formata da A e dalle sue prime due colonne ripetute alla sua destra:
a11
a12
a13
a11
a12
a21
a22
a23
a21
a22
a31
a32
a33
a31
a32
La formula del determinante risulta analoga a quanto definito nel caso dell’ordine 2, cioè:
det A = somma dei prodotti relativi alle diagonali discendenti – somma
dei prodotti relativi alle diagonali ascendenti
La regola enunciata per il determinante di ordine 3 si chiama regola di Sarrus.
sempio
15
Data la matrice:
la tabella è:
⎛1
A = ⎜2
⎜⎝ 6
3
7
8
5⎞
4⎟
3⎟⎠
SARRUS, matematico
francese (1798-1861)
1
3
5
1
3
2
7
4
2
7
6
8
3
6
8
e di conseguenza: det A = 1 ◊ 7 ◊ 3 + 3 ◊ 4 ◊ 6 + 5 ◊ 2 ◊ 8 – 6 ◊ 7 ◊ 5 – 8 ◊ 4 ◊ 1 – 3 ◊ 2 ◊ 3 = – 87
Anche nell’ordine 3 la matrice unità:
⎛ 1 0 0⎞
I = ⎜ 0 1 0⎟
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
ha det I = 1, mentre qualsiasi matrice diagonale:
⎛p
D = ⎜0
⎜⎝ 0
0
q
0
0⎞
0⎟
r ⎟⎠
ha come determinante det D = p ◊ q ◊ r, cioè il prodotto degli elementi della diagonale.
Nonostante la sua complessa definizione, il determinante rispetta sul prodotto di matrici la
semplice relazione:
det (A * B) = det (A) ◊ det (B) = det (B * A)
Le matrici A * B e B * A, pur essendo in generale diverse, hanno lo stesso determinante.
Il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto degli elementi della diagonale
principale, per esempio:
⎛ 3 −1 4 ⎞
⎜ 0 −4 6 ⎟ = 3 ⋅ (−4 ) ⋅ 5 = −60
⎜
⎟
⎜⎝ 0
0 5 ⎟⎠
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9
Matrici e sistemi lineari
4
Proprietà dei determinanti
Elenchiamo ora alcune proprietà dei determinanti.
1. Se tutti gli elementi di una riga o tutti quelli di una colonna della matrice A sono nulli, risulta det A = 0.
sempio
16
Se:
⎛2
A=⎜
⎝0
⎛ −1
B=⎜ 7
⎜⎝ 11
3⎞
0 ⎟⎠
0
0
0
9⎞
3⎟
6 ⎟⎠
si ha det A = 0, det B = 0.
2. Se si moltiplicano tutti gli elementi di una riga o tutti quelli di una colonna di A per
un fattore, risulta moltiplicato per lo stesso fattore anche il determinante.
sempio
17
Se:
⎛ −1
A=⎜
⎝ 2
5⎞
8 ⎟⎠
si ha det A = –18, mentre se si moltiplicano gli elementi della seconda riga per 3 si ottiene la matrice:
⎛ −1 5 ⎞
B=⎜
⎝ 6 24 ⎟⎠
e risulta det B = –54 = 3 det A.
3. Se si scambiano tra loro due righe o due colonne il determinante cambia segno.
sempio
18
Consideriamo la matrice:
⎛ −2
A=⎜ 0
⎜⎝ 3
5
4
1
7⎞
2⎟
5 ⎟⎠
si ha det A = –90; scambiando la prima e la terza colonna si ottiene la matrice:
⎛ 7 5 − 2⎞
B = ⎜2 4
0⎟
⎜⎝ 5 1
3⎟⎠
e risulta det B = 90 = – det A.
10
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Matrici e sistemi lineari
4. Se due righe o due colonne di A hanno elementi uguali o proporzionali risulta det A = 0.
sempio
19
Se:
⎛ −1 5 ⎞
A=⎜
⎝ − k 5 k ⎟⎠
kŒ⺢
risulta det A = –5k + 5k = 0.
5. Se si sommano agli elementi di una riga o di una colonna di A i corrispondenti elementi di un’altra riga o colonna di A il determinante non cambia.
sempio
20
Se:
⎛ 3
A = ⎜ −2
⎜⎝ 4
2
0
0
1⎞
9⎟
8 ⎟⎠
risulta det A = 104; sommando gli elementi della prima riga con i corrispondenti elementi della seconda riga si ottiene:
⎛ 1 2 10 ⎞
B = ⎜ −2 0 9 ⎟
⎜⎝ 4 0 8 ⎟⎠
e risulta det B = 104 = det A.
6. Se gli elementi di una colonna (o di una riga) si decompongono in due addendi, il determinante di A è la somma dei due determinanti delle matrici che hanno in tale colonna (in tale riga) i rispettivi addendi.
sempio
21
Se:
⎛ 5 6⎞
⎜⎝ −1 9 ⎟⎠
si ha det A = 51; scomponendo gli elementi della seconda colonna, si ottiene:
⎛ 5
det ⎜
⎝ −1
6⎞
⎛ 5
= det ⎜
9 ⎟⎠
⎝ −1
2 + 4⎞
⎛ 5
= det ⎜
6 + 3⎟⎠
⎝ −1
2⎞
⎛ 5
+ det ⎜
6 ⎟⎠
⎝ −1
4⎞
3⎟⎠
Infatti 51 = 32 + 19.
7. Se una colonna (o una riga) è combinazione lineare delle altre, il determinante è nullo.
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11
Matrici e sistemi lineari
sempio
22
Nella matrice:
⎛1 4
A = ⎜3 2
⎜⎝ 1 −6
2⎞
5⎟
1⎟⎠
si osserva che l’ultima riga si ottiene moltiplicando la prima riga per –2 e sommando con la seconda riga; si verifica che det A = 0.
5
Sistemi lineari
Nel corso degli studi è stato già affrontato il problema della risoluzione di sistemi lineari di due equazioni in due incognite:
⎧ax + by = c
⎨a′ x + b′ y = c′
⎩
Le due rette di equazioni ax + by = c
e a¢ x + b¢y = c¢ sono incidenti se
ab¢ – a¢b π 0, parallele se a¢ = ka,
b¢ = kb, c¢ π kc, coincidenti se
a¢ = ka, b¢ = kb, c¢ = kc, cioè se il
sistema da esse formato ha rispettivamente una sola soluzione, nessuna soluzione, infinite soluzioni.
che può anche essere considerato come il problema dell’intersezione di due rette.
I metodi sviluppati saranno ora rienunciati e generalizzati con il linguaggio delle matrici e dei
loro determinanti.
Fissiamo la nostra attenzione sui sistemi di tre equazioni in tre incognite:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
⎪a x + a x + a x = b
33 3
3
⎩ 31 1 32 2
I numeri a11, a12, ..., a33 si chiamano coefficienti del sistema; i due indici posti stanno appunto a indicare l’equazione e l’incognita cui si riferiscono; i numeri b1, b2, b3 vengono detti termini noti. Indicata con A la matrice dei coefficienti:
⎛ a11 a12 a13⎞
A = ⎜ a21 a22 a23⎟
⎜a a
⎟
⎝ 31 32 a33⎠
con x il vettore a tre componenti: x (x1; x2; x3),
con b il vettore ancora a tre componenti: b (b1; b2; b3),
possiamo, ricordata l’operazione di prodotto di una matrice per un vettore, riscrivere il sistema nella forma vettoriale:
Ax= b
Se il sistema ammette soluzioni, cioè se esistono terne di numeri (x1; x2; x3) che soddisfano
tutte e tre le equazioni del sistema, questo si dice compatibile.
Naturalmente, se non esistono soluzioni, il sistema si dice incompatibile.
Un sistema compatibile che ammetta una sola soluzione si dice determinato.
Se det A π 0, si può enunciare il teorema di Cramer, qui riportato nella forma riferita a un sistema di tre equazioni in tre incognite.
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Matrici e sistemi lineari
TEOREMA 1 (TEOREMA DI CRAMER)
Un sistema di tre equazioni in tre incognite:
Ax = b
la cui matrice dei coefficienti abbia determinante diverso da zero, è compatibile e determinato: la terna soluzione (x1; x2; x3) è espressa dalle seguenti formule:
x1 =
det A1
det A
x2 =
det A2
det A
x3 =
det A3
det A
essendo A1, A2, A3 le tre matrici ottenute da A sostituendo rispettivamente la prima, la seconda o la terza colonna con il vettore b dei termini noti.
sempio
23
⎧2 x1 + x2 + 4 x3 = 16
⎪
Risolvere il sistema: ⎨ 3x1 + 2 x2 + x3 = 10
⎪ x + 3x + 3x = 16
2
3
⎩ 1
CRAMER Gabriel (Ginevra 1704 –
Bagnoles, Nîmes, 1752) Matematico
e filosofo svizzero, rivolse i suoi
studi soprattutto alle curve algebriche e alle loro singolarità e alla risoluzione dei sistemi lineari: a lui si
deve la regola risolutiva, che porta il
suo nome, con il metodo dei determinanti.
Consideriamo la matrice A dei coefficienti:
⎛2 1
A = ⎜3 2
⎜⎝ 1 3
4⎞
1⎟
3⎟⎠
Poiché: det A = 2 ◊ 2 ◊ 3 + 1 ◊ 1 ◊ 1 + 4 ◊ 3 ◊ 3 – 1 ◊ 2 ◊ 4 – 3 ◊ 1 ◊ 2 – 3 ◊ 3 ◊ 1 = 26 π 0
si può applicare il teorema di Cramer. Essendo:
⎛ 16 1 4 ⎞
A1 = ⎜ 10 2 1⎟
⎜⎝ 16 3 3⎟⎠
si ha:
det A1 = 26
⎛ 2 16
A2 = ⎜ 3 10
⎜⎝ 1 16
4⎞
1⎟
3⎟⎠
si ha:
det A2 = 52
⎛ 2 1 16 ⎞
A3 = ⎜ 3 2 10 ⎟
⎜⎝ 1 3 16 ⎟⎠
si ha:
det A3 = 78
26
= 1;
26
52
= 2;
26
Quindi la terna soluzione è:
x1 =
x2 =
x3 =
78
=3
26
Se det A = 0 il sistema può essere incompatibile o anche compatibile e non determinato.
sempi
24
Dato il sistema:
⎧ x1 + x2 + x3 = −1
⎪
⎨ 3x1 − x2 − 4 x3 = 1
⎪5 x + x − 2 x = −1
2
3
⎩ 1
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Matrici e sistemi lineari
detta A la matrice dei coefficienti:
1⎞
⎛1 1
A = ⎜ 3 −1 − 4 ⎟
⎜⎝ 5 1 −2 ⎟⎠
risulta det A = 0, quindi il sistema non è determinato. Si osserva che la terza equazione è combinazione lineare delle altre due (si ottiene moltiplicando per 2 la prima equazione e sommandola alla seconda membro a membro); è quindi sufficiente considerare il sistema formato dalle prime due equazioni:
⎧ x1 + x2 + x3 = −1
⎨
⎩ 3x1 − x2 − 4 x3 = 1
nelle incognite x1 e x2, visto che la matrice dei coefficienti di x1 e x2: ⎛⎜ 1
⎝3
so da zero. Posto x3 = l (l Œ ⺢), basta risolvere il sistema:
1⎞ ha determinante diver−1⎟⎠
⎧ x1 + x2 = −1 − λ
⎨
⎩ 3x1 − x2 = 1 + 4 λ
Il sistema è dunque compatibile, ma indeterminato. Le infinite soluzioni sono date da:
x1 =
25
3
λ;
4
x2 = − 1 −
7
λ;
4
x3 = λ (λ ∈⺢)
Non è compatibile il sistema:
⎧ 3x1 − x2
= 4
⎪
⎨ x1 + x2 − 4 x3 = 1
⎪ x − 3x + 8 x = 7
2
3
⎩ 1
Esso, non solo non è determinato in quanto il determinante della matrice dei coefficienti è nullo, ma è
anche impossibile. Infatti, mentre il primo membro della terza equazione è combinazione lineare dei
primi due membri delle prime due equazioni:
x1 – 3x2 + 8x3 = 3x1 – x2 – 2 (x1 + x2 – 4x3 )
non è così per i secondi membri: 4 – 2 ◊ 1 π 7.
26
Discutere, al variare di k Œ ⺢, la compatibilità del sistema:
2y
= −1
⎧ x −
⎪
⎨ x + (1 + k ) y − z = −1
⎪2 x
− kz = −2
⎩
Consideriamo la matrice A dei coefficienti:
−2
0⎞
⎛1
A = ⎜ 1 1 + k − 1⎟
⎜⎝ 2
0 − k ⎟⎠
Si ha:
•
14
det A = –k2 – 3k + 4
Per k π – 4 e k π 1, si ha det A π 0, quindi il sistema è determinato: l’unica soluzione si calcola con
la regola di Cramer.
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Matrici e sistemi lineari
•
Per k = – 4 il sistema diventa:
⎧⎪ x − 2y
= −1
⎨ x − 3y − z = −1
⎪⎩ 2 x
+ 4z = −2
Si osserva che la terza equazione si ottiene moltiplicando la prima equazione per 6, la seconda per
– 4 e sommando membro a membro.
È sufficiente quindi considerare il sistema formato dalle prime due equazioni nelle incognite x e y,
visto che il determinante della matrice dei coefficienti:
⎛ 1 − 2⎞
⎜⎝ 1 − 3⎟⎠
è diverso da zero, porre z = l (l Œ ⺢) e risolvere il sistema:
⎧ x − 2 y = −1
⎨
⎩ x − 3y = − 1 + λ
Il sistema è dunque compatibile e ha infinite soluzioni:
x = –1 – 2l
•
y = –l
z=l
Per k = 1 il sistema diventa:
⎧⎪ x − 2y
= −1
⎨ x + 2y −z = −1
⎪⎩ 2x
– z = −2
Anche in questo caso il sistema è compatibile; basta osservare che la terza equazione si ottiene sommando le prime due membro a membro, porre z = l (l Œ ⺢) e considerare il sistema:
⎧ x − 2 y = −1
⎨
⎩ x + 2 y = −1 + λ
che risolto fornisce le infinite soluzioni:
x = −1 +
6
λ
2
y=
λ
4
z=λ
Sistemi lineari omogenei
Se il vettore dei termini noti è il vettore nullo:
Ax=0
il sistema si dice omogeneo.
È evidente che i sistemi omogenei sono compatibili, infatti hanno almeno la soluzione x1 = 0,
x2 = 0, x3 = 0.
Se inoltre det A π 0 allora il sistema è anche determinato e quindi non esistono altre soluzioni oltre la soluzione (0; 0; 0) che si dice a volte banale.
Se invece det A = 0 si possono trovare altre terne soluzione: esse vengono dette autosoluzioni del sistema.
