Probabilità - Ivan Zivko

Matematica
Probabilità
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Capitolo 4
Probabilità
Ivan Zivko
Introduzione
• Esperimento casuale (o aleatorio):
– Può venir riproposto infinite volte.
– Il risultato (o esito) varia all’interno di un certo
numero (anche infinito) di casi possibili.
– Non è possibile dire a priori con esattezza quale
dei casi si verificherà ogni volta.
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1
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Probabilità
Introduzione
• Esempi:
– Lancio di una moneta;
– Estrazione del lotto;
– Altezza di una persona scelta a caso;
– Durata (ore di vita) di una lampadina.
• Il calcolo delle probabilità è lo studio degli
esperimenti casuali.
• È nato con lo studio dei giochi d’azzardo.
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Lo spazio dei campioni
• L’insiemi di tutti i risultati possibili di un
esperimento è detto spazio dei campioni ( o
insieme degli esiti):
  1 , 2 , ...., n 
• Se Ω è un insieme finito, il numero dei suoi
elementi si indica con  .
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2
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Probabilità
Lo spazio dei campioni
• Esempi:
– Lancio di una moneta:
  testa, croce   2
– Lancio di un dado:
  1, 2, 3, 4, 5, 6   6
– Lancio contemporaneo di due dadi:
  (1,1); (1, 2), ..., (6, 6)   ....
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L’insieme degli eventi
• Esempio: consideriamo il lancio di un dado, che
avrà   1, 2, 3, 4, 5, 6 . All’evento “esce un
numero pari” si può associare l’insieme
A   2, 4, 6
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3
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Probabilità
L’insieme degli eventi
• Def.: Ogni sottoinsieme A di uno spazio dei
campioni si dice evento.
Un evento si verifica se in un esperimento si
ottiene un risultato   A .
L’insieme di tutti i sottoinsiemi di Ω si dice
insieme (o spazio) degli eventi e si indica con ()
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L’insieme degli eventi
• Se   n, allora
 ( )  2 n
• Un evento {ω} con un solo risultato si dice
evento elementare.
• Ø indica l’evento impossibile; Ω indica l’evento
certo.
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Probabilità
L’insieme degli eventi
• Esempio: nel lancio di un dado potremmo
avere:
– Evento B: “uscita del 2”, B={2} (evento elementare)
– Evento C: “uscita di un numero dispari”, C={1, 3, 5}
– Evento D: “uscita del 7”, D= {} =Ø (evento
impossibile)
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L’insieme degli eventi
• Si possono combinare gli eventi per creare
nuovi eventi usando le operazioni insiemistiche.
• A  B : è l’evento che si verifica se si verifica A
oppure B.
Ω
A
B
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Probabilità
L’insieme degli eventi
• A  B : è l’evento che si verifica se si
verificano A e B. A e B si dicono incompatibili
se A  B  Ø.
Ω
A
B
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L’insieme degli eventi
• A   \ A : è l’evento che si verifica se non si
verifica A. È detto evento contrario di A.
Ω
A
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Probabilità
L’insieme degli eventi
• Esempio 2: lancio di un dado:   1, 2, 3, 4, 5, 6
• Sia:
– A   2, 4, 6 , cioè “esce un numero pari”
– B   1, 3, 5 , cioè “esce un numero dispari”
– C   2, 3, 5 , cioè “esce un numero primo”
• Allora: A  B  1, 2, 3, 4, 5, 6  
B  C  3, 5
C  1, 4, 6
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L’insieme degli eventi
• Come nella logica anche per gli insiemi
valgono le leggi di De Morgan:
A  B  A B
A  B  A B
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Probabilità
La frequenza relativa
• Def.: si chiama frequenza relativa di un evento
A il rapporto tra il numero dei casi in cui
l’evento si è verificato e il totale delle prove:
f ( A) 
k
n
dove k=numero dei casi favorevoli
n=numero totale di prove
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La frequenza relativa
• Proprietà:
1. Per ogni evento A vale:
2. Per ogni evento A vale:
0  f ( A)  1
 f ( )  0, f ()  1
f ( A) 
f ( )


