“Incontri casuali” (percorso di probabilità)
Problemi di probabilità
1. Trovare la probabilità che su una determinata ruota del lotto esca
il numero 2.
Sol: 1/90+1/89+1/88+1/87+1/86 = 0,057 = 5,7 %
2. Consideriamo un bersaglio circolare. Qual è la probabilità di colpire a caso
un punto più vicino al centro della circonferenza?
Sol: P = (Area cerchio di raggio r/2) / ( Area cerchio di raggio r ) = ¼
3. Un’ urna contiene 10 palline delle quali 6 rosse e 4 bianche. Si estraggono,
successivamente l’una all’altra, 2 palline. Calcolare la probabilità che
entrambe le palline siano rosse nell’ipotesi che ci sia o non ci sia
reinserimento.
Sol. (con reinserimento ) : P = 6/10* 6/10 = 9/25
Sol. (senza reinserimento ) : P = 6/10*5/9 = 1/3
4. In un’urna ci sono tre palline nere e due bianche. Calcolare la probabilità
che esca prima una nera e dopo una bianca senza reimmissione nell’urna
della prima pallina.
Sol. P = 3/5.2/4 = 3/10
5. Anna e Francesca hanno rispettivamente probabilità ½ e 1/5 di superare
l’esame; la probabilità che entrambe superino l’esame è 1/10. Determinare
la probabilità che almeno una delle due superi l’esame.
6. P ( A U B ) = ½ + 1/5 – 1/10 = 3/5
Antonio e Bruno decidono che il conto del bar sarà pagato da colui che
pesca la carta più bassa. Per evitare la parità, decidono di usare solo le 13
carte di uno stesso seme. Antonio pesca un 5. Che probabilità ha ora
Bruno di non pagare il conto?
Sol. P = 2/3
7. Si estrae una carta da un mazzo di 32 carte. Qual è la probabilità che la
carta estratta sia una figura nera?
8. Un’ urna contiene 2 palline bianche e 10 nere. In un’altra urna ci sono 8
palline bianche e 4 nere. Si estrae una pallina da ciascuna urna. Qual è la
probabilità che le due palline estratte siano bianche?
Sol. P = 1/9
9. Un tiratore tira successivamente tre colpi su un bersaglio. La probabilità di
colpire il bersaglio al primo, al secondo e al terzo tiro è rispettivamente:
p1 = 0,4 p2 = 0,5 p3 = 0,7.
Determinare la probabilità che di questi tre colpi uno vada esattamente al
centro.
Sol. P = 0,36.
10. Gli studenti di una classe composta da 4 maschi e 3 femmine sono scelti a
caso, l’uno dopo l’altro, per sostenere un esame. Qual è la probabilità che
vengano scelti in modo alternato?
Sol. P = 1/35
11. Determinare la probabilità che il 5 si presenti almeno una volta in due
lanci di un dado non truccato.
Sol. P = 11/36
12. Si estraggono 13 carte da un mazzo di 52 carte. Determinare la probabilità
perché tra le 13 carte ce ne siano 8 dello stesso colore.
Sol. P = 1/214
Prof. Walter Macchi (2017)
Teoremi di additività
Per eventi qualsiasi
P ( A U B ) = P(A) + P(B)- P ( A int.B )
Per eventi incompatibili
P ( A U B )= P ( A ) + P ( B )
Per eventi indipendenti
P ( A U B ) = P(A) + P ( B ) – P(A)*P(B)
Probabilità condizionata e probabilità composta
+
In alcuni casi, per effetto di scelta, di aumento di informazioni o altro, è
necessario trovare la probabilità di certi eventi con la condizione supplementare
che si sia verificato un dato evento B.
Tali probabilità si dicono condizionate. Cioè:
“La probabilità che un evento casuale A si realizzi, nell’ipotesi che si sia
realizzato un altro evento B, si dice probabilità condizionata dell’evento A rispetto
all’evento B e si indica col simbolo
P (A / B)
Esempio: Si lancino due dadi. Con che probabilità si otterrà come risultato del
lancio 8 (evento A) se si è sicuri che il risultato del lancio dà un numero pari
(evento B)?
Sappiamo che esistono 36 casi possibili, e i lanci favorevoli sono
( 2,6 ) ( 3,5 ) (4,4 ) ( 5,3 ) ( 6,2 )
Quindi la probabilità non condizionata è P = 5/36.
Se si è verificato l’evento B, allora si realizza una delle 18 ( e non 36 ) delle
possibilità , e, conseguentemente, la probabilità condizionata è P ( A / B ) = 5/18.
In generale la probabilità condizionata è data da
P (A / B) = P (A intersezione B) / P (B)
Che risulta equivalente al teorema della probabilità composta:
P (A intersezione B ) = P ( A / B ) * P ( B ) = P ( B / A ) * P ( A )
Riprendiamo l’esempio precedente e applichiamo il teorema
P (A/B) = P (lancio 8 intersezione risultato pari) / P ( risultato pari ) = 5 / 18