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Matrici e sistemi lineari
sempi
27
Il sistema omogeneo:
⎧ x1
− 2 x3 = 0
⎪
x
⎨
2 + 4 x3 = 0
⎪x + x + x = 0
3
⎩ 1 2
ha matrice dei coefficienti:
⎛1
A = ⎜0
⎜⎝ 1
0 −2 ⎞
1 4⎟
1
1⎟⎠
e risulta det A = –1 π 0. Il sistema ha l’unica soluzione:
x1 = 0
28
x2 = 0
x3 = 0
Il sistema omogeneo:
⎧ x1 + 2 x2 − x3 = 0
⎪
4 x2 + 3x 3 = 0
⎨
⎪ x + 10 x + 5 x = 0
2
3
⎩ 1
ha matrice dei coefficienti:
−1⎞
3⎟
5 ⎟⎠
⎛1 2
A = ⎜0 4
⎜⎝ 1 10
e risulta det A = 0. Il sistema ammette, oltre alla soluzione banale:
x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
anche autosoluzioni.
Poiché la terza equazione è combinazione lineare delle altre due (si ottiene moltiplicando la seconda
per due e sommando con la prima), basta considerare il sistema formato dalle prime due equazioni nelle incognite x1, x2:
⎧ x1 + 2x 2 − x 3 = 0
⎨
4x2 + 3x 3 = 0
⎩
visto che il determinante della matrice ⎛⎜ 1 2 ⎞⎟ è diverso da zero, porre x3 = l Œ ⺢ e risolvere il sistema:
⎝ 0 4⎠
⎧ x1 + 2 x2 = λ
⎨
4 x2 = −3λ
⎩
Le infinite soluzioni del sistema al variare di l Œ ⺢ sono:
x1 =
5
λ
2
x2 = −
3
λ
4
x3 = λ
In particolare, per l = 0 si ottiene la soluzione:
x1 = 0
16
x2 = 0
x3 = 0
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Matrici e sistemi lineari
29
3y − 2 kz = 0
⎧ kx −
⎪
Discutere, al variare di k Œ ⺢, il sistema omogeneo: ⎨ x − ( k − 1) y + z = 0
⎪ x−
ky
=0
⎩
Calcoliamo dapprima il determinante della matrice A dei coefficienti; risulta:
det A = k2 + 2k – 3
Per k π –3 e k π 1 si ha det A π 0, quindi il sistema è determinato, ammettendo solo la soluzione banale:
x=0
Per k = –3, il sistema si scrive:
y=0
z=0
⎧⎪−3x − 3y + 6z = 0
⎨ x + 4y + z = 0
⎪⎩ x + 3y
=0
2
1
e la seconda per
e som3
9
mando membro a membro; basta quindi considerare il sistema formato dalle ultime due equazioni nelle incognite y e z, visto che il determinante della matrice dei coefficienti:
Si osserva che la terza equazione si ottiene moltiplicando la prima per −
⎛ 4 1⎞
⎜⎝ 3 0 ⎟⎠
è diverso da zero.
Posto x = l (l Œ ⺢), il sistema si scrive:
⎧4 y + z = −λ
⎨
= −λ
⎩ 3y
Le soluzioni sono:
x=λ
Per k = 1 il sistema diventa:
y=−
λ
3
z=
λ
3
⎧ x − 3y − 2 z = 0
⎪
+ z=0
⎨x
⎪x − y
=0
⎩
Con procedimento analogo si ottengono le soluzioni:
x=λ
7
y=λ
z = −λ
Sistemi triangolari superiori
Metodo di Gauss
Gli algoritmi proposti nel seguito sono considerati sotto la limitazione di tre equazioni in tre
incognite per semplicità.
Il titolo del paragrafo si riferisce al caso di sistemi con matrice dei coefficienti con gli elementi posti al di sotto della diagonale principale tutti nulli, matrice quindi determinata dal “triangolo superiore”:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
a22 x2 + a23 x3 = b2
⎨
⎪
a33 x3 = b3
⎩
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Matrici e sistemi lineari
Si comincia dall’ultima equazione:
x3 =
b3
a33
Sostituendo nella penultima il valore x3 trovato, si ha:
a22 ⋅ x2 + a23 ⋅
b3
= b2
a33
quindi:
x2 =
b2 − a23 ⋅
b3
a33
a22
Sostituendo nella prima equazione i valori di x3 e x2 trovati, si ha:
b
⎞
⎛
b2 − a23 ⋅ 3
⎜
b3 ⎟ 1
a33
x1 = ⎜ b1 − a12 ⋅
− a13 ⋅
⎟⋅
a33 ⎟ a11
a22
⎜
⎜⎝
⎠⎟
La risoluzione di sistemi triangolari (inferiori o superiori) non richiede algoritmi speciali: è
una risoluzione diretta!
Osservazione 2
Quanto detto sopra richiede che:
a11 π 0
a22 π 0
a33 π 0
Se per esempio fosse stato a33 = 0, è evidente che il sistema sarebbe stato incompatibile a meno che
anche b3 non fosse zero.
Tenuto presente che, nel caso di una matrice A triangolare (superiore o inferiore), si ha:
det A = a11 a22 · a33
la richiesta che i tre coefficienti siano diversi da zero non appare sorprendente. È noto, dal teorema
di Cramer, che i sistemi di tre equazioni in tre incognite sono risolubili qualunque siano i termini
noti se e solo se det A π 0.
Nell’ipotesi a11 π 0, a22 π 0 e a33 π 0, si può dividere la prima equazione per a11, la seconda per a22
e la terza per a33; il sistema si riduce allora a
⎧ x1 + c12 x2 + c13 x3 = d1
⎪
x2 + c23 x3 = d2
⎨
⎪
x3 = d3
⎩
Trasformazioni di un sistema lineare
Le “trasformazioni” possibili di un sistema lineare sono:
a) moltiplicare (o dividere) membro a membro un’equazione del sistema per un fattore non
nullo;
b) addizionare (o sottrarre) da un’equazione una qualsiasi altra equazione (dello stesso sistema).
Tali trasformazioni cambiano la matrice dei coefficienti ma, se essa aveva determinante diverso da zero, tale risulta anche il determinante della nuova matrice.
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Matrici e sistemi lineari
Il metodo di Gauss
Le soluzioni di un sistema di tre equazioni in tre incognite possono essere ricercate mediante
un procedimento di eliminazioni successive detto metodo di Gauss.
Dato il sistema:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
⎪a x + a x + a x = b
33 3
3
⎩ 31 1 32 2
moltiplichiamo la prima equazione per a21 e la seconda per a11 e quindi sottraiamole tra loro.
L’equazione che così si ottiene non ha più il termine in x1.
Analogamente, moltiplichiamo la prima equazione per a31 e la terza per a11 e quindi sottraiamole; l’equazione che così si ottiene è anch’essa priva del termine in x1. Con le due operazioni
indicate abbiamo trasformato il sistema in un altro equivalente, nel quale tuttavia la seconda
e la terza equazione non contengono l’incognita x1:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
a22
′ x2 + a23
′ x3 = b2′
⎨
⎪
a32
′ x2 + a33
′ x3 = b3′
⎩
Naturalmente i coefficienti a¢22 ecc. sono diversi dai precedenti a22 ecc.
A questo punto moltiplichiamo la seconda equazione per a¢32 e la terza per a¢22 e sottraiamole; l’equazione che così si ottiene non ha più neanche l’incognita x2: si tratta di un’equazione nella sola x3.
Il sistema si presenta ora nella forma detta a matrice triangolare superiore:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
a22
′ x2 + a23
′ x3 = b2′
⎨
⎪
a33
′′ x3 = b3′′
⎩
π 0, è possibile ricavare:
Dalla terza equazione, almeno se a¢¢
33
x3 =
b3′′
a33
′′
Se ne sostituisce il valore nella seconda e da essa, almeno se a¢22 π 0, si ricava x2. Trovate x3
e x2, si sostituiranno nella prima equazione dalla quale, almeno se a11 π 0, si ricava x1.
GAUSS, Karl Friedrich (Brunswick 1777 – Gottinga 1855) Matematico, fisico, astronomo e geodeta tedesco, si occupò di tutti i rami delle matematiche pure e applicate, lasciando ovunque tracce del suo eccezionale ingegno; per i suoi studi e i risultati conseguiti, i suoi contemporanei lo chiamarono princeps mathematicorum. Iniziò giovanissimo ad occuparsi di teoria dei numeri; le successive ricerche di alta aritmetica lo portarono a elaborare la prima dimostrazione rigorosa del teorema fondamentale dell’algebra. Fornì
un metodo generale per la risoluzione delle equazioni binomie e in generale la decomposizione in fattori
semplici del binomio x2n+1 – 1 nel caso che 2n + 1 sia primo.
In astronomia studiò nuovi metodi per il calcolo delle orbite dei pianeti e delle comete. In fisica matematica
elaborò i teoremi generali relativi alle azioni fra poli magnetici, tra i quali le proposizioni fondamentali della
teoria del potenziale legati al suo nome. Fra le sue numerosissime opere ricordiamo le Disquisitiones arithmeticae del 1801, primo trattato moderno di teoria dei numeri, e Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium.
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19
Matrici e sistemi lineari
Il metodo di Gauss pertanto consente di stabilire il seguente
Ogni sistema di n incognite, con matrice dei coefficienti a determinante diverso da zero, può essere trasformato in un sistema a matrice triangolare superiore con
diagonale principale fatta di tutti uno.
TEOREMA 2
sempi
30
⎧ x1 + 3x2 + x3 = 3
⎪
Risolvere con il metodo di Gauss il sistema: ⎨ 3x1 − 2 x2 + 4 x3 = −3
⎪ 2 x − x − 3x = 4
2
3
⎩ 1
Moltiplichiamo la prima equazione per 3 e sottraiamola dalla seconda; si ottiene:
–11x2 + x3 = –12
Analogamente, moltiplichiamo la prima equazione per 2 e sottraiamola dalla terza; si ottiene:
–7x2 – 5x3 = –2
Il sistema resta trasformato così nel sistema equivalente:
⎧ x1 + 3x2 + x3 =
3
⎪
⎨ − 11x2 + x3 = −12
⎪ − 7 x − 5 x = −2
2
3
⎩
Moltiplichiamo ora la seconda equazione per –7 e la terza per –11 e sottraiamo membro a membro
ottenendo:
– 62x3 = 62
fi
x3 = –1
Quindi il sistema può scriversi in modo equivalente:
⎧ x1 + 3x2 + x3 =
3
⎪
−
11
x
+
x
=
−
12
⎨
2
3
⎪
x
3 = − 1
⎩
da cui, risalendo e sostituendo, si ottiene:
x2 = 1
x1 = 1
Quindi la terna soluzione è (1; 1; –1).
31
⎧ x − 3y + 7 z = 10
⎪
Risolvere con il metodo di Gauss il sistema: ⎨5 x − y + z = 8
⎪ x + 4 y − 10 z = −11
⎩
Si ha, moltiplicando la prima equazione per 5 e sottraendola dalla seconda:
⎧ x − 3y + 7 z = 10
⎪
14 y − 34 z = −42
⎨
⎪ x + 4 y − 10 z = −11
⎩
20
a
a
sottraendo dalla 3 la1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎧ x − 3y + 7 z = 10
⎪
7 y − 17 z = −21
⎨
⎪
7 y − 17 z = −21
⎩
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Matrici e sistemi lineari
Perciò il sistema si riduce a un sistema di due equazioni in tre incognite che si può scrivere:
⎧ x − 3y = −7 z + 10
⎨
7 y = 17 z − 21
⎩
Il sistema è compatibile, ma indeterminato. Posto z = l, calcolando prima y e successivamente x, si
ottengono, al variare di l Œ ⺢, le infinite soluzioni:
x=
2
λ +1
7
17
λ−3
7
z=l
y = 17l –3
z = 7l
y=
che si possono anche scrivere nel modo seguente:
x = 2l + 1
8
Matrice inversa
DEFINIZIONE Se A è una matrice quadrata di ordine n, si chiama matrice inversa di A, e si
indica con A–1, una matrice di ordine n, se esiste, tale che:
A–1 * A = A * A–1 = I
dove I indica la matrice unità di ordine n.
Si osservi che la definizione è analoga a quella di reciproco di un numero a (infatti a–1 reciproco di a è tale che a ◊ a–1 = a–1 ◊ a = 1) e che la sua esistenza è assicurata dalla condizione a π 0.
In analogia, si può provare che esiste ed è unica la matrice inversa della matrice A se
det A π 0.
n=2
Se det A π 0, il sistema:
⎧a11 x1 + a12 x2 = b1
⎨a x + a x = b
2
⎩ 21 1 22 2
per il teorema di Cramer ha una sola soluzione:
⎛b a ⎞
det ⎜ 1 12 ⎟
−a
a
⎝ b2 a22 ⎠
= b1 22 + b2 12
x1 =
det A
det A
det A
⎛a b ⎞
det ⎜ 11 1 ⎟
a
−a
⎝ a21 b2 ⎠
x2 =
= b1 21 + b2 11
det A
det A
det A
La matrice:
⎛ a22
⎜
A −1 = ⎜ det A
−a
⎜ 21
⎝ det A
− a12 ⎞
det A ⎟
a11 ⎟
⎟
det A ⎠
si chiama matrice inversa della matrice A, poiché risulta:
A–1 * A = A * A–1 = I
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21
Matrici e sistemi lineari
Infatti:
⎛ a22
⎜ det A
⎜ − a21
⎜⎝
det A
− a12 ⎞
det A ⎟ ∗ ⎛ a11 a12 ⎞ = ⎛ 1 0 ⎞
⎜⎝ a
⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
a11 ⎟
21 a22 ⎠
⎟⎠
det A
e
⎛ a22
⎛ a11 a12 ⎞
⎜ det A
⎜⎝ a
⎟⎠ ∗ ⎜ − a
a
21
22
⎜⎝ 21
det A
− a12 ⎞
det A ⎟ = ⎛ 1 0 ⎞
a11 ⎟ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
⎟
det A ⎠
1
.
det A
Ora, considerato il generico elemento ahk della matrice:
Inoltre è facile verificare che det A–1 =
⎛a a ⎞
A = ⎜ 11 12 ⎟
⎝ a21 a22 ⎠
se sopprimiamo la riga h-esima e la k-esima colonna che incrociano l’elemento stesso e cambiamo segno se h + k è dispari, determiniamo il cosiddetto complemento algebrico dell’elemento ahk, che indicheremo con Ahk.
Risulta quindi:
A11 = a22
A12 = –a21
A21 = –a12
A22 = a11
La matrice inversa della matrice A può quindi essere scritta:
A21 ⎞
⎛ A11
⎜
⎟
A –1 = ⎜ det A det A ⎟
A
A22
⎜ 12
⎟
⎝ det A det A ⎠
sempio
32
⎛2
Determinare la matrice inversa della matrice A = ⎜
⎝1
5⎞
.