i
i A
3.
f ( A  B)  f ( A)  f ( B)  f ( A  B)
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Probabilità
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Probabilità
La frequenza relativa
• Esempio: lanciamo una moneta 200 volte, e
ogni dieci lanci contiamo quante volte è uscito
l’evento Testa.
f n ({T }) 
n(T )
, dove n(T )  n o di teste in n lanci
n
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La frequenza relativa
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n
n(T)
fn({T})
n
n(T)
fn({T})
10
7
0.7
110
53
0.482
20
13
0.65
120
61
0.508
30
16
0.533
130
66
0.508
40
23
0.575
140
70
0.5
50
26
0.52
150
73
0.487
60
31
0.517
160
81
0.506
70
33
0.471
170
87
0.512
80
39
0.488
180
89
0.494
90
43
0.478
190
93
0.489
100
46
0.46
200
99
0.495
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10
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Probabilità
La frequenza relativa
Frequenza relativa dell'evento Testa
1
0.9
0.8
0.7
fn({T})
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
n
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La frequenza relativa
• Constatazione: man mano che il numero di
lanci aumenta la frequenza si stabilizza intorno
al valore 0.5, cioè 50%.
• Legge empirica dei grandi numeri:
La frequenza relativa di un evento tende ad un
limite quando il numero di prove diventa
“grande”. (n→∞)
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Probabilità
La probabilità
• Il primo a fondare gli assiomi del concetto di
probabilità è stato Andrei Kolmogorov nel
1933.
• Egli ha riconosciuto che le tre proprietà
fondamentali della frequenza relativa
potevano essere usate per definire anche la
probabilità.
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23
La probabilità
• Def.: la probabilità è una funzione P che associa a
ogni evento A (di un insieme degli eventi ρ(A))
un numero reale P(A) con le seguenti proprietà:
– Assioma 1:
– Assioma 2:
0  P ( A)  1
P ( )  1
– Assioma 3:
P( A  B )  P ( A)  P( B)  P( A  B)
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Probabilità
La probabilità
• Proprietà:
1. Da   A  A e A  A   segue
1  P ()  P ( A  A )  P( A)  P ( A )
 P( A )  1  P( A)
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La probabilità
• Proprietà:
2. Se prendiamo A=Ω otteniamo:
P ( )  1  P()  1  1  0
3. Siano A, B due eventi con A  B  B  A  ( A  B)
 P ( B )  P ( A  ( A  B ))  P ( A)  P( A  B )
Quindi : P ( A)  P ( B)
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Probabilità
La probabilità
• Proprietà:
4. Se A1, A2, A3, …., Am sono eventi incompatibili,
cioè tutti separati, allora vale:
P ( A1  A2  ....  Am )  P( A1 )  P ( A2 )  ....  P ( Am )
A1
Am Ω
A2
……….
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La probabilità
• Sia ora   1 , 2 , ...., n . Allora vale:
–
0  P ({1})  1
–
P ( A)   P({})
 A
– In particolare se A=Ω si ottiene:
P ({1})  P({2 })  P({3 })....  P({n })  1
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Probabilità
La probabilità
• Esempio: Lancio di un dado:
  {1,2,3,4,5,6}
{ω}
{1}
{2}
{3}
{4}
{5}
{6}
P({ω})
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
P({ω})
1/4
1/4
1/4
1/12
1/12
1/12
P({ω})
1/2
0
0
0
0
1/2
• Da un punto di vista matematico tutte e tre le
distribuzioni sono lecite, tuttavia la prima ci
sembra la più corretta, perché ci aspettiamo che
ogni faccia ha la stessa probabilità di uscire.
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La probabilità: esperimenti di Laplace
• In molti esperimenti casuali tutti gli eventi
(risultati) hanno uguale probabilità di uscire,
sono cioè equiprobabili.
Tali esperimenti sono detti di Laplace.
• Ci sono anche situazioni in cui ciò non si
verifica, ad esempio un neonato sarà maschio
con probabilità 48.6% e femmina con 51.4%.
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15
Matematica
Probabilità
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Se in uno spazio dei campioni  1 , 2 , ...., n 
si può ritenere che tutti i risultati abbiano la
stessa probabilità allora possiamo definire la
questa come:
1
P({i }) 
n
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31
La probabilità: esperimenti di Laplace
• In generale se a ogni evento elementare di Ω
viene assegnata la stessa probabilità, allora la
probabilità di un evento A qualsiasi sarà:
n o di casi favorevoli
P ( A) 
 o