3⎟⎠
Risulta: det A = 1 π 0. Poiché: A11 = 3, A21 = –5, A12 = –1, A22 = 2, si ha:
⎛ 3 −5 ⎞
A −1 = ⎜
⎝ −1 2 ⎟⎠
e det A–1 = 1. Proviamo ora che A–1 * A = A * A–1 = I.
Infatti, moltiplicando righe per colonne:
⎛2
⎜⎝ 1
5 ⎞ ⎛ 3 −5 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
=
3⎟⎠ * ⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1⎟⎠
e
⎛ 3 −5 ⎞ ⎛ 2 5 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜⎝ −1 2 ⎟⎠ * ⎜⎝ 1 3⎟⎠ = ⎜⎝ 0 1⎟⎠
n=3
Considerata la matrice:
⎛ a11 a12 a13⎞
A = ⎜ a21 a22 a23⎟
⎜a a
⎟
⎝ 31 32 a33⎠
il complemento algebrico dell’elemento ahk è il determinante del secondo ordine che si ottiene sopprimendo la riga h-esima e la colonna k-esima e cambiando segno se h + k è dispari.
22
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Matrici e sistemi lineari
Così, per esempio:
a ⎞
⎛a
A11 = det ⎜ 22 23⎟
⎝ a32 a33⎠
a ⎞
⎛a
A32 = − det ⎜ 11 13⎟
⎝ a21 a23⎠
Consideriamo ora il sistema di 3 equazioni in 3 incognite:
⎧a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1
⎪
⎨a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2
⎪a x + a x + a x = b
33 3
3
⎩ 31 1 32 2
Se det A π 0, l’unica soluzione è:
⎛ b1 a12 a13⎞
det ⎜ b2 a22 a23⎟
⎜b a
⎟
A
A
A
⎝ 3 32 a33⎠
x1 =
= b1 11 + b2 21 + b3 31
det A
det A
det A
det A
⎛ a11 b1 a13 ⎞
det ⎜ a21 b2 a23⎟
⎜a b a ⎟
A
A
A
⎝ 31 3 33⎠
x2 =
= b1 12 + b2 22 + b3 32
det A
det A
det A
det A
⎛ a11 a12 b1 ⎞
det ⎜ a21 a22 b2 ⎟
⎜a a
⎟
A
A
A
⎝ 31 32 b3⎠
x3 =
= b1 13 + b2 23 + b3 33
det A
det A
det A
det A
La matrice:
⎛ A11
⎜ det A
⎜ A
A −1 = ⎜ 12
A
⎜ det
A
⎜ 13
⎝ det A
A21
det A
A22
det A
A23
det A
A31 ⎞
det A ⎟
A32 ⎟
⎟
deet A ⎟
A33
⎟
det A ⎠
è la matrice inversa della matrice A, poiché risulta A–1 * A = A * A–1 = I.
Riassumendo, per ottenere la matrice inversa di A si può procedere al modo seguente:
1. formare una matrice che ha per elementi i complementi algebrici Ahk degli elementi ahk;
2. considerare la trasposta della matrice ottenuta (scambiare le righe con le colonne);
3. dividere ciascun elemento della matrice così ottenuta per det A.
sempio
33
⎛ 1 2
Considerata la matrice: A = ⎜ 0 1
⎜⎝ −1 2
si ha che det A = 12.
Poiché:
A11 = 7
A12 = 2
A13 = 1
1⎞
−2 ⎟
3⎟⎠
A21 = –4
A22 = 4
A23 = –4
A31 = –5
A32 = 2
A33 = 1
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23
Matrici e sistemi lineari
la matrice inversa è:
⎛ 7
⎜ 12
⎜ 2
A −1 = ⎜
⎜ 12
⎜ 1
⎝ 12
e risulta: det A −1 =
4
12
4
12
4
−
12
−
−
5⎞
12 ⎟
2⎟
12 ⎟⎟
1⎟
12 ⎠
1
.
12
Risoluzione dei sistemi lineari con il metodo della matrice inversa
Consideriamo un sistema in cui il numero delle equazioni sia uguale al numero delle incognite
scritto nella forma vettoriale
Ax = b
Se det A π 0 il sistema ammette una sola soluzione e la matrice A ha la sua inversa A-–1.
Moltiplicando entrambi i membri della precedente uguaglianza a sinistra per A–1 si ha:
A–1[Ax] = A–1b
ed essendo A–1 * A = I, si ha:
x = A–1b
che fornisce la soluzione del sistema.
sempio
34
Considerato il sistema:
⎧ x1 + 2 x2 + x3 = 4
⎪
x2 − 2 x 3 = 1
⎨
⎪ − x + 2 x + 3x = − 2
2
3
⎩ 1
si ha det A = 12.
La matrice inversa calcolata nell’esempio precedente è la seguente:
⎛ 7
⎜ 12
⎜ 2
–1
A =⎜
⎜ 12
⎜ 1
⎝ 12
4
12
4
12
4
−
12
−
−
5⎞
12 ⎟
2 ⎟
12 ⎟⎟
1 ⎟
12 ⎠
quindi
(
x = x1; x2 ; x3
)
⎛ 7
⎜ 12
=⎜ 2
⎜ 12
⎜ 1
⎜⎝
12
4
12
4
12
4
−
12
−
−
5⎞
12 ⎟ ⎛ 4 ⎞
2 ⎟⋅ 1
⎜ ⎟
12 ⎟ ⎜⎝ −2 ⎟⎠
1 ⎟
⎟
12 ⎠
da cui:
x1 =
24
7
4
5
17
2
4
2
2
1
4
1
1
⋅4 −
−
⋅ (−2 ) =
; x2 =
⋅4 +
+
⋅ (−2 ) = ; x 3 =
⋅4 −
+
⋅ (−2 ) = −
12
12 12
6
12
12 12
3
12
12 12
6
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Matrici e sistemi lineari
9
Formula di Laplace
DEFINIZIONE Il determinante di una matrice quadrata di ordine n è uguale alla somma dei
prodotti di una riga (o colonna) qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici.
Nel caso n = 2 l’asserto è ovvio.
Verifichiamo nel caso n = 3 prendendo in considerazione la prima riga; si ha:
a11A11 + a12A12 + a13A13 = a11(a22a33 – a23a32) – a12 (a21a33 – a23a31) + a13 (a21a32 – a22a31) =
= a11a22a33 – a11a23a32 – a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 = det A
La formula osservata è detta formula di Laplace per determinanti.
sempio
35
⎛ 2 3 4⎞
Calcoliamo il determinante della matrice: A = ⎜⎜ 3 −1 5⎟⎟
⎜⎝ 7 3 −2⎟⎠
Si ha:
⎛ −1 5⎞
⎛ 3 5⎞
⎛ 3 −1⎞
det A = 2 det ⎜
− 3det ⎜
+ 4 det ⎜
=
⎟
⎟
⎝ 3 −2⎠
⎝ 7 −2⎠
⎝ 7 3⎟⎠
LAPLACE Pierre-Simon de (17491827) Astronomo e matematico francese, uno dei massimi scienziati
francesi dell’epoca napoleonica. La
sua opera è legata ai suoi studi di
astronomia e meccanica celeste. In
campo matematico compì fondamentali ricerche di analisi infinitesimale, sulla teoria delle serie, sull’integrazione delle equazioni differenziali.
= 2 (2 – 15) – 3 (– 6 – 35) + 4 (9 + 7) = – 26 + 123 + 64 = 161
Osservazione 3
La formula di Laplace permette di calcolare il determinante di una matrice di ordine 3 servendosi
dei determinanti di tre matrici di ordine 2. Sotto questo punto di vista la formula suggerisce la definizione di determinante per matrici di ordine anche maggiore di 3, come somma dei prodotti degli elementi di una riga per i rispettivi complementi algebrici. Così per una matrice di ordine 4 la
formula conduce alla somma dei prodotti dei quattro elementi di una riga per i rispettivi complementi algebrici, che comportano il calcolo di quattro determinanti di matrici di ordine 3.
sempio
36
Calcoliamo il determinante della matrice quadrata di ordine 4:
⎛ 1 3 −4 0 ⎞
⎜ 5 −2
0 2⎟⎟
A=⎜
⎜0
0
1 4⎟
⎜
⎟
3 −3 2⎠
⎝3
sviluppando secondo gli elementi della terza riga:
det A = A33 + 4A34
Essendo:
1 3 0
1 3 −4
A33 = det 5 −2 2
A34 = − det 5 −2
0
3
3 2
3
3 −3
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25
Matrici e sistemi lineari
si ha:
A33 = – 22
quindi:
10
A34 = 33
det A = 110
Rango di una matrice
Introduciamo ora un nuovo concetto, il rango di una matrice, strettamente collegato con la risolvibilità di un sistema lineare.
Una matrice m ¥ n è una tabella numerica formata da m righe ed n colonne del tipo:
⎛a
11
⎜
⎜a
A = ⎜ 21
⎜…
⎜⎝ a
m1
a12
a22
…
am 2
… a1n ⎞
⎟
… a2 n ⎟
⎟
… … ⎟
… amn ⎟⎠
Scelte ad arbitrio p righe e p colonne di A, la matrice quadrata formata da tali righe e colonne si dice estratta da A. Il determinante della matrice estratta prende il nome di minore.
sempio
37
Dalla matrice:
⎛ 1 0 4 8⎞
a = ⎜⎜ 1 7 5 −1⎟⎟
⎜⎝ 2 −3 4 7⎟⎠
si possono estrarre 4 matrici di ordine 3:
⎛ 1 0 4⎞
⎜ 1 7 5⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 −3 4 ⎟⎠
⎛ 1 0 8⎞
⎜ 1 7 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 −3 7⎟⎠
⎛ 1 4 8⎞
⎜ 1 5 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 4 7⎟⎠
⎛ 0 4 8⎞
⎜ 7 5 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ −3 4 7⎟⎠
18 matrici di ordine 2, per esempio:
⎛ 7 5⎞
⎜⎝ −3 4 ⎟⎠
⎛ 0 8⎞
⎜⎝ −3 7⎟⎠
⎛ 1 7⎞
⎜⎝ 2 −3⎟⎠
e 12 matrici di ordine 1 formate da ciascun elemento di A.
DEFINIZIONE Si definisce rango (o caratteristica) di una matrice A l’ordine più alto rispetto al quale esistono matrici quadrate estratte da A con determinante diverso da zero.
sempi
38
26
Il rango della matrice A considerata nell’esempio precedente è 3. Infatti, matrici estratte da A con p >
3 non ce ne sono e del resto la matrice:
⎛ 1 4 8⎞
A = ⎜⎜ 1 5 −1⎟⎟
⎜⎝ 2 4 7⎟⎠
ha determinante – 45 π 0.
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Matrici e sistemi lineari
39
La matrice:
⎛ 3 2 4⎞
B = ⎜⎜ 1 0 −1⎟⎟
⎜⎝ 4 2 3⎟⎠
ha determinante nullo perché la terza riga è la somma delle altre due, mentre la matrice estratta
⎛ 3 2⎞
⎜⎝ 1 0 ⎟⎠
di ordine 2 ha determinante non nullo. Quindi il rango di B è uguale a 2.
40
Il rango della matrice:
⎛ 2 3 −1⎞
⎜ 4 6 −2⎟
⎜
⎟
C = ⎜ 8 12 −4 ⎟
⎜
⎟
1
⎜2
1 − ⎟
⎝3
3⎠
è uguale a 1 in quanto, essendo le righe proporzionali, tutte le matrici estratte di ordine 3 e di ordine 2
hanno determinante nullo.
Osservazione 4
Si osservi che ciascuna riga (o colonna) di una matrice può considerarsi come un vettore. È possibile che i vettori riga (o colonna) siano linearmente indipendenti o dipendenti (vedi § 4.4).
Nei tre esempi precedenti, nella matrice A i tre vettori riga sono linearmente indipendenti, nella matrice B i primi due vettori riga sono linearmente indipendenti mentre il terzo vettore riga dipende linearmente dagli altri due, infine nella matrice C un solo vettore riga è indipendente.
Sussiste il seguente teorema:
TEOREMA 3 In una matrice il numero di vettori riga linearmente indipendenti coincide con
il numero di vettori colonna linearmente indipendenti e coincide con il rango.
Possiamo dunque dare un’altra definizione di rango:
Il rango di una matrice è il numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti.
11
Teorema di Rouché-Capelli
Consideriamo il sistema di tre equazioni in tre incognite:
⎧a x +a x +a x =b
⎪⎪ 11 1 12 2 13 3 1
⎨a21x1 + a22 x 2 + a23 x3 = b2
⎪
⎪⎩ a31x1 + a32 x 2 + a33 x3 = b3
e poniamo:
a1 = (a11; a21; a31)
a2 = (a12; a22; a32)
a3 = (a13; a23; a33)
b = (b1; b2; b3)
ROUCHÉ Eugène (1832-1910)
Matematico francese, i suoi
principali lavori riguardano lo
sviluppo in serie delle funzioni,
la teoria delle equazioni algebriche, il calcolo delle probabilità.
CAPELLI Alfredo (Milano 1855
– Napoli 1910) Matematico,
professore di algebra prima
all’università di Palermo e dal
1886 a quella di Napoli. I suoi
studi furono rivolti soprattutto
all’analisi algebrica.
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27
Matrici e sistemi lineari
Dire che il sistema iniziale è compatibile corrisponde a dire che il vettore b è combinazione
lineare, con opportuni coefficienti x1, x2 e x3, dei tre vettori a1, a2 e a3:
x1 · a1 + x2 · a2 + x3 · a3 = b
Quanto osservato corrisponde a riconoscere che l’iniziale sistema ha soluzione se il vettore b
dei “termini noti” è linearmente dipendente dai tre vettori dati dalle tre “colonne dei coefficienti”.
In altri termini, affinché il sistema sia compatibile, il numero di vettori linearmente indipendenti tra a1, a2 e a3 e tra a1, a2, a3 e b deve essere lo stesso, perché quest’ultimo deve essere
combinazione lineare dei primi tre.