n di casi possibili
A
n o di elementi di A
 o
n di elementi di 
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Probabilità
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: lancio di due dadi diversi non truccati.
Determina la probabilità dei seguenti eventi:
– A: “uscita di almeno un 6”
– B: “uscita di al massimo un 6”
– C: “la somma dei numeri usciti è almeno 10”
– D: “ uno dei numeri usciti è un 6 e la somma dei
numeri usciti è almeno 10”
– E: “si ottiene almeno un 6 oppure la somma dei
numeri usciti è almeno 10”
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33
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: per prima cosa bisogna determinare il
numero di possibilità di Ω:
  {(1,1); (1,2); (2,1);....; (5,6); (6,5); (6,6)}
  D* (6,2)  6 2  36
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Probabilità
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: Determiniamo gli elementi
dell’insieme A:
A  {(1,6); (6,1); (2,6);....; (5,6); (6,5); (6,6)}
A  11
• La probabilità che esca almeno un 6 sarà quindi:
P ( A) 
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11
 30.55%
36
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Probabilità
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: in questo caso conviene prima
determinare l’evento contrario di B, cioè l’uscita
di due 6:
B  {(6,6)}, B  1
 P( B)  1  P( B )  1 
1 35

 97.22%
36 36
Matematica
37
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: in questo caso bisogna per forza
elencare i casi in cui i numeri danno come
somma almeno 10:
C  {( 4,6); (6,4); (5,5); (5,6); (6,5); (6,6)}, C  6
 P (C ) 
6 1
  16.67%
36 6
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Matematica
Probabilità
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: l’evento D è l’intersezione tra A e C,
potremmo dire che corrisponde a tutti gli
elementi di C che hanno almeno un 6:
D  A  C  C \ {(5,5)}, D  5
 P( D) 
5
 13.89%
36
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39
La probabilità: esperimenti di Laplace
• Esempio: l’evento E è l’unione tra A e C, per
calcolarla possiamo quindi usare l’assioma 3:
E  AC
 P ( E )  P ( A  C )  P ( A)  P (C )  P( A  C ) 
11 6
5 12 1

 

  33.33%
36 36 36 36 3
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20
Matematica
Probabilità
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2: un’urna contiene 5 palline nere e 3
bianche. Si estraggono a caso 6 palline una dopo
l’altra con reimmissione.
Qual è la probabilità di estrarre esattamente 4
palline nere?
Si tratta di disposizioni con ripetizioni:
  D* (8,6)  86  262'144
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41
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2: se le prime 4 sono nere e le ultime 2
bianche diventa:
 D * (5,4)  D * (3,2)  54  32
• Ma quante configurazioni ci sono?
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21
Matematica
Probabilità
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2:
P64, 2 
.
.
.
.
6!
 15
4!2!
Matematica
43
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2: quindi ci sono 15 configurazioni in cui
ci sono 4 palline nere e 2 bianche.
 15  (53  32 )  84'375
• La probabilità di estrarre esattamente 4 palline
nere sarà quindi:
P ( N  4) 
84'375
 32.19%
262'144
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22
Matematica
Probabilità
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2: calcoliamo le probabilità P(N=k), con
k=0,1,…,6 il numero di palline nere estratte.
P ( N  0) 
5 0  36
 0.28%
86
P ( N  1) 
P61,5  51  35
 2.78%
86
P63,3  53  33
P62, 4  52  34
P
(
N

3
)

 25.75%
P ( N  2) 
 11.59%
6
6
8
8
4, 2
P65,1  55  31
P6  54  32
P
(
N

5
)

 21.46%
6
P ( N  4) 
 32.19%
6
8
8
5 6  30
P ( N  6)  6  5.96%
8 Matematica
45
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Esempio 2: Rappresentiamo la situazione con
un grafico a colonne. P(N=k)
35.00%
30.00%
Probabilità
25.00%
20.00%
15.00%
10.00%
5.00%
0.00%
0
1
2
3
K=Numero di palline nere
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4
5
6
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23
Matematica
Probabilità
La probabilità: spazi non equiprobabili
• Se siamo interessati solo al numero di palline
nere estratte potremmo prendere   1, 2, 3, 4, 5, 6
con le probabilità che abbiamo ricavato: in
questo caso si tratterebbe di uno spazio non
equiprobabile! Cioè la probabilità di estrarre 4
palline è diversa da quella di estrarne 5.
Matematica
47
Diagrammi ad albero
• Quando sono dati degli spazi non
equiprobabili e le probabilità sono conosciute
è possibile sfruttare i diagrammi ad albero.
• La probabilità di un “percorso nel diagramma
ad albero” (cioè un evento elementare) è
uguale al “prodotto di tutte le probabilità
lungo il percorso”.
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48
24
Matematica
Probabilità
Diagrammi ad albero
• Esempio: una moneta truccata ha le probabilità
P(T)=0.4 e P(C)=0.6. La moneta viene lanciata 3
volte. Determina:
– Lo spazio dei campioni Ω.
– P(CTC)
• Soluzione:
  {(TTT ), (TTC ), (TCT ), (TCC ), (CTT ), (CTC ), (CCT ), (CCC )}
Matematica
49
Diagrammi ad
albero
T
0.4
• Soluzione:
0.4
T
0.4
0.6
T
C
0.6
T
0.4
C
0.6
C
T
0.4
0.6
C
0.4
0.6
T
C
0.6
0.4
C
T
0.6
C
P (CTC )  0.6  0.4  0.6  0.144  14.4%
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50
25
Matematica
Probabilità
Matematica
51
Probabilità condizionata
• Sia B un evento in Ω. La probabilità che si
verifichi un evento A una volta che B si è già
verificato si dice probabilità condizionata di A
dato B e si scrive
PA B 
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52
26
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Esempio 1: un’urna contiene tre palline
bianche e due nere. Si estraggono a caso una
dopo l’altra due palline senza
reimbussolamento.
• A: “pallina bianca alla seconda estrazione”
• B: “pallina bianca alla prima estrazione”
 