Questo insieme di osservazioni fornisce una risposta esauriente al problema della decisione
sull’esistenza o meno di soluzioni per un sistema lineare. La questione è trasformata nel calcolo del rango di due matrici, la matrice A dei coefficienti del sistema:
⎛a
a
⎜ 11 12
A = ⎜ a21 a22
⎜
⎝ a31 a32
a13 ⎞
⎟
a23 ⎟
⎟
a33 ⎠
detta anche “matrice incompleta del sistema” e la matrice B dei coefficienti e dei termini noti:
⎛a
a
⎜ 11 12
B = ⎜ a21 a22
⎜
⎝ a31 a32
a13
a23
a33
b1 ⎞
⎟
b2 ⎟
⎟
b3 ⎠
TEOREMA 4 (TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI) Condizione necessaria e sufficiente affinché un
sistema di equazioni lineari ammetta soluzioni è che la matrice dei coefficienti e la matrice dei coefficienti e termini noti abbiano lo stesso rango.
sempio
41
Consideriamo il sistema:
⎧ x − 4y = 5
⎪
⎨ 2x + 5y = 1
⎪5 x + 6 y = 7
⎩
Poiché la matrice incompleta:
⎛ 1 −4 ⎞
⎜2
5⎟⎟
⎜
⎜⎝ 5
6⎟⎠
ha rango 2, essendo diverso da zero il minore di ordine 2 formato dalle prime due righe, e la matrice completa:
⎛ 1 −4 5⎞
⎜2
5 1⎟⎟
⎜
⎜⎝ 5
6 7⎟⎠
28
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Matrici e sistemi lineari
ha anch’essa rango 2, in quanto il minore di ordine 3, cioè il determinante della matrice stessa, è uguale a zero, il sistema ha soluzioni; per calcolarle basta considerare il sistema:
⎧x − 4 y = 5
⎨
⎩2 x + 5 y = 1
le cui soluzioni sono:
x=
12
29
13
y=−
9
13
Risoluzione di un sistema
Illustriamo brevemente i passi fondamentali, suggeriti dai risultati precedenti (teoremi di
Rouché-Capelli e di Cramer), per rispondere alle seguenti domande:
• il sistema assegnato è compatibile?
• la soluzione è unica?
• quali sono le soluzioni?
Compatibilità
La risposta è nel teorema di Rouché-Capelli: occorre che il rango della matrice completa e
quello della matrice incompleta siano uguali.
Questo accade certamente nei sistemi quadrati con matrice dei coefficienti a determinante diverso da zero, qualunque siano i termini noti.
Se il sistema non è quadrato o, pur essendo quadrato, la matrice dei coefficienti ha determinante zero, la condizione di compatibilità di Rouché-Capelli coinvolge i termini noti.
È giusto osservare che i sistemi omogenei sono naturalmente sempre compatibili.
sempio
42
Sia dato il sistema quadrato d’ordine 2:
⎧x + y = h
⎨
⎩2 x + 2 y = k
La matrice dei coefficienti ha determinante zero e rango 1.
La matrice completa:
⎛ 1 1 h⎞
⎜⎝ 2 2 k ⎟⎠
può avere rango 1 oppure 2 a seconda dei valori di h e k.
Così, se h = 1 e k = 1, la matrice completa ha rango 2 perché in essa si trova il minore
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ 2 1⎟⎠
formato dalla seconda e terza colonna che ha determinante – 1 π 0.
Se invece k = 2h si riconosce facilmente che la matrice completa ha anch’essa rango 1. Infatti è evidente che, stante la proporzionalità dei primi membri, l’unica possibilità che il sistema assegnato sia
compatibile è che siano altrettanto proporzionali i secondi membri.
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29
Matrici e sistemi lineari
Unicità
La questione è subordinata all’avere ottenuto risposta positiva alla domanda precedente.
Supponiamo quindi di lavorare con un sistema per il quale la matrice dei coefficienti e la matrice completa abbiano lo stesso rango r.
Possono verificarsi due casi:
a) il rango r è uguale al numero delle incognite;
b) il rango r è minore del numero delle incognite.
Nel primo caso c’è unicità, nel secondo no.
sempio
43
Consideriamo il sistema d’ordine 2:
⎧ x+ y= h
⎨
⎩ 2 x + 2 y = 2h
Il rango r in questo caso è 1; si hanno due incognite… quindi non c’è unicità della soluzione!
Infatti il sistema equivale, in questo caso, alla sola prima equazione:
x+y=h
la quale equivale anche a
x=h-y
Possiamo dare ad y un valore arbitrario l e ricavare:
x=h –l
Il sistema quindi ha le infinite soluzioni:
x = h – l, y = l
per ogni l Œ ⺢
Soluzioni
La questione della determinazione “esplicita” delle soluzioni è subordinata all’avere ottenuto
risposta positiva alla prima domanda.
Supponiamo quindi di lavorare con un sistema per il quale la matrice dei coefficienti e la matrice completa abbiamo lo stesso rango r.
Dire che la matrice dei coefficienti del sistema ha rango r vuol dire che certe sue “fortunate”
r righe e certe sue “fortunate” r colonne offrono un minore con determinante diverso da zero.
Scartiamo dal sistema tutte le equazioni che non rientrano nelle r righe “fortunate”.
Siamo ridotti a questo punto a un sistema con r equazioni.
In esse portiamo a secondo membro tutte le incognite, se ce ne sono, che non rientrano nelle r
colonne “fortunate” di cui sopra, cioè se il numero delle incognite del sistema è superiore a r.
Diamo a ciascuna di tali incognite eccedenti r valori arbitrari l, m ecc. Siamo ridotti a questo
punto a un sistema “di Cramer”:
• r equazioni;
• r incognite;
• matrice dei coefficienti a determinante diverso da zero.
Questo sistema si risolve appunto come il teorema di Cramer insegna.
Se il numero delle incognite del sistema supera r, tali soluzioni tuttavia dipenderanno dagli arbitrari valori l, m ecc. che abbiamo attribuito alle incognite eccedenti portate a secondo membro. Avremo in questo caso “infinite soluzioni”.
30
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Matrici e sistemi lineari
sempio
44
Consideriamo il sistema:
⎧x + y + z + w = 1
⎪
⎨ x − y + 2z + w = 3
⎪2 x − 2 y + 4 z + 2 w = 6
⎩
La matrice dei coefficienti:
⎛1
1 1 1⎞
⎜ 1 −1 2 1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 −2 4 2⎟⎠
ha rango 2, come si riconosce osservando che la terza riga è esattamente il doppio della seconda.
Lo stesso dicasi per la matrice completa:
⎛1
1 1 1 1⎞
⎜ 1 −1 2 1 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 −2 4 2 6⎟⎠
Il sistema è quindi compatibile.
Le prime due righe e le prime due colonne sono quelle “fortunate” secondo il linguaggio convenzionale usato sopra; esse forniscono un minore nella matrice dei coefficienti:
⎛ 1 1⎞
⎜⎝ 1 −1⎟⎠
con determinante – 2 π 0.
Scegliamo quindi dal sistema le prime due equazioni, scartiamo cioè la terza:
⎧x + y + z + w = 1
⎨
⎩ x − y + 2z + w = 3
Successivamente portiamo a secondo membro le incognite che non figurano nelle colonne “fortunate”,
attribuendo loro i valori arbitrari z = l e w = m:
⎧ x + y = 1− λ − μ
⎨
⎩ x − y = 3 − 2λ − μ
Risolviamo il sistema “di Cramer” rimasto:
x=
4 − 3λ − 2μ
2
y=
−2 + λ
2
Le soluzioni del sistema “iniziale” sono le seguenti:
x=
4 − 3λ − 2μ
2
y=
−2 + λ
2
z=l
w=m
qualunque siano i numeri reali l e m.
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31
Matrici e sistemi lineari
Quesiti di verifica
a
(5; 3)
c
(–2; –6)
Per ulteriore segretezza ciascun messaggio
di 4 lettere è inviato in codice come M * C,
dove:
⎛ 2 −1⎞
C=⎜
⎝ 1 1⎟⎠
b
(–11; –5)
d
(11 ; 3)
Se l’agente riceve la matrice:
⎛ −4 3⎞
per il
1 Il prodotto della matrice A = ⎜
⎝ −2 1⎟⎠
vettore v(2; –1) è il vettore:
⎛ 1 −3⎞
calcolare la
2 Data la matrice A = ⎜
⎝ 4 1⎟⎠
matrice A * A = A2 e verificare quale delle seguenti relazioni è esatta:
allora il messaggio è:
a
det A = det (A2)
c
(det A)2 > det (A2)
a
SANO
c
VINO
(det A)2 = det (A2)
FARO
d
d
(det A)2 < det (A2)
b
b
CANE
3 Il prodotto righe per colonne tra matrici è
commutativo?
Giustificare la risposta, considerando le
matrici:
⎛ 1 2⎞
A=⎜
⎝ −2 4 ⎟⎠
⎛x
4 Se ⎜
⎝z
⎛ 3 −2⎞
B=⎜
⎝ 5 −1⎟⎠
y ⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎛ −3
8⎞
allora:
∗⎜
=⎜
⎟
⎟
t ⎠ ⎝ 1 −3⎠ ⎝ 5 −14 ⎟⎠
a
x = 1, y = –2, z = –1, t = 4
b
x = –1, y = –2, z = –1, t = 4
c
x = –1, y = 2, z = 1, t = 4
d
x = 1, y = –2, z = 1 , t = –4
5 Se
⎛ 2 −1⎞ ⎛ x
⎜⎝ 0
1⎟⎠ ⎜⎝ z
y⎞ ⎛ 5 1⎞
=
t ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠
allora x, y, z, t sono nell’ordine:
a
b
1, 2, 3, 4
5 3
; ; 0; 2
2 2
c
non si possono
determinare
d
nessuna
delle precedenti
6 In un codice cifrato, ogni lettera è sostituita
con il numero corrispondente alla posizione
nell’alfabeto italiano; così, “per esempio”,
BENE diventa la matrice:
⎛ 2 5⎞
M =⎜
⎝ 12 5 ⎟⎠
32
⎛ 13 −5⎞
⎜⎝ 45 −3⎟⎠
7 Per quali valori di a e b la matrice
⎛ 3 a − 4b a − b ⎞
⎜⎝ 6
−2
a + b ⎟⎠
ha rango 1?
a
a = 0, b = 0
b
a = 3, b = 1
c
a = 0, b = 1
d
a = 1, b = 3
8 Il sistema omogeneo:
⎧ x + 2 y − 3z = 0
⎪
⎨3 x − y − z = 0
⎪4 x + y + z = 0
⎩
a
ha la sola soluzione x = y = z = 0
b
ha infinite soluzioni
c
non ha soluzioni
⎛ 1 2 1⎞
9 L’inversa della matrice A = ⎜⎜ 2 4 3⎟⎟ è:
⎜⎝ 3 5 2⎟⎠
a
⎛ −7 1 2 ⎞
⎜ 5 − 1 − 1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ −2 1 0 ⎟⎠
c
b
⎛ −1 1 2⎞
⎜ 5 −1 2⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 1 2⎟⎠
d
⎛ −5 1 −2 ⎞
⎜ 3 −1 2 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2 1 0 ⎟⎠
non esiste
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Matrici e sistemi lineari
Laboratorio di informatica
Comandi
DERIVE
MATRICE
SOLVE
SOLUTIONS
ROW_REDUCE
1. Le matrici su DERIVE
Una matrice si può assegnare su DERIVE con due procedimenti equivalenti:
• da Author, scrivendo esplicitamente i vettori righe della matrice: così per assegnare la matrice
⎛ 3 4⎞
⎜⎝ −2 5⎟⎠
si deve scrivere:
[[ 3 , 4],[–2, 5]]
• l’altro procedimento si avvale della tendina Matrici, che propone prima un box per numero di righe e di colonne, e successivamente (fig. 1), un box in cui scrivere i termini della matrice.
Per esempio, per assegnare la matrice a sinistra si compila il box a destra:
⎛ 7 −3 1 ⎞
⎜0 5 2 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 5 −1⎟⎠
Figura 1
Dato l’OK, la matrice viene scritta sulla pagina d’Algebra, per esempio al primo rigo: per darle
un nome, per esempio A, indispensabile per usare la matrice, basta scrivere, sempre da Author
A:= #1
Le matrici identità di ordine n, matrici quadrate d’ordine n con 1 sulla diagonale principale e 0 altrove, sono costruite automaticamente da DERIVE con il comando IDENTITY_MATRIX(n).
2. Operazioni con le matrici
Assegnate due matrici A e B si possono costruire con DERIVE:
•
•
•
•
•
aA, comando alpha*A;
A + B, comando A + B;
A ◊ B, comando A*B;
An, comando A^n;
Av, con A matrice e v vettore, comando A*v.
Tutto come con l’algebra dei numeri reali..., tutto tranne la divisione!
Si provi ad assegnare, da Author, A/B, e se ne chieda la semplificazione, cioè il risultato.
DERIVE proporrà una matrice (che certanente non si poteva prevedere) che corrisponde ad aver letto A/B come A*B^(–1) avendo dato a B^(–1) il significato di matrice inversa di B.
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33
Matrici e sistemi lineari
3. Un esperimento
Assegnata una matrice A, per esempio 2 ¥ 2 e assegnato un vettore v a due componenti, possiamo
considerare i vettori
A*v,
A*A*v,
A*A*A*v,
...
che si ottengono trasformando, ritrasformando e ritrasformando ancora v tramite la matrice A.
L’esperimento consiste nell’indagare sulle direzioni che tali trasformati assumono: per eseguire
meglio l’indagine possiamo normalizzare tali vettori, cioè dividerli ciascuno per la propria lunghezza, operazione che non altera la direzione ma consente anzi di studiarla meglio evitando di
dover lavorare con vettori troppo grandi o troppo piccoli.
La costruzione di tali trasformati-normalizzati si fa con il comando DERIVE:
A^n*v/|A^n*v|
Il comando
vector(A^n*v/|A^n*v|, n, 0, 10)
consente di vedere direttamente i primi 10 trasformati (il primo, per n = 0 è il vettore v stesso).
DERIVE consente anche di disegnare tali vettori: basta selezionare gli 11 vettori calcolati e chiederne il grafico.
4. Sistemi lineari
La soluzione di un sistema si può chiedere a DERIVE, come per l’assegnazione di una matrice, con
diversi procedimenti equivalenti. Consideriamo i vari procedimenti relativamente al sistema
⎧3 x + 5 y + 2 z = 1
⎪
⎨x − y + z = 0
⎪⎩2 x + 3 y − z = −1
• da Author, con il comando SOLVE, scrivendo esplicitamente il sistema:
SOLVE([3·x + 5·y + 2·z = 1,...], [x, y, z])
• da Author, con il comando SOLUTIONS, scrivendo analogamente:
SOLUTIONS([3·x + 5·y + 2·z = 1,...], [x, y, z])
La differenza tra SOLVE e SOLUTIONS sta nella forma in cui vengono offerte le soluzioni:
x = –11 Ÿ y = 8 Ÿ z = –3
il primo
[–11, 8, –3]
il secondo, che presenta quindi il vettore
delle soluzioni;
• dalla tendina Solve, assegnando il nume-
ro di equazioni e di incognite e scrivendo, esplicitamente, le equazioni del sistema nel box che viene proposto; il box
da compilare con le equazioni del sistema è riportato in figura 2;
34
Figura 2. Il box in cui assegnare le equazioni del sistema 3 ¥ 3.
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Matrici e sistemi lineari
Informatica
• con il metodo di Gauss, comando ROW_REDUCE, per il quale occorre assegnare la matrice
dei coefficienti e quella (il vettore) dei termini noti.
⎛3 5 2 ⎞
A := ⎜⎜ 1 1 −1⎟⎟ ,
⎜⎝ 2 3 1 ⎟⎠
⎛ 1⎞
B := ⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝⎜ −1⎟⎠
Il risultato si vede in figura 3.
Figura 3. Il comando ROW_REDUCE(A, B).
5. Esercizi
1. Assegnate le matrici
⎛ a 0 0⎞
A = ⎜⎜ 0 b 0 ⎟⎟ ,
⎜⎝ 0 0 c ⎟⎠
a, b, c ≠ 0
determinare:
a) le potenze A2, A3, ..., A6;
b) la matrice inversa;
c) le matrici A–2, A–3, ..., A–6.
2. Assegnata la matrice
⎛ 0 1⎞
B=⎜
⎝ −1 0 ⎟⎠
determinare per ogni n Œ⺪ le potenze Bn.
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35
Matrici e sistemi lineari
{
3. Assegnato il sistema
x+y=a
λx + y = b
a) determinare per quali l, a, b è compatibile;
b) esaminare in tali casi che rapporto passi tra il modulo del vettore delle soluzioni e il modulo del vettore dei termini noti.
4. Assegnati i due sistemi 2 ¥ 2 collegati
Av = w,
determinare il sistema
Bw = c
Dv = c
ad essi corrispondente.
5. Assegnata la matrice
⎛ 1 2⎞
A=⎜
⎝ 3 0 ⎟⎠
e assegnato un primo vettore v, determinare le direzioni che assumono i vettori
Av, A2v, A3v, ...
al crescere dell’esponente.
6. Programmi
Il programma di questo Laboratorio riguarda l’assegnazione di due matrici 2 ¥ 2 e la determinazione della loro somma e del prodotto: la proposta nei tre linguaggi QBASIC, PASCAL e C++ aiuta
ad apprezzare i diversi modi con i quali memorizzare nel computer le matrici.
36
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esercizi
Matrici e sistemi lineari
Quesiti
Matrici. Operazioni tra matrici
1. Dare la definizione di matrice, matrice quadrata e matrice trasposta e simmetrica.
⎛ −2 a − 1 0 ⎞
2. Quali valori si devono dare ad a e b affinché la matrice A = ⎜ 2 a 1 b 3 ⎟ sia simmetrica?
⎜
⎟
Una matrice simmetrica può essere rettangolare?
⎜⎝ 0
−1
3 ⎟⎠
3. Data la matrice A, che cosa si può dire della matrice ( ( A)T ) ?
T
4. Considerate due matrici quadrate A e B dello stesso ordine n e un numero reale l, come si definiscono e di quali proprietà godono le operazioni A + B e lA?
5. Considerate due matrici quadrate A e B dello stesso ordine n, come si definisce il prodotto A * B?
Vale la proprietà commutativa? Vale la legge di annullamento del prodotto?
−3 a ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 4 ⎞
⎛ 1
⎜
6. Indicare quali valori si devono dare ad a, b, c affinché risulti: −2 −3b −1⎟ ⋅ ⎜ −1⎟ = ⎜ 6 ⎟ .
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜⎝ c
4
2 ⎟⎠ ⎜⎝ −1⎟⎠ ⎜⎝ −6 ⎟⎠
1
⎛2 1⎞
A=⎜
⎝ 0 4 ⎟⎠
Dati:
⎛ 5 –7 ⎞
B=⎜
⎝ 4 −2 ⎟⎠
l1 = 2
l2 = 5
determinare:
a)
b)
c)
d)
e)
2
l1A; l2A; l1B; l2B
A+B
A–B
l 1A + B
l2A – l1B
Date le due matrici:
⎛1
A = ⎜2
⎜⎝ 0
0
−1
2
4⎞
5⎟
− 4 ⎟⎠
e
⎛ 5
B = ⎜ –3
⎜⎝ −9
6
2⎞
1 –2 ⎟
0
1⎟⎠
determinare le matrici A + B; A – B; 3A + 2B.
Date le due matrici A e B, determinare le matrici A * B e B * A.
3
⎛ −4
A=⎜
⎝ 1
⎛5
B=⎜
⎝2
−2 ⎞
−3 ⎟⎠
4
⎛1
A=⎜
⎝1
4⎞
2 ⎟⎠
⎛2
B=⎜
⎝3
–1⎞
0 ⎟⎠
5
⎛3
A=⎜
⎝0
−1⎞
2 ⎟⎠
⎛0
B=⎜
⎝3
3⎞
−1⎟⎠
⎛0
A = ⎜3
⎜⎝ 0
0
2
4
6
3⎞
0 ⎟⎠
3⎞
0⎟
1⎟⎠
⎛ 1 0 1⎞
B = ⎜ −1 0 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 1 0⎠
⎛ −14
A* B= ⎝ 5
−1⎞
⎛ −22
−2⎠ ; B * A = ⎝ −11
15⎞
6⎠
⎛14 −1⎞
⎛ 1 6⎞
A * B = ⎝ 8 −1⎠ ; B * A = ⎝ 3 12⎠
⎛ −3
A* B= ⎝ 6
10⎞
⎛0
−2 ⎠ ; B * A = ⎝ 9
6⎞
−5 ⎠
⎛ 0 4 4⎞
⎛ 6 3 0⎞
A * B = ⎜⎜ 1 0 7⎟⎟ ; B * A = ⎜⎜ 0 8 −1⎟⎟
⎝ 3 2 6⎠
⎝ −2 1 8⎠
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37
Matrici e sistemi lineari
7
⎛ −1
A=⎜
⎝ 2
Date le matrici:
2⎞
−3⎟⎠
⎛0
B=⎜
⎝1
e
−2 ⎞
0 ⎟⎠
calcolare le matrici A * B; B * A; A2; B2; A2 * B2; (A * B)2.
⎛ 2
A * B = ⎝ −3
⎛ −2
B2 = ⎝ 0
8
2⎞
⎛ −4
− 4⎠ ; B * A = ⎝ −1
0⎞ 2
⎛ −10
2
−2 ⎠ ; A * B = ⎝ 16
6⎞
⎛ 5
2
2⎠ ; A = ⎝ −8
−8⎞
13⎠ ;
16⎞
⎛ −2
2
−26⎠ ; ( A * B) = ⎝ 6
− 4⎞
10⎠
Se X e Y sono due matrici quadrate di ordine 2 e
⎛ 1 5⎞
2X – 3Y = ⎜
⎝ 4 2⎟⎠
⎛ −1 0 ⎞
X–Y=⎜
⎝ 3 6 ⎟⎠
determinare X e Y.
⎛ −4 −5⎞
⎛ −3 −5⎞
X= ⎜
; Y= ⎜
⎟
⎟
⎝ 5 16 ⎠
⎝ 2 10 ⎠
Vero o falso?
Determinanti e loro proprietà
1. Se in una matrice quadrata si scambiano tra loro due righe, il determinante
V
F
V
F
3. è uguale a zero se x = y
V
F
4. è uguale a 8 se x – y = 2
V
F
5. è uguale a 1 solo se x = 2 e y = 1
V
F
V
F
7. det ⎜ 2 4
V
F
8. Se A, B, C sono tre matrici quadrate dello stesso ordine: A ∗ B = A ∗ C ⇒ B = C .
V
F
V
F
V
F
della matrice rimane inalterato.
2. Se in una matrice quadrata agli elementi di una colonna si sommano
i corrispondenti elementi di un’altra colonna moltiplicati per uno stesso
numero, il determinante rimane inalterato.
⎛ x 2 xy y 2 ⎞
Il determinante della matrice A = ⎜ 2 x x + y 2 y ⎟ :
⎜⎝ 1
1
1 ⎟⎠
Si ha:
⎛a + b
6. det ⎜ p + q
⎜⎝ x + y
b+c
q+r
y+z
c+a⎞
⎛ a b c⎞
r + p ⎟ = 2 det ⎜ p q r ⎟
⎜⎝ x y z ⎟⎠
z + x ⎟⎠
⎛2 2
2⎞
6⎟ = 23
⎜⎝ 2 6 12 ⎟⎠
9. Se A e B sono due matrici quadrate dello stesso ordine da A ∗ B = 0 segue che
una delle due matrici (A oppure B) è la matrice nulla.
10. Se A e B sono due matrici quadrate invertibili dello stesso ordine, dette A–1
e B–1 le loro inverse, allora la matrice inversa del prodotto A * B è la matrice
prodotto B–1 * A–1.
38
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Calcolare il valore dei seguenti determinanti.
9
−1
0
3
5
7
4
−2
0
3
7
−2
–5
–5; 8; –1
10
−5
3
−2
7
4
5
1
−8
2
4
−3
11
–29; –37; 34
11
−1
3
1
0
−5
−1
3
5
3
2
−1
2
12
3
−2
−3
13
5
0
7
1
4
0
−7
0
4
−2
−4
−1
1
2
1
7
0
2
14 Verificare che:
⎛a b
15 Se det ⎜⎜ d e
⎜⎝ g h
16 Date le matrici:
1
4
−1
–2; 26
–4; 71
−1
−5
0
3
4
−2
4
1
3
15
−3
0
4
5
−2
−1
3
4
esercizi
Matrici e sistemi lineari
156; 432
⎛ 1 senα cos α ⎞
det ⎜⎜ 1 senβ cosβ ⎟⎟ = sen(β − γ ) + sen(γ − α ) + sen(α − β)
⎜⎝ 1 senγ cos γ ⎟⎠
⎛ − d −e − f ⎞
c⎞
⎜
⎟
⎟
f ⎟ = k quanto vale det ⎜ − a − b −c ⎟ ?
⎜⎝ − g − h −i ⎟⎠
i ⎟⎠
⎛ −1
A=⎜
⎝ 2
2⎞
−3⎟⎠
e
⎛0
B=⎜
⎝1
k
−2 ⎞
0 ⎟⎠
verificare che:
a) det A · det B = det (A * B ) = det (B * A )
(det B)2 = det B 2
b) (det A)2 = det A2;
2
2
c) det A · det B = det (A2 * B2)
Dimostrare, senza calcolarli, che sono nulli i determinanti delle seguenti matrici.
17
⎛ 1 2 3⎞
⎜ 4 5 6⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 7 8 9 ⎟⎠
18
⎛ 1 2 3⎞
⎜ 5 6 6⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 9 10 11⎟⎠
[Nella seconda riga si può scrivere 4 = 1 + 3, 5 = 2 + 3, 6 = 3 + 3, nella terza riga
7 = 1 + 6, 8 = 2 + 6, 9 = 3 + 6, quindi scomponendo il determinante nella somma
di due determinanti...]
19
⎛ 1 2 3⎞
⎜ 6 7 8⎟
⎜
⎟
⎝ 11 12 13⎠
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39
Matrici e sistemi lineari
⎛ x y z⎞
Sapendo che det ⎜ 5 0 3⎟ = 1, determinare senza svilupparlo il valore di ciascuno dei seguenti determinanti.
⎜
⎟
⎜⎝ 1 1 1⎟⎠
20
⎛ 3x 3y 3z ⎞
det ⎜ 5 0 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 1 1⎟⎠
21
⎛ 5 x 5 y 5z⎞
⎜
3⎟
det ⎜ 1 0
⎟
5⎟
⎜
⎜⎝ 1 1 1⎟⎠
3
1
22
y
z ⎞
⎛ x
det ⎜ 2 x + 5 2 y 2 z + 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1
1
1 ⎟⎠
1
23
y
z ⎞
⎛ x
⎜
det 3x + 5 3y 3z + 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ x + 1 y + 1 z + 1 ⎟⎠
1
Quesiti
Sistemi lineari
1. Dopo aver fornito le definizioni di sistema lineare compatibile, incompatibile, determinato, enunciare il teorema di Cramer per un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite.
2. Se det A = 0, quante soluzioni può avere il sistema Ax = b?
Quante soluzioni può avere un sistema lineare di due equazioni in tre incognite?
3. È determinato un sistema lineare in cui una equazione sia combinazione lineare di altre due?
4. Cosa succede alle soluzioni di un sistema lineare se:
• si cambia l’ordine delle equazioni che compongono il sistema;
• si moltiplica una delle equazioni (o tutte) per un numero diverso da zero;
• si sostituisce a una delle equazioni una sua combinazione lineare con un’altra equazione del
sistema?
⎧x + 2y = 3
Rispondere alle domande riferendosi al sistema ⎨
⎩2 x − y = 1
Risolvere i seguenti sistemi (si suggerisce di incolonnare le incognite come si vede negli esercizi 24-27).