PA B  
P AB 
Matematica
53
Probabilità condizionata
• Esempio 2: lancio di due dadi. Se la somma è
6, qual è la probabilità che uno dei due dadi
abbia dato risultato 2?
Matematica
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54
27
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• In generale vale:
P A  B 
PA B  
P(B )
Matematica
55
Probabilità condizionata
• Osservazione 1: La probabilità condizionata
misura in un certo senso la probabilità di A
rispetto allo spazio ridotto a B. Cioè lo spazio
dei campioni è diventato B!!
Ω
B
A
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56
28
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Osservazione 2: se Ω è uno spazio equiprobabile
allora vale semplicemente
PA B  
A B
B
Matematica
57
Probabilità condizionata
• Osservazione 3: rigirando la formula si può
scrivere anche
P A  B   P( B)  PA B 
Oppure anche
PB  A  P ( A)  P B A
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58
29
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Osservazione 4: se A non dipende da B, cioè se
P A B   P ( A) , allora vale che:
P A  B   P( A)  P( B )
• In questo caso si dice che A e B sono
statisticamente indipendenti!
Matematica
59
Probabilità condizionata
• Osservazione 5:
P A  B  C   P ( A)  P ( B A)  P( B)  P( A B )  P(C )  P (C B)
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30
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Osservazione 6: sia B1, B2, B3, …, Bn una
partizione di Ω.
B1
B2
B3
A
Ω
P A  P( A  B1 )  P( A  B2 )  .....  P ( A  Bn )
• Ricaviamo il teorema della probabilità totale:
P A  P( B1 )  P A B1   P ( B2 )  PA B2   .....  P( Bn )  P A Bn 
Matematica
61
Probabilità condizionata
• Esempio 3: un rilevamento statistico è stato fatto
su un campione di 10’000 persone per studiare il
fenomeno del daltonismo. I risultati sono
riassunti nella tabella:
D
N
TOT
M
423
4848
5271
F
65
4664
4729
TOT
488
9512
10000
(M=uomini, F=donne, D=daltonici, N=non daltonici)
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31
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Calcoliamo la probabilità che un uomo scelto a
caso sia daltonico:
• Calcoliamo la probabilità che un daltonico scelto
a caso sia uomo:
Matematica
63
Probabilità condizionata
• Esempio 4: due cacciatori sono a caccia di lepri. Il
primo colpisce il bersaglio in media 3 volte su 10,
il secondo 5 volte su 10. Se sparano
contemporaneamente alla stessa lepre, quale
sarà la probabilità che sia colpita?
A: “il primo cacciatore colpisce la lepre”
B: “il secondo cacciatore colpisce la lepre”
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32
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Esempio 4: Si può ragionevolmente supporre che
A e B siano statisticamente indipendenti, quindi
P( A  B) 
 P( A  B) 
Matematica
65
Probabilità condizionata
• Esempio 5: un dado non truccato viene lanciato
due volte; gli eventi
A: “la somma dei risultati è 10”
B: “i due numeri sono uguali”
sono statisticamente indipendenti?
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33
Matematica
Probabilità
Probabilità condizionata
• Esempio 6: un’urna contiene 5 palline bianche e
3 nere. Si estrae a caso una pallina e la si mette
da parte senza guardarla. Qual è la probabilità
che dalle rimanenti 7 palline se ne estragga una
bianca?
A: “prima pallina non vista è bianca”
B: “seconda pallina estratta è bianca”
Matematica
67
Probabilità condizionata
• Esempio 6:
Matematica
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34
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Probabilità
Probabilità condizionata
• Esempio 7: cinque urne contengono biglie
bianche e nere come mostra la figura.
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4
5
• Le urne sono opache, per cui non si sa da quale si
sta estraendo.
Matematica
69
Probabilità condizionata
• Scegliamo un urna a caso e da essa estraiamo
una biglia. Qual è la probabilità che sia bianca?
Matematica
Docente: Ivan Zivko
70
35
Matematica
Probabilità
Formula di Bayes
• Formalmente questa formula attribuita al
matematico inglese Thomas Bayes (1702-1761)
è una conseguenza della formula per calcolare
l’intersezione (Osservazione 3) e del teorema
della probabilità totale (Osservazione 6).
Matematica
71
Formula di Bayes
• Considera di nuovo lo spazio dei campioni
suddiviso in partizioni:
B1
B2
B3
A
P B1 A 
• Quindi:
P B1 A 
P( B1  A)
P( A)
P( B1 )  P A B1 
P( B1 )  P A B1   P ( B2 )  P A B2   ...  P ( Bn )  P A Bn 
Matematica
Docente: Ivan Zivko
Ω
72
36
Matematica
Probabilità
Formula di Bayes
• Esempio 1: consideriamo gli eventi
F: “il paziente ha la febbre”
I: “diagnosi: infezione”
Sono note le probabilità
P ( I )  30 %; P ( F I )  90 %; P ( F I )  20 %
• Qual è la probabilità che ci sia un infezione, se si è
verificato il sintomo febbre?
Matematica
73
Formula di Bayes
• Esempio 2: A e B sono due urne opache
identiche.
A
9
5
1
6
2
7
3
B
8
4
4
1
5
2
3
• Si sceglie una pallina a caso da un urna a caso: se
il numero estratto è pari, qual è la probabilità
che la pallina sia stata estratta dall’urna A?
Matematica
Docente: Ivan Zivko
74
37
Matematica
Probabilità
Formula di Bayes
• Esempio 2:
Matematica
75
Formula di Bayes
• Esempio 3: uno studente risponde a una
domanda di un test a scelta multipla con m
risposte possibili. Vi sono due possibilità: o lo
studente conosce la risposta o cerca di
indovinarla. Consideriamo gli eventi:
R: “risponde correttamente”
C: “conosce la risposta”
Matematica
Docente: Ivan Zivko
76
38
Matematica
Probabilità
Formula di Bayes
• Esempio 3: Ammettiamo che P (C )  p . Qual è la
probabilità che se lo studente ha risposto
correttamente conosca effettivamente la
risposta?
Matematica
Docente: Ivan Zivko
77
39