24
⎧x − 2y = 1
⎨
⎩x + y = 1
25
⎧ 5 x + 3y = 2
⎨
⎩ 3x + 2 y = − 5
26
⎧ x − 2y = 3
⎨
⎩ 4x − y = 1
27
⎧4 x − y + z = 3
⎨
⎩ x + y −z = 4
1; 0
28
[Si osservi che i coefficienti delle variabili della
seconda equazione si ottengono da quelli della
prima moltiplicandoli per –2, ma ciò non accade
nessuna soluzione
per i termini noti…]
19; –31
x=−
1
11
;y=−
7
7
29
4x −y = 3 − λ
x +y = 4 + λ
da cui, sommando membro a membro…]
x=
40
7
13
; y = + λ; z = λ (λ ∈⺢)
5
5
⎧ 2 x + 3y − 2 z = 3
⎪
⎨ x − 2 y + 3z = 2
⎪4 x − y + 4 z = 7
⎩
[Si osservi che la terza equazione è combinazione
lineare delle prime due…]
−5 λ + 12
8λ −1
x=
; y=
; z = λ (λ ∈⺢)
7
7
[Posto z = l (l Π), il sistema si scrive:
{
⎧ x − y + 3z = 2
⎨
⎩−2 x + 2 y − 6 z = 1
30
⎧x + 2z = 1
⎪
⎨ 2 x + 3y + z = 2
⎪x − y + 2z = 3
⎩
[Sottraendo dalla prima la terza equazione si ottiex = 5; y = –2; z = –2
ne y = …]
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31
⎧x − 4 y = 7
⎪
⎨2 x + 2 y − z = 2
⎪ y + 3z = 5
⎩
32
⎧ x − 4 y + z = −2
⎪
⎨2 x − y + 3z = 6
⎪2 x + z = 1
⎩
33
⎧7 x − 5 y − 2z = 2
⎪
⎨ 3x − y − z = 5
⎪2 x + y + z = 0
⎩
x = 1; y = 3; z = –5
⎧4 x − y + z = 5
⎪
⎨ 2 x + 3y + 6 z = 3
⎪5 x − y + z = 5
⎩
x = 0; y = –3; z = 2
34
35
36
⎧x − 8y + 4z = 1
⎪
⎨2 x − y + 8 z = 2
⎪ x − y + 12 z = 7
⎩
x = 3; y = –1; z = 2
x = –1; y = 1; z = 3
38
⎧x − 4 y + 8z = 4
⎪
⎨x + y + 2z = 1
⎪2 x − 13y + 22 z = 11
⎩
x=
x = −2; y = 0; z =
⎧ 3x + 2 y − 5 z = 2
⎪
⎨x + y − 4z = 1
⎪ x + 3z = 0
⎩
x=
1
3
; y = ; z = −1
2
4
8 − 16 λ
6λ − 3
; y=
; z = λ (λ ∈)
5
5
39
⎧ 2 x + 3y − 5 z = 0
⎪
⎨x + 4 y = 7
⎪ 4 x + 11y − 5 z = 0
⎩
incompatibile
40
⎧ 3x + 2 y + z = 1
⎪
⎨8 x + 5 y + 4 z = 3
⎪x + y − z = 1
⎩
incompatibile
41
⎧2 x + 5 y = 16
⎪
⎨ 2 x + 3y − z = 2
⎪x + z = 4
⎩
42
⎧ 4 x − y + 3z = 3
⎪
⎨ 2 x − 3y + z = 3
⎪x + y + z = 0
⎩
3
4
x = –3l; y = 7l + 1; z = l (l Œ )
Quesiti a risposta multipla
37
⎧−2 x + 4 y + z = 1
⎪
⎨ 4 x + 8 y + 3z = 5
⎪4 x − 4 y − z = 0
⎩
esercizi
Matrici e sistemi lineari
x = –2; y =4; z =6
x=
y=
3 − 4λ
;
5
−3 − λ
; z = λ (λ ∈)
5
Dato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite determinato, la cui soluzione è la terna
(–2; 3; 6), allora:
1. se si cambia segno ai termini noti:
a
la soluzione è (–2; 3; 6)
c
il sistema diventa incompatibile
b
la soluzione è (2; –3; –6)
d
il sistema diventa indeterminato
2. se si moltiplicano per 2 solo i coefficienti delle variabili:
a
la soluzione è (–4; 6; 12)
c
la soluzione è (–2; 3; 6)
b
la soluzione è ⎛ −1; 3 ; 3⎞
⎝
2 ⎠
d
la soluzione è (2; –3; –6)
3. se si moltiplicano per 2 solo i coefficienti della variabile x, allora:
a
la soluzione è (–4; 3; 6)
c
la soluzione è (–1; 3; 6)
b
la soluzione è (–2; 3; 6)
d
il sistema diventa incompatibile
4. se alla prima equazione si sottrae la seconda e si sostituisce alla prima l’equazione così ottenuta,
allora:
a
la soluzione è (–2; 3; 6)
c
b
il sistema diventa incompatibile
d
la soluzione è (2; –3; –6)
il sistema diventa indeterminato
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41
Matrici e sistemi lineari
Quesiti
Sistemi lineari omogenei
1. Che cosa si deve verificare affinché un sistema omogeneo Ax = 0 ammetta altre soluzioni (cioè
autosoluzioni) oltre a quella banale?
2. Un sistema omogeneo può essere incompatibile?
3. Cambiano le soluzioni di un sistema omogeneo se si scambiano tra loro due equazioni del sistema?
⎧ x + ay + z = 0
⎪
4. Quale valore si deve dare ad a affinché il sistema ⎨ 3x + 3y − 5 z = 0 non ammetta autosoluzioni?
⎪2 x + y − 2 z = 0
⎩
Risolvere i seguenti sistemi lineari omogenei.
esercizio risolto
⎧ 2x − y + z = 0
⎪
a. ⎨ x + y − z = 0
⎪ x + 2 y + 2z = 0
⎩
Il sistema è omogeneo, pertanto ammette almeno la soluzione x = 0, y = 0, z = 0.
Per determinare altre eventuali soluzioni, calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
⎛ 2 −1 1 ⎞
A = ⎜ 1 1 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 2 2 ⎟⎠
Si ha:
–
–
–
det A = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 + (−1) ⋅ (−1) ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 ⋅ 2 − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 − 2 ⋅ (−1) ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ (−1) = 4 + 1 + 2 − 1 + 4 + 2 = 12 ≠ 0
Pertanto il sistema è determinato e ammette solo la soluzione banale:
x = 0, y = 0, z = 0
⎧ x − 2 y − 3z = 0
⎪
b. ⎨ 5 x + 4 y + 2 z = 0
⎪ 7 x + 14 y + 13 z = 0
⎩
Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti:
⎛ 1 −2 −3⎞
A = ⎜5 4
2⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 7 14 13 ⎟⎠
Risulta:
det A = 1 ⋅ 4 ⋅ 13 + (−2 ) ⋅ 2 ⋅ 7 + (−3) ⋅ 5 ⋅ 14 − 7 ⋅ 4 ⋅ (−3) − 14 ⋅ 2 ⋅ 1 − 13 ⋅ 5 ⋅ (−2 ) = 0
42
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Poiché il determinante dei coefficienti è uguale a zero, il sistema ammette, oltre alla terna banale
(0; 0; 0), anche autosoluzioni.
Osserviamo che la terza equazione del sistema è combinazione lineare delle altre due: infatti, si ottiene
moltiplicando la prima per –3, la seconda per 2 e sommando membro a membro; pertanto il sistema dato
è equivalente al sistema, considerato nelle incognite x e y, costituito dalle prime due equazioni:
esercizi
Matrici e sistemi lineari
⎧ x − 2 y − 3z = 0
⎨
⎩5 x + 4 y + 2 z = 0
⎛ 1 −2 ⎞
Essendo diverso da zero, il determinante della matrice ⎜
, posto z = l, l Œ, risolviamo il
⎝ 5 4 ⎟⎠
sistema nelle incognite x e y:
⎧ x − 2 y = 3λ
⎨
⎩5 x + 4 y = −2 λ
Risulta:
x=
4 ,
λ
7
y=−
17
λ
14
Pertanto il sistema dato ha le autosoluzioni:
x=
4
17
λ, y = − λ, z = λ
7
14
Osserviamo che basta porre l = 0 per ottenere la soluzione (0; 0; 0).
43
44
45
⎧x − 5 y + 8z = 0
⎪
⎨2 x − y + z = 0
⎪ x − 2 y + 3z = 0
⎩
x=
λ
5
; y = λ; z = λ (λ ∈)
3
3
⎧4 x − 2 y + z = 0
⎪
⎨x − y + 5z = 0
⎪ 7 x − 3y − 3z = 0
⎩
x=
9
19
λ; y =
λ;
2
2
z = λ (λ ∈)
⎧ 3x + 2 y − z = 0
⎪
⎨x + y − 2z = 0
⎪ 4 x + 3y − 3z = 0
⎩
Vero o falso?
[La terza equazione si ottiene sommando le prime
due…]
x = −3λ; y = 5λ; z = λ (λ ∈⺢)
46
⎧ x − 2 y + 3z = 0
⎪
⎨5 x − y − z = 0
⎪ 3x + 3y + 11z = 0
⎩
47
⎧ x + 3y − 2 z = 0
⎪
⎨2 y − 3z = 0
⎪ 3x − y + z = 0
⎩
48
⎧x + y + z = 0
⎪
⎨x − y + z = 0
⎪ 3x + 3y + 3z = 0
⎩
x = l; y = 0; z = –l (lŒ)
49
⎧x + 4 y + 2z = 0
⎪
⎨x + 2y + z = 0
⎪x − 2y − z = 0
⎩
x = 0; y = l; z = –2l (lŒ)
x = 0; y = 0; z = 0
x = 0; y = 0; z = 0
1. Un sistema omogeneo ammette sempre almeno una soluzione.
2. Un sistema omogeneo di m equazioni in n incognite, con m < n, ammette soluzioni
non banali.
V
F
V
F
V
F
⎧ 3x − ky = 0
Il sistema ⎨
⎩ 2 kx + y = 0
3. è determinato solo se k Œ+.
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43
Matrici e sistemi lineari
4. è indeterminato "k Œ.
V
F
5. è determinato "k Œ.
V
F
V
F
7. b = 2a
V
F
8. 10a + 5b = 0
V
F
Quesiti a risposta multipla
⎧ 2 x − ay − z = 0
⎪
Il sistema ⎨ x − by − 3z = 0 ammette autosoluzioni se:
⎪ 3x
+ z=0
⎩
6. a = –3b
⎧ mx + y + z = 0
⎪
Il sistema ⎨ my
+z = 0
⎪ y
+z = 0
⎩
1. è determinato per
a
m Œ0
b
m ΠР{1}
c
m Œ0– {1}
d
"m Œ
c
(0; –l; l)
d
(0; 0; l)
c
(0; l; –l)
d
(0; 0; l)
2. se m = 0 ammette la soluzione
a
(l; 0; 0)
b
(l; –l; 0)
3. se m = 1 ammette la soluzione
a
(l; 0; 0)
b
(l; –l; 0)
Quesiti
Metodo di Gauss
1. Quali sono le possibili trasformazioni di un sistema lineare?
2. Che cosa significa trasformare un sistema lineare in un sistema triangolare superiore?
3. In che cosa consiste il metodo di Gauss?
4. Applicare il metodo di Gauss alla risoluzione del sistema:
⎧ x + 2 y − 3z = 4
⎪⎪ x + 3y + z = 11
⎨
⎪2 x + 5 y − 4 z = 11
⎪⎩2 x + 6 y + 2 z = 22
Risolvere con il metodo di Gauss i seguenti sistemi.
esercizio risolto
⎧ 2x − 5 y + 3z = 4
⎪
⎨ x − 2y + z = 3
⎪ 5 x + y + 7 z = 11
⎩
Utilizzando opportune combinazioni lineari delle equazioni, eliminiamo la variabile x dalla seconda e
terza equazione, poi la variabile y dalla terza equazione, trasformando così il sistema in un sistema
triangolare superiore.
44
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Moltiplichiamo la seconda equazione per –2, sommiamola alla prima e sostituiamo alla seconda l’equazione ottenuta mancante della variabile x:
⎧ 2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
−2 ⋅ ⎨ x − 2 y + z = 3
⎪ 5 x + y + 7 z = 11
⎩
⇒
⎧ 2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
⎨ −2 x + 4 y − 2 z = −6
⎪ 5 x + y + 7 z = 11
⎩
⎧2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
–y + z = –2
⎨
⎪5x + y + 7z = 11
⎩
⇒
esercizi
Matrici e sistemi lineari
Per eliminare la variabile x dalla terza equazione moltiplichiamo la prima per 5, la terza per –2,
sostituiamo la terza con quella ottenuta sommandola alla prima e lasciamo inalterata la prima
equazione:
5 ⋅ ⎧2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
⎨ − y + z = −2
−2 ⋅ ⎪⎩5 x + y + 7 z = 11
⇒
⎧10 x − 25 y + 15 z = 20
⎪
− y + z = −2
⎨
⎪−10 x − 2 y − 14 z = −22
⎩
⎧2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
⎨ − y + z = −2
⎪ −27 y + z = −2
⎩
⇒
Per eliminare y dalla terza equazione moltiplichiamo la seconda per –27, sostituiamo alla terza la
somma delle ultime due:
⎧2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
−27 ⋅ ⎨ − y + z = −2
⎪ −27 y + z = −2
⎩
⇒
⎧2 x − 5 y + 3z = 4
⎪
27 y − 27 z = 54
⎨
⎪ −27 y + z = −2
⎩
⇒
3z = 4
⎧2 x − 5 y +
⎪
−
y
+
z = −2
⎨
⎪
−26 z = 52
⎩
Determiniamo z dalla terza equazione
z = –2
sostituiamo il valore trovato nella seconda: –y – 2 = –2 e calcoliamo y:
y=0
sostituendo nella prima: x + 3(–2) = 4, ricaviamo x:
x=5
Pertanto la soluzione del sistema è la terna (5; 0; –2).
50
x+y = 1
⎧
⎪
y − z = −1
⎨
⎪ −2 x + z = −1
⎩
51
⎧ 2 x + y − z = −5
⎪
= 4
⎨ 3x + 2 y
⎪ 11x + 6 y − 4 z = −1
⎩
52
⎧ x − 2 y = −3
⎪
⎨2 x + y − 5 z = 4
⎪2 x − 5 y + z = −8
⎩
x = 1; y = 0; z = 1
nessuna soluzione
x = 2t + 1; y = t + 2;
z = t (t Π)
53
⎧ x − z = −7
⎪
⎨y + z = 8
⎪ x + 2 y + 3z = 19
⎩
x = –2; y = 3; z = 5
54
⎧ x − 2 y + 3z = 1
⎪
⎨ 4 x + 2 y − z = −2
⎪2 x − y + 3z = 2
⎩
x = –1; y = 2; z = 2
55
⎧ x − y − 2 z = −2
⎪
⎨ x + 2 y − 3z = 1
⎪x + 8 y + 5z = 7
⎩
x = –1; y = 1; z = 0
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45
Matrici e sistemi lineari
56
⎧5 x − y + z = 13
⎪
⎨ x − 2 y + 3z = 12
⎪2 x + y + z = 9
⎩
57
⎧ 4 x − y + 5 z = −25
⎪
⎨ 7 x + 5 y − z = 17
⎪ 3x − y + z = −21
⎩
58
Vero o falso?
59
⎧ x − y + 2 z = −4
⎪
⎨ 3x − 5 y + 8 z = −14
⎪ x + 3y − 2 z = 0
⎩
x = 2; y = 1; z = 4
x = –4; y = 9; z = 0
x = –3 – k; y = 1 + k;
z=k
⎧x + y + z = 2
⎪
⎨ 3x − 2 y − z = 4
⎪−2 x + y + 2 z = 2
⎩
x = 1; y = –2; z = 3
60
⎧ x + 3y − z = 1
⎪
⎨2 x + 4 y + z = −1
⎪ x − y + 3z = 2
⎩
61
⎧ 3x + 3y − 5 z = 0
⎪
⎨ x + 2 y − 3z = 1
⎪ 2 x + 3y − 6 z = 0
⎩
62
⎧x + y + z + t = − 4
⎪⎪− x + y − z + t = 4
⎨
⎪8 x + 4 y + 2 z + t = 1
⎪⎩ 3x + 2 y + z = 0
63
⎧ x − 2 y + z − 3t = 0
⎪⎪ x − 3y + z + 2t = −2
⎨
⎪ 5 x − 3y + 2 z + 2t = 5
⎪⎩ 3x − 2 y − 4zz = −13
x=
35
15
7
; y=− ; z=−
4
4
2
3
3
x = − ; y = 2; z =
4
4
1. Se in un sistema lineare si sostituisce una riga con una combinazione lineare
di altre due si ottiene un sistema equivalente.
x = 1; y = 1;
z = –5; t = –1
x = 1; y = 2;
z = 3; t = 0
V
F
V
F
V
F
V
F
2. Indicate ogni volta con L1 la prima riga e con L2 la seconda riga di un sistema
lineare, se sul sistema si eseguono nell’ordine le seguenti trasformazioni:
a) si sostituisce a L1 la somma L1 + 3 L2,
b) si scambiano L1 e L2,
1
c) si sostituisce a L1 la differenza L1 – L2,
3
si ritorna al sistema di partenza.
3. Un sistema quadrato triangolare superiore, avente i coefficienti della diagonale
diversi da zero, ammette una e una sola soluzione.
4. Se in un sistema lineare i coefficienti delle incognite di una riga sono proporzionali
ai corrispondenti coefficienti di un’altra riga il sistema è incompatibile.
Quesiti
Matrice inversa
Data la matrice quadrata A di ordine n:
1. che cosa si intende per matrice inversa A–1?
2. esiste sempre l’inversa?
3. che cosa si intende per complemento algebrico dell’elemento aij di A?
4. supposta A invertibile, come si determina A–1 nel caso n = 2 o n = 3?
5. Si verifichi se la seguente matrice è invertibile:
1 0⎞
⎛ −2
A = ⎜ 3 −4 5 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 7 −3⎟⎠
46
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Calcolare la matrice inversa delle seguenti matrici.
64
⎛1
A=⎜
⎝2
⎛ −3 2⎞
A −1 = ⎝ 2 −1⎠
2⎞
3⎟⎠
65
⎛ −1 1⎞
A=⎜
⎝ 2 3⎟⎠
66
⎛ 1
A=⎜ 0
⎜⎝ −1
−2
1
1
⎛− 3
⎜ 5
A −1 = ⎜
2
⎜⎝
5
2⎞
1⎟
1⎟⎠
⎛ 0
1
A −1 = ⎜⎜ −1
4⎝ 1
1⎞
5⎟
1⎟
⎟
5⎠
4 − 4⎞
3 −1⎟⎟
1
1⎠
68
⎛2
A = ⎜3
⎜⎝ 5
69
2⎞
1⎟
2 ⎟⎠
1
0
2
[Si ha: A11 = 0, A12 = –1, A13 = 1, A21 = 4, A22 = 3,
A23 = 1, A31 = –4, A32 = –1, A33 = 1, det A = 4…]
Quesiti a risposta multipla
67
⎛ 1 1 0⎞
A = ⎜ −1 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 0 −1⎟⎠
⎛ 0 −1 0 ⎞
A −1 = ⎜ 1 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 −1 −1⎟⎠
⎛1 − 3
⎜
2
⎜
1
A −1 = ⎜ 0 −
2
⎜
5
⎜
⎜⎝ 1 −
2
⎛ 2 −1 −1⎞
A = ⎜ 1 0 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 2 −1⎟⎠
⎛ −1
A=⎜ 2
⎜⎝ 1
70
2
2
0
1⎞
1⎟
2 ⎟⎠
1⎞
2⎟
1⎟
⎟
2⎟
1⎟
⎟
2⎠
esercizi
Matrici e sistemi lineari
2
1⎞
⎛−2
⎜ 7
7
7⎟
⎜
⎟
4⎟
1
6
A −1 = ⎜ −
−
⎜ 7
7⎟
7
⎜
⎟
6
1
3
⎜
⎟
−
⎝ 7
7
7⎠
1
⎛− 1
0 ⎞⎟
⎜ 3
3
⎜
⎟
1
1
1
− ⎟
A −1 = ⎜
⎜ 4
4
4⎟
⎜
⎟
1⎟
⎜ 1 −1
⎝ 6
2⎠
6
− a 2⎞
1. La matrice ⎛
è invertibile se:
⎜⎝ −1 3⎟⎠
a
a=
2
3
b
aπ0
c
aπ3
2
3
d
a≠
d
⎛ 0 1 0⎞
⎜ 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
d
⎛ 1 0 0⎞
⎜ 0 2 0⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 3⎟⎠
2. Se A è una matrice quadrata con det A π 0 si ha:
a
det A–1 = det A
c
(det A) ◊ (det A–1) = 1
b
det A–1 = (det A)2
d
det A–1 = 0
c
⎛ −1 0 0 ⎞
⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 −1⎟⎠
c
⎛
⎜1 0
⎜
1
⎜0 − 3
⎜
⎜0 0
⎝
⎛ 1 0 0⎞
3. L’inversa della matrice ⎜ 0 1 0 ⎟ è la matrice:
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
a
⎛ 0 0 1⎞
⎜ 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 1 0 0 ⎟⎠
b
⎛ 1 0 0⎞
⎜ 0 1 0⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎛
⎞
⎜1 0 0⎟
4. L’inversa della matrice ⎜ 0 −3 0 ⎟ è la matrice:
⎜
⎟
2⎟
⎜
⎜⎝ 0 0
⎟
5⎠
a
⎛
⎞
⎜ −1 0 0 ⎟
⎜0 3 0 ⎟
⎜
⎟
2⎟
⎜
⎜⎝ 0 0 − ⎟⎠
5
b
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎜⎝ 0
0 0⎞
⎟
1
0⎟
3
⎟
0 1 ⎟⎠
⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
5⎟
2⎠
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47
Matrici e sistemi lineari
Risoluzione di un sistema con il metodo della matrice inversa
esercizio risolto
Dopo aver calcolato la matrice A–1, inversa della matrice A dei coefficienti del sistema
⎧ 4 x + 3y = 2
⎨
⎩2 x + y = 4
determinare la soluzione con il metodo della matrice inversa.
⎛ 4 3⎞
Data la matrice dei coefficienti A = ⎜
si ha:
⎝ 2 1⎟⎠
A11 = 1,
det A = 4 − 6 = −2 ≠ 0 ,
A12 = –2,
A21 = –3,
A22 = 4
pertanto la matrice inversa è:
A −1
⎛ 1
⎜ −2
=⎜
−2
⎜⎝
−2
−3 ⎞
⎛ 1
−2 ⎟ ⎜ − 2
=
4 ⎟ ⎜ 1
⎟ ⎝
−2 ⎠
3⎞
2⎟
−2 ⎟⎠
Il vettore soluzione x = (x; y) del sistema è il vettore ottenuto dal prodotto:
⎛− 1
x = ( x; y ) = ⎜ 2
⎜⎝ 1
cioè:
3⎞ 2
⎛ ⎞
2 ⎟ ⋅⎜ ⎟
−2 ⎟⎠ ⎝ 4 ⎠
1
3
x = − ⋅2 + ⋅4 = 5
2
2
y = 1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 4 = −6
Pertanto il sistema ha la soluzione (5; 6).
Determinare la soluzione dei seguenti sistemi con il metodo della matrice inversa, sull’esempio dell’esercizio risolto precedente.
71
⎧2 x + 3y = 12
⎨
⎩ 3x − y = 7
x = 3, y = 2
72
⎧ x + 3y = 7
⎨
⎩ 3x + y = 5
x = 1, y = 2
73
⎧x + y + z = 6
⎪
⎨2 x − y + z = 3
⎪ 3x + y − z = 2
⎩
74
48
⎧ x + 4 y − z = 12
⎪
⎨− x + 3y + 2 z = 12
⎪2 x + 2 y = 12
⎩
75
⎧ 3x − y + 2 z = 12
⎪
⎨− x − y − 2 z = −4
⎪ x + 2 y = −2
⎩
x = 2, y = –2, z = 2
76
⎧5 x − y + z = −7
⎪
⎨x + 4 y − z = 7
⎪− x + 2 y + z = 5
⎩
x = –1, y = 2; z = 0
77
⎧ 3x − y + z = −21
⎪
⎨ 7 x + 5 y − z = 17
⎪ 4 x − y + 5 z = −25
⎩
x = –4, y = 9; z = 0
x = 1, y = 2, z = 3
x = 3, y = 3, z = 3
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Matrici e sistemi lineari
esercizi
Formula di Laplace
Calcolare, per mezzo della formula di Laplace, il valore dei determinanti delle seguenti matrici.
esercizio risolto
⎛ 2 5 1⎞
A = ⎜⎜ 3 4 2 ⎟⎟
⎜⎝ −2 −1 1⎟⎠
⎛ 3 −2 −1
⎜ 2 −2
0
B=⎜
⎜4
1 −4
⎜
⎝ 3 −1 2
1⎞
1⎟⎟
2⎟
⎟
1⎠
Calcoliamo det A sviluppando secondo gli elementi della prima riga:
⎛ 4 2⎞
⎛ 3 2⎞
⎛ 3 4⎞
det A = 2 det ⎜
− 5 det ⎜
+ det ⎜
= 2 ⋅ 6 − 5 ⋅ 7 + 5 = −18
⎟
⎟
⎝ −1 1⎠
⎝ −2 1⎠
⎝ −2 −1⎟⎠
Per il calcolo di det B possiamo procedere sviluppando secondo gli elementi della seconda riga; si ha:
det B = 2 A21 − 2 A22 + A24
e poiché:
⎛ −2 −1 1⎞
A21 = − det ⎜⎜ 1 −4 2⎟⎟ = − ⎡⎣ −2(−8) + 3 − 2 ⎤⎦ = −17
⎜⎝ −1 2 1⎟⎠
⎛ 3 −1 1⎞
A22 = det ⎜⎜ 4 −4 2⎟⎟ = 3(−8) − 2 + 20 = −6
⎜⎝ 3 2 1⎟⎠
⎛ 3 −2 −1⎞
A24 = det ⎜⎜ 4
1 −4 ⎟⎟ = 3(−2) + 2(20) − (−7) = 41
⎜⎝ 3 −1 2⎟⎠
risulta:
det B = 2A21 – 2A22 + A24 = 2(–17) – 2(–6) + 41 = 19
78
⎛ 1 0 1⎞
⎜ −2
1 1⎟⎟
⎜
⎜⎝ 1 −1 0 ⎟⎠
2
79
⎛ 1 3 2⎞
⎜ 0 −4 −1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 2
1 0 ⎟⎠
11
⎛ 3 4 −1⎞
⎜ −1 2 0 ⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 3 1⎟⎠
13
80
81
⎛ −3 1 0 ⎞
⎜ −2 −1 3⎟
⎜
⎟
⎜⎝ −1 1 5⎟⎠
82
⎛ 1
⎜ 5
⎜
⎜ 2
⎜
⎝ −1
3 −2 5⎞
0
3 1⎟⎟
5 6 3⎟
⎟
2
3 2⎠
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31
–295
49
Matrici e sistemi lineari
83
⎛ 7
⎜ 2
⎜
⎜ 5
⎜
⎝ −1
1 9⎞
6 3⎟⎟
6 11⎟
⎟
2 8⎠
4
0
1
7
1628
84
⎛h
⎜h
⎜
⎜h
⎜
⎝h
87
⎛ 2 1 4⎞
⎜⎝ −5 3 2⎟⎠
88
⎛ −4 1⎞
⎜⎝ 0 2⎟⎠
⎛ 0 −5⎞
⎜⎝ 1 0 ⎟⎠
2; 2
89
⎛1
⎞
⎜ 3 2⎟
⎜
⎟
⎝ 1 6⎠
⎛ −2 4 ⎞
⎜ 7
⎟
⎜
−7⎟
⎝ 2
⎠
1; 1
h
c
c
c
h⎞
c ⎟⎟
b⎟
⎟
a⎠
h
c
b
b
h (c – h) (b – c) (a – b)
Rango di una matrice
Determinare il rango delle seguenti matrici.
85
⎛ 1 4⎞
⎜⎝ 0 −1⎟⎠
⎛ 1 −2 4 ⎞
⎜ 5 0 1⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 6 −2 5⎟⎠
2; 2
[Il determinante della matrice di ordine 3 è uguale
a zero (la terza riga è la somma delle prime due),
mentre esiste una matrice estratta di ordine 2 con
determinante diverso da zero…]
⎛ 1 3 0⎞
⎜ −1 4 5⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 7 2 −1⎟⎠
86
⎛ 4 2⎞
⎜⎝ 2 1⎟⎠
90
⎛ −12
⎜
⎜ 4
⎝
91
⎛ 3
1 −4 ⎞
⎜ 0 −2
1⎟⎟
⎜
⎜⎝ −5 −1 0 ⎟⎠
1 10 ⎞
⎟
1
−
−5⎟
⎠
3
1; 3
⎛ 22
8 14 ⎞
⎜⎝ −11 −4 −7⎟⎠
⎛ 0 −5 6⎞
⎜⎝ 5 0 3⎟⎠
⎛ 2 −3
0⎞
⎜
1 ⎟⎟
⎜ 4 0
3⎟
⎜
⎜ 2
4⎟
1 − ⎟
⎜⎝ −
5
3⎠
⎛
7
1⎞
⎜ 10 4 − 2 ⎟
⎜
⎟
4⎟
⎜ 3 −2
⎜
⎟
7
−1⎟
⎜ 20
⎝
⎠
2
⎛ 1 2⎞
⎜ 4 8⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 5 2⎟⎠
2; 2
2; 1; 2
3; 3; 2
Teorema di Rouché-Capelli
Stabilire se i seguenti sistemi sono compatibili o incompatibili.
esercizio risolto
⎧2 x + y = 5
⎪
a. ⎨ x − 3 y = −1
⎪x + 4 y= 3
⎩
Consideriamo le matrici incompleta e completa:
⎛2
1⎞
⎜
A = ⎜ 1 −3⎟⎟
⎜⎝ 1 4 ⎟⎠
50
⎛2
1 5⎞
⎜
B = ⎜ 1 −3 −1⎟⎟
⎜⎝ 1 4 3⎟⎠
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Matrici e sistemi lineari
esercizi
e osserviamo che:
• la matrice A ha rango 2 in quanto esiste un minore di ordine 2 non nullo;
• la matrice B ha rango 3 in quanto det B = 21 π 0.
Si conclude che, essendo rango A π rango B, il sistema è incompatibile.
⎧x + y− z = 2
⎪
b. ⎨ x − 3 y + 2 z = 1
⎪x − 7 y+ 5z = 0
⎩
Consideriamo le matrici incompleta e completa:
⎛1
1 −1⎞
⎜
A = ⎜ 1 −3 2⎟⎟
⎜⎝ 1 −7 5⎟⎠
⎛1
1 −1 2⎞
⎜
B = ⎜ 1 −3 2 1⎟⎟
⎜⎝ 1 −7 5 0 ⎟⎠
Poiché det A = 0 ed esiste un minore non nullo di ordine 2 (per esempio quello indicato), risulta
rango A = 2.
Considerata poi la matrice B, poiché sono nulli tutti i minori del terzo ordine (si può procedere in due
modi: o si calcolano oppure si osserva che la terza riga si ottiene moltiplicando per 2 la seconda e sottraendo la prima riga), anch’essa ha rango 2, quindi il sistema è compatibile, ma indeterminato.
Considerato il sistema formato dalle prime due equazioni con il determinante dei coefficienti di x e y π 0:
⎧x + y − z = 2
⎨
⎩ x − 3y + 2z = 1
posto z = l, si ha:
⎧x + y = 2 + λ
⎨
⎩ x − 3 y = 1 − 2λ
Risolvendo si hanno le soluzioni:
x=
7+ λ
4
y=
1 + 3λ
4
Si conclude che il sistema dato è compatibile e ha infinite soluzioni date da:
x=
7+ λ
1 + 3λ
; y=
; z=l
4
4
" l Œ
92
⎧2 x + y − z = −3
⎪
⎨ x − 3 y + 2 z = 13
⎪ x − y + 3z = 12
⎩
x = 1; y = –2; z = 3
94
⎧ x − y + 3z = 1
⎪
⎨3 x − y − 2 z = 3
⎪ − 2 y + 7 z = 10
⎩
93
⎧ x + y − 3z = 4
⎪
= 12
⎨ 7x + 2 y
⎪ x − 2y + z = 3
⎩
(2; –1; –1)
95
⎧ x − y + 3z = 1
⎪
⎨3 x − y + 2 z = 3
⎪ − 2 y + 7z = 0
⎩
⎛ 21
55
5⎞
⎜⎝ − 4 ; − 4 ; − 2 ⎟⎠
⎛ λ+7
2 ⎞
⎜⎝ 7 ; λ; 7 λ ⎟⎠ (λ ∈)
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51
Vero o falso?
Matrici e sistemi lineari
1. Un sistema lineare ha una e una sola soluzione se la matrice dei coefficienti e quella
dei coefficienti e dei termini noti hanno lo stesso rango.
2. Un sistema lineare di 4 equazioni e 3 incognite non può avere una e una sola soluzione.
3. Un sistema lineare è compatibile se il rango della matrice dei coefficienti è uguale
al numero delle incognite.
4. Un sistema lineare di n equazioni in n incognite con determinante dei coefficienti
uguale a zero è incompatibile.
5. Se in un sistema lineare che ha una sola soluzione si elimina una equazione si ottiene
ancora un sistema che ha una sola soluzione.
6. Se in un sistema lineare compatibile si elimina una equazione si ottiene ancora un
sistema compatibile.
7. Se un sistema lineare è incompatibile è possibile che, eliminando una delle equazioni,
il nuovo sistema sia compatibile.
8. Il numero delle soluzioni di un sistema lineare diminuisce se si aggiunge al sistema
una equazione.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Discussione di un sistema lineare parametrico
Discutere i seguenti sistemi al variare del parametro.
esercizio risolto
⎧ x + y + kz = 2 − k
⎪
⎨ kx + ( k − 1) y + z = k
⎪x + y+ z = k −1
⎩
Dopo aver osservato che per k = 0 il sistema ammette la soluzione (5; –3; –3), supposto ora k π 0,
moltiplicando la 1a per k e sottraendo la 2a, si ha:
⎧ x + y + kz = 2 − k
⎪
⎨ y + (k 2 − 1) z = k − k 2
⎪x + y + z = k −1
⎩
sottraendo
dalla 1a la 3a
⎯⎯⎯⎯→
⎧ x + y + kz = 2 − k
⎪
⎨ y + (k 2 − 1) z = k − k 2
⎪(k − 1) z = 3 − 2k
⎩
da cui:
• se k = 1, il sistema è impossibile;
• se k π 1, il sistema ha soluzione data da:
x=
− k 3 + 2k 2 + 3k − 5
k −1
y = k2 – 3
z=
3 − 2k
k −1
96
⎧hx + y = 1
⎨
⎩ x − y = 2
h π –1: determinato; h = –1: impossibile
97
⎧x + y = 6
⎨
⎩ x + hy = 2 h
h π 1: determinato; h = 1: impossibile
52
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98
⎧ 3x + 2 y = h − 3
⎨
⎩hx + y = 2
h≠
99
hx + y = 2
⎧
⎨
⎩(2 − h ) x + hy = 2
h π –2, h π 1: determinato
h = –2: impossibile; h = 1: • soluzioni
3
3
: determinato; h = , impossibile
2
2
⎧ 3hx − (h − 1) y = 3
100 ⎨
y = 1
⎩ hx −
h π 0, h π 4: determinato
h = 0: impossibile; h = 4: • soluzioni
⎧ x − 2 y = −1
⎪
101 ⎨ x + (1 + k ) y − z = −1
⎪2 x − kz = −2
⎩
k π –4, k π 1: determinato
k = –4, k = 1: • soluzioni
⎧ x + y + z = 1 + 3k
⎪
102 ⎨2 y − z = 0
⎪ kx + z = 3k
⎩
k≠
⎧x + y − 2z = 0
⎪
103 ⎨2 x − y − az = 0
⎪x − y − z = 0
⎩
2
2
: determinato; k = : ∞ soluzioni
3
3
a=
5 ⎛3
λ
5
:
λ; ; λ ⎞⎟ ; a ≠ : (0; 0; 0 )
2 ⎜⎝ 2
2 ⎠
2
⎧x + y − z = 0
104 ⎨
⎩2 x + y + kz = 0
" k ((–k – 1) l; (k + 2) l; l)
⎧ kx + y + z = 0
105 ⎪⎨ ky + z = 0
⎪y + z = 0
⎩
⎧k = 0 (λ; 0; 0)
autosoluzioni per ⎨
⎩k = 1 ( 0; − λ; λ)
⎧2 x + 3y + mz = 2
⎪
106 ⎨ x + 3y + z = −1
⎪y + z = 1
⎩
m = –1: incompatibile;
10 − 4m m − 6
7 ⎞
m ≠ –1: determinato ⎛⎝
;
;
m +1
m + 1 m + 1⎠
⎧ x + 3y + z = 5
⎪
107 ⎨ mx + 2 z = 0
⎪
⎩ my − z = 0
m = 0: (5 − 3λ; λ; 0);
m = −1: incompatibile;
m ≠ 0, m ≠ –1: determinato ⎛⎝ −10 ; 5 ; 5m ⎞⎠
m + 1 m + 1 m +1
⎧ x + ky + z = 0
⎪
108 ⎨ x − y + z = 0
⎪ 4 x + y + (1 − k )z = 0
⎩
⎧ kx − 2 y + z = 1
⎪
109 ⎨ x − ky − z = 0
⎪2 x − y − 2 z = 2
⎩
esercizi
Matrici e sistemi lineari
⎧
⎪ k = −1:
autosoluzioni per ⎨
⎪⎩ k = −3:
k=
k≠
⎛ − 3 λ; 2 λ; λ⎞
⎠
⎝ 5 5
(λ; 0; − λ)
1
∨ k = −1 : incompatibile;
2
1
⎛
4k + 3
2
2k 2 − 2k − 3 ⎞
, k ≠ −1 : determinato ⎜
;
;
2
⎝ ( k + 1)(2 k − 1) 2 k − 1 ( k + 1)(1 − 2 k ) ⎟⎠
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53
Matrici e sistemi lineari
⎧2 x − ky − z = 0
⎪
110 ⎨ x + y − kz = −1
⎪ x + 2 y + (1 − k )z = −2
⎩
k=−
2k + 1
k ⎞
1
1
⎛ k ( k + 1)
; −
; −
: incompatibile; k ≠ − : determinato ⎜ −
⎝ 3k + 1
3k + 1
3k + 1 ⎟⎠
3
3
⎧ x + y − 3z = 1
⎪
111 ⎨ x + 2 y − 6 z = 1
⎪ 2 x + 3y − 9 z = a
⎩
a = 2 : (1; 3λ; λ ); a ≠ 2 : incompatibile
⎧x + y + 2z = 0
112 ⎪⎨ x + 3y + 2αz = 0
⎪2αx + 2 y + 3αz = 0
⎩
⎧⎪α = 2 (λ; λ; − λ)
autosoluzioni per ⎨
1
⎪⎩α = 2 (−5λ; λ; 2λ)
⎧ 5 x − 3y + z = a
⎪
113 ⎨ax − y + z = 0
⎪ x − az = −1
⎩
⎧
114 ⎪⎨
⎪
⎩
x
2x
x
x
a ≠ 1, a ≠
+ y + kz = 5
+ y − kz = 0
+ 2y − z = 0
− y
= 0
2
2
: determinato; a = 1 ∨ a = : incompatibile
3
3
determinato se k = 1 (1; 1; 3);
incompatibile se k π 1
⎧ x −
⎪ 2x −
115 ⎨ x +
⎪
⎩ 3x −
y
y
ky
y
+
−
+
−
kz
z
z
z
=
=
=
=
0
0
2
1
determinato se k = 0 (1; 1; 1);
incompatibile se k π 0
determinato se a = 1 (3; 2; 1);
incompatibile se a π 1
⎧
⎪
116 ⎨
⎪
⎩
x
2x
x
x
+
−
−
−
y
y
y
2y
+
−
+
+
αz
z
αz
z
=
=
=
=
6
3
2
0
⎧
⎪
117 ⎨
⎪
⎩
x
2x
x
3x
+
−
−
−
y
y
2y
5y
+
+
−
+
z
2z
z
z
=
=
=
=
3α
3
0
α
⎧
⎪
118 ⎨
⎪
⎩
x + y
2x − y
x + 2y
x
+ αz = 3
− z = 1− α
+ z = 6
+ z = 0
y
⎧ x +
⎪
2
2
x
+
k
−
y
(
)
119 ⎨
2
y
⎪
y
⎩ x +
54
determinato se a = 1 (2; 1; 0);
incompatibile se a π 1
+
+
−
−
z
z
z
2z
= 2
= 4
= 0
= −k
⎧se α = 1 (1; 3; − 1)
determinato ⎨
⎩se α = 4 (0; 3; 0)
incompatibiles se α ≠ 1, α ≠ 4
⎧
4 8⎞
⎛
⎪se k = 6 ⎝ −2; ; ⎠
3 3
⎪⎩se k = −2 (2; 0; 0)
determinato ⎨
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+
+
−
+
− αz = 1
+ z = 6
− z = 3
− 2αz = 2
x
2x
x
3x
⎧
⎪
121 ⎨
⎪
⎩
x + y − z = α −1
2 x + 3 y + αz = 1
x − 3y − z = 8
x
− z = 2α
⎧
⎪
122 ⎨
⎪
⎩
x
x
2x
x
− y
= 2
− 2y − z = 0
+ 2y + z = 8
+ 2 y − z = 4α
⎧
123 ⎪⎨
⎪
⎩
x
2x
x
4x
+
−
+
+
y
y
y
y
⎧
124 ⎪⎨
⎪
⎩
x
3x
7x
x
+
−
−
−
y − z = 0
y − αz = 0
5 y − αz = 0
y
= 0
Vero o falso?
⎧
⎪
120 ⎨
⎪
⎩
y
y
y
5y
determinato se a = 1 (3; –1; 1);
incompatibile se a π 1
esercizi
Matrici e sistemi lineari
determinato se a = 1 (3; –2; 1);
incompatibile se a π 1
2 ⎛ 8 2 4⎞
;
; ;
3 ⎝ 3 3 3⎠
2
incompatibile se α ≠
3
determinato se α =
+ 2z = 5
− z = 0
+ αz = 1
+ 2z = 8
determinato se a = 0 (1; 0; 2);
incompatibile se a π 0
autosoluzioni se a = 1 (l; l; 2l)
⎧( k – 1) x + ky = 2 k + 1
V
F
V
F
3. è incompatibile "k Œ
V
F
4. è incompatibile per k = –8
V
F
5. per k = 2 è determinato
V
F
6. "k Œ–{–8} è determinato
V
F
7. ammette la soluzione (1; 0; 0) per k = 0
V
F
V
F
V
F
1. Per almeno un valore di k il sistema ⎨
⎩ x – 2 ky = k
ammette infinite soluzioni.
2. Dire se è possibile determinare una terna di valori h, k, t affinché ammetta esattamente
tre soluzioni il seguente sistema:
z= 1
⎧ x − 3y +
⎪
Il sistema ⎨ x + ky −(1 − k )z = −1
⎪ 2y
+
4z = k
⎩
z= 1
⎧hx – 2 y +
⎪
z = –2
⎨2 x + 3ky –
⎪ x + 4 y + (t – 1)z = –1
⎩
⎧ 3x + 2 y = a
Il sistema ⎨
⎩5 x − ay = 1
8. è determinato se a π 0
9. è determinato e la soluzione (x0; y0) è tale che x0 > 0 e y0 > 0 se a > 3
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Soluzioni
Quesiti a risposta multipla, p. 41
Soluzioni
1. b – 2. b – 3. c – 4. a
Quesiti di verifica, p. 32
1. b – 2. b – 3. no – 4. a – 5. b – 6. b – 7. b – 8. a – 9. a
Quesiti, p. 37
Quesiti, p. 42
4. a π –1
2. a = b = –1 – 6. a = 0; b = 7 ; c = 0
3
Vero o falso?, p. 43
Vero o falso?, p. 38
Quesiti a risposta multipla, p. 44
1. F: il determinante cambia segno – 2. V –
3. V: det A = (x – y)3 = 0 € x = y
4. V: det A = (x – y)3 = 8 € x – y = 2
5. F: det A = (x – y)3 = 1 € x – y = 1, cioè se x = k,
y = k Р1, "k ΠР6. V: infatti
⎛a + b b + c c + a ⎞ ⎛a b c⎞ ⎛b c a⎞
⎜ p + q q + r r + p⎟ = ⎜ p q r ⎟ + ⎜ q r p⎟
⎜⎝ x + y y + z z + x ⎟⎠ ⎜⎝ x z x ⎟⎠ ⎜⎝ y z x ⎟⎠
e i determinanti dei due addendi sono uguali – 7. V –
8. F: in quanto A ∗ B = A ∗ C ⇒ A ∗ ( B − C ) = 0 , ma
nell’algebra delle matrici non vale la legge di
annullamento del prodotto, cioè l’annullarsi del
prodotto non implica necessariamente l’annullarsi di
almeno uno dei fattori – 9. F – 10. V: infatti basta
verificare che
−1
−1
−1
−1
( A ∗ B) ∗ ( B ∗ A ) = ( B ∗ A ) ∗ ( A ∗ B) = I
1. V – 2. V – 3. F – 4. F – 5. V – 6. F – 7. V – 8. F
1. c – 2. a – 3. c
Quesiti, p. 44
4. (1; 3; 1)
Vero o falso?, p. 46
1. V – 2. F – 3. V – 4. F
Quesiti a risposta multipla, p. 47
1. d – 2. c – 3. b – 4. c
Vero o falso?, p. 52
1. F – 2. F – 3. F – 4. F – 5. F – 6. V – 7. V – 8. F
Vero o falso?, p. 55
1. F – 2. F: un sistema lineare ammette o una sola o
nessuna o infinite soluzioni – 3. F – 4. V – 5. V – 6
essendo I la matrice unità, utilizzando la proprietà
associativa
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